湖南省临澧县太浮镇九年级数学下册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 1.2.3 二次函数的图象与性质
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
外，还具有哪些性质？ 1. y＝x2 的图象是一条曲线; 2. 开口向上;
y y=x2
3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0);
4. x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简
称“左降”； 5. 当 x=0时，函数值最小，且为0．
o
x
典例精析 例1 已知点(-1，y1)，(-3，y2)都在函数 y=x2 的图象上， 则____y_1_＜__y_2___.
例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2，y3)都在函 数 y＝x2 的图象上，试写出 y1、y2、y3 的大小关系．
解：方法一：把 x ＝ －3，2 ，1，分别代入 y＝x2 中， 得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1＞y3＞y2；
方法二：如图，作出函数 y ＝ x2 的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知 y1 ＞ y3 ＞ y2 .
1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取 0 一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质
复习引入 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1. 一次函数 y = kx+b (k ≠ 0)
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b>0
b=0
o
x
湘教版九年级下册数学教案(第一章 二次函数)
九年级下册新湘教版数学教案—81 课时(此文件仅含第一章教案11课时)第一部分 新课部分第一章 二次函数1.1 二次函数 1 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式13 1.2 二次函数的图象与性质(1) 3 1.4 二次函数与一元二次方程的联系15 1.2 二次函数的图象与性质(2) 5 1.5 二次函数的应用17 1.2 二次函数的图象与性质(3) 7 小结与复习(1) 19小结与复习(2) 21 1.2 二次函数的图象与性质(4) 91.2 二次函数的图象与性质(5) 11第二章 圆2.1 圆的对称性23 2.5.3 切线长定理41 2.2.1 圆心角25 2.5.4 三角形的内切圆43 2.2.2 圆周角(1) 27 2.6 弧长和扇形面积(1) 45 2.2.2 圆周角(2) 29 2.6 弧长和扇形面积(2) 47 2.3 垂径定理31 2.7 正多边形与圆49 2.4 过不共线三点作圆33 小结与复习(1) 51 2.6.1 直线与圆的位置关系35 小结与复习(2) 53小结与复习(3) 55 2.5.2 圆的切线(1) 372.5.2 圆的切线(2) 39第三章 投影与视图3.1 投影57 3.3 三视图63小结与复习 65 3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图 593.3 三视图61第四章 概率4.1 随机事件与可能性 67 4.2.2 用列举法求概率(2) 75 4.1 随机事件与可能性 69 4.3 用频率估计概率77 4.2.1 概率的概念 71小结与复习 79 4.2.2 用列举法求概率(1) 73第二部分 中考复习代 数1.1 实数及其运算 12.4 一元二次方程211.1 实数及其运算 32.5 整式方程的应用23 1.2 代数式与整式 5 2.6 分式方程25 1.3 因式分解7 2.6 分式方程的应用27 1.4 分 式93.1 平面直角坐标系及函数的有关概念 291.5 二次根式11 3.2 一次函数312.1 一元一次方程、分式方程133.3 反比例函数33 2.2 二元一次方程组15 3.4 二次函数35 2.3 一元一次不等式(组) 17 3.5 函数的应用372.3 一元一次不等式(组)的应用19几 何4.1.1 线段、角、相交线39 4.9 圆的有关性质59 4.1.2 平行线的判定和性质41 4.10 直线与圆的位置关系61 4.2.1 三角形的基础知识43 4.11 弧长和扇形的面积计算63 4.2.2 全等三角形45 4.12 视图与投影65 4.3 等腰三角形475.1图形的对称、平移和旋转67 4.4 直角三角形49 5.2相似与位似图形69 4.5 尺规作图51 5.2相似与位似图形71 4.6 多边形及多边形的内角和53 5.3锐角三角函数与解直角三角形73 4.7 平行四边形55 5.4解直角三角形及其应用75 4.8 矩形、菱形、正方形57统 计6.1 数据的收集与整理77 6.3概率初步81 6.2 数据的分析79第一章 二次函数 1课 时 教 案课题1.1 二次函数 第1课时 总序第个教案课型新授编写时间年 月 日执行时间 月 日 执教：教学目标： 知识与技能：使学生了解二次函数的概念和二次函数的一般表达式；学会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．过程与方法：在实际情境中经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．情感、态度与价值观：通过对本节内容的研究，培养学生学习数学的严谨方法．教学重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念． 教学难点：建立二次函数数学模型． 教学用具：课件． 教学方法：启发探索法、讲授法、讨论法相结合．