2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题+答案(高二)

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一道湖北预赛试题的解法及一般性结论

（０，），由点０到轴的距离与点０到直线ＢＣ的
距离相等得＝，因此
＝
Ａ — — — Ｏ — ・Ａ — — Ｂ＝（ＰＡ — — Ｂ＋ｇＡ－ — — Ｃ — ）・Ａ — — Ｂ．
因为点０ＡＡＢＣ的内心，所以在上的投影等于在上的投影，￣ＴＩ — ＡＣｌ：从而
ｏＦＤＦＡＢ —ＡＤ ’
图４
又因为：＋Ａ－－－Ｆ４＂：ｐ— ＡＢ＋ｑＡ — Ｃ所以ｐ：寻，ｇ：
，
即
ｏＦＡＤ —ＡＦ
ＡＢＯＦ＝ＡＤ ’ ，
．
故卫的值为３
二
．
解得
因此
０＋Ｄ＋Ｃ
解法２如图２，设ＢＯ交
Ｂ
ＡＡＢＣ的内心，所以ＢＤ上ＡＣ且ＡＦＤ
Ｄ为线段ＡＣ的中点，从而ＡＤ＝
图３
侣运笪量女．
÷．过点０作ＯＥ／／ＡＣ交ＡＢ于
点Ｅ，过点０作ＯＦ／ｌＡＢ交Ａｃ于点由点０是
评注该解法根据平面向量基本定理作平行四边形，再由三角形内心的性质求出Ｐ，ｑ的值，计算量较小．
ＡＦ： —
—
．
由ＡＥ＝ｐＡ＿Ｂ＋得
点Ｆ，则
Ａ０＝ＡＥ＋Ａ
即
ＯＦ
＝，
又ＡＯ＝ＰＡＢ＋ｑＡＣ，从而
解得
ＯＦ：６
，
—
—
—

