2016年秋季学期新人教A版高中必修三1.3算法案例导学案

[学习目标] 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程.2.理解秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质.3.理解进位制的概念，能进行不同进位制间的转化.4.了解进位制的程序框图和程序．知识点一辗转相除法与更相减损术1．辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．2．更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．3．辗转相除法和更相减损术的区别与联系：答 先判断a ，b 是否为偶数，若是，都除以2再进行． 知识点二 秦九韶算法 1．秦九韶算法简介(1)秦九韶算法要解决的问题是求多项式的值． (2)秦九韶算法的特点：通过一次式的反复计算，逐步得到高次多项式的值，即将一个n 次多项式的求值问题归结为重复计算n 个一次多项式的值的问题． (3)秦九韶算法的原理：将f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写为：f (x )＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0＝((a nx n －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0＝…先计算最内层括号内一次多项式的值，即v 1＝a n x ＋a n －1，再由内向外逐层计算一次多项式v k 的值．2．秦九韶算法的操作方法 (1)算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n 、最高次项的系数a n 和x 的值． 第二步，将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n －1. 第三步，输入i 次项的系数a i . 第四步，v ＝v x ＋a i ，i ＝i －1.第五步，判断i 是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v . (2)程序框图如图所示．(3)程序如下：知识点三进位制1．进位制的概念进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定“满几进一”就是几进制，几进制的基数(大于1的整数)就是几．2．常见的进位制(1)二进制：①只使用0和1两个数学；②满二进一，即1＋1＝10(2)．(2)八进制；①使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个不同数学；②满八进一，即7＋1＝10(8)．思考任何进位制中都要用到的数字是什么？答0和1.题型一求两个正整数的最大公约数例1分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数．解方法一(辗转相除法)319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)，所以319与261的最大公约数为29.方法二(更相减损术)319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，29－29＝0，所以319与261的最大公约数是29.反思与感悟(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简．也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．跟踪训练1用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．解80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0，即80与36的最大公约数是4.验证：80÷2＝40,36÷2＝18；40÷2＝20,18÷2＝9；20—9＝11,11－9＝2；9－2＝7,7－2＝5；5－2＝3,3－2＝1；2－1＝1,1×2×2＝4；所以80与36的最大公约数为4.题型二秦九韶算法的应用例2用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思与感悟(1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.跟踪训练2用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值；v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.题型三进位制之间的互化例3(1)把二进制数1110011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314706(8)化为十进制数．解(1)1110011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1＝115.(2)314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104902.所以，化为十进制数是104902.反思与感悟(1)将k进制转化为十进制的方法是：先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果．(2)十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余．跟踪训练3将53(8)转化为二进制数．解先将八进制数53(8)转化为十进制数：53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数：所以53(8)＝101011(2)．转化与化归思想例4下列各数中，最小的数是()A．85(9)B．210(6)C．1000(4)D．111111(2)分析先将它们转化为十进制数，再进行比较．解析85(9)＝8×9＋5＝77,210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78,1000(4)＝1×43＝64,111111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.答案 D解后反思合理的转化是解题的关键．对于进位制之间的转化问题，一般要先把k进制数转化为十进制数，再转化为其他进制数．数制转化方法掌握不牢致错例5把十字进制数49化为二进制数．分析对进位制间的换算，要弄清解题的办法，将十进制数转化为k进制数用“除k取余法”．解所以49＝110 001(2)．解后反思 本例常出现的错误是把上式中各步所得的余数从上到下排列，这是基本方法掌握不牢造成的，应加以注意．1．1 337与382的最大公约数是( ) A ．3 B ．382 C ．191 D ．201 答案 C解析 利用辗转相除法，1 337＝382×3＋191,382＝191×2，故两数的最大公约数为191. 2．把189化为三进制数，则末位数字是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 采用“除k 取余法”，得即189＝21 000(3)3．用秦九韶算法求n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0当x ＝x 0时的值，求f (x 0)需要乘方、乘法、加法的次数分别为( ) A.n (n ＋1)2，n ，nB ．n,2n ，nC ．0,2n ，nD ．0，n ，n答案 D解析 因为f (x )＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0，所以乘方、乘法、加法的次数分别为0，n ，n .4．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 6＋6x 5＋3x 2＋2，当x ＝4时的值时，先算的是( ) A ．4×4＝16 B ．7×4＝28 C ．4×4×4＝64 D ．7×4＋6＝34 答案 D解析因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34. 5．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．答案先除以2，得到18与67解析∵36与134都是偶数，∴第一步应为：先除以2，得到18与67.1.求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a －b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．2．秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行．3．把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：(1)必须除到所得的商是0为止；(2)各步所得的余数必须从下到上排列；(3)切记在所求数的右下角标明基数．一、选择题1．1 037和425的最大公约数是()A．51 B．17 C．9 D．3答案 B解析∵1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5答案 A解析秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数是由多项式的次数n可知，故选A.3．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为()A．12 B．11 C．10 D．9答案 B解析101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.4．三位七进制数中的最大数表示的十进制的数是()A．322 B．402 C．342 D．365答案 C解析三位七进制数中的最大数为666(7)，则转化为十进制为666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝294＋42＋6＝342.5．下列四个数最大的是()A．322(7)B．402(6)C．342(7)D．355(6)答案 C解析342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177，402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.所以342(7)＞402(6)．而342(7)＞322(7)，402(6)＞355(6)，所以最大的数是342(7)6．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5,4 B．5,5C．4,4 D．4,5答案 D解析n次多项式，当最高次项的系数不为1时，需进行n次乘法；若各项均不为0，则需进行n次加法(或减法)，缺一项就减少一次加法(或减法)运算，而这个5次多项式的5次项系数不为1，缺常数项，因而乘法次数为5，加法(或减法)次数为5－1＝4.故选D.7．运行下面的程序，当输入168,72时，输出的结果是()A．12 B．24C．36 D．72答案 B解析分析程序可知，该程序是求168和72的最大公约数，故应输出的结果是24.二、填空题8．用辗转相除法计算60和48的最大公约数，需要做的除法次数是________．答案 2解析60＝48×1＋12,48＝12×4，故需做2次除法．9．用更相减损术求459和357的最大公约数，需进行减法的次数为________．答案 5解析利用更相减损术，有459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，共进行了5次减法．10．378和90的最大公约数为________．答案18解析辗转相除法：378＝90×4＋18,90＝18×5＋0，∴378与90的最大公约数是18.11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0，则v3的值是________．答案－15解析f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，所以v0＝1，v1＝1×(－1)－5＝－6，v2＝(－6)×(－1)＋6＝12，v3＝12×(－1)－3＝－15.三、解答题12．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＝21 324.故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.《创新设计》图书13．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向国内报告军情，如图，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？解由题图可知，从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意，知这组烽火台表示的二进制数是11011(2)，改写成十进制数为11011(2)＝1×24＋1×23＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27.又因为27×1 000＝27 000，所以这组烽火台表示约有27 000个敌人入侵．。