13页练习 专插本高等数学
广东专插本高等数学试题与答案
⼴东专插本⾼等数学试题与答案⼩编今天给⼤家的是⼴东专插本⾼等数学试题与答案的内容，专插本是⼴东专科⽣获取全⽇制本科学历和学⼠学位的*途径，备受⼴⼤⼤专⽣的喜爱。
专插本考试总共要考五个科⽬，三门统考科还有两门专业科科⽬。
理科的专插本考⽣们需要考政治、英语、⾼数三门统考科。
做专插本历年试题是专插本备考的⼀个重要⽅法。
这⾥就给⼤家分享⼴东专插本⾼等数学历年试题与答案。
⼴东专插本⾼数试题答案获取⽅法：这个⼴东专插本⾼数试题从2005到2017年的都有。
其中2005到2016年的都有答案。
2017年的暂时没有答案。
那么应该如何获取这些试题呢？关注公众号“帕思专插本”，直接在公众号消息框发送关键词“资料”即可获取⼴东专插本⾼等数学历年试题与答案。
专插本常见问题：⼴东专插本⾼等数学历年试题与答案：⼴东专插本考试科⽬？考试科⽬为五门，其中省统考三门，⾼校⾃主考试两门；省统考的三门为《政治理论》、《英语》和《专业基础课》。
考试各科满分为100分，五科总分为500分。
每科考试时间为120分钟。
注意：考“英语”专业本科插班⽣的考⽣，考试科⽬为五门，其中省统考《政治理论》和《⼤学语⽂》，及三门专业课。
⾼数作为⼀门⽐较难的科⽬，是⼤部分专插本考⽣的短板，甚⾄很多考⽣因为⾼数⽽放弃了⾃⼰原本喜欢的专业转⽽学习其他专业，在此⼩编想说如果你所选择的专业需要考⾼数这门科⽬，那么你就需要多做习题，*是可以找出以往的试题来练习。
哪些学校可以专插本，可以插什么专业？可以报考⼏个学校？答：（1）每年11-12⽉省考试院会公布下⼀年招⽣院校名单，未出之前⼤家可以先参考往年的学校和对应“招⽣简章”和“招⽣⽬录”查专业；（2）只能报⼀个学校，⼀个专业。
除了⾼数，还有⼴东专插本英语、政治、⼤学语⽂、艺术概论、管理学、民法、⽣态学基础等历年试题与答案。
⼤家直接关注公众号“帕思专插本”就有。
以上就是关于⼴东专插本⾼等数学试题与答案的相关内容，了解更多资讯请咨询帕思教育。
关于专插本高等数学知识点和例题
第一章 极限、连续与间断本章主要知识点●求极限的几类主要题型及方法 ●连续性分析 ●间断判别与分类 ● 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()lim m x nP x P x ->∞ 方法：上下同除以x 的最高次幂 例．111313lim -++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim -++-++∞→x x x x x =x x x x x 11111313lim -++-++∞→=3 例．)214(lim 2x x x x -+-+∞→ 解：原式=x x x x x 2141lim 2++-+-+∞→=211411lim 2++-+-+∞→x x x x =41- 例．xx x xx x x 234234lim --+++∞→ 解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim --+++∞→=1（2）题型II ()lim ()m x a n p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, 例．11lim 31--→x x x解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23 例. 2232lim 221=+-++→x x b x ax x 解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim 2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4（3）题型III若0)(lim =→x f a x ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax 例. 2lim 1))x x →+∞+ 解：因为lim x →+∞0，而2arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。
高数专插本试题及答案
高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1、下列等式中，不成立．．．的是A 、1)sin(limx =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x xC 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e -B 、c e x +2C 、C e x +-221D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x |B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -=D 、3)(x x f =5、已知x xy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx e x =。
7、定积分211sin x e xdx --⎰=。
8、设函数xxx f +-=22ln)(，则(1)f ''=。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a=。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
12、求极限202x 0ln (1)limxt dt x →+⎰。
专插本《高等数学》2008-2012 年试题
10、微分方程 的通解是。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、计算 。
12、求函数 在区间[-1，2]上的最大值及最小值。
13、设参数方程 确定函数y=y(x)，计算 。
14、求不定积分 。
15、计算定积分 。
16、设方程 确定隐函数 ，求 。
17、计算二重积分 ，其中D是由y轴、直线y=1，y=2及曲线xy=2所围成的平面区域。
20、设函数 .