全国高中数学联赛预赛试题及答案

全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，{}8,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（）A.16B.18C. 20D.22 2.已知{}n a 是等比数列，41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（） A.[)16,12 B.[)16,8 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）A.53 B.151 C.85 D.8150４．已知、为非零的不共线的向量，设条件:M ()b a b -⊥；条件:N 对一切R x ∈，不等式≥-M 是N 的（）Ａ．必要而不充分条件Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．充分而且必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数)(x f 定义在R 上，给出下述三个命题：①满足条件4)2()2(=-++x f x f 的函数图象关于点()2,2对称；②满足条件)2()2(x f x f -=+的函数图象关于直线2=x 对称；③函数)2(-x f 与)2(+-x f 在同一坐标系中，其图象关于直线2=x 对称.其中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.36.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为（）A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④7.设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（）Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<8. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （）A.2B.1C.0D.2-二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为． 10.已知集合(){}2008|,22≤+=Ωy x y x ，若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为． 11.多项式()310021x x x +⋅⋅⋅+++的展开式在合并同类项后，150x的系数为 .（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 . 13.将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法.（用数字作答）14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k y x P ,处，其中1,111==y x ，当2≥k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--.5251;525515111k k y y k k x x k k k k 其中，[]a 表示实数a 的整数部分，例如[]26.2=，[].06.0= 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．（本小题满分14分）设实数[]βα,,∈b a ，求证：βααβ+≤+b a a b 其中等号当且仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立，βα,为正实数.１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．17. （本小题满分16分）已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈N n n ,0上的最小值为n b ，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p18. （本小题满分18分）过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，联结.MN（1）当点P 在直线l 上运动时，证明：直线MN 恒过定点Q ；（2）当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合B A ⊗的元素：0021=⨯=z ，16822=⨯=z ，0003=⨯=z ，0804=⨯=z ，故集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A .2. 解: 设{}n a 的公比为q ，则81241253===a a q ，进而21=q .所以，数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项，以412=q 为公比的等比数列. ()n n n n a a a a a a -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++41332411411813221.显然，33281322121<+⋅⋅⋅++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为60223513=⋅⋅A C C 种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90241513=⋅⋅C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060=+=P .选D . ４．解：设=，=，则x 表示与OB-表示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC-表示点A 到B 的距离. 当(b a b -⊥时，.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知，AB AC ≥，即对一切R x ∈，不等式-≥-恒成立．反之，如果AB AC ≥恒成立，则()AB AC ≥min ，故AB 必为点A 到OB 的垂直距离，AC OB ⊥，即()-⊥.选C .5．解：用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ，得4)4()(=-+x f x f .如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(4x f y -=-，即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ，得)4()(x f x f -=.如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(x f y -=，即点()y x ,关于点2=x 的对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6. 解：假设AB 、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．7. 解：因为02818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.8. 解：由()()101311463)(323++++=+++=x x x x x x f ，令y y y g 3)(3+=，则)(y g 为奇函数且单调递增.而()()110131)(3=++++=a a a f ,()()1910131)(3=++++=b b b f ,所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a .选D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9．解：由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解；当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；当93≤≤y 时，①化为 16122---=-x x y ②若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++．填()125+．10. 解:P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点的集合为(){}00,2008|,22≥≤=+y x y xy x 且.填(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且．11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程150=++r t s ①的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100>s .将方程①化为49)101(=++-r t s记101-='s s ，则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.251C因此，150x的系数为7651251132152=-C C C .填7651.12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为21，底面面积为833=S . 又因为体积为89，所以高为3.该球的直径为()23122=+，球的体积ππ34343==R V .填π34. 13.解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90. 14.解：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5251)(k k k f ，则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+故)(k f 是周期为5的函数.计算可知：0)2(=f ；0)3(=f ；0)4(=f ；0)5(=f ；1)6(=f . 所以，)2008(5120072008f x x -+=；)2007(5120062007f x x -+=；…；)2(5112f x x -+=.以上各式叠加，得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +⋅⋅⋅++-+=[]{})3()2()6()3()2(401520071f f f f f x +++⋅⋅⋅++-+= 3401520071=⨯-+=x ；同理可得4022008=y .所以，第2008棵树的种植点为()402,3.填()402,3.三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．证明：由对称性，不妨设b a ≤，令t ba=，则因βα≤≤≤b a ，可得 .αββα≤=≤b a t …………………………（3分）设t t t f 1)(+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤≤αββαt ，则对t 求导，得211)(t t f -='.…………（6分）易知，当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,βαt 时，0)(<'t f ，)(t f 单调递减；当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈αβ,1t 时，0)(>'t f ，)(t f 单调递增. …………………………………………………………………（9分）故)(t f 在βα=t 或αβ=t 处有最大值且αββαβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f 及βααβαβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 两者相等. 故)(t f 的最大值为βααβ+，即βααβ+≤+=t t t f 1)(.………………（12分）由t b a =，得βααβ+≤+b a a b ，其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立. …………………………………………………………………………（14分）１6．解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）乙胜五局的概率为531⎪⎭⎫⎝⎛；………………………………………………（6分）乙胜四局负一局的概率为3231415⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；………………………………（9分）乙胜三局负二局的概率为.32312325⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………………………（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117……………（14分） 17. 解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（5分）当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈N n n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（8分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分）又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（14分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（16分）18. 证明：（1）设()00,y x P 、()11,y x M 、()22,y x N . 则椭圆过点M 、N 的切线方程分别为192511=+y y x x ，192522=+y y x x .…………………………………………（3分）因为两切线都过点P ，则有19250101=+y y x x ，19250202=+yy x x . 这表明M 、N 均在直线192500=+yy x x ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程.…………………（6分）（1）当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为.107500-=x y 代入①消去0y 得01637052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………（9分）变形可得 01910635250=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0恒成立.故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.01910,063525y yx由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q .……………………………（12分）（2）当MN ∥l 时，由式②知.70176370552500--≠---x x 解得.53343750=x 代入②，得此时MN 的方程为03553375=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得.012251280687533255332=--x x …………………………………………（15分）由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的横坐标，即.14252553327533221=⨯--=+=x x x代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的纵坐标，即 .10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=y 这就是说，点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN .……………………………（18分）。

2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及参考答案(高二)

2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。

直接将答案写在横线上。

）1. 已知正整数数列}{n a 满足n n n a a a +=++12，∈n *N ．若15711=a ，则1a = 3 .2. 函数x x x x y 22cos 2cos sin sin -+=的值域为11[22---+.3. 在△ABC 中，︒=30A ，232=⋅，则△ABC 的最大角的余弦值为12-．4．在直角坐标平面内，曲线3|||1||1|=+++-y x x 围成的图形的面积是 5 .5．若2113>+--a a 恒成立，则a的取值范围是[1,1-.6. 去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*N }中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为 2068 .7．在四面体ABCD 中，3AB AC ==，4BD BC ==，⊥BD 面ABC ，则四面体ABCD 的外接球的半径为10.8. 三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为25.9. 若A a ∈且A a A a ∉+∉-1,1，则称a 为集合A 的孤立元素.那么，集合{M =1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则2111e e +的最大值为52.二、解答题（本题满分60分，每小题20分。