教学过程： 一．创设情境 引入课题导入一 欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球，同学们课余游戏抛硬币，石拱桥的桥拱……导入二 观察：篮球投篮时，掷铅球时，抛硬币时……在空中运行的路线是一条什么样的路线？导入三 我们已知道，可以建立数学模型一次函数y = kx +b (k ≠0)来刻画直线，反比例函数y =kx (k ≠0)来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系——二次函数．二．合作交流 解读探究[回顾复习]1．什么叫做函数?2．说一说一次函数和反比例函数的一般表达式，自变量的取值范围． 学生回答后，点评．[讨论探究][课件展示]学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图所示．已知篱笆墙的总长度为100m ．设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为x (m)那么矩形植物园的面积S (m 2)与x之间有何关系?(1)学生阅读审题，独立思考，自主探索．设与围墙相邻的每一面墙的长都为x m ，则与围墙相对的一面墙的长为( 100-批 注课时教案第一章 二次函数 3第一章 二次函数 4课时教案第一章 二次函数 5第一章 二次函数6课时教案第一章 二次函数 7课时教案课时教案课时教案课时教案课时教案课 时 教 案课题 小结与复习 第1课时 总序第 1 个教案 课型 复习 编写时间 年 月 日执行时间 月 日 执教：教学目标：知识与技能：通过对本章知识的梳理，使学生深刻理解二次函批 注数的概念、图象与性质．过程与方法：能灵活运用二次函数的概念与性质解决有关数学问题．情感、态度与价值观：进一步了解本章内容中蕴含的数学思想与方法在解决问题时的作用，提高学生分析问题、解决问题的能力．教学重点：二次函数的概念、图象与性质．教学难点：二次函数图象与性质的运用．教学用具：课件.教学方法：自学、探究讨论与练习相结合.教学过程一．回顾复习引入课题1．归纳：(1) 二次函数的图象都是抛物线．(2) 画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的步骤：①配方，写成y=a (x-h)2+k的形式；②写出对称轴和顶点坐标，并在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点．③列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分．④利用对称性描出对称轴左边的对应点，连线．2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的特征与系数a，b，c的关系：(1) a决定抛物线开口方向：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下．(2) a，b决定对称轴位置：a，b同号，对称轴在y轴左侧；a，b异号，对称轴在y轴右侧．(3) c决定抛物线与y轴交点位置：c＞0，交点在y轴正半轴上；c=0，交点在原点；c＜0，交点在y轴负半轴上．(4) 抛物线与横轴交点个数由b2-4ac确定：b2-4ac＞0，有两个不同的交点；b2-4ac =0，有两个重合的交点；b2-4ac＜0，没有交点．二．合作交流解读探究1．举例复习二次函数的概念及二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质．例1．已知函数y = (m +2)x24＋是关于x的二次函数，求：m m(1) 满足条件的m值；(2) m为何值时，函数有最小值？最小值是什么？这时当x为何值时，y随x增大而增大？(3) m为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x为何值时，y随x增大而减小？解：由题意，得：课 时 教 案。
湘教版九年级数学下册第1章二次函数课件
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
首页
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
首页
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
首页
合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
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观察
观察下图，函数 外，还有哪些性质？
的图象y 除= 了x上2 面已经知道的关于y轴对称和“右升”
从下图中可一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是
原点（0，0）；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取 值的增大而减小， 简称为“左降”；
当x=0时，函数值最小，最小值为0.
以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向 水y把=二平ax2次向(函右a＜数，0yy)轴 =的a的x图2正象的方的图向一象竖段这直.样由向的此上曲受，线到则叫启可作发以抛，看物我出线们棒，球简在称空为中抛经物过线的y=路ax线2.是形如
一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称. 抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
例2 画二次函数 解 列表：
的y图=象-.
1 4
x2
x
0
1
2
3
4
y
=
-
1 4
x2
0
-1 4
-9
-1
4
-4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.
