2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5
2．不等式|x－1|<1 的解集为( )
A．(0，2)
B．(－∞，2)
C．(1，2)
D．[0，2)
解析：选 A.由|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，
所以不等式的解集为(0，2)．
3．不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：选 D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于 3≤2x－5<9 或－9<2x－5≤－3， 解得 4≤x<7 或－2<x≤1， 故解集为(－2，1]∪[4，7)．
(3)原不等式等价于||xx－ －22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2，或 x－2≥2， 所以 x≤0，或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或 4≤x≤6}．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法 化成等价的不等式(组)求解． (2)形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)． (这里 g(x)可正也可负)
含有两个绝对值号不等式的解法 解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.
2018-2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式讲义含解析新人教A版选修
2．基本不等式1．基本不等式的定理1,2定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，而且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．2．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a ＝b . 3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2＋b 2≥(a ＋b )22；(2)ab ≤a 2＋b 22；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22； (5)(a ＋b )2≥4ab .[例1] 已知a ＋求证：1a ＋1b ＋1c≥9.[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． [证明] 法一：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即1a ＋1b ＋1c≥9.法二：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c＋1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴1a ＋1b ＋1c≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd . 证明：因为a ，b ，c ，d 都是正数， 所以ab ＋cd2≥ab ·cd ＞0，ac ＋bd2≥ac ·bd ＞0，所以(ab ＋cd )(ac ＋bd )4≥abcd ，即(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .当且仅当ab ＝cd ，ac ＝bd ，即a ＝d ，b ＝c 时，等号成立． 2．已知a ，b ，c 为正实数， 求证：(1)(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )abc≥8；(2)a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca . 证明：(1)∵a ，b ，c 为正实数， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ca >0，由上面三式相乘可得(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8ab ·bc ·ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )abc≥8.(2)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca . 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .[例2] (1)当x >0时，求f (x )＝x 2＋1的值域； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． [解] (1)∵x >0， ∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x ＋1x≥2，∴0<1x ＋1x≤12. ∴0<f (x )≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 即f (x )的值域为(0,1]． (2)∵0<x <32，∴3－2x >0.∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∴y ＝4x (3－2x )的最大值为92.(3)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，有(x ＋y )min ＝16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正； (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D 1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy＝2xy，当且仅当x ＝y 时取等号．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4. ∴1x ＋1y ≥2xy＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，故1x ＋1y的最小值为1.4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23解析：选B 由a x＝b y＝2得x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＋1y ＝1log a 2＋1log b 2＝log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )． 又a >1，b >1，∴8＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤8， 当且仅当2a ＝b ， 即a ＝2，b ＝4时取等号， 所以1x ＋1y＝log 2(ab )≤log 28＝3.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y max ＝3.利用基本不等式解决实际问题[例3] 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．[解] (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ·7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.利用基本不等式解决实际应用问题的步骤(1)仔细阅读题目，弄清基本要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；(2)分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)； (3)利用基本不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．5．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？解：设一年的运费和库存费共y 元，由题意知y ＝50 000x ×50＋x 2×20＝25×105x ＋10x ≥2 25×106＝104，当且仅当25×105x＝10x 即x ＝500时，y min ＝10 000，即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．6.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解：(1)设矩形的另一边长为a m.则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x，所以y ＝225x ＋3602x－360(x ＞0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．1．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ；②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2； ③若x ∈R ，则x 2＋1＋1x 2＋1≥2； ④若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 显然①不正确；③正确；对于②，虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4.2．设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B.ab 有最小值12C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22解析：选C 由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值2，故选C.3．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，故选B.4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A 由已知可得y 1＝20x，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)，所以费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．5．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x2的最大值是________，取得最大值时x 的值是________．解析：f (x )＝2－3⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4x2≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x2即x ＝±2时取等号．答案：－10 ± 26．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．(填序号)①ab ≤1；② a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab ≤(a ＋b )24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得 a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥(a ＋b )24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b 2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤成立． 答案：①③⑤7．对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为________． 解析：令t ＝sin 2x ，则cos 2x ＝1－t .又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴t ∈(0,1)．不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16可化为p ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )． 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋16t ≤17－21t ·16t ＝9，当1t ＝16t ，即t ＝14时取等号， 因此若原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案：[9，＋∞)8．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ·a b ＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.9．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则其长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2 x ＋5x ＋4 160(x >1)．(2)由(1)知，S ≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2 x ＝5x即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m.文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！11 / 11。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.1 绝对值三角不等式课堂导学三点剖析一、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】 已知|x-a|<M 2ε,0<|y-b|<||2a ε,y∈(0,M),求证:|xy-ab|<ε. 思路分析:由于题设和结论相差很远,为了能整体运用上条件,应先对结论式的左端进行配凑.证明:|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|≤|y||x -a|+|a||y-b| <M·M 2ε+|a|·||2a ε=ε.温馨提示先“配凑”再利用绝对值三角不等式进行转化,从而整体运用条件,这是证题的关键.【例2】 求证:||1||||1||||1||b b a a b a b a +++<+++(ab≠0).证明：右边>1||||11||||1||||||||1||||||1||++=+++=+++++b a b a b a b a b b a a ,左边=1||11++b a ,∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴||||1||1b a b a +≥+. ∴||||11||1b a b a +≥+++1. 从而有1||11++b a ≤1||||11++b a∴左边<右边.温馨提示先把右边放缩,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”.也可构造函数f(x)=x x +1在x∈［0,+∞)上f(x)单调递增,从而证明之.各个击破类题演练1求证:|2||2|b a b a -++<c 的充要条件是|a|<c 且|b|<c. 证明:先证必要性. ∵|a|=|22b a b a -++|≤|2||2|b a b a -++<c, ∴|a|<c. ∵|b|=|22b a b a --+|≤|2||2|b a b a -++<c, ∴|b|<c.再证充分性.(1)当|a|≥|b|时,a 2≥b 2,即(a+b)(a-b)≥0,此时2b a +与2b a -同号或其中之一为0,则|2||2|b a b a -++=|22b a b a -++|=|a|<c. (2)当|a|<|b|时,a 2<b 2,即(a+b)(a-b)<0,即2b a +与2b a -异号, ∴|2b a +|+|2b a -|=|2b a +-2b a -|=|b|<c. ∴当|a|<c,|b|<c 时,|2b a +|+|2b a -|<c. 故|2b a +|+|2b a -|<c ⇔|a|<c 且|b|<c. 变式提升1已知a 、b 、c∈R ,求证:||1||||1||||1||||1||c c b b a a c b a c b a +++++≤+++++. 证明:设f(x)=xx x +-=+1111(x≥0), 可知当x≥0时,f(x)为增函数.∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,∴f(|a|+|b|+|c|)≥f(|a+b+c|),得||||||1||||||||1||||||||1||c b a a c b a c b a c b a c b a +++=+++++≤+++++ ||1||||1||||1||||||||1||||||||1||c c b b a a c b a c c b a b +++++≤++++++++ 二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】 (1)设a 、b∈R 且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值.解析：|a+b|=|(a+b+1)-1|≤|a+b+1|+|-1|≤1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5≤3×1+2×4+5=16.(1)当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2;(2)当ab<0时,则a(-b)>0,|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16.总之,恒有|a|+|b|≤16.而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.因此|a|+|b|的最大值为16.(2)若f(x)=x 2-2x+c,|x 1-x 2|<2,|x 2|<1,求证:|f(x 1)-f(x 2)|<12.证明:|f(x 1)-f(x 2)|=|x 12-2x 1+c-x 22+2x 2-c|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)|=|x 1-x 2|·|x 1+x 2-2|<2|x 1+x 2-2|=2|(x 1-x 2)+(2x 2-2)|≤2(|x 1-x 2|+|2x 2-2|)<4+2|2x 2-2|≤4+2(|2x 2|+|-2|)<4+4+4=12.∴|f(x 1)-f(x 2)|<12.类题演练2已知|a|<1,|b|<1,求证:|abb a ++1|<1. 证明:由|a|<1,|b|<1,得1±a>0,1±b>0,则|ab b a ++1|=)1)(1()1)(1(|)1)(1()1)(1(|b a b a b a b a --+++---++ )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(b a b a b a b a --+++--+++<=1,从而|abb a ++1|<1. 变式提升2证明对于任意实数t,复数z=|cos |t +i |sin |t 的模r,适合不等式r≤42.证明:r=|sin ||cos |t t +,为证对于任意实数t 有r≤42, 只要证|cost|+|sint|≤2即可.(1)当kπ≤t≤kπ+2π(k∈Z )时,则sint·cost≥0,依推论1,|cost|+|sint|=|sint+cost|=2|sin(t+4π)|≤2 (2)当kπ+2π<t<(k+1)π(k∈Z )时,sint·cost<0,sint·(-cost)>0,依推论1,|cost|+|sint|=|-cost|+|sint|=|sint-cost|=2|sin(t-4π)|≤2. 总之,对于任意实数t,有|cost|+|sint|≤2成立,即有r≤42成立.三、绝对值三角不等式的其他应用【例4】 (1)若不等式|x-4|+|x-3|>a 对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解析：由|x-4|+|x-3|≥|(x -4)-(x-3)|=1,得［|x-4|+|x-3|］min =1,故a 的取值范围是{a|a<1}.(2)已知|cosx-cosy|=|cosx|+|cosy|,且y∈(23π,2π),则2)cos (cos y x -等于( ) A.cosx-cosy B.cosy-cosxC.cosx+cosyD.以上均不对解析:由|a-b|≤|a|+|b|知等号成立的条件是ab≤0.因为|cosx-cosy|=|cosx|+|cosy|,所以cosx·cosy≤0.又因y∈(23π,2π),所以cosy>0且cosx≤0,则上式=|cosx-cosy|=cosy-cosx,故应选B. 答案:B(3)解方程|x|+|log a x|=|x+log a x|(a>1).解析:由当且仅当ab≥0,|a+b|=|a|+|b|知原方程等价于x·log a x≥0,又x>0,即log a x≥0,解得x≥1.所以原方程的解集是{x|x>1}.类题演练3(1)方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|的实数解为_______________解析:原方程可化为|2x-1|+|2-x|=|(2x-1)+(2-x)|,依推论1,它等价于(2x-1)(2-x)≥0, ∴21≤x≤2. 答案: 21≤x≤2 (2)解不等式|x 2-2x-3|+|x 2-2x-8|>5.解析:原不等式可化为|x 2-2x-3|+|8+2x-x 2|>|(x 2-2x-3)+(8+2x-x 2)|,依推论2,它等价于(x 2-2x-3)(8+2x-x 2)<0,∴(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)>0.∴x<-2或-1<x<3或x>4.变式提升3已知f(x)=x 2+ax+b(a 、b∈R )的定义域为［-1,1］,且|f(x)|≤M 成立,求M 的最小值.解:由题意知M 是|f(x)|在［-1,1］上的最大值.|f(0)|=|b|≤M,|f(1)|=|1+a+b|≤M,|f(-1)|=|1-a+b|≤M.由以上三式,有2=|(1+a+b)+(1-a+b)-2b|≤|1+a+b|+|1-a+b|+2|b|≤4M,得M≥21,即M 的最小值为21.。
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式课件
解析：因为 1＝a＋b≥2 ab， 1 所以 ab≤ . 4 1 答案： 4
利用基本不等式证明不等式 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1. 1 1 1 求证：a＋b＋c ≥9.