）11. 当1||≤x 时，不等式2210px qx p +-+≥恒成立，试求q p +的最大值．解法1 令]1,1[,12)(2-∈+-+=x p qx px x f . （1）先考虑0p >时的情况，①若114q p -≤-≤，即44p q p -≤≤，则由题意知()04qf p-≥，即 22()()1044q q p q p p p ⋅-+⋅--+≥，整理得2218()22q p +-≤.设cos q r θ=，12p -=，其中0r ≤≤，[0,2]θπ∈，则1sin cos )2p q r θθ+=++.设(0,)2πϕ∈，且tan ϕ= 1(sin cos cos sin )2p q r θϕθϕ+=++1sin()2r θϕ=++1122≤+=，等号成立的条件是：r =1sin 3θ=，cos 3θ=，即23p =，43q =. …………………10分②若14qp-<-，即4q p >，则由(1)10f p q -=-+≥得1q p ≤+，所以41p q p <≤+，从而可得13p <，此时52123p q p +≤+<<； ③若14qp->，即p q 4-<，则302p q p +≤-<<； …………………15分（2）当0p ≤时，由(1)2110f p q p p q -=--+=-+≥得1q p ≤+，故212p q p +≤+<. 综合可知：q p +的最大值为2． …………………20分解法二特殊值法.在不等式2210px qx p +-+≥中取特殊值21-=x ，得2≤+q p ． …………………10分当且仅当34,32==q p 时，0)21(3431343412222≥+=++=+-+x x x p qx px ．所以，q p +的最大值为2． …………………20分12. 设B A ,是双曲线λ=-222y x 上的两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交双曲线于D C ,两点．（1）确定λ的取值范围；（2）试判断D C B A ,,,四点是否共圆？并说明理由．解（1）依题意，可设直线AB 的方程为2)1(+-=x k y ，代入双曲线方程并整理得222(2)2(2)[(2)2]0k x k k x k λ-+---+= ①设),(),,(2211y x B y x A ，则21,x x 是方程①的两个不同实根，于是可知22224(2)4(2)[(2)2]0k k k k λ∆=-+--+> ②且2212)2(2kk k x x --=+．又)2,1(N 是线段AB 的中点，故12)2(2=--k k k ，解得1=k ，故直线AB 的方程为1(1)2y x =⋅-+，即1y x =+．将1=k 代入②，得0)21(44>++λ，解得1->λ．又CD 是线段AB 的垂直平分线，故CD 所在直线的方程是)1(2--=-x y ，即3+-=x y ，将其代入双曲线方程，整理得09262=--+λx x ③由题意，方程③也有两个不同实根，所以2164(29)0λ∆=--->，解得9λ>-．又0λ≠，于是可得：λ的取值范围为(1,0)(0,)-+∞． …………………10分（2）设),(),,(4433y x D y x C ，线段CD 的中点为),(00y x M ，则43,x x 是方程③的两根，所以643-=+x x ，9243--=λx x ，于是32430-=+=x x x ，6300=+-=x y ．于是，由弦长公式可得34|||CD x x =-===.又方程①即01222=---λx x ，同理可得||AB ==.显然||||CD AB <，又CD 是线段AB 的垂直平分线，假设存在(1,0)(0,)λ∈-+∞使得D C B A ,,,四点共圆，则CD 必为该圆的直径，点M 为圆心．又点M 到直线AB 的距离为d ===222222||||||()3642AB MA MB d λ==+=+=+．又 22||()3642CD λ==+，所以2222||||||||MD MC MB MA ===．故当(1,0)(0,)λ∈-+∞时，D C B A ,,,四点均在以(3,6)M -为圆心、为半径的圆上．…………………20分13. 在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：43(3)n n S n >+，*n ∈N ．解（1）因为数列{}n a 为单调递增数列，120a =>，所以0n a >（*n ∈N ）. 由题意得221212n n n a a a -+=+，221222n n n a a a ++=，于是+=-n n n a a a 22222222+n n a a ，化简得+=-2222n n a a 22+n a，所以数列为等差数列.又32126a a a =-=，23429a a a ==，所以数列2=，公差为1d =1n =+，从而22(1)n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得21(1)n a n n -=+.因此，当n 为偶数时n a =21(2)4n +，当n 为奇数时n a =(1)(3)4n n ++. 所以数列}{n a 的通项公式为211(1)(3)1(2)[1(1)][1(1)]2424n nn n n n a ++++=+-⋅++-⋅217(1)48n n n +-=++.…………………10分（2）因为n a 22217(1)1(2)11(2)(3)48444n n n n n n n n +-+=++≤++=<++，所以 14114()(2)(3)23n a n n n n >=-++++， 11a S n =21a +31a + +n a 1+111111114[()()()()]34451223n n n n >-+-++-+-++++ 1144()333(3)nn n =-=++，所以43(3)n n S n >+，*n ∈N ． …………………20分。

