V带传动多目标优化设计
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4 MATLAB程序编制
4.1 主函数
% V带传动多目标优化设计
P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1; %已知条件
x0=[100;1250]; %初始点（小带轮直径，V带基准长度）
lb=[80;630];%最小带轮直径和A型V带基准长度
ub=[100;4000]; %最大带轮直径和A型V带基准长度
（4）可涉及仿真Simulink教学。90后学生学习软件，有一个共同点就是喜欢认识和探究软件的难点和高级的地方，喜欢自主操控软件、驾驭软件。老师可在这方面拓展一下，让学生认识一下matlAB软件的高级内容，吸引我们去探究。
（5）可结合最新相关知识和例子以使课堂气氛更加生动。老师可在教学过程结合最新科研成果、例子、新闻来触发90后学生的新鲜感。
根据资料显示有如下几种求解方法：统一目标法、主目标法、分层序列法、极大—极小法。本文应用统一目标法中的线性加权法，其中统一目标法指把多目标问题转化为单目标问题求解。
线性加权法的基本思路是把多目标函数 依其量级和在设计中的重要程度分配其相应的加权因子 ， 。且
然后将q个分目标函数统一成一个目标函数，即
P=4;i=3;KA=1.1;
f(1)=x(1); %f1小带轮基准直径
a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;
a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;
a=a1+sqrt(a1^2-a2);
f(2)=a; %f2中心距
P0=0.02424*x(1)-1.112879; %单根带额定功率
DP0=0.17; %查表功率增量
0.03
因此，中心距优化结果取300mm。
（3）带根数优化
由上文算得，带根数初步f(3)=3.5957，优化结果取得4。
本人学习课程一个学期以来，获益匪浅，特别是matlAB的函数处理模块，这将对本人以后的读研生涯有着极大潜在的帮助。谢谢老师！
建议：
（1）选择一本更加经典的教材。教材的内容和深度应该有助于将来在相关领域学习可以有更大参考价值和留存价值，而这本教材相对简单，内容少，上课完毕后很多同学直接把书压箱底，根本没有翻过，没有研究的兴趣。
其中加权因子 的选取办法如下：如果目标函数值的变动范围为 (j=1,2,3,…,q) ，则 为各目标的容限，取加权因子为 。
故求得单目标函数
。
在Matlab的优化工具箱中，fgoalattain函数用于解决此类问题。
其数学模型形式为：
min γ
F(x)-weight ·γ≤goal
c(x) ≤0
ceq(x)=0
KA为工况系数。
（3）约束条件
根据机械设计手册中带轮设计计算办法，可列得如下：
小带轮直径Fra Baidu bibliotek小于推荐的A型带轮最小直径 ，即 0 ；
带速不超过最大带速 ，即
小带轮包角大于 ，即
中心距大于 ，即
（4）确定分目标的权重
小带轮基准直径在80—100mm之间，中心距在320—400mm之间，带的根数为1—4。
（2）基础知识部分可在1~6周教完。原因：据我观察，没有强制的课程作业，本班有99%的同学不会在课下时候练习操作matlAB，都是上课时候去听老师讲，同时老师讲的很详细但速度慢。因此可提快速度，相应布置课堂作业让我们课下练习以巩固知识，大可不必担心我们的学习能力。
（3）7~11周建议课程教学内容与本专业联系更加密切，实例教学。对于理工科的学生，学习matlAB是为后续课程搭建好学习和实验研究的平台，可在课程教学过程中多引入专业例子来训练，可加深我们对matlAB的认识度。
goal=[75,280,2]; %分目标
w=[10^-2,40^-2,1.5^-2]; %分目标加权系数
[xopt,fopt]=fgoalattain(@VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,@VDCD_3mb_YS)
4.2
function f=VDCD_3mb_MB(x)
A x≤b
Aeq x=beq
lb≤x≤ub
其中，x,weight,goal,b,beq,lb和ub为向量，A和Aeq为矩阵，c(x),ceq(x)和
F(x)为函数，调用格式：
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b)
function[g,ceq]=VDCD_3mb_YS(x)
i=3;n1=1440;
g(1)=100-x(1);%小带轮直径约束
g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25;%带速约束
a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;
a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;
a=a1+sqrt(a1^2-a2);
alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a; %小带轮包角
Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数
KL=0.20639*x(2)^0.211806; %长度系数
f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %V带根数
4.3
%设置优化参数
1 1
5
xopt =
1.0e+003 *
0.1000
1.2269
fopt =
100.0000 281.5295 3.5957
5 结果优化处理
（1）带轮直径优化
图 A型V带轮的基准直径系列
由上文算得，小轮直径f(1)=100.0000mm，根据图 A型V带轮的基准直径系列所示，f(1)优化结果取值100mm。
[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]=fgoalattain(…)
说明：F为目标函数；x0为初值；goal为F达到的指定目标；weight为参数
指定权重；A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵与向量；lb、ub为变量x的上、下界向量；nonlcon为定义非线性不等式约束函数c(x)和等式约束函数ceq(x)；options中设置优化参数。
xlabel('序号')
ylabel('基准直径 ')
（2）中心距优化
由上文算得，中心距初步f(2)=281.5295mm。
首先计算带长
其中
算得 。根据《机械设计手册》优化带长基准长度为
