黑龙江省牡丹江一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x∈Z|0＜x≤3}，则集合A的非空子集个数为( )个．A．15 B．16 C．7 D．82．下列函数是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减的是( )A．y=2x B．y=log2x C．y=|x| D．y=x﹣23．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=( )A．3 B．C．9 D．4．三个数70.3，0.37，log30.7的大小关系是( )A．B．70.3＞0.37＞log30.7C．0.37＞70.3＞log30.7 D．5．函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是( )A．B．C．D．6．在用二分法求方程x3﹣x﹣1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可判定该根所在区间为( )A．（1，1.25）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（1.25，1.5）7．已知函数f（x）=2﹣x和函数x，则函数f（x）与g（x）的图象关于( )对称．A．x轴B．y轴C．直线y=x D．原点8．已知R是实数集，集合P={m∈R|mx2+4mx﹣4＜0对∀x∈R都成立}，Q={x|y=ln（x2+2x）}，则（∁R P）∩（∁R Q）=( )A．{x|﹣2≤x≤﹣1} B．{x|﹣2≤x≤﹣1或x=0}C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或x=0}9．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，请根据以上数据作出分析，这个经营部将销售单价定为( )元时才能获得最大的利润．A．10.5 B．6.5 C．12.5 D．11.510．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上单调递减，且有f（2）=0，则使得（x﹣1）•f（log3x）＜0的x的范围为( )A．（1，2）B．C．D．11．给出下列命题：（1）函数和是同一个函数；（2）若函数，则函数f（x）的单调递减区间是其中正确命题的个数有( )个．A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．命题“若x＞0，则”的逆否命题为__________．14．已知f（1+x）=x2+2x﹣1，则f（x）=__________．15．已知关于x方程|x2+2x﹣3|=a（a∈R）有两个实数解，则a的取值范围是__________．16．已知函数，x∈（k＞0）的最大值和最小值分别为M和m，则M+m=__________．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）已知，求x+x﹣1的值；（2）计算的值．18．（1）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a•b）=f（a）+f（b）”的函数的例子；（2）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b）”的函数的例子；（3）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a•b）=f（a）•f（b）”的函数的例子．19．已知函数f（x）=1﹣，x∈（﹣∞，0），判断f（x）的单调性并用定义证明．20．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在．Q={x|y=ln（x2+2x）}={x|x2+2x＞0}={x|x＞0或x＜﹣2}，则∁R P={x|x＞0或x≤﹣1}，∁R Q={x|﹣2≤x≤0}，则（∁R P）∩（∁R Q）={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．9．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，请根据以上数据作出分析，这个经营部将销售单价定为( )元时才能获得最大的利润．A．10.5 B．6.5 C．12.5 D．11.5【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，然后根据销售利润=日均销售量×销售单价利润，建立等式关系，然后根据二次函数的性质求出x=﹣即可．【解答】解：设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y=（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200，=﹣40x2+440x+280，∵﹣40＜0，∴当x=﹣=5.5时函数有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，利用数学知识解决实际问题是中考中考查重点．10．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上单调递减，且有f（2）=0，则使得（x﹣1）•f（log3x）＜0的x的范围为( )A．（1，2）B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在∴0＜x＜或1＜x＜9故选：C．【点评】本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11．给出下列命题：（1）函数和是同一个函数；（2）若函数，则函数f（x）的单调递减区间是（4）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数，x＞0时，﹣x＜0，F（﹣x）=f（x）=F（x）；x＜0时，﹣x＞0，F（﹣x）=f（﹣x）=F（x），故函数F（x）是偶函数，当a＞0时，|log2x|=，即log2x=或log2x=﹣各有一个正根，即F（x）﹣2=0有两个正根，由函数F（x）是偶函数，可得F（x）﹣2=0也有两个负根，故方程F（x）﹣2=0有四个根，即函数y=F（x）﹣2有四个零点，故正确；故正确的命题有3个，故选：C．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了同一函数的定义，函数的单调性，函数的奇偶性，函数的对称性，充要条件，函数的零点等知识点，难度中档．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为( )A．B．C．D．【考点】命题的真假判断与应用；全称命题．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得4a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=，x≥a2，得f（x）≥﹣a2；由f（x）=，0≤x＜a2，得f（x）＞﹣a2．∴当x≥0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），如图，∴4a2﹣（﹣4a2）≤1，即8a2≤1，解得：﹣≤a≤．∴实数a的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式4a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．命题“若x＞0，则”的逆否命题为若，则x≤0．【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】计算题；规律型；转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】直接利用逆否命题写出结果即可．【解答】解：命题“若x＞0，则”的逆否命题为：若，则x≤0．故答案为：若，则x≤0．【点评】本题考查逆否命题的定义的应用，基本知识的考查．14．已知f（1+x）=x2+2x﹣1，则f（x）=x2﹣2．