（1）判断 在区间（0，2）上的图形的的凹凸性，并说明理由；
（2）证明：当0＜x＜2时，有 ＜0。
2009年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、A 2、C 3、A 4、D 5、C
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
1、设 则
A. -1 B.1 C. 3 D.
2、极限
A. 0 B.1 C. 2 D.
3、下列函数中，在点 处连续但不可导的是
A. B.
C. D.
4、积分
A. B.
C. D.
5、改变二次积分 的积分次序，则I=
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、若当 时， ，则常数a=。
6、-4 7、 8、4 9、2y 10、
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、解：原式=
=
= .
12、解： ，
=
= .
13、解： ，
.
14、解：设
原式=
=
= .
15、解： 为奇函数， ，
2024广东专插本考试高等数学试题
2024广东专插本考试高等数学试题2024广东专插本考试高等数学试题一、选择题1、下列函数中，在区间(0,1)内为增函数的是： A. y = ln(x + 1) B. y = e^(-x) C. y = sinx D. y = cosx2、设{an}为等比数列，a1 = 2，公比为q，则a2 等于： A. 2q B. qC. 1/qD. q^23、下列图形中，面积为S的平行四边形的个数是： A. 1 B. 2 C. 3D. 4二、填空题 4. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, -4)，则向量a 与向量b 的夹角为__________。
5. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3，则f(-2) = __________。
6. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| = __________。
三、解答题 7. 求函数y = sinx + cosx + sinxcosx + 1的最大值与最小值。
8. 求下列微分方程的通解：dy/dx = y/(x + 1)，其中y(0) = 1。
9. 在等差数列{an}中，已知a1 = 1，S100 = 100a10，求{an}的前n项和Sn的公式。
四、应用题 10. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本40万元，此外每生产100件产品还需增加投资2万元。
设总收入为R(x)万元，x为年产量，产品以每百件为单位出售，售价为47万元/百件。
若当年产量不足300件时，可全部售出；若当年产量超过300件，则只能销售75%。
试求该公司的年度总收入R(x)的表达式。
五、选做题 11. 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3, π/6)、(4, π/3)，求△AOB的面积S。
12. 已知函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。
试求证：存在一点ξ∈[0,1]，使得f(ξ) = -ξ。
六、附加题 13. 求证：在正整数中，n^3 - n一定是6的倍数。
广东专插本高等数学真题
2008年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1、下列函数为奇函数的是A. x x -2B. xxe e -+ C. xxe e -- D. x x sin 2、极限()xx x 101lim -→+=A. eB. 1-e C. 1 D.-1 3、函数在点0x 处连续是在该点处可导的A.必要非充分条件B. 充分非必要条件C.充分必要条件D. 既非充分也非必要条件 4、下列函数中，不是x xe e 22--的原函数的是A.()221x xe e -+ B.()221x xe e -- C.()x xe e 2221-+ D. ()x xe e 2221-- 5、已知函数xy e z =，则dz =A. ()dy dx e xy +B. ydx +xdyC. ()ydy xdx e xy +D. ()xdy ydx e xy + 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、极限xx x e e x-→-0lim= 。
7、曲线y=xlnx 在点（1，0）处的切线方程是= 。
8、积分()⎰-+22cos sin ππdx x x = 。
9、设y e v y e u xx sin ,cos ==，则xvy u ∂∂+∂∂= 。
10、微分方程012=+-x x dx dy 的通解是 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、计算xx xx x sin tan lim 0--→。
x e e x f x x 2)(--='-，（4分）222)(2)(x x xx e e ee xf ---=-+=''＞0，于是)(x f '在),0(+∞内单调增加，从而)(x f '＞)0(f '=0，所以)(x f 在),0(+∞内单调增加，故)(x f ＞)0(f =0，即2x x e e -+＞212x +.20、解：设⎰--=xdt t f x x F 01)(2)(，则)(x F 在[0，1]上连续，1)0(-=F ，因为0＜f(x)＜1，可证⎰1)(dx x f ＜1，于是⎰-=1)(1)1(dtt f F ＞0，所以)(x F 在（0，1）内至少有一个零点.又)(2)(x f x F -='＞2﹣1＞0，)(x F 在[0，1]上单调递增，所以)(x F 在（0，1）内有唯一零点，即⎰=-xdt t f x 01)(2在（0，1）内有唯一实根（6分） （8分）（10分）（3分）（6分） （9分）（12分）2009年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
