(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6分项练14导数理

8＋6分项练14 导 数

1．(2018·四平模拟)定积分ʃ1

0x (2－x )d x 的值为( ) A.π4 B.π

2 C ．π D．2π 答案 A

解析 ∵y ＝x (2－x )，

∴(x －1)2

＋y 2

＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分ʃ10x (2－x )d x 等于该圆的面积的四分之一， ∴定积分ʃ10

x (2－x )d x ＝π4

. 2．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2

－2x )e x

－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是( )

A ．－e

B ．e

C ．－e 2

2 D ．4e 2

答案 A

解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x

－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x

(2x －2)－a x

＝e x (x 2

－2)－a x

(x >0)．

因为函数f (x )＝(x 2

－2x )e x

－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，

所以f ′(x )＝e x (x 2

－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x

≤e x (x 2

－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，

亦即a ≤e x (x 3

－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x

(x 3

－2x )，x >0，则

h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)

＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2

＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2

＋4x ＋2>0. 因为e x

>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0

所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减．

所以h (x )min ＝h (1)＝e 1

(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.

所以a 的最大值是－e.

3．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

ln (x ＋1)，x >0，1

2x ＋1，x ≤0，若m

－m 的取值范围为( ) A ．[3－2ln 2,2) B ．[3－2ln 2,2] C ．[e －1,2) D ．[e －1,2]

答案 A

解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，

若m

则当ln(x ＋1)＝1时，得x ＋1＝e ，即x ＝e －1， 则满足0

则ln(n ＋1)＝1

2m ＋1，即m ＝2ln(n ＋1)－2，

则n －m ＝n ＋2－2ln(n ＋1)，

设h (n )＝n ＋2－2ln(n ＋1)，0

2n ＋1＝n －1n ＋1

，00，解得1

h (1)＝1＋2－2ln(1＋1)＝3－2ln 2，

当n ＝0时，h (0)＝2－2ln 1＝2； 当n ＝e －1时，

h ()e －1＝e －1＋2－2ln(e －1＋1)＝e －1<2，

所以3－2ln 2≤h (n )<2，

即n －m 的取值范围是[3－2ln 2,2)．

4．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C 解析 令g (x )＝

f (x )x －2，则

g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )

(x －2)

2

， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，

即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即

f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)

4－2

，

即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．

5．若曲线C 1：y ＝ax 2

(a >0)与曲线C 2：y ＝e x

存在公共切线，则a 的取值范围为( )

A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 2

8 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 2

4

C.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫e 2

8，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫e 2

4，＋∞ 答案 D

解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2

)，(t ，e t )，则2am ＝e t

＝am 2－e t

m －t

，所

以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t

(t －2)

4(t －1)2，

则当t >2时，f ′(t )>0；当1

4，所以a ≥e

2

4

，故选D.

6．已知函数f (x )＝e x

|x |，关于x 的方程f 2

(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，

则a 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫e 2

－12e －1，＋∞ B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－∞，e 2

－12e －1