【证明】
法一：因为 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，
1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 所以a＋b＋c ＝ a ＋ b ＋ c b c a c a b ＝3＋a＋a＋b＋b＋ c＋c
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) a＋b (1)a，b 的算术平均数是 ab，几何平均数是 .( × ) 2 (2) 应 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 应 注 意 “ 一 正 、 二 定 、 三 相 等”．( √ ) (3)若 a2＋b2≥2ab 对任意 a，b 恒成立，则 a＋b≥2 ab也对任 意实数 a，b 恒成立．( × )
b c a c a b ＝1＋ ＋ ＋ ＋1＋ ＋ ＋ ＋1 a a b b c c
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋ c ＋b＋ c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当
a＝b
＝c 时，等号成立． 1 1 1 所以a＋b＋c ≥9.
利用基本不等式证明不等式的方法与技巧 (1)方法：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边 式子的结构特点进行恒等变形， 使之具备基本不等式的结构和 条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明． (2)技巧：对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合 起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用 基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到．
48×4 所以 y＝240x＋ ×40(0＜x≤48，x∈Z)， x 即
32 y＝240x＋ x ≥240×2
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课后导练基础达标1不等式|2x 2-1|≤1的解集为( )A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-2≤x≤2}C.{x|0≤x≤2}D.{x|-2≤x≤0}解析:由|2x 2-1|≤1得-1≤2x 2-1≤1.∴0≤x 2≤1,即-1≤x≤1.答案:A2不等式|x+log 3x|<|x|+|log 3x|的解集为( )A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析:∵x>0,x 与log 3x 异号,∴log 3x<0.∴0<x<1.答案:A3已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(-21,21),则t=_______________. 解析:|2x-t|<1-t,t-1<2x-t<1-t,2t-1<2x<1,t-21<x<21,∴t=0. 答案:0 4不等式|x+2|≥|x|的解集是________________.解法一:|x+2|≥|x|(x+2)2≥x 24x+4≥0x≥-1.解法二:在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象,根据图象可得x≥-1.解法三:根据绝对值的几何意义,不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x 到-2的距离不小于到0的距离,∴x≥-1.答案:{x|x≥-1}5已知不等式a≤||22x x +对x 取一切负数恒成立,则a 的取值范围是_____________. 解析:要使a≤||22x x +对x 取一切负数恒成立, 令t=|x|>0,则a≤tt 22+. 而222222=≥+tt t t ,∴a≤22.答案:a≤22综合应用6函数f(x)=∑=-191||n n x 的最小值为( )A.190B.171C.90D.45解析:由绝对值的几何意义知x=10时,f(x)取得最小值,此时f(x)的最小值为9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+1+2+…+9=2×(9+8+7+…+1)=90.答案:C7对于任意的实数x,不等式|x+1|≥kx 恒成立,则实数k 的取值范围是( )A.(-∞,0］B.［-1,0］C.［0,1］D.［0,+∞)解析:令f(x)=|x+1|,g(x)=kx,画出图象,易得k∈［0,1］时,|x+1|≥kx.答案:C8解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.思路分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,得x 1=-21,x 2=1,x 3=2. 解析:当x≤-21时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,∴x<-21. 当-21<x≤1时,原不等式可化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4(矛盾). 当1<x≤2时,原不等式可化为2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.又1<x≤2,∴1<x≤2.当x>2时,原不等式可化为2x+1+x-2+x-1>4,∴x>23. 又x>2,∴x>2.综上所述,原不等式的解集为{x|x<-21或x>1}. 9已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax+b=0有两个实根α、β.证明(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b 且|b|<4;(2)如果2|a|<4+b 且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2.证明:本题即证⎩⎨⎧<+<⇔⎩⎨⎧<<.4||,4||22||2||b b a βα 由韦达定理知a=-(α+β),b=αβ.故⎩⎨⎧<+<+⇔⎩⎨⎧<+<4||4||24||4||2αβαββαb b a ⎩⎨⎧<++<++⇔4||816)2(42222αββααββαβα⎩⎨⎧<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>--⇔.2||,2||160)4)(4(2222βαβαβα 拓展探究10已知a 、b 、c∈R ,函数f(x)=ax 2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)求证:|c|≤1;(2)求证:当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2;(3)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).(1)证明:由题意,|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)证明:当a=0时,g(x)=b 是常数函数.当a≠0时,g(x)=ax+b 在x∈［-1,1］上单调.无论哪种情形,只需证明|g(1)|≤2,|g(-1)|≤2.∵|g(1)|=|a+b|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤1+1=2,|g(-1)|=|a-b|=|f(-1)-c|≤|f(-1)|+|c|≤2,∴-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.(3)解析:∵a>0,∴g(x)在x∈［-1,1］上单调递增.∴g(x)max =g(1)=a+b=2.∴c=f(1)-g(1)=f(1)-2.∵|f(1)|≤1,∴f(1)≤1.∴c≤1-2=-1,即c≤-1.又|c|≤1,∴-1≤c≤1.∴c=-1.又在x∈［-1,1］上,-1≤f(x)≤1,即f(0)=c=-1≤f(x),∴f(0)是f(x)在x∈［-1,1］上的最小值.故对称轴ab 2-=0. ∴b=0.结合a+b=2得a=2.总之,f(x)=2x 2-1.备选习题11若不等式|x-2|+|x+1|>a 的解集为R ,则a 的范围是___________-.解析:设f(x)=|x-2|+|x+1|,要使f(x)>a 在x∈R 上恒成立,当且仅当f(x)min >a.而f(x)=|x-2|+|x+1|≥|x -2-(x+1)|=3,∴3>a,即a<3.答案:{a|a<3}12已知a 、b∈R ,α、β是关于x 的方程x 2+ax+b=0的两根,若|a|+|b|<1,求证:|α|<1,|β|<1.证明:依题意,得⎩⎨⎧=-=+,,b a αββα∴|α+β|=|a|,|αβ|=|b|.∵|a|+|b|<1,∴|α+β|+|αβ|<1.又∵|α|-|β|≤|α+β|,∴|α|-|β|+|αβ|-1<0,即(|α|-1)(|β|+1)<0.∴|α|<1.同理可证|β|<1.13已知适合不等式|x 2-4x+p|+|x-3|≤5的x 的最大值为3,求p 的值.解析:∵x≤3,∴|x 2-4x+p|+|x-3|≤5可化为|x 2-4x+p|≤x+2.若|x 2-4x+p|=-(x 2-4x+p),则不等式可化为x 2-3x+p+2≥0,解不出x≤3.∴|x 2-4x+p|=x 2-4x+p.此时原不等式可化为x 2-5x+p-2≤0,则x=3是方程x 2-5x+p-2=0的根.∴p=8.14已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c,且|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1,|f(1)|≤1.求证:当-1≤x≤1时,|f(x)|≤45. 证明:本题可由如下三步解决: 首先,由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++=).0(),1(21)1(21),0()1(21)1(21)0()1()1(f c f f b f f f a c f c b a f c b a f 其次,f(x)=ax 2+bx+c=［21f(1)+21f(-1)-f(0)］x 2 +［21f(1)-21f(-1)］x+f(0)=21f(-1)x(x-1)+21f(1)x(x+1)+(1-x 2)f(0). 最后,|f(x)|≤21|x(x-1)||f(-1)|+21|x(x+1)||f(1)|+|1-x 2||f(0)|≤21|x|(1-x)+21|x|(1+x)+(1-x 2)=-x 2+|x|+1=-(|x|-21)2+45≤45. 15已知函数f(x)、g(x)(x∈R ),设不等式|f(x)|+|g(x)|<a(a>0)的解集为M,不等式|f(x)+g(x)|<a(a>0)的解集为N,则( )A.NM B.M=N C.M N D.M ⊆N解析:特例法:设f(x)=3x,g(x)=-2x,a=5,则有|3x|+|-2x|<5⇒M:-1<x<1.|3x-2x|<5⇒N:-5<x<5,∴M ⊆N.故选D.答案:D16(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:|ba ab --1|>1; (2)求实数λ的取值范围,使不等式|b a ab --λλ1|>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实数a 、b 恒成立;(3)已知|a|<1,若|ab b a ++1|<1,求b 的取值范围. (1)证明:|1-ab|2-|a-b|2=1+a 2b 2-a 2-b 2=(a 2-1)(b 2-1).∵|a|<1,|b|<1,∴a 2-1<0,b 2-1<0.∴|1-ab|2-|a-b|2>0.∴|1-ab|>|a-b|,|||1|b a ab -->1. (2)解析:∵|b a ab --λλ1|>1⇔|1-abλ|2-|aλ-b|2=(a 2λ2-1)(b 2-1)>0, ∵b 2<1,∴a 2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a 恒成立.当a=0时,a 2λ2-1<0成立;当a≠0时,要使λ2<21a 对于任意满足|a|<1的a 恒成立,而21a>1, ∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1. (3)解析:|ab b a ++1|<1⇔(abb a ++1)2<1⇔(a+b)2<(1+ab)2⇔a 2+b 2-1-a 2b 2<0⇔(a 2-1)(b 2-1)<0. ∵|a|<1,∴a 2<1.∴1-b 2>0,即-1<b<1.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法课堂导学案新人教A版