2013广东插本高等数学试卷与答案
广东省2013年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》（公共课）试题一、 单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1.当0→x ，下列无穷小量中，与x 不等价的无穷小量是 （ ）A 、)1ln(+x ；B 、x arcsin ；C 、x cos 1-；D 、121-+x ；2.123-=x x y 曲线 （ ）A 、只有水平渐近线;B 、只有铅垂渐近线；C 、既有水平渐近线也有铅垂渐近线；D 、无渐近线； 3.下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A 、32x y =；B 、x y =；C 、34x y =；D 、35x y =；4.设函数x x x x f cos sin )(+=，则下列结论正确的是 （ ）A 、的极大值是）的极小值，是)(2()()0(x f f x f f π；B 、的极小值是）的极大值，是)(2()()0(x f f x f f π； C 、的极小值都是）和)(2()0(x f f f π； D 、的极大值都是）和)(2()0(x f f f π； 5.若函数)(x f 和,)()()()(R x x f x F x F ∈='满足则下列等式成立的是（ ）A 、C x f dx x F x ++=+⎰)1ln 2(2)1ln 2(1；B 、C x f dx x F x ++=+⎰)1ln 2(21)1ln 2(1；C 、C x F dx x f x ++=+⎰)1ln 2(2)1ln 2(1；D 、C x F dx x f x ++=+⎰)1ln 2(21)1ln 2(1二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）6.要使函数==---=)1(11211)(2f x x x x f 处连续，应补充定义在 。
7.曲线⎩⎨⎧==ty x ttan 3 在t=0相应的切线方程是=y 。
8..函数='=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-)0(00,00,)1()(1f x x x x x x f x 处的左导数在 。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
每小题只有一个选项符合题目要求）．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是．2x =- 和0x = ．2x =- 和1x = ．1x =- 和2x = ．0x = 和1x =．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → ．等于1 ．等于2 ．等于1 或2 ．不存在 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰ ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰．下列级数收敛的是．11nn e ∞=∑ ．13()2nn ∞=∑．3121()3n n n ∞=-∑ ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件．0,0a b b -=< ．0,0a b b -=>．0,0a b b +=< ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y = ．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,xxdz e ydx e ydy =+ 则2zy x∂=∂∂ ．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．求20sin 1lim x x e x x →--．设(0)21x x y x x =>+，求dydx．求不定积分221xdx x ++⎰．计算定积分012-⎰．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ ．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ ．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1nn a ∞=∑的收敛性．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间四、综合题（大题共 小题，第 小题 分，第 小题 分，共 分） ．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（ ）求()x ϕ；（ ）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ （ ）证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； （ ）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 二、填空题（本大题共 小题，每个空 分，共 分）13x2x cos xe y 13π 三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰,t =则211,22x t dx tdt =-=20121021420153011,,2211()221()2111()253115t x t