这样我们得到了
的y =图-象14. x2
说一说
如下图所示2 ，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与 二次函数y=ax (a＜0)的图象相像吗？
y
=
1 2
x
2
Q
y
=
-
1 2
x2
观察
观察下图，函数
的y图=像-具12有x哪2些性质？
从图中可以看出，二次函数y = -12的x2图象是一条曲线，
湘教版九年级下册数学 第1章 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
4．【中考·上海】下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
【点拨】A.∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B．∵
，∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，选项B不正确；
b 1 1 C．当x＝0时，y＝x2－x＝0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
【答案】D
6．【2021·江西】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx ＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
D
7. (易错题)若二次函数y＝ax2＋bx＋a2－4(a，b为常数)的图象如图所示，则a的值 为________． －2
【点拨】根据函数图象经过坐标原点可以确定a2－4＝0，解得 a＝±2.再利用图象开口向下进一步确定a＜0，∴a＝－2.本题 易错点是根据图象经过坐标原点求出a＝±2后忽略图象开口 向下的限制，不能进一步判断a的符号．
【答案】A
13．【原创题】若抛物线y＝－2x2－qx＋2q＋5中不论q为何值时都通过定点，
则定点坐标为__________．
(2，－3)
【点拨】∵y＝－2x2－qx＋2q＋5可化为y＝－2x2－q(x－2)＋5，当x＝2时， y＝－3且与q的取值无关．故不论q为何值时都通过定点(2，－3)．
14．定义：若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形， 则称这条抛物线为“直角抛物线”．
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
解：由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝ .
1
∴点Q(1，n)关于直线x＝ 对称的点为点(0，n)．
湘教版九年级下册数学 第1章 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1
D．y2>y1>y3
*13.【中考·咸宁】已知点 A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m－
n)(n>0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )
A．y＝x C．y＝x2
B．y＝－2x D．y＝－x2
【点拨】∵A(－1，m)，B(1，m)，∴点 A 与点 B 关于 y 轴对称．∵y＝x，y＝－2x的图象关于原点对称，∴A，B 错误．∵n>0，∴m－n<m， 由 B(1，m)，C(2，m－n)可推测，在 y 轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，对于二次函数 y＝ax2 而言，只有 a<0 时， 在 y 轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，∴D 正确．
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
解：由题意得 3a－2＜0，解得 a＜23. (3)抛物线 y＝(a＋2)x2 与抛物线 y＝－12x2 的形状相同．
由题意得|a＋2|＝－12，解得 a1＝－52，a2＝－32.
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
3．抛物线y＝－3x2的顶点坐标是( D ) A．(－3，0) B．(－2，0) C．(－1，0) D．(0，0)
4．若二次函数y＝ax2的图象过点P(2，－4)，则该图象必 经过点( ) B
A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2)
5．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述中正确的 有( ) A
【答案】D
14．函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为____0____，最小值 为___－__4___．
【易错总结】本题易忽略在取值范围中当x＝0时取得 最大值，最大值为0，而不是当x＝1时取得最大值．
湘教版九年级数学下册1.2.1：二次函数的图象和性质课件(19张ppt)
0
0.5
2
4.5 ...
在平面直角坐标系 内，以x取的值为横坐标，相 应的函数值为纵坐标，描出 相应的点，如右图
连线：根据上述分析，我们
可以用一条光滑曲线把原点和 y轴右边各点顺次连接起来； 然后利用对称性，画出图象在 y轴左边的部分（把y轴左边的 对应点和原点用一条光滑曲线 顺次连接起来），这样就得到 了 y 1 x2 的图象．如图
对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
的图象．并比较它们的共同点和不同点。
4
列表
x
0
0.5
1
2
y 2x2
0
0.5
2
8
描点 连线
y 2x2
思考：
列表
x
y 1 x2 4
a的绝对值越大 图像的开口度越小
0
1
2
3
4
1
9
0
4
1
4
4
描点 连线
y 2x2
y 1 x2 4
结论：
二次函数
（a>0)的性质：
1.图象的对称轴是___y_轴__，对称轴与图象的交点是_O_（__0_，__0_）___; 图象的开口向____上____；
