2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)_数学(理)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 与B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014安徽，理1)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则i izz +⋅＝( )．A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i 答案：C解析：原式＝1ii+＋i(1－i)＝－i ＋1＋i ＋1＝2. 2．(2014安徽，理2)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：由ln(x ＋1)＜0得－1＜x ＜0，故选B.3．(2014安徽，理3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．A ．34B ．55C ．78D ．89 答案：B解析：由程序框图知依次为：x ＝1，y ＝1，z ＝2；x ＝1，y ＝2，z ＝3；x ＝2，y ＝3，z ＝5；x ＝3，y ＝5，z ＝8；x ＝5，y ＝8，z ＝13；x ＝8，y ＝13，z ＝21；x ＝13，y ＝21，z ＝34；x ＝21，y ＝34，z ＝55＞50，故输出55.4．(2014安徽，理4)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )．A B ． C D ．答案：D解析：由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d==5．(2014安徽，理5)x，y满足约束条件20,220,220.x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a的值为()．A．12或－1 B．2或12C．2或1 D．2或－1答案：D解析：画出x，y约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由z＝y－ax得y＝ax＋z，当直线y＝ax与直线2x－y＋2＝0或直线x＋y－2＝0平行时，符合题意，则a＝2或－1.6．(2014安徽，理6)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则23π6f⎛⎫⎪⎝⎭＝()．A．12BC．0 D．12-答案：A解析：由题意得23π17π17π11π11π17πsin sin+sin666666f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5π5π11π17π+sin+sin+sin6666f⎛⎫⎪⎝⎭＝11112222+-+=.7．(2014安徽，理7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()．A． B． C ．21 D ．18 答案：A解析：由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S ＝S 正方体－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×24＝8．(2014安徽，理8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )．A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对 答案：C解析：正方体六个面的对角线共有12条，则有212C 66=对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，则共有243C 18⨯=对，而其余的都符合题意，故有66－18＝48对．9．(2014安徽，理9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )． A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 答案：D解析：令x ＋1＝0得x 1＝－1；令2x ＋a ＝0得22a x =-. ①当12a->-，即a ＞2时， ()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤-⎨⎪++>-⎪⎪⎩其图象如图所示，则()min 1+||=322a a f x f a a ⎛⎫=-=-+-+ ⎪⎝⎭，解得a ＝8或a ＝－4(舍去)． ②当12a-<-，即a ＜2时， ()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<-⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩其图象如图所示，则()min 1+||=322a a f x f a a ⎛⎫=-=-+-+ ⎪⎝⎭，解得a ＝－4或a ＝8(舍去)． ③当12a-=-，即a ＝2时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不符合题意． 综上所述，a ＝－4或8.10．(2014安徽，理10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足2()OQ =+a b ．曲线C ＝{|P OP ＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域{|0||}P r PQ R r R Ω=<≤≤<，．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )．A ．1＜r ＜R ＜3B ．1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ．1＜r ＜3＜R 答案：A解析：由于|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，所以|||2()|2OQ =+==a b ，因此点Q 在以原点为圆心，半径等于2的圆上．又|||cos sin |OP θθ==＋a b1==，因此曲线C 是以原点为圆心，半径等于1的圆．又区域{|0||}P r PQ R r R Ω=<≤≤<，，所以区域Ω是以点Q 为圆心，半径分别为r 和R 的两个圆之间的圆环，由图形可知，要使曲线C 与该圆环的公共部分是两段分离的曲线，应有1＜r ＜R ＜3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．(2014安徽，理11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是__________．