dx tdt t t tdtt t dtt t -==-==-=-=-=-⎰⎰⎰解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyz x xyz y xyzz xyz xyz xyz xyzf x y z yze f x y z xze f x y z xye z yze z xze x xye y xye ∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤222020ln()3(4ln 2)23(4ln 2)|2(8ln 23)Dx y d d ππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰ 解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-414(1)1lim lim 1,3213n x x nb n b n n +→∞→∞+∴==<+- 由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛．解()()()()(1)xx x x df x x de df x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞（ ）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰证明（ ）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++ 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（ ）设2019,2018a b ==则201820192019,2018b a a b ==比较,a b b a 即可，假设a bb a>即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
广东专插本高数必刷2000题
广东专插本高数必刷2000题摘要：I.引言A.介绍广东专插本考试B.强调高数在专插本考试中的重要性II.广东专插本高数考试的考试大纲和题型A.考试大纲1.函数与极限2.导数与微分3.积分4.向量代数与空间解析几何5.多元函数微分学6.多元函数积分学7.无穷级数8.常微分方程B.题型介绍1.选择题2.填空题3.解答题III.广东专插本高数必刷2000 题的作用A.加深对考试大纲的理解B.提高解题速度和准确率C.巩固知识点IV.如何使用广东专插本高数必刷2000 题A.制定学习计划B.按照题型和知识点进行分类练习C.及时总结和归纳V.结论A.总结广东专插本高数必刷2000 题的重要性B.鼓励考生积极备考正文：广东专插本考试是广东省内各大高校选拔优秀专科毕业生的重要方式，其中高数作为必考科目之一，其重要性不言而喻。
要想在广东专插本高数考试中取得好成绩，必须对考试大纲有深入的理解，熟悉各种题型，并掌握解题技巧。
广东专插本高数考试大纲覆盖了函数与极限、导数与微分、积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数、常微分方程等多个知识点。
这些知识点在考试中以选择题、填空题和解答题等形式出现，考察考生对知识点的掌握和解题能力。
为了帮助考生更好地备考广东专插本高数考试，广东专插本高数必刷2000 题应运而生。
这本书精选了2000 道高数题目，涵盖了考试大纲中的所有知识点，按照题型和知识点进行分类，方便考生有针对性地进行练习。
通过刷题，考生可以加深对考试大纲的理解，提高解题速度和准确率，从而更好地巩固知识点。
在使用广东专插本高数必刷2000 题进行备考时，考生需要制定合理的学习计划，按照题型和知识点进行分类练习。
同时，要及时总结和归纳解题方法和技巧，形成自己的解题思路。
当然，只靠刷题是远远不够的，考生还需要结合课堂学习、课外辅导等多种方式，全面提高自己的高数水平。
总之，广东专插本高数必刷2000 题是考生备考广东专插本高数考试的重要资料。
专插本高数真题复习题
专插本高数真题复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1在点x=1处的导数是（）。
A. -1B. 1C. 3D. 52. 设f(x)=2x-1，g(x)=x^2+3x-2，那么f(g(x))的表达式为（）。
A. 2(x^2+3x-2)-1B. x^2+3x-1C. 2x^2+5x-5D. x^2-5x+33. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标是（）。
A. (0,0)B. (2,8)C. (1,1)D. (4,16)二、填空题4. 若f(x)=x^2+1，则f'(-1)=______。
5. 已知某函数的原函数为F(x)=∫(x^2-2x+1)dx，求该函数的导数F'(x)=______。
三、解答题6. 求函数y=ln(x+1)的导数，并说明其几何意义。
7. 利用定积分求曲边梯形的面积，已知f(x)=x^2，x∈[0,2]。
四、证明题8. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)上连续，且f'(x)≥0，则f(x)在(a,b)上单调递增。
五、应用题9. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=2x+3，其中x为生产数量。
求当生产数量为多少时，单位产品的成本最低，并说明原因。
六、综合题10. 已知某物体沿直线运动，其位移函数为s(t)=2t^3-3t^2+t，求该物体在t=1时的瞬时速度和加速度。
参考答案：1. B2. A3. B4. 25. 2x-26. 导数为y'=1/(x+1)，几何意义是曲线y=ln(x+1)在任意点的切线斜率。
7. 面积S=∫[0,2]x^2dx=(1/3)x^3|[0,2]=(8/3)-0=8/3。