2014年高中数学联赛试题及其解答

加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。（Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数

历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)

2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列成等比数列 ……5分
于是
即数列的通项公式 ……10分
（2）法1：因为对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
∴共有C 种比赛方式．
三．(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE= = ．其体积V= ( )2· = π．同样，
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．

2014年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______．答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =．分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______．答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种；长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种（一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ．（1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥．分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=．答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=，则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-，故2α<；若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意；另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类．假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两个除1k +外不交，故命题成立．综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件．任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个；首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立；若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立．综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．全国高中数学联赛试题及解答加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。

2024年全国高中数学联赛(一试)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.·1·。

2017年全国高中数学联赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准(高一年级)

6 6 2 3 2 2说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知非空集合 A = {x | m +1 ≤ x ≤ 2m -1}， B = {x | x 2 - 2x -15 ≤ 0} ，且 A ⊆ B ，则实数 m 的取值范围是 [2,3] ．2. 已知正项等比数列{a n }满足a 6 + a 5 + a 4 - a 3 - a 2 - a 1 = 49 ，则a 9 + a 8 + a 7 的最小值为 196 ．3. 设函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c （ x ∈R ），其中a ,b , c 为互不相同的非零整数，且 f (a ) = a 3 ， f (b ) = b 3 ，则a + b + c = 18 ．4 ．设△ ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别是 a ,b , c ，若 cos A = 3cos B = 4 cos C ，则a b ct a n A = ． 3 5．设函数 f (x ) = (1) x + ( 2) x + (5) x ， x ∈[0,+∞) ，则该函数图象上整点的个数为 3 ．2 3 66 ．已知 O 为△ ABC 的外心， D 为 BC 的中点，若 AO ⋅ AD = 4 ， BC = 2 ，则 AD = ．7. 已知正实数a ,b 满足ab (a + b ) = 4 ，则2a + b 的最小值为 2 ．8. 设 x , y ∈R ，则 P = (x +1- cos y )2 + (x -1+ sin y )2 的最小值为 3 - 2 ．9. 若关于 x 的方程 | x | x +1= k x 2 恰有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围为(-∞, 0) (0, 4)． 10. 将与 70 互素的所有正整数从小到大排成数列，这个数列的第 2017 项为 5881 ．二、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分。

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案高二年级

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．函数741)(2+++=x x x x f的值域为． 2．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 3．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n nn a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．4．设集合}12,,3,2,1{Λ=S ，},,{321a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，523≤-a a ，那么满足条件的子集A 的个数为 185 ．5．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C6．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若q p +=，则q p的值为32． 7．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知p AB C B AC ===11,2,1，则长方体的体积最大时，p为． 8．设][x 表示不超过x 的最大整数，则2012120122[]2kk k +=+=∑ 2012 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ，所以11)=． ------------------------------------------4分令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以nn n b b 4411=⋅=-.------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即nn n a a ]1)14[(21--=+.------------------------------------------12分于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a Λ ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的取值范围．解令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．又2423)2(,41)1(-==f f ，所以)41,2423[-∈m ． --------------------------------------20分11．已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．（1）当0=n 且121-=⋅k k 时，求△EMN 的面积的最小值；（2）若λ=+21k k （λλ,0≠为常数），证明：直线MN 过定点．解 AB 所在直线的方程为m n y t x +-=)(1，其中111k t =，代入px y 22=中，得 2112220y pt y pt n pm -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1212pt y y =+，从而1211211(2)2(22)2x x t y y n m t pt n m +=+-+=-+．则2111(,)M pt nt m pt -+．CD 所在直线的方程为m n y t x +-=)(2，其中221k t =，同理可得2222(,)N pt nt m pt -+． ------------------------------------------5分（1）当0=n 时，(,0)E m ，211(,)M pt m pt +，222(,)N pt m pt +，2111||||t pt EM +=，2221||||t pt EN +=．又121-=⋅k k ，故121-=⋅t t ，于是△EMN 的面积221211||||||222p S EM EN p t t =⋅==222p p ≥=，当且仅当1||||21==t t 时等号成立．所以，△EMN的面积的最小值为2p .------------------------------------------10分（2）p nt t t t n t t p t t p k MN -+=----=)(1)()()(2121222121，MN 所在直线的方程为]([)(1121211m nt pt x pn t t pt y +--⋅-+=-，即m x t pt pnt t y -=--+2121)(． ------------------------------------------15分又λ=+=+212111t t k k ，即λ2121t t t t +=，代入上式，得1212()t t n y t t p x m p λ++--⋅=-，即 m pnyx p y t t -+=-+))((21λ．当0=-λp y 时，有0=-+m p ny x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-==λλn m x p y 为方程的一组解，所以直线MN 恒过定点),(λλpn m -． ------------20分。