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)【例1】解下列不等式:(1)1<|x+2|<5;(2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式||x2|1x21或x1xx 2|55x257x3.3,故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式0,x21x 2x20,或,51x 2 5x2, 1xx2,或-1<x<3或-7<x<-3.37x 3∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式x4,3x x4x3,4或83x x48,x 或x 3,3x48x4,12x或8748x 3,3,x或2x 7.79∴x>或x<.229∴原不等式的解集为{x|x<或x>272}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0, 构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=2x94, 1,4x3,2x 7,x 3.作出函数的图象如图.从图象可知当x> 温馨提示729或x<时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>272或x<9}.21在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方 法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练 1 解下列不等式:(1)| 3x x 24|≤1;(2)|x+3|-|2x-1|> x 2+1.解析:(1)原不等式2x 4 0 9x(x22229x (x4) 2x2x17x4216x2x 2 x 1或216-1≤x≤1 或 x≤-4 或 x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1 或 x≤-4 或 x≥4}. (2)由 x+3=0,得 x 1=-3, 1由 2x-1=0,得 x 2= .2x①当 x<-3时,不等式化为 x-4> +1,解得 x>10,而 x<-3,故此时无解;21 x2 2②当-3≤x< 时,不等式化为 3x+2> +1,解得 x>,这时不等式的解为 <x< 2 25 51x1③当 x≥ 时,不等式化为-x+4> +1,即 x<2,这时不等式的解为 ≤x<2.22 22 综合上述,原不等式的解集为{x|<x<2}. 5变式提升 1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,1 2;2x 即5x 5x5 51,1.2x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x> 7a2有解条件为7a2<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x< a272有解条件为a27>4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理:∵|x-4|+|x-3|=|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式|x2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式22xx990,x 32x9或x290,x3由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式x3x(x3)x9x23xx333x或2≤x≤4.4∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}.温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,f f (x)(x)0,(f x)或g(x)f(x)0,g(x).)g(x0,另一种则是转化为f(x)来求.g(x)g(x)当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-1<x< 1 5 ,∴0≤x<1 5 .由①②知原不等式的解集为{x|x< 变式提升215 }.(1)解不等式|x2-3x+2|>x2-3|x|+2.3解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x2-3x+2|和y=x2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}.(2)解不等式|x+1|(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7.证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或b b|f()|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当||≤2时,有|f( 2a2a由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.b)|≤7. 2a由fffa(0c,)(1)abb c,得(1)a b c,c1212[f(1)[f(1)f(0).f (1)2f (1)],f(0)],∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7.∵|b|=12|f(1)-f(-1)|≤12(|f(1)|+|f(-1)|)≤12(1+1)=1,∴当|b|≤2时,|f(2a b)|=|2a4acb24a|=|cb2|=|c4ab·2ab2|≤|c|+|b2a|·|b|21+2×12=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x2+ax+b(x、a、b∈R,a、b是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不1小于.211证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于,即有|f(1)|< ,|f(2)|<22111于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<+ +2×=2.22212,|f(3)|<12.4又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于变式提升312. 已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a2+b2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤22≤f(x)≤2f(x)min≥2且f(x)max≤2.若a>0,则f(x)max=f(1)=a+b≤2(a2b2)2,f(x)min=f(-1)=-a+b≥2[(a2)b2]2.若a=0,则f(x)=b且b2=1,∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max=f(-1)=-a+b≤2(a2b2)2,f(x)min=f(1)=a+b≥2(a2b2)2.综上,知不等式成立.证法二:|f(x)|2-( 2)2=(ax+b)2-2(a2+b2)=a2x2+b2+2abx-2(a2+b2)≤a2+b2+2abx-2(a2+b2)=2abx-a2-b2≤2abx-a2x2-b2=-(ax-b)2≤0,∴|f(x)|≤2.5。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第2节第2课时绝对值不等式的解法创新应用课件新人教a版选修45
绝对值不等式的常见类型及其解法： (1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当 a＞0 时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a 或 f(x)＜－a； ②当 a＝0 时，|f(x)|＜a 无解． |f(x)|＞a⇔f(x)≠0； ③当 a＜0 时，|f(x)|＜a 无解． |f(x)|＞a⇔f(x)有意义．
[问题思考]
1．|x|以及|x－a|± |x－b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原 点 O 的距离； |x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数 x 的点 与表示数 a，b 的点的距离之和(差)．
2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的 不等式的解集？
提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋5|＞7＋x； 1 1 (3) 2 ≤ . x －2 |x|
[ 精讲详析 ]
本题考查较简单的绝对值不等式的解
法．解答本题(1)可利用公式转化为 |ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋ b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分 两种情况去掉绝对值符号， 还可用平方法转化为不含绝对值 的不等式． (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． (1)法一：原不等式等价于不等式组
(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2 ⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0. (3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)， ②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或 f(x)＜－g(x)(其中 g(x) 可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决， 就显得较复杂．
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法例题与探
1.2.2 绝对值不等式的解法典题精讲【例1】不等式|3x-2|>4的解集是（ ） A.{x|x>2} B.{x|x<-32} C.{x|x<-32或x>2} D.{x|-32<x<2} 思路解析：可以利用|ax+b|≥c 型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法.方法一：由|3x-2|>4,得3x-2<-4或3x-2>4. 即x<-32或x>2. 所以原不等式的解集为{x|x<-32或x>2}. 方法二：（数形结合法）：画出函数y=|3x-2|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-32,32,32,23x x x x 的图象，如下图所示：|3x-2|=4,解得x=2或x=-32, ∴|3x -2|>4时，x<-32或x>2. ∴原不等式的解集为{x|x<-32或x>2}.答案：C绿色通道：本题题型已成为“公式”型的问题，即解不等式时，套用|ax+b|≥c 型的转化方法，进而解之，而数形结合是从函数图象的角度解释不等式，从中可找到适合的x.本题是一道选择题，从解选择题的方法的角度来看，本题还可以用排除法，即比较选择支间范围的差异，从中取值代入不等式验证，然后对选项进行筛选.比如A 项与B 项对比，取x=3代入不等式可知原不等式成立，因而排除B.依此类推，可选出正确选项. 【变式训练】 不等式4<|3x-2|<8的解集为____________.思路解析：本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组，可分别解出其解集，然后取交集即可. 解法一：由4<|3x-2|<8,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<->-<⇒⎩⎨⎧<-<->--<-⇒⎩⎨⎧<->-.3102,232.8238,423423.8|23|,4|23|x x x x x x x x 或或 ∴-2<x<-32或2<x<310. ∴原不等式的解集为{x|-2<x<-32或2<x<310} 解法二：由4<|3x-2|<8,得4<3x-2<8或-8<3x-2<-4.解之得2<x<310或-2<x<-32. ∴原不等式的解集为{x|2<x<310或-2<x<-32}.答案：{x|-2<x<-32或2<x<310}【例2】不等式|5x-x 2|<6的解集为（ ）A.{x|x<2或x>3}B.{x|-1<x<2或3<x<6}C.{x|-1<x<6}D.{x|2<x<3}思路解析：可以利用|x|<a 的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形法求结果.方法一：由|5x-x 2|<6,得|x 2-5x|<6.∴-6<x 2-5x<6.