答案：3π8解析：把函数()πsin 24f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，得到()ππsin 2()sin(22)44f x x x ϕϕ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＝的图象．由()πsin 224f x x ϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝的图象关于y 轴对称，所以ππ2π42k ϕ-+=+，k ∈Z .即ππ28k ϕ=--，k ∈Z . 当k ＝－1时，φ的最小正值是3π8.12．(2014安徽，理12)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝__________.答案：1解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 1＝a 3－2d ，a 5＝a 3＋2d ， 由题意得，(a 1＋1)(a 5＋5)＝(a 3＋3)2，即(a 3－2d ＋1)·(a 3＋2d ＋5)＝(a 3＋3)2，整理，得(d ＋1)2＝0，∴d ＝－1，则a 1＋1＝a 3＋3，故q ＝1.13．(2014安徽，理13)设a ≠0，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝__________.答案：3解析：由题意得111C 3n na a a=⋅==， ∴n ＝3a ；22221(1)C 42n n n a a a-===， ∴n 2－n ＝8a 2.将n ＝3a 代入n 2－n ＝8a 2得9a 2－3a ＝8a 2，即a 2－3a ＝0，解得a ＝3或a ＝0(舍去)．∴a ＝3.14．(2014安徽，理14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：222=1y x b+(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．答案：22312x y += 解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得，011212||||33c B F F F ==，得B 0坐标为5,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即B 点横坐标为53c -.设直线AB 的斜率为k ，又直线过点F 1(－c,0)， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )．由222(),1y k x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0， 其两根为53c -和c ，由韦达定理得2222222252,35,3ck c c k b k c b c c k b ⎧--+=⎪⎪+⎨-⎪-⨯=⎪+⎩解之，得213c =，∴b 2＝1－223c =.∴椭圆方程为22312x y +=.15．(2014安徽，理15)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①S 有5个不同的值②若a ⊥b 则S min 与|a |无关 ③若a ∥b ，则S min 与|b |无关 ④若|b |＞4|a |，则S min ＞0⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π4答案：②④解析：S 有3种结果： S 1＝a 2＋a 2＋b 2＋b 2＋b 2， S 2＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＋b 2，S 3＝ab ＋ab ＋ab ＋ab ＋b 2，①错误． ∵S 1－S 2＝S 2－S 3＝a 2＋b 2－2a ·b ≥a 2＋b 2－2|a ||b | ＝(|a |－|b |)2≥0， ∴S 中最小为S 3.若a ⊥b ，则S min ＝S 3＝b 2与|a |无关，②正确． 若a ∥b ，则S min ＝S 3＝4a ·b ＋b 2与|b |有关，③错误．若|b |＞4|a |，则S min ＝S 3＝4|a ||b |cos θ＋b 2＞－4|a ||b |＋b 2＞－|b |2＋b 2＝0，④正确． 若|b |＝2|a |，则S min ＝S 3＝8|a |2cos θ＋4|a |2＝8|a |2， ∴2cos θ＝1.∴π3θ=，⑤错误． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)(2014安徽，理16)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 值；(2)求πsin()4A +的值． 分析：(1)通过观察给出的条件及求解的问题，先将角的关系化为边的关系．首先由A ＝2B ，得sin A ＝sin 2B ，再由倍角公式将2B 的三角函数化为B 的三角函数，再由正弦定理、余弦定理将角的关系化为边的关系进行求解．(2)由(1)知三边都已确定，先由余弦定理求出cos A 的值，再利用平方关系求出sin A 的值，最后利用两角和的正弦公式求解．解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得2222a c b a b +-=⋅.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a =(2)由余弦定理得22291121cos 263b c a A bc +-+-===-.由于0＜A ＜π，所以sin 3A ===.故πππ1sin()sin cos cos sin ()4443A A A +=+=-=17．(本小题满分12分)(2014安徽，理17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．分析：(1)先把甲在4局以内赢得比赛的情况进行列举，再用独立事件和互斥事件概率公式求概率．(2)先写出X 的所有取值，再分析相应X 的值下对应比赛结果的情况，求出相应的概率，列出分布列，运用公式求均值．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则()23k P A =，()13k P B =，k ＝1,2,3,4,5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)·P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝22221221256()()()33333381+⨯+⨯⨯=. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3) ＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为52234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18．(本小题满分12分)(2014安徽，理18)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．分析：(1)利用导数判断函数单调性的方法，先求导，再令其等于0，求出导函数的零点，即为相应的极值点，结合导函数的开口方向从而得出导函数在相应区间的正负，从而得到原函数的单调区间．(2)讨论极值点x 2在不在区间[0,1]内是问题的关键，要通过分类讨论，得出函数f (x )在[0,1]上的变化趋势，从而得出f (x )在[0,1]上的最值情况．若函数f (x )在[0,1]上有单调性，那么f (x )的最值就在区间的端点处取得．若f (x )在[0,1]上单调递增，那么f (x )在x ＝0处取得最小值，在x ＝1处取得最大值．若f (x )在[0,1]上单调递减，那么f (x )在x ＝0处取得最大值，在x ＝1处取得最小值．若函数f (x )在[0,1]上不单调，就要看能不能把区间[0,1]再细分成几部分，通过讨论函数f (x )在每一部分的单调性确定其在整个区间上的最值情况．特别要注意的是函数在区间端点处的函数值要比较大小，以确定哪一个才是最值．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得1x =，1x =x 1＜x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0； 当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0， 所以x 1＜0，x 2＞0. ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在2x x ==处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．19．(本小题满分13分)(2014安徽，理19)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求12S S 的值． 分析：(1)先将直线l 1，l 2的方程设出来，再分别与抛物线y 2＝2p 1x 和y 2＝2p 2x 联立求出A 1与A 2的坐标，同理再求得B 1，B 2的坐标，利用向量这一工具，把11A B 与22A B 的坐标求出，由向量共线(平行)条件知A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)中的结论，得出B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，进而得出△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，以及△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方从而求解．(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由121,2,y k x y p x =⎧⎨=⎩得11121122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由122,2,y k x y p x =⎧⎨=⎩得22221122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.同理可得11122222,p p B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22222222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭.所以111112122222121212122221111,2,p p p p A B p k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 222222222222121212122221111,2,p p p p A B p k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故111222p A B A B p =， 所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解：由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此2111222||||S A B S A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又由(1)中的111222p A B A B p =知111222||||A B p p A B =. 故211222S p S p =. 20．(本小题满分13分)(2014安徽，理20)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD .四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC .过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q .(1)证明：Q 为BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA 1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．分析：(1)由面面平行判定定理结合题目中的条件，推出平面QBC ∥平面A 1AD ，再由面面平行的性质定理推出QC ∥A 1D ，再结合另外两组对边也对应平行可知△QBC ∽△A 1AD ，从而得出Q 为BB 1的中点．(2)先分别求出1Q A AD V -与V Q －ABCD ，则V 下便为两者之和，再由1111A B C D ABCD V V V -=-下上求出V 上，从而求得V V 上下的值． (3)用一般方法找出二面角的平面角为本题关键所在，通过相关运算求得此平面角的某个三角函数值，从而得出该平面角．还可借助于空间向量这一工具，建立适当的坐标系，写出相应点的坐标，进而求出两个平面的法向量，利用两个法向量与二面角的平面角的关系求出平面角．(1)证明：因为BQ ∥AA 1，BC ∥AD ，BC ∩BQ ＝B ，AD ∩AA 1＝A ， 所以平面QBC ∥平面A 1AD .从而平面A 1CD 与这两个平面的交线相互平行，即QC ∥A 1D . 故△QBC 与△A 1AD 的对应边相互平行，于是△QBC ∽△A 1AD .所以1112BQ BQ BC BB AA AD ===，即Q 为BB 1的中点． (2)解：如图1，连接QA ，QD .