全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n 个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.各省预赛典型题1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=.3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<；（2）1124n a n>-．11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1()33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．11:22 40223 {|2,}k k Z ααπ=∈4 85 462327 23 801k <≤9.解（1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10.解（1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k ++=+<+，所以21111k k a a k+-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--，所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以 2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=，所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++. ------------------------------------------20分11. 解（1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l上，所以133k b -=+，故11)3b =-+.联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kb x x k +=-+，21222421b x x k -=+， 212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+ ------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-，22(1)QB x y =-，所以11221212(2,1)(2,1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =----=+--12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k b k k k k --=-++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0，所以QA QB ⊥，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l的斜率不存在，则A、B两点的坐标为(33±，容易验证∠AQB＝90°也成立.因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形.如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为3S=<.如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(1y m x=+，代入椭圆C的方程，消去y，得222(21)41)1)40m x m x+--+--=，则||QA==. 又Q B⊥QA，所以，同理可求得21()1|||2()1mQBm-+==-+. --------------------------16分于是，△QAB的面积为22111|||||||22212mS QA QBm m+==⋅++22222222|1||||)|4(1)4(1)(21)(2)2(1)m m mm mm m m m+⋅-+=⋅+⋅=⋅+⋅++++222221||1142()1m mm mm-+++=⋅++.令22212cos,sin11m mm mθθ-==++，则21|sin|2412sin4Sθθθ+=⋅+.注意到13sin||sin()|22θθθϕ+=+≤，212sin24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=. ------------------------------------------20分。

2014年湖北省预赛试题和参考答案(高二年级)

2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。

直接将答案写在横线上。

）1. 已知正整数数列}{n a 满足n n n a a a +=++12，∈n *N ．若15711=a ，则1a = 3 . 2. 函数x x x x y 22cos 2cos sin sin -+=的值域为11[]2222---+.3. 在△ABC 中，︒=30A ，232=⋅，则△ABC 的最大角的余弦值为12-．4．在直角坐标平面内，曲线3|||1||1|=+++-y x x 围成的图形的面积是 5 .5．若2113>+--a a 恒成立，则a的取值范围是[1,1-.6. 去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*N }中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为 2068 .7．在四面体ABCD 中，3AB AC ==，4BD BC ==，⊥BD 面ABC ，则四面体ABCD 的外接球的半径为.8. 三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为25.9. 若A a ∈且A a A a ∉+∉-1,1，则称a 为集合A 的孤立元素.那么，集合{M =1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则2111e e +的最大值为52.二、解答题（本题满分60分，每小题20分。