∴⎩⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<+->--⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-.61,32.0)1)(6(,0)3)(2(.065,06522x x x x x x x x x x x 或∴-1<x<2或3<x<6.∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}方法二：作函数y=x 2-5x 的图象.|x 2-5x|<6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自变量的集合.解方程 x 2-5x=6,得x 1=-1,x 2=6. x 2-5x=-6,得x 1′=2,x 2′=3.即得到不等式的解集是{x|-1<x<2或3<x<6}. 答案：B绿色通道：利用数形结合，由函数图象求解集，因而图象的画法就显得重要了，对于本题，y=|x 2-5x|表示y=x 2-5x 在x 轴之上的部分和y=x 2-5x 位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方的部分.求解集时，应看一看函数图象与直线y=6的交点个数问题，然后才能求解.【变式训练】 解不等式|x 2-2x|<3.解法一：由|x 2-2x|<3,得-3<x 2-2x<3,所以x 2-2x+3>0,且x 2-2x-3<0.因为x 2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以x 2-2x-3<0. 解得-1<x<3.所以不等式的解集是(-1,3).解法二：作函数y=x 2-2x 的图象，|x 2-2x|<3表示函数图象中在直线y=-3和直线y=3之间相应部分的自变量的集合，解方程 x 2-2x=3,得x 1=-1,x 2=3.即不等式的解集是（-1，3）.【例3】 解不等式|x-x 2-2|>x 2-3x-4. 解法一：原不等式等价于 x-x 2-2>x 2-3x-4或x-x 2-2<-(x 2-3x-4). ∴原不等式的解集为{x|x>-3}.解法二：∵|x -x 2-2|=|x 2-x+2|, 而x 2-x+2=(x-21)2+47>0, ∴|x -x 2-2|=|x 2-x+2|=x 2-x+2,故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4.∴x>-3.∴原不等式的解集为{x|x>-3}.绿色通道：本题形如|f(x)|>g(x),我们可以借助形如|ax+b|>c 的解法转化为f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),当然|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).而如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解.【变式训练】 解不等式|x 2-5x+6|>x 2-4. 解法一：（分段讨论法）：当x 2-5x+6≥0,即x≤2或x≥3时， x 2-5x+6>x 2-4⇒x<2.当x 2-5x+6<0,即2<x<3时， -(x 2-5x+6)<x 2-4,∴21<x<2. ∴x 不存在.综上，可知原不等式的解集为x<2.解法二：由|x 2-5x+6|>x 2-4,得 x 2-5x+6<-(x 2-4)或x 2-5x+6>x 2-4,即2x 2-5x+2<0或5x<10. ∴21<x<2或x<2. ∴原不等式的解集为{x|21<x<2}. 【例4】 解不等式|x+1|+|x-1|≥3.思路分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x+a|+|x+b|的代数式，可以认为是分段函数.解法一：如图，设数轴上与-1，1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间［-1，1］上的数都不是不等式的解.设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x.∴-1-x+1-x=3,得x=23-. 同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离和为3，B 1对应数轴上的x, ∴x -1+x-(-1)=3.∴x=23. 从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的位点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3. 所以原不等式的解集是(-∞,-23］∪［23,+∞). 解法二：当x≤-1时，原不等式可以化为-（x+1)-(x-1)≥3, 解得：x≤-23. 当-1<x<1时，原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立，无解. 当x≥1时，原不等式可以化为 x+1+x-1≥3. 所以x≥23. 综上，可知原不等式的解集为{x|x≤-23或x≥23}. 解法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.1,32;11,1;1,32x x x x x 作出函数的图象（如下图）函数的零点是-23,23. 从图象可知，当x≤-23或x≥23时y≥0,即|x+1|+|x-1|-3≥0. 所以原不等式的解集为(-∞,-23］∪［23,+∞).绿色通道：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中关键是找到一些特殊的点如A 1，B 1；第三种解法中，准确画出图象，是y=|x+1|+|x-1|-3的图象，而不是y=|x+1|+|x-1|的，其次函数的零点要找准.这些都是求解集的关键.【变式训练】 解不等式|x+1|+|x-1|≤1.解：由原不等式，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-≤-≤≤-.1,12;11,12;1,12x x x x x解集为∅. 问题探究问题：汽车沿道路AE 行驶，AE 是由AB （长10 km ），BC （长5 km ），CD （长5 km),DE （长6 km ）组成，根据时刻表，汽车于9时从A 处出发，经过B 、C 、D 等处的时刻分别是,519时，839时，932时，如果汽车以匀速v 行驶，为了使它经过B 、C 、D 等处的时刻与汽车时刻表的差的绝对值之和，再加上从A 到E 的行驶时间不超过51.7分钟，那么汽车行驶的速度v 应是怎样的？ 导思：绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，要等价转化，需要先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论。
2018_2019版高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5
做一做3 不等式|x+2|+|x-3|>4的解集为 . 解析：因为|x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5,即|x+2|+|x-3|的最小值 为5,所以不等式|x+2|+|x-3|>4恒成立,即解集为R. 答案：R
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. 3-������ 3+������ ������ < ������ < . ( × ) (1)关于x的不等式|2x-3|<m的解集为 2 2 (2)关于x的不等式|x-a|+|x-b|>m的解集不可能为空集. ( √ ) (3)关于x的不等式|x-a|-|x-b|>m的解集不可能是全体实数集R. (× ) (4)不等式|x2-2x-3|>0的解集为全体实数集R. ( × )
3.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法 有三种不同的解法: (1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想.理解 绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分 段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的 正、负性,进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想. 正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考虑函数的增减性) 是关键. 特别提醒对于|x-a|-|x-b|≤c和|x-a|-|x-b|≥c型的不等式,也可采用 上述三种方法进行求解,即(1)几何意义法;(2)零点分段法;(3)构造函 数法.
探究一
探究二
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式习题课件新人教A版选修4_5
法二：因为1x＋y＋2 1＝2，所以121x＋y＋2 1＝1，所以 2x＋y＋1 －1＝121x＋y＋2 1(2x＋y＋1)－1＝12(2＋y＋4x1＋y＋x 1＋2)－1≥ 12×(4＋2 4)－1＝ 3当且仅当y＋4x1＝y＋x 1，即x＝1，y＝1时等号成立.
7．已知 x＋3y－2＝0，则 3x＋27y＋1 的最小值是________．
解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2 3x·33y＋1＝7，当且仅当 x ＝3y，即 x＝1，y＝13时，等号成立． 答案：7
8．要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器．已 知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________元． 解析：设该长方体容器的长为 x m，则宽为4x m．又设该容器 的造价为 y 元，则 y＝20×4＋2x＋4x×10，即 y＝80＋20x＋4x (x＞0)．因为 x＋4x≥2 x·4x＝4(当且仅当 x＝4x，即 x＝2 时取 “＝”)，所以 ymin＝80＋20×4＝160(元)． 答案：160
亦不成立．对于 D，令 b＝4，a＝2，显然不对，故选 C.
2．已知 x＞0，则 2x＋8x的最小值和取得最小值时的 x 值分别
是( )
A．8，2
B．8，4
C．16，2
D．16，4
解析：选 A.2x＋8x≥2 2x·8x＝8，当且仅当 2x＝8x，即 x＝2
时，取“＝”号，故选 A.
3．下列说法中，正确的个数是( )
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距
离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正
比．如果在距离车站 10 km 处建仓库，这两项费用 y1，y2 分别
2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法 新人教A版
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式有 三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区 间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法 直观，但只适用于数据较简单的情况．
(2)分段讨论法． 转化为不含绝对值的不等式求解． (3)数形结合法． 从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)|x|＜1 的解集为{x|－1＜x＜1}．( ) (2)|x|＜1 的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 1 的点的集合．( ) (3)|x|≥1 的解集是{x|x≥1 或 x≤－1}．( ) (4)|x|＞1 的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 1 的点的集合．( )
1．|x|＞a 与|x|＜a(α＞0)型的不等式 当 a＞0 时，不等式|x|＞a 的解集是{x|x＞a 或 x＜－ a}，不等式|x|＜a 的解集是{x|－a＜x＜a}．
2．|ax＋b|＞c，(c＞0)与|ax＋b|＜c，(c＞0)型的不等
式 不等式|ax＋b|＞c 的解集是{x|ax＋b＞c 或 ax＋b＜－
＜－4或x＞2.
答案：A
3．(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－
1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为2－x≥0，所以x≤2，因为|x－1|≤1，所
以0≤x≤2.因为当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一
定有x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不
当 x≥ 1－a时，f(x)＝x＋ a－x＋ 1－a＝ a＋ 1－a.