1250mm
由于带轮的制造误差、带长误差、带的弹性以及因带的松弛而产生的补充张紧的需要常给出中心距的变动范围
0.015
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2)
[x,fval]=fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor]=fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor,exitflag,output]=fgoalattain(…)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
（2）目标函数
依上述分析可知目标函数包括三个分目标：
a．小带轮直径 min （X）= =
b．中心距 min （X）=a= +
其中， = /4- （i+1） /8， =（i-1 /8，传动比i=3 。
c．带的根数 min （X）=z= P/( + )
其中，
令
经过查表，可知A型带对应的K1，K2，K3分别是0.449，19.62， 。
V带传动多目标优化设计
1问题提出
设计带式输送机传动装置上的普通V带传动，已知电动机额定功率P=4Kw，转速 =1440r/min，传动比i=3，采用A型V带，每天工作不超过10小时，设计带根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小的方案。
2 问题分析
一般优化问题只有一个目标函数，但在工程实际问题中往往期望几项设计指标都同时达到最优，如本例要求带根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小这3项设计最优化。在一组约束下，多个不同的目标函数进行优化设计，即称为多目标优化设计。
附：
x=[1:28];
y1=[75 80 85 90 95 100 106 112 118 125 132 140 150 160 180 200 224 250280 315 355 400 450 500 560 630 710 800];
plot(x,y1,':ok')
title('A型V带轮的基准直径系列')
其数学模型的一般形式如下：（参考《机械零件与系统优化设计建模及应用》，周延美 蓝悦明编著，化学工业出版社）
s.t j=1,2,…,m
k=1,2,…,l
一般情况下，各目标函数 所表达的指标往往是相互矛盾的，在优化设计过程中相互影响，相互牵制。当目标函数处于冲突状态时，不存在最优解使所有目标函数同时达到最优，于是我们寻求有效解。
x返回最优解；fval返回解x处的目标函数值；attainfactor返回解x处的目标达到因子；exitflag描述计算的退出条件；output返回包含优化信息的输出参数；lambda返回包含拉格朗日乘子的参数。
3
（1）设计变量
由已知条件，可知V带传动的独立设计变量是小带轮直径和带的基准长度，
即 X=[ ， =[ ， 。
g(3)=120-180*(1-x(1)*(i-1)/a/pi);%小带轮包角约束
g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a;%中心距约束
ceq=[];
4.4 运行结果
Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006):
lower upper ineqlin ineqnonlin
4.1 主函数
% V带传动多目标优化设计
P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1; %已知条件
x0=[100;1250]; %初始点（小带轮直径，V带基准长度）
lb=[80;630];%最小带轮直径和A型V带基准长度
ub=[100;4000]; %最大带轮直径和A型V带基准长度
（4）可涉及仿真Simulink教学。90后学生学习软件，有一个共同点就是喜欢认识和探究软件的难点和高级的地方，喜欢自主操控软件、驾驭软件。老师可在这方面拓展一下，让学生认识一下matlAB软件的高级内容，吸引我们去探究。
（5）可结合最新相关知识和例子以使课堂气氛更加生动。老师可在教学过程结合最新科研成果、例子、新闻来触发90后学生的新鲜感。
根据资料显示有如下几种求解方法：统一目标法、主目标法、分层序列法、极大—极小法。本文应用统一目标法中的线性加权法，其中统一目标法指把多目标问题转化为单目标问题求解。
线性加权法的基本思路是把多目标函数 依其量级和在设计中的重要程度分配其相应的加权因子 ， 。且
然后将q个分目标函数统一成一个目标函数，即
P=4;i=3;KA=1.1;
f(1)=x(1); %f1小带轮基准直径
a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;
a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;
a=a1+sqrt(a1^2-a2);
f(2)=a; %f2中心距
P0=0.02424*x(1)-1.112879; %单根带额定功率
DP0=0.17; %查表功率增量
0.03
因此，中心距优化结果取300mm。
（3）带根数优化
由上文算得，带根数初步f(3)=3.5957，优化结果取得4。
本人学习课程一个学期以来，获益匪浅，特别是matlAB的函数处理模块，这将对本人以后的读研生涯有着极大潜在的帮助。谢谢老师！
建议：
（1）选择一本更加经典的教材。教材的内容和深度应该有助于将来在相关领域学习可以有更大参考价值和留存价值，而这本教材相对简单，内容少，上课完毕后很多同学直接把书压箱底，根本没有翻过，没有研究的兴趣。
其中加权因子 的选取办法如下：如果目标函数值的变动范围为 (j=1,2,3,…,q) ，则 为各目标的容限，取加权因子为 。
故求得单目标函数
。
在Matlab的优化工具箱中，fgoalattain函数用于解决此类问题。
其数学模型形式为：
min γ
F(x)-weight ·γ≤goal
c(x) ≤0
ceq(x)=0
KA为工况系数。
（3）约束条件
根据机械设计手册中带轮设计计算办法，可列得如下：
小带轮直径Fra Baidu bibliotek小于推荐的A型带轮最小直径 ，即 0 ；
带速不超过最大带速 ，即
小带轮包角大于 ，即
中心距大于 ，即
（4）确定分目标的权重
小带轮基准直径在80—100mm之间，中心距在320—400mm之间，带的根数为1—4。
（2）基础知识部分可在1~6周教完。原因：据我观察，没有强制的课程作业，本班有99%的同学不会在课下时候练习操作matlAB，都是上课时候去听老师讲，同时老师讲的很详细但速度慢。因此可提快速度，相应布置课堂作业让我们课下练习以巩固知识，大可不必担心我们的学习能力。