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用配方法，求解函数的解析式即可．【解答】解：f（1+x）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，则f（x）=x2﹣2．故答案为：x2﹣2．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．15．已知关于x方程|x2+2x﹣3|=a（a∈R）有两个实数解，则a的取值范围是a=0，或a＞4，．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】画出函数y=|x2+2x﹣3|的图象，数形结合，可得满足条件的a的取值范围．【解答】解：函数y=|x2+2x﹣3|的图象，由函数y=x2+2x﹣3的图象纵向对折变换得到，如下图所示：若关于x方程|x2+2x﹣3|=a（a∈R）有两个实数解，则a=0，或a＞4，故答案为：a=0，或a＞4【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，画出满足条件的函数图象，是解答的关键．16．已知函数，x∈（k＞0）的最大值和最小值分别为M和m，则M+m=8．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】整体思想；构造法；函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）变形，构造函数g（x）=log2（x+）+，x∈（k＞0），判断它为奇函数，设出最大值和最小值，计算即可得到所求最值之和．【解答】解：函数=log2（x+）+5﹣=log2（x+）++4，构造函数g（x）=log2（x+）+，x∈（k＞0），即有g（﹣x）+g（x）=log2（﹣x+）++log2（x+）+=log2（1+x2﹣x2）++=0，即g（x）为奇函数，设g（x）的最大值为t，则最小值即为﹣t，则f（x）的最大值为M=t+4，最小值为m=﹣t+4，即有M+m=8．故答案为：8．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用构造函数，判断奇偶性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）已知，求x+x﹣1的值；（2）计算的值．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用平方关系，直接求解即可．（2）利用对数运算法则以及指数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1），x+x﹣1==9﹣2=7（2）=2﹣2×2﹣log63﹣log62=﹣3．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂运算法则的应用，考查计算能力．18．（1）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a•b）=f（a）+f（b）”的函数的例子；（2）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b）”的函数的例子；（3）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a•b）=f（a）•f（b）”的函数的例子．【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据条件分别判断抽象函数满足的函数模型进行求解即可．【解答】解：（1）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a•b）=f（a）+f（b）”的函数模型为对数函数模型，则f（x）=log2x或f（x）=log x满足条件；（2）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b）”的函数模型为指数函数模型，则f（x）=2x或f（x）=（）x满足条件；（3）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a•b）=f（a）•f（b）”的函数模型是幂函数模型，则f（x）=x2或f（x）=x满足条件；【点评】本题主要考查抽象函数的理解和应用，根据指数函数，对数函数，幂函数的数学模型是解决本题的关键．19．已知函数f（x）=1﹣，x∈（﹣∞，0），判断f（x）的单调性并用定义证明．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】可以看出x增大时，增大，从而f（x）增大，从而得出该函数在（﹣∞，0）内单调递增．根据增函数的定义，设任意的x1＜x2＜0，然后作差，通分，证明f（x1）＜f（x2）即可得出f（x）在（﹣∞，0）内单调递增．【解答】解：x增大时，减小，增大，f（x）增大，∴f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，证明如下：设x1＜x2＜0，则：；∵x1＜x2＜0；∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）内单调递增．【点评】考查增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后，是分式的一般要通分．20．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在【分析】（1）根据二次函数的性质建立不等式关系即可．（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可求出函数的解析式．【解答】解：（1）∵f（x）=4x2﹣kx﹣8在1）求集合A；2）若函数，求函数f（x）的值域．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）由，解得x范围即可得出；（2）f（x）=（log2x﹣3）（log2x﹣2）=﹣，由x∈A，可得log2x≥1，且log2x≠2，即可得出函数f（x）的值域．【解答】解：（1）由，解得x≥2，且x≠4．∴A={x|x≥2且x≠4}．（2）f（x）=（log2x﹣3）（log2x﹣2）=﹣5log2x+6=﹣，∵x∈A，∴log2x≥1，且log2x≠2，∴当log2x∈；当log2x∈时，f（x）∈；当log2x∈时，f（x）∈．∴函数f（x）的值域是【点评】本题考查了函数的定义域与值域、对数的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．设函数g（x）=3x，h（x）=9x（1）解方程：h（x）﹣24g（x）﹣h（2）=0；（2）令，求的值；（3）若是实数集R上的奇函数，且f（h（x）﹣1）+f（2﹣k•g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】（1）整理可得9x﹣24×3x﹣81=0，解二次方程得3x=27，进而求出x值；（2）求出=，发现题中所求自变量值和等于1，探索p（x）+p（1﹣x）=+=1，进而得出=1006+p（）=；（3）利用函数的单调性，奇偶性得出32x﹣1＞k•3x﹣2对任意的x∈R都成立，转换为恒成立问题进行求解．【解答】解：（1）h（x）﹣24g（x）﹣h（2）=0，∴9x﹣24×3x﹣81=0，∴3x=27，x=3；（2）令=，∴p（1﹣x）=，∵p（x）+p（1﹣x）=+=1，∴=1006+p（）=；（3）因为是实数集R上的奇函数，所以，解得a=﹣3，b=1，经检验符合题意，从而，由指数函数性质知：f（x）在实数集R上单调递增．由f（h（x）﹣1）+f（2﹣k•g（x））＞0得f（h（x）﹣1）＞﹣f（2﹣k•g（x）），又因为f（x）是实数集R上的奇函数，所以f（h（x）﹣1）＞f（k•g（x）﹣2）又因为f（x）在实数集R上单调递增，所以h（x）﹣1＞k•g（x）﹣2，即32x﹣1＞k•3x﹣2对任意的x∈R都成立，即对任意的x∈R都成立，令≥2，∴k＜2．【点评】考查了利用换元法解不等式，利用条件，找出题中的等量关系，恒成立问题．。