所以[f(x)]max＝ a＋ 1－a.(7 分)
2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式
1．绝对值三角不等式 绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边． ②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种了解，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；②点B 不在A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s 3. 求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[思路点拨] 原式――→变形 重新分组――→定理 转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 [证明] |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s 3， 所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .含绝对值不等式的证明题两种类型及解法(1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；②若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；③若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y <23； ④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)． 其中正确的命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A ∵|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a |＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确；∵1>|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |<|b |＋1，②正确；∵|y |>3，∴1|y |<13. 又∵|x |<2，∴|x ||y |<23，③正确； ⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |) ≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |. ∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确． 2．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.证明：①若|a |>|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边． ②若|a |<|b |，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若|a |＝|b |，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立.[例2] (1)(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)只要a 不大于|x －3|＋|x －4|的最小值，则|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，而|x －3|＋|x －4|＝|x －3|＋|4－x |≥|x －3＋4－x |＝1，当且仅当(x －3)(4－x )≥0，即3≤x ≤4时等号成立．∴当3≤x ≤4时，|x －3|＋|x －4|取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：5 14．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|的最小值为a，求a的值．解：因为|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)|＝6，当且仅当－1≤x≤5时，等号成立，所以f(x)的最小值等于6，即a＝6.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a<(|x＋1|－|x－2|)min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．2．若|a－c|<b，则下列不等式不成立的是( )A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|C．b>|c|－|a| D．b<||a|－|c|| 解析：选D ∵|a－c|<b，令a＝1，c＝2，b＝3.则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|<|b|＋|c|成立．|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|<|a|＋|b|成立．||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b>||c|－|a||成立．故b<||a|－|c||不成立．3．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选B|a＋b||a|＋|b|<1⇔|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<|ab|⇔ab<0.4．“|x－a|<m且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵|x－a|<m，|y－a|<m，∴|x－a|＋|y－a|<2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|<2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|<2×2.5，但|3－(－2)|>2.5，|1－(－2)|>2.5，∴|x－y|<2m不一定有|x－a|<m且|y－a|<m，故“|x－a|<m且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的充分不必要条件．5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：[－2,4]6．若ab>0，则下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|中，正确的有________．解析：∵ab>0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.∴①④正确．答案：①④7．下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x>1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________．(填序号)解析：log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0时，b a 与a b同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上可知①③④正确．答案：①③④8．设a ，b ∈R ，ε>0，|a |<ε4，|b |<23ε. 求证：|4a ＋3b |<3ε. 证明：∵|a |<ε4，|b |<23ε，∴|4a ＋3b |≤|4a |＋|3b |＝4|a |＋3|b |<4·ε4＋3·2ε3＝3ε. 9．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，且|a |≤1，求证：|f (x )|≤54. 证明：∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1，又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 10．设函数y ＝|x －4|＋|x －3|.求(1)y 的最小值；(2)使y <a 有解的a 的取值范围；(3)使y ≥a 恒成立的a 的最大值．解：(1)∵y＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，当且仅当3≤x≤4时取等号，∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1.要使y<a有解，∴a>1.即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可．∴a max＝1.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式素材1新人教A版选修4_5
1.2 绝对值不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立.联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.（2）|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示).记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了.3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有.学法一得要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有：|x|<a⇔-a<x<a，因此，不等式|x|<a的解集是(-a,a)；|x|>a⇔x<-a或x>a，因此，不等式|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞).1.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|<a或|x|>a的不等式的解法即可.2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）分区间讨论法；（3）构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解.典题·热题知识点一： 与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1 若|x-a|<m,|y-a|<n ，则下列不等式一定成立的是（ ）A.|x-y|<2mB.|x-y|<2nC.|x-y|<n-mD.|x-y|<n+m思路分析：注意观察比较|x-y|与|x-a|，|y-a|之间的关系，不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为：|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x -a|+|y-a|<m+n,故选D.答案：D巧解提示对某些式子进行适当的变形，以便创造条件利用某些定理、公式来解题，这是一种常用的技巧，如此题求解过程中的|x-y|=|x-a-(y-a)|就是变形，而变形的基础是必须要熟悉公式.例2 已知a 、b 、c 、d 都是实数，且a 2+b 2=m 2，c 2+d 2=n 2（m>0,n>0)，求证：|ac+bd|≤222n m +. 思路分析：证明此题时，可将ac 、bd 分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了. 证明：∵a、b 、c 、d∈R , ∴|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤222222d b c a +++ =222222222r R d c b a +=+++, ∴|ac+bd|≤222R r +. 误区警示如果利用ab≤222b a +来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式|ab|≤222b a +来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用. 知识点二： 绝对值不等式的解法例3 解关于x 的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R ).思路分析：要注意对2m-1的正负情况进行讨论.解：若2m-1≤0，即m≤21，则|2x-1|<2m-1恒不成立，此时，原不等式无解； 若2m-1>0，即m>21，则-(2m-1)<2x-1<2m-1，所以1-m<x<m. 由上可得：当m≤21时，原不等式的解集为∅， 当m>21时，原不等式的解集为：{x|1-m<x<m}. 方法归纳对于不等号右侧是含有参数的式子的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论来求解.例4 解不等式3≤|x -2|<4.思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解：原不等式等价于⎩⎨⎧<-≥-)2.(4|2|)1(,3|2|x x由（1）得x-2≤-3或x-2≥3，∴x≤-1，或x≥5.由（2）得-4<x-2<4，∴-2<x<6.如上图所示，原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.误区警示有些同学求解这类问题时，为了图省事，往往不爱通过画图来寻找解集，总爱耍点小聪明，这是造成求解出错的主要原因.例5 解不等式|x+7|-|x-2|≤3.思路分析：解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据求解不等式的结构，选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解.图1解：［方法一］ |x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应的点的距离与到2对应的点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x=-1（如图1所示）.从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1，即x∈(-∞,-1］.［方法二］ 令x+7=0，x-2=0得x=-7，x=2.①当x<-7时，不等式变为-x-7+x-2≤3，∴-9≤3成立,∴x<-7.图2②当-7≤x≤2时，不等式变为x+7+x-2≤3，即2x≤-2，∴x≤-1，∴-7≤x≤-1.③当x>2时，不等式变为x+7-x+2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅.∴原不等式的解集为(-∞,-1］.［方法三］ 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0，构造函数y=|x+7|-|x-2|-3，即y=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<-.2,6;27,22;7,12x x x x .作出函数的图象（如图2），从图可知，当x≤-1时，有y≤0，即|x+7|-|x-2|-3≤0，所以，原不等式的解集为(-∞,-1］.巧妙变式针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥”，还可以将不等号右边的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题·探究误区陷阱探究问题1 对此题“写出不等式|2x-1|<3的解集并化简”，某同学的错解如下：不等式|2x-1|<3的解集是{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∪{x|2x -1>-3}={x|x<2}∪{x|x>-1}={x|-1<x<2}.探究过程:这位同学解得的结果是正确的，但解法不对.解法中有两处错误，但却歪打正着得出了正确的结果.首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合{x|2x-1<3}与{x|2x-1>-3}的中间不应当用并的符号“∪”，而应改为“∩”.这两个集合是应该取交集的.另外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.{x|x<2}∪{x|x>-1}的结果应为{x|-∞<x<+∞}，而不是{x|-1<x<2}.