8. 略9. 单位产品的成本为C/x=(2x+3)/x=2+3/x，求导得C'(x)=-3/x^2，令C'(x)=0得x=0（舍去），当x增大时，C'(x)>0，说明C(x)在x>0时单调递减，因此当x越大，单位产品的成本越低。
13页练习专插本高等数学
第一章 函数、极限和连续注：补充例题或习题已在题号前标注*一、函数例1（1）求函数()()ln 2f x x =+.（2）求函数()21,2132,23x xf x x x ⎧≤⎪+=⎨⎪+<<⎩的定义域.例2设函数()2g x x =+，()()ln 2f g x x =+⎡⎤⎣⎦，则()1f = . 例3已知()()ln 1f x x =+，()f x x ϕ=⎡⎤⎣⎦，求()x ϕ. 例4若1x ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭()x ϕ= . 例5已知()f x 的定义域为全体实数，()()11f x x x +=+，则()1f x -= . 例6判断函数()(lg f x x =的奇偶性.二、极限例1求下列各题的极限（1）0x →.（2）322232lim 6x x x x x x →-++--.（3）2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭.（4）lim x →+∞.例2设当0x →1与2sin x 是等价无穷小，则a = .例3当0x →时，下列变量与x 为等价无穷小量的是（ ）. A.sin 2x B.1cos x -D.sin x x 例4求下列各题的极限 （1）0tan 2limsin 5x x x →.（2）30tan sin lim sin x x xx→-. 例5求下列各题的极限（1）11201lim 1xx x +→⎛⎫⎪+⎝⎭.（2）322lim x x x x +→∞-⎛⎫⎪⎝⎭.（3）421lim 1xx x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭.（4）lim 2xx x a x a →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭（其中a 为常数）. *例5求下列各题的极限（1）10lim 3x x xxx a b c →⎛⎫++ ⎪⎝⎭.（2）21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）x →.例6求下列各题的极限（1）sin lim x xx→∞.（2）23cos lim 1x x x x x →∞+-.例7求lim ...n →∞⎛⎫+++. 例8在下列函数中，当0x →时，函数()f x 极限存在的是（ ）.A.()1,00,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩B. (),1,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩C. ()1,020,01,2x x f x x x x ⎧<⎪-⎪==⎨⎪⎪+>⎩D.()1x f x e =例9（1）22212lim ...n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.（2）10111011...lim ...n n n n m m x m m a x a x a x a b x b x b x b ---→∞-++++++++. （3）lim 2sin2nn n x →+∞.（4）01cos 2lim sin 2x xx x→-. （5）已知233lim43x x kx x →+-=-，求常数k 的值.（6）已知222lim 22x x ax bx x →++=--，求常数,a b 的值. 三、函数的连续性例1设函数()1sin ,0,01sin 1,x x x f x k x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在其定义域内连续，求常数k 的值. 例2设函数()22,0,01,1x x f x x a x bx x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上连续，求常数,a b 的值.例3设函数()21,0,012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，讨论()f x 的间断点及其类型. 例4求下列函数的间断点并说明间断点类型（1）()22132x f x x x -=-+.（2）()f x =.例5证明方程42xx =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少有一个实根.例6设()2x f x e =-，求证()f x 在()0,2内至少有一个点0x ，使002xe x -=.第二章 一元函数微分学一、导数与微分例1设()y f x =在0x 处可导，则()()0002limh f x h f x h→--= ;()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆=∆ .例2求下列函数的导数（1）y =.（2）y =（3）()2321sin 2secx y x e +=+.（4）ln 2xxy =.（5）()2y f x x ϕ⎡⎤=+⎣⎦，其中()f u 及()x ϕ均可导.（6）已知()f u 可导，求()ln f x '⎡⎤⎣⎦、(){}n f x a '⎡⎤+⎣⎦和(){}n f x a '+⎡⎤⎣⎦.（7）设11x y f x -⎛⎫=⎪+⎝⎭，()2arctan f x x '=，求0x y ='. （8）设()f x 为二阶可导函数，且()221sin tan cos xf x x+=，求()f x ''. 例3函数()(),0ln 1,0x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩在0x =处是否连续，是否可导，为什么？