湖南省临澧县太浮镇九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图象与性质1.2.2二次函数的图象与性质同步检
1.2.2二次函数的图象与性质同步检测一、选择题：1．下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y ＝－2x 2的图象上的是 . 2．下列二次函数中①y ＝－3x 2；②y ＝57x 2；③y ＝10x 2；④y ＝－211x 2.开口方向向下的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．两条抛物线y ＝4x 2与y ＝－4x 2在同一坐标系中，下列说法中不正确的是( )A ．顶点坐标相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4．下列关于二次函数y ＝－43x 2的性质，正确的是( ) A ．顶点为(0，－43) B ．对称轴是y 轴 C ．当y ＝－43时，x ＝1 D ．有最小值 5．已知y ＝nxn 2－2是二次函数，且有最大值，则n 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．n ≠06．(毕节中考)抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．都有最低点 D ．y 随x 的增大而减小7．已知点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在抛物线y ＝－2x 2上，且x 1＞x 2＞0，则下列结论中正确的是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1＝y 2D ．以上都不对8．二次函数y ＝－115x 2的最大值是( ) A ．x ＝－115 B ．x ＝0 C ．y ＝－115D ．y ＝0 9．已知点A(－1，y 1)，B(－2，y 2)，C(－2，y 3)在函数y ＝－x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 1＞y 30．(长沙中考)函数y ＝a x 与y ＝ax 2(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )二、填空题：11．抛物线y ＝ax 2上一点A(m ，n)，则点A 关于对称轴对称的点B 的坐标是 .12．已知抛物线y ＝(a －4)x 2的图象有最高点，则a 的取值范围是 .三、画图与解答：13．画二次函数y ＝－x 2的图象．14．已知抛物线y ＝kxk 2＋k 中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．(1)求k 的值；(2)作出函数的图象．15．已知二次函数y ＝－12x 2. (1)当x ＝32时，函数值y 是多少？ (2)当y ＝－8时，x 的值是多少？(3)当x<0时，随着x 值的增大，y 值如何变化？当x>0时，随着x 值的增大，y 值如何变化？(4)当x 取何值时，y 值最大，最大值是多少？16．已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与一次函数y ＝kx －2的图象相交于A 、B 两点，如图所示，其中A(－1，－1)，求△OAB 的面积．参考答案1．(－1，－2)2.B3.D4.B5.B6.B7.B8.D9.A10.D11.(－m ，n)12.a ＜413.图略．14.(1)∵抛物线y ＝kxk 2＋k 中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2＋k ＝2.解得k ＝－2.∴函数的解析式为y ＝－2x 2.(2)图略．15.(1)当x ＝32时，y ＝－12×(32)2＝－98.(2)当y ＝－8时，－12x 2＝－8，解得x ＝±4.(3)当x<0时，随着x 值的增大，y 值逐渐增大；当x>0时，随着x 值的增大，y 值逐渐减小．(4)当x ＝0时，y 值最大，最大值是0.挑战自我16.∵点A(－1，－1)在抛物线y ＝ax 2(a ≠0)上，也在直线y ＝kx －2上，∴－1＝a ·(－1)2，－1＝k ·(－1)－2，解得a ＝－1，k ＝－1.∴两函数的解析式分别为y ＝－x 2，y ＝－x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－x －2解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－4.∴点B 的坐标为(2，－4)．∵y ＝－x －2与y 轴交于点G ，则G(0，－2)，∴S △OAB ＝S △OAG ＋S △OBG ＝12×(1＋2)×2＝3.。
湘教版九年级数学下册二次函数的图象与性质课件
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图象与性质1.2.1二次函数y=ax2a＞0的图象与性质课件新版湘教版
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
目标二 理解二次函数y＝ax2(a＞0)的图象与性质
例 2 [教材补充例题] 已知函数 y＝kxk2－k 是关于 x 的二次函数，且其图象在对称轴左侧的部分，y 随 x 的增大而减小．
(1)求这个二次函数的表达式以及其图象的对称轴； (2)求当 x＝1 时的函数值．
③ 根据老师的提示抓住老“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
【归纳总结】二次函数 y＝ax2(a＞0)的图象与性质：
(1) 二次函数 y＝ax2(a＞0)的图象以 y 轴为界限，“左降”
“右升”．
(2)在 y 轴左侧(即 x＜0 时)，图象呈下降趋势，自变量 x 越大，函数值 y 反而越小；在 y 轴右侧(即 x＞0 时)，图象 呈上升趋势，自变量 x 越大，函数值 y 也越大． 反过来，根据二次函数 y＝ax2 的图象“左降”“右升”这一 特征，我们也可以判定 a＞0.