探究结论:如果按照这位同学的思路求解，可以修改为：不等式|2x-1|<3的解集是： {x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∩{x|2x -1>-3}={x|x<2}∩{x|x>-1}={x|-1<x<2}.不过，更简单的解法应是：不等式|2x-1|<3的解集是：{x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2}.思维发散探究问题2 已知a 、b 、c 是实数，函数f(x)=ax 2+bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，试探究当x∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.探究过程:这是一个通过关联二次函数、一次函数考查不等式的变换能力的问题，因此在证明中要注意合理应用绝对值不等式的性质定理，由于g(x)是一次函数，可将|g(x)|≤2转化为g(-1)与g(1)与2的关系加以证明，也可挖掘g(x)与f(x)的隐含关系，构造函数模型，寻求整体突破.探究结论:［方法一］ 当a>0时g(x)=ax+b 在［-1,1］上是增函数，∴g(-1)≤g(x)≤g(1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1， ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2，g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2， ∴|g(x)|≤2.当a<0时，g(x)=ax+b 在［-1,1］上是减函数， ∴g(1)≤g(x)≤g(-1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1， ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2， g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2， ∴|g(x)|≤2.当a=0时，g(x)=b ，f(x)=bx+c ，∵-1≤x≤1，∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2. 综上所述,当x∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.［方法二］ ∵x=4)1()1(22--+x x ， ∴g(x)=ax+b=a ［(21+x )2-(21-x )2］+b(21+x -21-x )=a ［(21+x )2+b(21+x )+c ］-［a(21-x )2+b(21-x )+c ］ =f(21+x )-f(21-x ).当-1≤x≤1时，有0≤21+x ≤1，-1≤21-x ≤0，∴|g(x)|=|f(21+x )-f(21-x )|≤|f(21+x )|+|f(21-x )|≤2，∴|g(x)|≤2.。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2 绝对值不等式2.绝对值不等式的解法练习1．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B等于( ) A．{x|2≤x≤3} B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x≤3} D．{x|－1＜x＜3}2．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是( )A．{x|x＞32} B．{x|32＜x≤3}C．{x|x≥3} D．{x|－3＜x≤0}3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)4．设|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是( )A．a2B．0＜a2C．a2D．以上都不正确5．已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上是增函数，则不等式log a|x＋1|＞log a|x－3|的解集为( )A．{x|x＜－1} B．{x|x＜1}C．{x|x＜1且x≠－1} D．{x|x＞1}6．不等式|1||1|xx-+≥1的解集为________．7．不等式|2x－1|＋x＞1的解集是________．8．关于x的不等式1＜|2x＋1|≤3的解集为________．9．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．10．已知实数a，b满足：关于x的不等式|x2＋ax＋b|≤|2x2－4x－16|对一切x∈R均成立．(1)请验证a＝－2，b＝－8满足题意；(2)求出所有满足题意的实数a，b，并说明理由；(3)若对一切x＞2，均有不等式x2＋ax＋b≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．参考答案1.答案：C A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x＞2或x＜－1}．∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．2.答案：A 当x≤－3时，有－(x＋3)＋(x－3)＞3，即－6＞3，无解．当－3＜x＜3时，有x＋3＋x－3＞3，则x ＞32，∴32＜x＜3.当x≥3时，有x＋3－(x－3)＞3，即6＞3，∴x≥3.综上，不等式的解集为{x|x＞32 }．3．答案：A 由绝对值的几何意义得，|x＋3|－|x－1|的最大值为4.∴a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.4.答案：B|x－2|＜a A＝(2－a,2＋a)，|x2－4|＜1B＝(5,3)--∪(3,5)．A是B的充分条件必有A B.即2523aa⎧-≥-⎪⎨+≤-⎪⎩2523aa⎧≤+⎪⎨≤--⎪⎩a≤23--.∵a≤23--与a＞0矛盾，∴舍去．或2325aa⎧-≥⎪⎨+≤⎪⎩2352aa⎧≤-⎪⎨≤-⎪⎩a52.∴0＜a52.5. 答案：C 因为a＞0，且a≠1，所以2－ax为减函数．又因为y＝log a(2－ax)在[0,1]上是增函数，所以0＜a＜1，则y＝log a x为减函数．所以|x＋1|＜|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0.由|x＋1|＜|x－3|，得(x＋1)2＜(x－3)2，即x2＋2x＋1＜x2－6x＋9，解得x＜1.又x≠－1且x≠3，所以解集为{x|x＜1且x≠－1}．6.答案：(－∞，－1)∪(－1,0]7.答案：{x|x＞23或x＜0} 方法一：把|2x－1|＋x＞1移项，得|2x－1|＞1－x，把此不等式看作|f(x)|＞a的形式得2x－1＞1－x或2x－1＜－(1－x)，∴x＞23或x＜0，故解集为{x|x＞23或x＜0}．方法二：用分类讨论的方法去掉绝对值符号．当x＞12时，2x－1＋x＞1，∴x＞23；当x≤12时，1－2x＋x＞1，∴x＜0.综上得原不等式的解集为{x|x＞23或x＜0}．8.答案：{x|0＜x≤1或－2≤x＜－1} 原不等式可化为|21|3,|21| 1.xx+⎧⎨+>⎩≤①②解不等式①，得－3≤2x＋1≤3，∴－2≤x≤1.解不等式②，得2x＋1＞1或2x＋1＜－1，∴x＞0或x＜－1.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}∩{x|x＞0或x＜－1}＝{x|0＜x≤1或－2≤x＜－1}．9.解：(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝15,2133,4,25, 4.x xx xx x⎧--≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象(图象略)，它与直线y＝2的交点为(－7,2)和(53，2)，所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪(53，＋∞)．(2)由y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，当x＝12-时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值92-.10．解：(1)当a＝－2，b＝－8时，有|x2＋ax＋b|＝|x2－2x－8| ≤2|x2－2x－8|＝|2x2－4x－16|.(2)在|x2＋ax＋b|≤|2x2－4x－16|中，分别取x＝4，x＝－2，得|164|0,|42|a ba b++⎧⎨-+⎩≤≤0,所以1640,420,a ba b++=⎧⎨-+=⎩所以a＝－2，b＝－8，因此满足题意的实数a，b只能是a＝－2，b＝－8.(3)由x2＋ax＋b≥(m＋2)x－m－15(x＞2)，所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∴对一切x＞2，均有不等式2471x xx++-≥m成立，而2471x xx-+-＝(x－1)＋41x-－2≥2＝2(当x＝3时等号成立)，∴实数m的取值范围是(－∞，2]．。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2 绝对值不等式 1自我小测1．已知x 为实数，且|x －5|＋|x －3|＜m 有解，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ≥1 C．m ＞2 D ．m ≥22．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ；命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是() A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．m ≤n4．设|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |＞2B ．|a ＋b |＋|a －b |＜2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小5．下列不等式中恒成立的个数是( )①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a ＜c b (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋mb ＋m ＞a b (a ，b ，m ＞0，a ＜b )；④|a ＋b |＋|b －a |≥2a .A ．4B ．3C ．2D ．16．若不等式|x ＋1|＋|x －2|＜a 无实数解，则a 的取值范围是________．7．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为________．8．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上)．9．已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．10．如果结论“|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |”成立，请问不等式|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |成立吗？ |a ＋b ＋c |1＋|a ＋b ＋c |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |＋|c |1＋|c |成立吗？说明理由．参考答案1．解析：∵|x －5|＋|x －3|≥|x －5＋3－x |＝2，∴|x －5|＋|x －3|的最小值为2.∴要使|x －5|＋|x －3|＜m 有解，则m ＞2.答案：C2．解析：显然a 与b 的距离可以很近，满足|a －b |＜2h ，但此时a ，b 与1的距离可以很大，因此甲不能推出乙；若|a －1|＜h ，|b －1|＜h ，则|a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故乙可以推出甲．因此甲是乙的必要不充分条件．答案：B3．解析：由绝对值三角不等式，知|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.∴|a |－|b ||a －b |≤1≤|a |＋|b ||a ＋b |. 答案：D4．解析：当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2，当(a ＋b )(a －b )＜0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.综上可知，|a ＋b |＋|a －b |＜2.答案：B5．解析：①不成立，当x ＜0时不等式不成立；②成立， a ＞b ＞c ＞0 a ab ＞b ab 即1b ＞1a， 又由于c ＞0，故有c b ＞c a ；③成立，因为a ＋m b ＋m －a b ＝(b －a )m b (b ＋m )＞0(a ，b ，m ＞0，a ＜b )，故a ＋m b ＋m ＞a b； ④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a ＋b |＋|b －a |≥|(a ＋b )－(b －a )|＝|2a |≥2a ，故选B.答案：B6．a ≤37．解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2，当且仅当4≤x ≤6时，等号成立． 答案：28．解析：∵x ＞1，∴log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0，b a 与a b同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确；综上①③④正确．答案：①③④9．解：(1)函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a ＞0， 即|x －1|＋|x －5|＞a ，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，由|x －1|＋|x －5|≥|x －1＋5－x |＝4，可知g (x )min ＝4，∴f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4. ∵|x －1|＋|x －5|－a ＞0，∴a ＜g (x )min 时，f (x )的定义域为R .∴a ＜4，即a 的取值范围是(－∞，4)．10．解：两个不等式都成立．因为|a ＋b |1＋|a ＋b |＝1－11＋|a ＋b |≤1－11＋|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b | ≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b | 故|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |成立． 因为|a ＋b ＋c |1＋|a ＋b ＋c |＝1－11＋|a ＋b ＋c |≤1－11＋|a |＋|b |＋|c |＝|a |＋|b |＋|c |1＋|a |＋|b |＋|c |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|c |＋|b |1＋|a |＋|b |＋|c |＋|c |1＋|a |＋|b |＋|c | ≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |＋|c |1＋|c |所以|a ＋b ＋c |1＋|a ＋b ＋c |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |＋|c |1＋|c |成立．。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等