例4设函数()cos ,2,22x x f x x x πππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩（1）()f x 在2x π=处是否可导？（2）若可导，求曲线过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线、法线方程. 例5设函数()2,1,1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，求常数,a b 的值.例6设曲线32y x x =+-上存在切线与直线41y x =-平行，求切点. 例7设函数()y f x =由方程()2sin x y xy +=确定，求dy dx . 例8设函数()y f x =由方程3331x y xy +-=确定，求x dy dx=.例9设函数21x y x=-y '.例10设函数()2sin x y x =，求y '. 例11（1）设(2)cos n yx x -=，求()n y .（2）设()ln 1y x =+，求()n y .例12已知cos sin ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩，求当3t π=时dy dx 的值. *例12已知参数方程()2arctan 1ln 1x ty t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，求dy dx 和22d y dx . ——————————————————————————————————————————————— 练习题1.已知函数()y f x =在x a =处可导，求()()3lim x f a x f a x∆→-∆-∆.2.求下列函数的一阶导数（1）3ln ln 2y =.（2）sin 1tan x x y x =+.（3）ln 2xx y =.（4）arctan y =3.用对数求导法求下列函数的一阶导数 （1）()arcsin 21xy x=+. （2）21xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 4.求下列隐函数的一阶导数y '（1）1yy xe =+. （2）()cos 0x y e xy ++=.5.求下列函数的二阶导数y '' （1）(ln y x =. （2）xe y x-=.6.求下列函数的微分（1）221arctan 1x y x-=+. （2）()0y x =>. 7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程（1）sin cos 2x t y t =⎧⎨=⎩，在4t π=处. （2）2223131at x t aty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，在2t =处. ———————————————————————————————————————————————二、导数的应用例1不用求函数()()()()()1234f x x x x x =----的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并指出其所在范围.例2函数()1f x =-()1,1-上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.例3设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且在任一点处的导数都不为零，又()()0f a f b ⋅<， 试证：方程()0f x =在开区间(),a b 内有且仅有一个实根. 例4利用洛必达法则求下列极限（1）201lim sin x x e x x →--.（2）lim m m n n x a x a x a →--.（3）11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.（4）20lim ln x x x +→. 例5求下列函数极限 （1）(lim 12x x +→+.（2）sin 0lim xx x +→.（3）2222lim 1x x x x →∞⎛⎫+⎪-⎝⎭. （4）1lim 1x x x e →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.（5）421lim 1cos x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.（6）0sin sin lim 1cos xx e x x x →--.例6证明不等式（1）()()ln 1,01x x x x x <+<>+.（2）()2arctan ,01xx x x x <<>+. *（3）()()11,(0,1)n n n n nb a b a b na a b a b n ---<-<->>>.*（4）ln ,(0)a b a a b a b a b b--<<>>例7证明不等式[)1,1,0xe x x >+∈-.例8证明下列不等式 （1）()()21ln ,11x x x x ->>+.（2）当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.（3）当1x >时，13x>-. 例9求函数()22x f x x e -=的单调区间和极值.例10求函数21xy x =-的凹凸区间和拐点. 例11求函数4210y x x =-+的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值. 例12求函数(1y x =-的凹凸性和拐点.例13求函数y =[]0,3上的最值.例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线 （1）21x y x =-.