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
(2)如图 1－2－1 所示．
图 1－2－1 上述解答过程是否正确？若不正确，请说明理由，并改正．
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
解：(2)不正确．在实际问题中，要考虑自变量的取值范围．本题中 x＞0， 图象如下：
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
湘教版九年级数学下册第一章《二次函数y=ax2的图象和性质》优课件
(3) 连线： y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1 2 3 4 5 x
二次函数y=x2的图象具有哪些特征?函数具有
哪些性质？
二次函数y=x2的图象特征和函数性质
图 顶点 ． 象 开口 特 征 对称性
原点, 是图象的最低点． 开口向上． 关于y轴对称．
探究 画二次函数y=x2的图象
(2) 描点：
y
10
A’
9
A
8
7
6
5
B’ 4
B
3
2
C’ 1 C
问题：观察左图，你能结合图象检 验刚才的猜测吗？
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1 2 3 4 5 x
探究 画二次函数y=x2的图象
(2) 描点： y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1 2 3 4 5 x
列表
描点、连线 利用对称性，画出 图象在y轴左边的对 称点，并用一条光 滑曲线把y轴左边的 点和原点顺次连接 起了y来，1这x 2的样图就象得.到 2
练习 在同一直角坐标系中画出二次函数y＝3x2及 y 1 x 2
4
的图象， 并比较它们的共同点与不同点.
相同点：两函数图象顶点都是原点且是图象的最低点， 开口都向上，都是轴对称图形，对称轴是y轴，在y轴左侧 的函数值随自变量取值的增大而减小，在y轴右侧的函数值 随自变量取值的增大而增大，x=0时，函数y取最小值0．
函 数
增减性
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变 量取值的增大而减小，简称为“左降”.
性 质
也可表示为：x<0时，y随x的增大而减小； x>0时，y随x的增大而增大．
九年级数学下册 第1章 二次函数1.2 二次函数的图象与性质第4课时 二次函数y=a(x-h)2+
九年级数学下册 第1章 二次函数1.2 二次函数的图象与性质第4课时 二 次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象与性质作业课件（新版）湘教版
九年级数学下册 第1章 二次函数1.2 二 次函数的图象与性质第4课时 二次函数 y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象与性质作业
课同件学（们新，版下）课湘休教息版十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
结束语
九年级数学下册 第1章 二次函数1.2 二次函数的 图象与性质第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0） 的图象与性质作Fra bibliotek课件（新版）湘教版
湘教版九年级下册数学 第1章 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
*9.【中考·黄冈】当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最 小值为1，则a的值为( )
A．－1B．2C．0或2D．－1或2
【点拨】∵当x＝0或x＝2时，函数y＝x2－2x＋1＝(x－ 1)2的值为1，∴①当x≤0时，y有最小值1；②当0＜x＜2 时，y有最小值0；③当x≥2时，y有最小值1.∵当a≤x≤a ＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，∴a＋1＝0或a ＝2.∴a＝－1或a＝2.
14．已知抛物线 y＝a(x－h)2 向右平移 3 个单位后得到抛物 线 y＝14x2.
(1)直接写出 a、h 的值； 解：a＝14，h＝－3.
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标．
解：抛物线 y＝14(x＋3)2 的对称轴为直线 x＝－3，顶点 坐标为(－3，0)．
15．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位后，顶点为A， 与y轴交于点B，且△AOB 为等腰直角三角形．
【答案】D
10．【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋ 2)2，则这个平移过程正确的是( ) A A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
11．把函数y＝－3x2的图象沿x轴向左平移5个单位，得到 的图象的表达式为( ) C
A．y＝－3x2＋5 B．y＝－3x2－5 C．y＝－3(x＋5)2 D．y＝－3(x－5)2
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知二次函数y＝3(x＋2)2与y＝3(x－2)2，下列有关函 数的图象说法中错误的是( A ) A．形状相同，开口方向相反 B．对称轴关于y轴对称 C．顶点关于y轴对称 D．关于y轴对称
5．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y ＝a(x＋c)2的图象可能为( B )
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1.2.3二次函数的图象与性质同步检测
一、选择题：
1．如果将抛物线y ＝x 2
向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( ) A ．y ＝x 2
－1 B ．y ＝x 2
＋1 C ．y ＝(x －1)2
D ．y ＝(x ＋1)2
2．将抛物线y ＝x 2
平移得到抛物线y ＝(x ＋2)2
，则这个平移过程正确的是( ) A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向上平移2个单位 D ．向下平移2个单位 3．抛物线y ＝－3(x ＋6)2
的对称轴是直线( ) A ．y ＝－6 B ．y ＝6 C ．x ＝－6 D ．x ＝6
4．已知抛物线的解析式为y ＝5(x －2)2
，则抛物线的顶点坐标是( ) A ．(－2，0) B ．(2，0) C ．(－2，5) D ．(2，5) 5．抛物线y ＝2(x －3)2
的顶点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．x 轴上
D ．y 轴上
6．对于抛物线y ＝35(x ＋4)2
，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x ＝4；③顶点坐标
为(－4，0)；④x ＞－4时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．抛物线y ＝－2(x －1) 2
与抛物线y ＝－2x 2
( )
A ．开口方向相同
B ．对称轴相同
C ．顶点相同
D ．都有最低点 二、填空题：
8．(1)抛物线y ＝3(x －1)2的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ； (2)抛物线y ＝－3(x －1)2的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
9．抛物线y ＝－(x ＋3)2，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小．
10．抛物线y ＝(x －1)2的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线y ＝x 2
向 平移 个单位得到的．
11．已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2
的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ．
12．若函数y ＝a(x ＋m)2的图象是由函数y ＝5x 2
的图象向左平移32个单位长度得到的，则a ＝ ，m
＝ .