二 绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义．2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义．3．三个实数的绝对值不等式及应用．1．绝对值的几何意义(1)实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为____的点A 到______的距离．(2)对于任意两个实数a ，b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a －b |的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的______，即线段AB 的______．(1)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，当a >0时，0，当a ＝0时，－a ，当a <0时.(2)对任意实数a ，都有|a |＝a 2.(3)实数积和商的绝对值运算法则： |ab |＝|a |×|b |，|a b |＝|a ||b |(b ≠0)． 2．绝对值三角不等式(1)如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当________时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a ，b 换成向量a ，b ，当向量a ，b 不共线时，由向量加法的三角形法则，向量a ＋b ，a ，b 构成三角形，因此有向量形式的不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |，它的几何意义是______________．【做一做】 若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |＜2hB ．|x －y |＜2kC ．|x －y |＜h ＋kD ．|x －y |＜|h －k |3．三个实数的绝对值不等式如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．答案：1．(1)a 原点(2)距离 长度2．(1)ab ≥0(2)三角形两边之和大于第三边【做一做】 C |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|a －y |＜h ＋k .3．(a －b )(b －c )≥01．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的，|a |－|b |不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确．题型一 绝对值三角不等式的性质【例1】 若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①|x lg n n ＋1|＜5|lg n n ＋1|； ②|x |lgn n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|； ④|x |lg n n ＋1＜5|lg nn ＋1|. 其中，能够成立的有______．反思：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了．题型二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】 设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋b x 2|＜2. 分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．题型三 绝对值三角不等式的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．反思：此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在．答案：【例1】 ④ ∵0＜n n ＋1＜1， ∴lg nn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴可以否定①②③，而|x |lg nn ＋1＜0，故④成立．【例2】 证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |，∴|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2. ∴|a x ＋b x 2|＜2.故原不等式成立．【例3】 解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数． 证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－x x 2＋1. 取－1≤x 1＜x 2≤1.则u 1－u 2＝x 2－x 1－x 1x 2x 21＋x 22＋， ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.由u ＞0，lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上是减函数．(2)∵|t －16|－|t ＋16|≤|(t －16)－(t ＋16)|＝13. |t ＋16|－|t －16| ≤|t ＋16－(t －16)|＝13， ∴－13≤|t －16|－|t ＋16|≤13. 由(1)的结论，有f (13)≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤f (－13)．而f (13)＝lg 710，f (－13)＝lg 1310， ∴lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310.1．设ab ＞0，下面四个不等式①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④2．已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |3．不等式||||||a b a b +-≥1成立的充要条件是________． 4．设|a |≤1，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，证明|f (x )|≤54.答案：1．C ∵ab ＞0，∴a ，b 同号．∴|a ＋b |＝|a |＋|b |.∴①④正确．2．B3．|a |＞|b | ||||||a b a b +-≥1||(||||)||||a b a b a b +---≥0(|a |－|b |)[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.4．证明：|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－x 2＋|x |＝215(||)24x --+ ≤54，即|f (x )|≤54.。
近年-高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式高效演练新人教
2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式1.2.1 绝对值三角不等式高效演练新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式1.2.1 绝对值三角不等式高效演练新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2。
1 绝对值三角不等式A级基础巩固一、选择题1．若|x－m|＜ε,｜y－m|＜ε,则下列不等式中一定成立的是（）A．｜x－y｜＜ε B．｜x－y｜＜2εC．|x－y|＞2εD．｜x－y｜＞ε解析:｜x－y|＝｜x－m－（y－m）｜≤｜x－m｜＋|y－m|＜2ε。
答案:B2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是（）A．｜a＋b|＞a－b B．2ab≤｜a＋b｜（ab＞0)C．｜a＋b｜≤|a｜＋|b｜ D。
错误!≥2解析：令a＝1,b＝－1，则A不成立．答案：A3．对于实数x，y,若｜x－1|≤1，|y－2｜≤1，则|x－2y＋1|的最大值为（)A．5 B．4C．8 D．7解析：由题意得,｜x－2y＋1｜＝｜(x－1)－2（y－1)｜≤|x－1|＋|2（y－2)＋2|≤1＋2｜y－2|＋2≤5,即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A4．已知|a｜≠｜b|，m＝错误!,n＝错误!，则m，n之间的大小关系是（)A．m〉n B．m〈nC．m＝n D．m≤n解析：由绝对值三角不等式知|a|－｜b|≤|a±b|≤|a|＋｜b|，所以错误!≤1≤错误!.答案:D5．不等式|x＋3｜＋｜x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为（）A．[－1,4] B．（－∞，－1］∪[4，＋∞)C．（－∞，－2)∪[5，＋∞）D．[－2,5]解析:由绝对值的几何意义易知|x＋3|＋｜x－1|的最小值为4,所以不等式|x＋3｜＋｜x －1｜≥a2－3a对任意实数x恒成立,只需a2－3a≤4,解得－1≤a≤4.答案：A二、填空题6．“｜x－A｜＜错误!且｜y－A|＜错误!"是“｜x－y|＜q”的________条件．解析：因为|x－y|＝｜（x－A）－（y－A）｜≤｜x－A|＋｜y－A|＜错误!＋错误!＝q.所以充分性成立．反之若｜x－y|＜q不能推出｜x－A｜＜错误!且｜y－A|＜错误!成立．答案:充分不必要7．若不等式｜x－4｜－｜x－3｜≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________．解析:设f(x)＝｜x－4｜＋｜x－3｜,则f（x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值．因为|x－4|－|x－3｜≤｜(x－4)－(x－3）|＝1,即f(x）max＝1，所以a≥1。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式a45a高二45数学
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教材整理 3 三个实数的绝对值不等式
阅读教材 P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题． 定理 2 如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤ |a－b| ＋|b－c|，当且仅当
(a－b)(b－c)≥0
时，等号成立．
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变式练习 2．若 f(x)＝x2－x＋c(c 为常数)，|x－a|＜1， 求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
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证明：|f(x)－f(a)| ＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a| ＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1| ＜|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)| ≤|x－a|＋|2a－1| ≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．
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例 3 已知 a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4. 求|a|＋|b|的最大值．
[精讲详析] 本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可 先求出|a＋b|，|a－b|的最值，再通过(tōngguò)|a|＋|b|与它们相
等时进行讨论求出最大值．
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探究 2 你能给出定理 2 的几何解释吗？
【提示】 在数轴上，a，b，c 的对应的点分别为 A，B，C.当点 B 在点 A，C 之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点 B 不在点 A，C 之间时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.
2021/12/13
2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不
1．绝对值三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2. 2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题．, [学生用书P13])1．绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：|a |＝⎩⎨⎧a （a ≥0）－a （a <0）. (2)绝对值几何意义：实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为a 的点A 到原点O 的距离|OA |.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A ，B 分别对应实数a ，b ，则|AB |＝|a －b |．2．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 推论1：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.推论2：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |的几何意义是数轴上表示数a 的点到原点的距离．( )(2)|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ＝b 时等号成立．( )(3)|a |－|b |≤|a ＋b |，当且仅当a ＝－b 时等号成立．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．给出下列命题：①若a ＞b ，则|a |＞b ；②若a ＞b ，则a 2＞b 2；③若|a |＞b ，则a ＞b ；④若a ＞|b |，则a ＞b .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.容易验证①④正确，②③错误，故选B.3．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值是________．解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|(x －4)－(x －6)|＝2，当且仅当4≤x ≤6时，“＝”成立，所以y min ＝2.答案：2利用绝对值三角不等式证明不等式[学生用书P13]已知f (x )＝x 2－2x ＋7，且|x －m |＜3，求证：|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.【证明】 |f (x )－f (m )|＝|(x －m )(x ＋m －2)|＝|x －m |·|x ＋m －2|＜3|x ＋m －2|≤3(|x |＋|m |＋2)．又|x －m |＜3，所以－3＋m ＜x ＜3＋m .所以3(|x |＋|m |＋2)＜3(3＋|m |＋|m |＋2)＝6|m |＋15.所以|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.两类含绝对值不等式问题的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 1.设a ，b ∈R ，ε>0，|a |<ε4，|b |<23ε. 求证：|4a ＋3b |<3ε.证明：因为|a |<ε4，|b |<23ε. 所以|4a ＋3b |≤|4a |＋|3b |＝4|a |＋3|b |<4·ε4＋3·2ε3＝3ε. 2．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2. 证明：由a ＞0，得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2.利用绝对值三角不等式求函数的最值[学生用书P14](1)求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值；(2)求函数f (x )＝|x －1|－|x ＋1|的值域．【解】 (1)因为|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号，所以当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.