）11. 当1||≤x 时，不等式2210px qx p +-+≥恒成立，试求q p +的最大值．解法1 令]1,1[,12)(2-∈+-+=x p qx px x f . （1）先考虑0p >时的情况，①若114q p-≤-≤，即44p q p -≤≤，则由题意知()04qf p -≥，即22()()1044q qp q p p p⋅-+⋅--+≥，整理得2218()22q p +-≤.设cos q r θ=，12p -=，其中0r ≤≤[0,2]θπ∈，则1sin cos )2p q r θθ+=++.设(0,)2πϕ∈，且tan ϕ=1(sin cos cos sin )2p q r θϕθϕ+=++1sin()2r θϕ=++1122≤+=，等号成立的条件是：r =1sin 3θ=，cos θ=23p =，43q =. …………………10分 ②若14qp-<-，即4q p >，则由(1)10f p q -=-+≥得1q p ≤+，所以41p q p <≤+，从而可得13p <，此时52123p q p +≤+<<； ③若14qp->，即p q 4-<，则302p q p +≤-<<； …………………15分（2）当0p ≤时，由(1)2110f p q p p q -=--+=-+≥得1q p ≤+，故212p q p +≤+<. 综合可知：q p +的最大值为2． …………………20分解法二特殊值法.在不等式2210px qx p +-+≥中取特殊值21-=x ，得2≤+q p ． …………………10分当且仅当34,32==q p 时，0)21(3431343412222≥+=++=+-+x x x p qx px ．所以，q p +的最大值为2． …………………20分12. 设B A ,是双曲线λ=-222y x 上的两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交双曲线于D C ,两点．（1）确定λ的取值范围；（2）试判断D C B A ,,,四点是否共圆？并说明理由．解（1）依题意，可设直线AB 的方程为2)1(+-=x k y ，代入双曲线方程并整理得222(2)2(2)[(2)2]0k x k k x k λ-+---+= ①设),(),,(2211y x B y x A ，则21,x x 是方程①的两个不同实根，于是可知22224(2)4(2)[(2)2]0k k k k λ∆=-+--+> ②且2212)2(2kk k x x --=+．又)2,1(N 是线段AB 的中点，故12)2(2=--k k k ，解得1=k ，故直线AB 的方程为1(1)2y x =⋅-+，即1y x =+．将1=k 代入②，得0)21(44>++λ，解得1->λ．又CD 是线段AB 的垂直平分线，故CD 所在直线的方程是)1(2--=-x y ，即3+-=x y ，将其代入双曲线方程，整理得09262=--+λx x ③由题意，方程③也有两个不同实根，所以2164(29)0λ∆=--->，解得9λ>-．又0λ≠，于是可得：λ的取值范围为(1,0)(0,)-+∞． …………………10分（2）设),(),,(4433y x D y x C ，线段CD 的中点为),(00y x M ，则43,x x 是方程③的两根，所以643-=+x x ，9243--=λx x ，于是32430-=+=x x x ，6300=+-=x y ．于是，由弦长公式可得34|||CD x x =-===.又方程①即01222=---λx x ，同理可得||AB ==显然||||CD AB <，又CD 是线段AB 的垂直平分线，假设存在(1,0)(0,)λ∈-+∞使得D C B A ,,,四点共圆，则CD 必为该圆的直径，点M 为圆心．又点M 到直线AB 的距离为d ===222222||||||()3642AB MA MB d λ==+=+=+．又 22||()3642CD λ==+，所以2222||||||||MD MC MB MA ===．故当(1,0)(0,)λ∈-+∞时，D C B A ,,,四点均在以(3,6)M -为圆心、为半径的圆上．…………………20分13. 在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}1{na 的前n 项和为n S ，证明：43(3)n n S n >+，*n ∈N ．解（1）因为数列{}n a 为单调递增数列，120a =>，所以0n a >（*n ∈N ）.由题意得221212n n n a a a -+=+，221222n n n a a a ++=，于是+=-n n n a a a 22222222+n n a a ，化简得+=-2222n n a a 22+n a，所以数列为等差数列.又32126a a a =-=，23429a a a ==，所以数列2=，公差为1d ==1n =+，从而22(1)n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得21(1)n a n n -=+.因此，当n 为偶数时n a =21(2)4n +，当n 为奇数时n a =(1)(3)4n n ++. 所以数列}{n a 的通项公式为211(1)(3)1(2)[1(1)][1(1)]2424n nn n n n a ++++=+-⋅++-⋅217(1)48n n n +-=++.…………………10分（2）因为n a 22217(1)1(2)11(2)(3)48444n n n n n n n n +-+=++≤++=<++，所以 14114()(2)(3)23n a n n n n >=-++++， 11a S n =21a +31a + +na 1+111111114[()()()()]34451223n n n n >-+-++-+-++++ 1144()333(3)nn n =-=++，所以43(3)n n S n >+，*n ∈N ． …………………20分。

2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题与解答

2 2
解：经简单变形可得到 P 2[(cos x 1) (cos y 1) ], 注意到当 x (0,

2
) 时， f ( x) (cos x 1)2 (0,1) 且单调增，于是 P ( 2,0) .
6、设 F 为椭圆 C :
x2 y2 过椭圆 C 外的一点 P 作椭圆 C 的切线，切点为 M ， 1 的右焦点， 4 3
二、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分。） 11、求函数 y x x x 1 的值域.
2 2
12、已知数列 {an },{bn } 满足： a1 1, b1 3, an 1 2
27an 27b , bn 1 2 n 2 , n N * . 2 2 9an 4bn 9an 4bn
2013 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）
（考试时间：5 月 12 日上午 8:00——10:00）考生注意：1、本试卷共两个大题（13 个小题），全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、不能使用计算器。一、填空题（本题满分 90 分，每小题 9 分。直接将答案写在横线上。） 1、设集合 A {1,3,5,7,9}, B {2,4,6,18} ，若 C {a b | a A, b B} ，则集合 C 的所有元素之和为＿＿＿＿ . 2、已知数列 {an } 满足： a0 0, a1 1 ，且 a2 n an , a2 n 1 an 1, n N * , 则
于是 L 1 ( )
2
二、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分。） 11、求函数 y x x x 1 的值域.
2 2