设AA 1＝h ，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC ＝a ，则AD ＝2a .图111112323Q A AD V a h d ahd -=⋅⋅⋅⋅=，12113224Q ABCD a a V d h ahd -+⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，所以1712Q A AD Q ABCD V V V ahd --=下＝＋， 又111132A B C D ABCD V ahd -=，所以1111371121212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd -=-=-=下上. 故117V V =上下. (3)解法一：如图1，在△ADC 中，作AE ⊥DC ，垂足为E ，连接A 1E . 又DE ⊥AA 1，且AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面AEA 1，于是DE ⊥A 1E .所以∠AEA 1为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． 因为BC ∥AD ，AD ＝2BC ，所以S △ADC ＝2S △BCA . 又因为梯形ABCD 的面积为6，DC ＝2， 所以S △ADC ＝4，AE ＝4. 于是tan ∠AEA 1＝1AA AE ＝1，1π4AEA ∠=. 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4. 解法二：如图2，以D 为原点，DA ，1DD 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA ＝θ.图2因为S ABCD ＝22a a+·2sin θ＝6， 所以2sin a θ=. 从而C (2cos θ，2sin θ，0)，14,0,4sin A θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以DC ＝(2cos θ，2sin θ，0)，1404sin DA θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，.设平面A 1DC 的法向量n ＝(x ，y,1)．由144=0sin 2cos 2sin 0,DA DC x y θθθ⎧⋅=+⎪⎨⎪⋅=+=⎩，n n 得x ＝－sin θ，y ＝cos θ. 又因为平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)， 所以cos 〈n ，m〉＝||||2⋅=n m n m . 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4. 21．(本小题满分13分)(2014安徽，理21)设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足11pa c >，111p n n n p ca a a p p--=+＋，证明：11p n n a a c >>＋.分析：(1)考虑到欲证不等式与正整数p 有关，因此可采用数学归纳法证明．(2)有两种思路．一种思路是先用数学归纳法证明1pn a c >，再证明数列{a n }是递减数列，二者结合即可证得结论，其中在证1pn a c >时，要注意第(1)问结论的应用和第(2)问中所给条件式的变形及应用；另一种思路是构造函数()11p p cf x x x p p--=+，然后利用导数证得f (x )在[1pc ，＋∞)上单调递增，从而可得()1pf x c >，在此基础上再运用数学归纳法证明11pn n a a c >>＋成立．(1)证明：用数学归纳法证明．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2＞1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k ＞1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k ＞(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2＞1＋(k ＋1)x . 所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x ＞－1，x ≠0时，对一切整数p ＞1，不等式(1＋x )p ＞1＋px 均成立． (2)证法一：先用数学归纳法证明1pn a c >. ①当n ＝1时，由题设11p a c >知1pn a c >成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式1pk a c >成立． 由111p n n n p ca a a p p--=+＋易知a n ＞0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，1111+1p k k p k k a p c ca a p p p a -+⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭. 由10pk a c >>得111(1)0Pk cp p a -<-<-<. 由(1)中的结论得111()[1(1)]1(1)p pk P P P k k k ka c c c p a p a p a a +=+->+⋅-=.因此1P k ac +>，即11pk a c +>.所以n ＝k ＋1时，不等式1pn a c >也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立． 再由111(1)n P n n a ca p a +=+-可得11n na a +<，即a n ＋1＜a n . 综上所述，11pn n a a c +>>，n ∈N *.证法二：设()11p p cf x x x p p --=+，1p x c >，则x p ≥c ，并且()11(1)(1)0p p p c p cf x p x p p p x---'=+-=->，1p x c >.由此可得，f (x )在[1pc ，＋∞)上单调递增． 因而，当1px c >时，()11()ppf x f c c >=. ①当n ＝1时，由110pa c >>，即a 1p ＞c 可知121111111[1(1)]p p p c c a a a a a p p p a --=+=+-<，并且121()p a f a c =>，从而112p a a c >>.故当n ＝1时，不等式11pn n a a c +>>成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )＞f (a k＋1)＞1()p f c ，即有112pk k a a c >>＋＋. 所以n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．。