13．二次函数y ＝15
(x －2)2
，当x ＝ 时，y 有最 值，这个值是 ．
14．某一抛物线和y ＝－3x 2
的图象形状相同，对称轴平行于y 轴，并且顶点坐标是(－1，0)，则此抛物线的解析式是 . 三、解答
15．二次函数y ＝－6(x ＋3)2
的图象是由y ＝－6x 2
的图象经过怎样的平移得到的？
16．已知抛物线y ＝2x 2
和y ＝2(x －1)2
，请至少写出两条它们的共同特征．
17．已知：抛物线y ＝－14(x ＋1)2
.
(1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表；
x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … y
…
－9
－4
－1
－1
－4
－9
…
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．
18．已知二次函数y ＝2(x －1)2
. (1)当x ＝2时，函数值y 是多少？ (2)当y ＝4时，x 的值是多少？
(3)当x 在什么范围内时，随着x 值的增大，y 值逐渐增大？当x 在什么范围内时，随着x 值的增大，y 值逐渐减少？
(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x 的值是多少？
19．分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝13x 2得到抛物线y ＝13(x ＋2)2和y ＝13(x －2)2
？抛物线y
＝13(x ＋2)2和y ＝13(x －2)2
具有怎样的位置关系？
20．已知一条抛物线y ＝a(x －h)2
的顶点与抛物线y ＝－(x －2)2
的顶点相同，且与直线y ＝3x －13的交点A 的横坐标为3. (1)求这条抛物线的表达式；
(2)把这条抛物线向右平移4个单位后， 求所得的抛物线的表达式．
参考答案 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.A
8.(1)上 x ＝1 (1，0) (2)下 x ＝1 (1，0) 9.＜－3 ＞－3
10.向上 x ＝1 (1，0) 右 1 11.y 3<y 1<y 2 12.5 32
13.2 小 0 14.y ＝－3(x ＋1)2
15.向左平移3个单位．
16.答案不唯一，如：开口方向相同，开口大小相同，顶点均在x 轴上等．
17.(1)抛物线的对称轴为直线x ＝－1.(2)－7 －1 5 －4 －1 －1 －4 (3)如图
18.(1)当x ＝2时，y ＝2×(2－1)2
＝2.(2)当y ＝4时，2(x －1)2
＝4，解得x ＝1± 2.(3)当x>1时，随着x 值的增大，y 值逐渐增大；当x<1时，随着x 值的增大，y 值逐渐减小．(4)这个函数有最小值，最小值是0，这时x ＝1.
19.抛物线y ＝13(x ＋2)2是由抛物线y ＝13x 2向左平移2个单位得到的，抛物线y ＝13(x －2)2
是抛物线y
＝13x 2向右平移2个单位得到的；抛物线y ＝13(x ＋2)2和y ＝13
(x －2)2
关于y 轴对称． 20.(1)由题意可知：A(3，－4)．∵抛物线y ＝a(x －h)2
的顶点与抛物线y ＝－(x －2)2
的顶点相同，
∴h＝2.由题意，把点A的坐标(3，－4)代入y＝a(x－2)2，得－4＝a(3－2)2.∴a＝－4.∴这条抛物线的表达式为y＝－4(x－2)2.(2)把抛物线y＝－4(x－2)2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为y＝－4(x－6)2.。