2014年全国高中数学联赛加试_A卷_试题及参考答案

在三角形Ａ由余弦ＢＭ中，ＢＭ＝Ｂ＋Ａ， ∠Ａ定理得
２２ａｂａｂｃ（２２ＡＭ２＝ｃ＋（ｃｏｓＡ＋Ｂ）２－）ｂ＋ｃｂ＋ｃ２２２２２ａｂａｂｃ·ａ＋ｂ－ｃ２２＝ｃ＋（２＋）ｂ＋ｃ２ａｂｂ＋ｃ
数学竞赛之窗
ＭＣＢＣＢＤＡＣＬＣ，＝＝＝＝ＭＦＦＤＦＤＡＢＬＢ
因此ＬＭ ∥ＢＦ．同理，由此推出ＬＮ ∥ＣＧ．
１［２（２２２２２）＝（＋ｃ＋ａｂ＋ｃ（ａ＋ｂ２ｃｂ）ｂ＋ｃ
２）（）］－ｃｂ＋ｃ
ｚｘｓｓ．ｃｂｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔｚｘｓｓｈｉｎａｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ网址：电子邮箱：＠ｃｐｊ
·２８·
中学生数学 ·２高中）０１５年１月上 · 第５０５期（
ｎ－１
若不然，我们有ｘｍｏｄｉ＋ｙｉ＝ｘｉ＋ｋ＋ｙｉ＋ｋ（，，两式相加可得４ｋ）ｘｘｍｏｄ４ｋ）ｙｙｉ＋ｉ＋ｋ ≡ ｉ＋ｋ＋ｉ（，于是ｘ，但２ｘ２ｘｍｏｄ４ｋ）ｘｍｏｄ２ｋ）ｉ≡ ｉ＋ｋ（ｉ≡ ｉ＋ｋ（ …，互不同余，特别地，ｘｘｘ０１４（＝２ｋ）１，２，２０１４模２，矛盾．ｘｘｍｏｄ２ｋ）ｉｉ＋ｋ（由上述构造方法知ｚ …，ｚｚｙ１，２，２ｋ是ｙ１，２， …，记ｗ …，下面ｘｚｉ＝１，２，２ｋ．ｙ２ｋ的排列．ｉ＝ｉ＋ｉ， …，这只需证明，验证ｗ１，ｗ２，ｗ２ｋ互不同余．ｋ模４对任意整数ｉ、、ｉ＋ｋ、模１≤ ｉｗｗｗ＜ｊ，ｊ≤ｋ，ｉ、ｊｗｊ＋ｋ（４ｋ两两不同余＊）注意，前面的构造方式已保证，（ｏｗｍｏｄ４ｋ）ｗｄ４ｋ）ｉｗｉ＋ｋ（ｊｗｊ＋ｋｍ（＊＊）情形一：且ｚ则由前面的构造方ｚｙｙｉ＝ｉ，ｊ＝ｊ．式可知，ｗｗｉ（ｍｏｄ２ｋ）ｊｉ≡ ｗｉ＋ｋ ≡ ２ｊ ≡ｗｊ＋ｋ ≡ ２（）ｍｏｄ２ｋ．由于２，故易知ｗｉｍｏｄ２ｋ）２ｊ（ｉ与ｗｉ＋ｋ模及ｗｊ＋ｋ模２从而２ｋ不同余，ｗｋ不同余，ｉ＋ｋ与ｗｊ再结合（可见（得证．模４ｋ更不同余，＊＊）＊）情形二：且ｚ则由前面的构ｚｙｙｉ＝ｉ＋ｋ，ｊ＝ｊ＋ｋ．造方式可知，ｗｗ２ｉ＋ｋ（ｍｏｄ２ｋ）ｊｉ≡ｗｉ＋ｋ ≡ ｊ ≡ｗｊ＋ｋ ≡２）＋ｋ（ｍｏｄ２ｋ．同样有ｗ及ｗｉ＋ｋ模２ｋ不同余，ｗｉ与ｗｉ＋ｋ与ｊ与情形一相同地可知ｗｊ及ｗｊ＋ｋ模２ｋ不同余．（得证．＊）情形三：且ｚ（ｉ＝ｙ且ｚｚｙｙｉ＝ｉ，ｉ＋ｋ，ｊ＝ｊ＋ｋｚｊ＝的情形与此相同）则由前面的构造方式可知．ｙｊ，ｗｗ２ｉ（ｍｏｄ２ｋ）ｊ＋ｋｉ≡ｗｉ＋ｋ ≡ ｊ ≡ｗｊ＋ｋ ≡２（ｍｏｄ２ｋ）．由于ｋ是奇数，故２），更有２ｉｋ（ｍｏｄ２ｉ２ｊ＋，因此仍然有ｗ及ｗｊ＋ｋ模ｋ（ｍｏｄ２ｋ）２ｊ＋ｉ与ｗｊ及ｗｊ＋ｋ模２从而２ｋ不同余，ｗｋ不同余．ｉ＋ｋ与ｗｊ（得证．＊）因此本题得证．