(2)因为||x －1|－|x ＋1||≤|(x －1)－(x ＋1)|＝2，当且仅当(x －1)(x ＋1)≥0，即x ≥1或x ≤－1时取等号，即－2≤|x －1|－|x ＋1|≤2，当x ≥1时函数取得最小值－2，当x ≤－1时，函数取得最大值2，当－1＜x ＜1时，－2＜|x －1|－|x ＋1|＜2，故函数f (x )的值域为[－2，2]．求f (x )＝|x ＋a |＋|x ＋b |和f (x )＝|x ＋a |－|x ＋b |的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解．(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值．(3)利用绝对值的几何意义求解．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为x ，y ∈R ，所以|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.绝对值三角不等式的综合应用[学生用书P14]设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．(1)若|a |≤1，求|f (x )|的最大值；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178. 【解】 (1)因为|x |≤1，|a |≤1，所以|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 所以|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54. (2)当a ＝0时，f (x )＝x ；当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不满足题设条件，所以a ≠0.又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1，故f (±1)均不是最大值．所以f (x )的最大值178应在其对称轴上顶点位置取得， 所以a ＜0. 所以命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＜－12a＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，a ＜0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12，（a ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12，a ＝－2或a ＝－18， 所以a ＝－2.本题第(1)问属于绝对值函数的最值，综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在．设函数y ＝|x －4|＋|x －3|.求(1)y 的最小值；(2)使y ＜a 有解的a 的取值范围；(3)使y ≥a 恒成立的a 的最大值．解：(1)由绝对值三角不等式得y ＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，所以y min ＝1.(2)由(1)知y ≥1.要使y ＜a 有解，所以a ＞1.即a 的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y ≥a 恒成立，只要y 的最小值1≥a ，即可．所以a max ＝1.1．求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a |＋|b |的最大值比较困难，可采用求|a ＋b |，|a －b |的最值，及ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，ab ＜0时，|a |＋|b |＝|a －b |的转化，达到目的．2．求y ＝|x ＋m |＋|x ＋n |和y ＝|x ＋m |－|x ＋n |的最值，其主要方法有：(1)借助绝对值的定义，即零点分段；(2)利用绝对值几何意义；(3)利用绝对值不等式性质定理．1．若关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋2|＞a 的解是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜4B ．a ＞4C ．a ＞0D ．a ＜0解析：选A.由题意知|x －2|＋|x ＋2|＝|2－x |＋|x ＋2|≥|2－x ＋x ＋2|＝4＞a 恒成立，故a ＜4.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.答案：[－2，4]3．已知|x －a |＜c 2，|y －b |＜c 2，求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|＜c . 证明：|(x ＋y )－(a ＋b )|＝|(x －a )＋(y －b )|≤|x －a |＋|y －b |，①因为|x －a |＜c 2，|y －b |＜c 2， 所以|x －a |＋|y －b |＜c 2＋c 2＝c .② 由①②得|(x ＋y )－(a ＋b )|＜c .。
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3．|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等
式 (1)利用绝对值的几何意义． 式子|x－a|－|x－b|的几何意义是：在数轴上实数 x 与
a 对应的点之间的距离与实数 x 与 b 对应的点之间的距离 的差．利用上述几何意义，结合数轴可以得到形如不等 式|x－a|±|x－b|≤(≥)c 的解集．
类型 3 绝对值不等式的综合应用(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)设函数 f(x)＝|x＋ a|－ |x－ 1－a|.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥12的解集； (2)若对任意 a∈[0，1]，不等式 f(x)≥b 的解集为空 集，求实数 b 的取值范围．
[规范解答] (1)当 a＝1 时，f(x)≥12等价于|x＋1|－|x| ≥12.(1 分)
1．|x|＞a 与|x|＜a(α＞0)型的不等式 当 a＞0 时，不等式|x|＞a 的解集是{x|x＞a 或 x＜－ a}，不等式|x|＜a 的解集是{x|－a＜x＜a}．
2．|ax＋b|＞c，(c＞0)与|ax＋b|＜c，(c＞0)型的不等
式 不等式|ax＋b|＞c 的解集是{x|ax＋b＞c 或 ax＋b＜－
(2)因为|4x＋5|≥25⇔4x＋5≥25或4x＋5≤－25⇔4x ≥20或4x≤－30⇔x≥5或x≤－125.
所以原不等式的解集为xx≥5或x≤－125. (3)因为1＜|x－1|＜5⇔1＜x－1＜5或－5＜x－1＜－ 1⇔2＜x＜6或－4＜x＜0， 所以原不等式的解集为{x|2＜x＜6或－4＜x＜0}．
x－4，x≤－1， 解：(1)由题意得 f(x)＝3x－2，－1＜x≤32，
－x＋4，x＞32，
故 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5.
故 f(x)＞1 的解集为{x|1＜x＜3}， f(x)＜－1 的解集为xx＜13或x＞5. 所以|f(x)|＞1 的解集为xx＜13或1＜x＜3或x＞5.
②分类讨论法： |f(x)|＜g(x) ⇔ff（（xx））≥＜0g（x）或f－（fx（）x）＜＜0 g（x）， |f(x)|＞g(x) ⇔ff（（xx））≥＞0g（x）或f－（fx（）x）＜＞0 g（x）.
[变式训练] 解不等式|5x－x2|≥6. 解：因为|5x－x2|≥6，所以 5x－x2≥6 或 5x－x2≤－ 6， 由 5x－x2≥6，即 x2－5x＋6≤0，所以 2≤x≤3， 由 5x－x2≤－6，即 x2－5x－6≥0，所以 x≥6 或 x≤ －1，
充分条件．
答案：B
4．不等式||xx＋ ＋12||≥1 的实数解为________． |x＋1|
解析： ≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，且 x＋2≠0.所以 x |x＋2|
≤－32且 x≠－2. 答案：xx≤－32且x≠－2
5．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为 x－53＜x＜13，则a＝________.
＜－4或x＞2.
答案：A
3．(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－
1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为2－x≥0，所以x≤2，因为|x－1|≤1，所
以0≤x≤2.因为当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一
定有x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不
所以原不等式的解集为 {x|x≤ －1 或 2≤x≤3 或 x≥6}．
类型 2 |x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋
|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
[典例 2] (2016·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x －3|.
(1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1 的解集．
思路 3：令 g(a)＝ a＋ 1－a， x＝ a，
因为 0≤a≤1，设 y＝ 1－a，
则 x2＋y2＝1，0≤x≤1，0≤y≤1. 问题转化为在 x2＋y2＝1，0≤x≤1，0≤y≤1 的条件 下，求 z＝x＋y 的最大值．
利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2，
此时
x＝y＝
2 2.
所以 b 的取值范围为( 2，＋∞)．(10 分)
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式 1．2.2 绝对值不等式的解法
[学习目标] 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类 型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥ c，|x－a|＋|x－b|≤c.
2．理解绝对值不等式的几种解法，并能根据不等 式的结构特征选择适当方法求解．
归纳升华 含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法
(1)形如|f(x)|＜a(a＞0)和|f(x)|＞a(a＞0)型不等式可运 用等价转化法化成等价的不等式(组)求解．
(2)形如|f(x)|＜g(x)和|f(x)|＞g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)， |f(x)|＞g(x) ⇔f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x) (这里g(x)可正也可负)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取 值范围． 解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.① 当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤
x≤1；
当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤
－1＋ 17 2.
所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋2
17 .
(2)当x∈[－1，1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]等价于当x∈[－
1，1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1，1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一， 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范围为[－1，1]．
当 x≥ 1－a时，f(x)＝x＋ a－x＋ 1－a＝ a＋ 1－a.
所以[f(x)]max＝ a＋ 1－a.(7 分)
法二：因为 f(x)＝|x＋ a|－|x－ 1－a|≤|x＋ a－x
＋ 1－a|＝| a＋ 1－a|＝ a＋ 1－a，
当且仅当 x≥ 1－a时取等号．
所以[f(x)]max＝ a＋ 1－a.(7 分)
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式有 三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区 间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法 直观，但只适用于数据较简单的情况．
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1．解含有绝对值的不等式的总体思路是：将含有绝 对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解，依据的 是同解性，对同解性应理解为：“|x|”中的 x 可以是任何有 意义的数学式子 f(x)，因此从结论上说，|f(x)|＜g(x)与－ g(x)＜f(x)＜g(x)同解，|f(x)|＞g(x)与 f(x)＞g(x)或 f(x)＜－ g(x)同解．掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键，数 形结合法解不等式是另一个重要的解题途径，为此要熟 练掌握函数|f(x)|的图象和画法．
因为对任意 a∈[0，1]，不等式 f(x)≥b 的解集为空集，
所以 b＞ a＋ 1－a .(8 分)
max
以下给出三种思路求 g(a)＝ a＋ 1－a的最大值． 思路 1：令 g(a)＝ a＋ 1－a， 所以 g2(a)＝1＋2 a 1－a≤1＋( a)2＋( 1－a)2＝ 2， 当且仅当 a＝ 1－a，即 a＝12时等号成立．
归纳升华 1．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不 等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何 法．分区间讨论法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图 象法直观，但只适用于数据较简单的情况． 2．几何法的关键是理解绝对值的几何意义．
[变式训练] 解不等式|x＋7|－|x－2|≤3. 解：令x＋7＝0，x－2＝0，得x＝－7，x＝2. (1)当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3， 所以－9≤3成立，所以x＜－7. (2)当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即 2x≤－2， 所以x≤－1，所以－7≤x≤－1. (3)当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3 不成立，所以x∈∅. 所以原不等式的解集为(－∞，－1]．
(2)分段讨论法． 转化为不含绝对值的不等式求解． (3)数形结合法． 从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)|x|＜1 的解集为{x|－1＜x＜1}．( ) (2)|x|＜1 的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 1 的点的集合．( ) (3)|x|≥1 的解集是{x|x≥1 或 x≤－1}．( ) (4)|x|＞1 的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 1 的点的集合．( )
归纳升华 1．对于含有绝对值的综合应用题，首先考虑的是零 点分段法去绝对值，把函数转化为分段函数，其次结合图 象求解参数或自变量的范围． 2．解决已知不等式的解集求其参数的范围问题，仍 然是利用转化的思想，将其转化为函数的最大(小)值问 题．
[类题尝试] (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
①当 x≤－1 时，不等式化为－x－1＋x≥12，无解； ②当－1＜x＜0 时，不等式化为 x＋1＋x≥12， 解得－14≤x＜0；