（3）7~11周建议课程教学内容与本专业联系更加密切，实例教学。对于理工科的学生，学习matlAB是为后续课程搭建好学习和实验研究的平台，可在课程教学过程中多引入专业例子来训练，可加深我们对matlAB的认识度。
goal=[75,280,2]; %分目标
w=[10^-2,40^-2,1.5^-2]; %分目标加权系数
[xopt,fopt]=fgoalattain(@VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,@VDCD_3mb_YS)
4.2
function f=VDCD_3mb_MB(x)
A x≤b
Aeq x=beq
lb≤x≤ub
其中，x,weight,goal,b,beq,lb和ub为向量，A和Aeq为矩阵，c(x),ceq(x)和
F(x)为函数，调用格式：
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b)
function[g,ceq]=VDCD_3mb_YS(x)
i=3;n1=1440;
g(1)=100-x(1);%小带轮直径约束
g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25;%带速约束
a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;
a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;
a=a1+sqrt(a1^2-a2);
alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a; %小带轮包角
Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数
KL=0.20639*x(2)^0.211806; %长度系数
f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %V带根数
4.3
%设置优化参数
1 1
5
xopt =
1.0e+003 *
0.1000
1.2269
fopt =
100.0000 281.5295 3.5957
5 结果优化处理
（1）带轮直径优化
图 A型V带轮的基准直径系列
由上文算得，小轮直径f(1)=100.0000mm，根据图 A型V带轮的基准直径系列所示，f(1)优化结果取值100mm。
[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]=fgoalattain(…)
说明：F为目标函数；x0为初值；goal为F达到的指定目标；weight为参数
指定权重；A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵与向量；lb、ub为变量x的上、下界向量；nonlcon为定义非线性不等式约束函数c(x)和等式约束函数ceq(x)；options中设置优化参数。
xlabel('序号')
ylabel('基准直径 ')
（2）中心距优化
由上文算得，中心距初步f(2)=281.5295mm。
首先计算带长
其中
算得 。根据《机械设计手册》优化带长基准长度为
1250mm
由于带轮的制造误差、带长误差、带的弹性以及因带的松弛而产生的补充张紧的需要常给出中心距的变动范围
0.015
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2)
[x,fval]=fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor]=fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor,exitflag,output]=fgoalattain(…)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
（2）目标函数
依上述分析可知目标函数包括三个分目标：
a．小带轮直径 min （X）= =
b．中心距 min （X）=a= +
其中， = /4- （i+1） /8， =（i-1 /8，传动比i=3 。
c．带的根数 min （X）=z= P/( + )
其中，
令
经过查表，可知A型带对应的K1，K2，K3分别是0.449，19.62， 。
V带传动多目标优化设计
1问题提出
设计带式输送机传动装置上的普通V带传动，已知电动机额定功率P=4Kw，转速 =1440r/min，传动比i=3，采用A型V带，每天工作不超过10小时，设计带根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小的方案。
2 问题分析
一般优化问题只有一个目标函数，但在工程实际问题中往往期望几项设计指标都同时达到最优，如本例要求带根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小这3项设计最优化。在一组约束下，多个不同的目标函数进行优化设计，即称为多目标优化设计。
附：
x=[1:28];
y1=[75 80 85 90 95 100 106 112 118 125 132 140 150 160 180 200 224 250280 315 355 400 450 500 560 630 710 800];
plot(x,y1,':ok')
title('A型V带轮的基准直径系列')
其数学模型的一般形式如下：（参考《机械零件与系统优化设计建模及应用》，周延美 蓝悦明编著，化学工业出版社）
s.t j=1,2,…,m
k=1,2,…,l
一般情况下，各目标函数 所表达的指标往往是相互矛盾的，在优化设计过程中相互影响，相互牵制。当目标函数处于冲突状态时，不存在最优解使所有目标函数同时达到最优，于是我们寻求有效解。
x返回最优解；fval返回解x处的目标函数值；attainfactor返回解x处的目标达到因子；exitflag描述计算的退出条件；output返回包含优化信息的输出参数；lambda返回包含拉格朗日乘子的参数。
3
（1）设计变量
由已知条件，可知V带传动的独立设计变量是小带轮直径和带的基准长度，
即 X=[ ， =[ ， 。
g(3)=120-180*(1-x(1)*(i-1)/a/pi);%小带轮包角约束
g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a;%中心距约束
ceq=[];
4.4 运行结果
Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006):
lower upper ineqlin ineqnonlin