2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数x ，|||1|2x a x a +-+≤恒成立，则实数a 的最小值为13．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．3．若23234560123456(2)x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，则135a a a ++= －4 ．4．已知顶角为的等腰三角形的底边长为a ，腰长为，则332a b ab +的值为 3 ．5．设2,51(n n n a b n n ==-∈N *，201512201512{,,,}{,,,}a S a a a b b b =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，，CAP ∠为锐角，||2AP =，2AP AC ⋅=，1AP AB ⋅=．当||AB AC AP ++取得最小值时，tan CAP ∠=72． 7．已知正三棱锥P ABC -的底面的边长为6,1 ．8．函数()1)f x =．9．已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点,,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为115-． 10．使得12p +和212p +都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集18{(,)|()()0}25A x y y x y x=-⋅-≥，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤．若(,)x y AB ∈，求2x y -的最小值．解作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B 表示如图阴影部分D .令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵截距.易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）因为点P 在圆22(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为(1cos ,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2πθπ∈.又点P 在曲线1825y x =上，所以有18(1cos )(1sin )25θθ++=，即7sin cos sin cos 025θθθθ+++=. ………………………………………（10分）设sin cos t θθ+=，则21s i n c o s (1)2t θθ=-，代入得217(1)0225t t -++=，解得15t =或115t =-（舍），即1sin cos5θθ+=. ………………………………………（15分）结合22sin cos1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin5θ=，3cos5θ=-．所以，点P的坐标为29(,)55，2z x y=-的最小值为min292155z=⨯-=-．………（20分）12．设nT是数列{}na的前n项之积，满足1,n nT a n=-∈N*．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设22212n nS T T T=+++，求证：111123n n na S a++-<<-．解（1）易知1112T a==，0,1n nT a≠≠，且由111,1n n n nT a T a++=-=-，得11111n nnn nT aaT a+++-==-，即11111nn naa a++=--，即111111n na a+-=--．……………（5分）所以111111111112nn n na a=+-=+-=+---，故1111nnan n=-=++．………………………………………（10分）（2）由（1）得1211n nT a a an==+．一方面，22211123(1)nSn=++++11111112334(1)(2)222nan n n+>+++=-=-⋅⋅+++；……………（15分）另一方面，22211111123(1)444nSn<+++--+-1112135571323()()2222223n n n=+++=-⋅⋅+++．又1212111123322333nnan nn++-<-=-=-+++．所以111123n n na S a++-<<-．………………………………………（20分）13．过直线2130x y -+=上一动点A （A 不在y 轴上）作抛物线28y x =的两条切线， ,M N 为切点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,B C ．（1）证明直线MN 恒过一定点；（2）证明△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．证明（1）设00(,)A x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y .抛物线28y x =的过点11(,)M x y 的切线方程为AM ：114()yy x x =+．而AM 过00(,)A x y ，故01014()y y x x =+ ①①式说明直线004()y y x x =+恒过点11(,)M x y ．………………………………………（5分）同理可证得直线004()y y x x =+恒过点22(,)N x y ．故直线004()y y x x =+过,M N 两点，则直线MN 的方程为：004()y y x x =+．又00213x y =-，代入004()y y x x =+中，得0(8)4(13)y y x -=-．所以直线MN 恒过定点(13,8)． ………………………………………（10分）（2）直线AM ：114()yy x x =+与y 轴交于114(0,)x B y ．抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ，则111140202BFx y xk y -==--，又14BA k y =，则12181BA BF x k k y ⋅=-=-，所以BF BA ⊥.同理可证CF CA ⊥．所以,,,A B C F 四点共圆，且AF 为直径．因此，△ABC 的外接圆恒过定点(2,0)F ． ………………………………………（15分）在AF 和直线2130x y -+=垂直时，圆的直径AF 最小．此时，直线AF ：02(2)y x -=--，与2130x y -+=联立，求得(1,6)A -，则||AF =所以，△ABC． ……………………………………（20分）。