（2）1xxy e=+. ——————————————————————————————————————————————— 练习题1.不求出()()()()147f x x x x =---的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并求出根所在的区间.2.证明方程120x ex -+-=仅有一个实根.3.求下列函数的极值.（1）()242f x x x =-.（2）()22x f x x e-=-.4.当a 为何值时，点()1,3是曲线3292y ax x =+的拐点.5.（1）求曲线()5332075f x x x x =-++的凹凸区间及拐点.（2）求曲线y =.6.证明下列不等式（1）当1x >时，xe e x >⋅.（2）()211cos 02x x x -<>.7.设()f x 在[),a +∞可导，且x a >时()0f x k '>>，其中k 是常数. 证明：若()0f a <，则方程()0f x =在(),f a a a k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有一根. ———————————————————————————————————————————————第三章 不定积分与定积分一、不定积分例1（1）已知()11xxf x e dx eC --=-+⎰，求()f x .（2）已知()arcsin xf x dx x C =+⎰，求()1dx f x ⎰. 二、积分法（一）直接积分法（公式法） 例1求下列不定积分（1）21x -.（2）))11dx ⎰.（3）()2211dx x x +⎰.（4）3xxe dx ⎰.（5）236x x x dx +⎰.（6）421x dx x +⎰. 例2求下列不定积分 （1）2sin2x dx ⎰.（2）22cos 2sin cos x dx x x⎰.（3）11cos 2dx x +⎰.（4）2tan xdx ⎰. （二）换元积分法1.第一类换元法（凑微分法） 例1求下列不定积分（1）2xxedx -⎰.（2）()22arctan 1x dx x+⎰. （3）32sin cos x xdx ⎰. （4）sin x x e e dx ⎰. *（5）⎰.（5）.（6）2145dx x x ++⎰.（7）1x xdx e e -+⎰.（8）3.例2求下列不定积分（1）22sin cos x xdx ⎰. （2）41cos dx x ⎰. （3）1sin dx x ⎰. （4）1cos dx x ⎰.2.第二类换元法 例1()20a >.例2⎰.例3.例4（1）.（2）.（3）.（4）. （三）分部积分法例1（1）2cos x xdx ⎰.（2）2x x e dx -⎰.（3）2ln x xdx ⎰.（4）arctan xdx ⎰.（5）sin x e xdx ⎰.（6）()sin ln x dx ⎰.*例13sec xdx ⎰.例2已知()f x 的一个原函数是2x e-，求()I xf x dx '=⎰.（四）一些简单的有理函数的积分 例1（1）221dx x a -⎰.（2）2123dx x x --⎰.（3）21610dx x x -+⎰.（4）()211dx x x +⎰.——————————————————————————————————————————————— 练习题1.计算下列不定积分（1）234tan x x x dx ⎛⋅+ ⎝⎰.（2）211x x e dx e ----⎰.（3）3tan sec x xdx ⎰. （4）.（5）2156dx x x --⎰.（6）2112dx x x +-⎰.（7）()214dx +⎰. （8）arcsin xdx ⎰.（9）()2x +⎰.（10）()ln ln n n x x dx x x ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰. ———————————————————————————————————————————————三、定积分（一）牛顿-莱布尼兹公式 （二）变上限积分 （三）定积分的计算1.定积分的换元积分法（换元同时换限） 例1计算ln 0⎰. 例2计算120⎰2.定积分的分部积分法 例1计算120arcsin xdx ⎰.例2计算下列定积分（1）1arctan x xdx ⎰.（2）1xdx ⎰.（3）0cos x xdx π⎰.（4）()21sin ln e x dx π⎰.例3计算定积分24π⎰.（四）定积分的综合题【热点】 例1求下列各题的导数 （1）()0tx dt Φ=⎰.（2）()32x xx Φ=⎰.*例1已知12212xx t f dt e e --⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，求()10f x dx ⎰.例2求下列各题的极限（1）23limx x x →⎰.（2）sin 0tan 00limxx +→⎰⎰.（3）2220limxtx x t e dtx-→∞⎰.（此题HB 补充）例3用积分变换证明等式（1）证明()1122111011xx dx dx x x x =>++⎰⎰.（2）设()f x 为连续函数，证明()()0sin sin 2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰. 例4设()[]201,0,145xf x dt x t t =∈++⎰，求()f x 的最大值和最小值.例5设()0cos 2x tf x dt tπ=-⎰，求()20f x dx π⎰.（五）定积分的性质【热点】参见习题5-1（2012年最后一题考查了性质6，性质7历年未考查过）——————————————————————————————————————————————— 练习题 1.设()4tan n f n xdx π=⎰，()n N ∈，证明()()1354f f +=.2.()()01cos xx t f t dt x -=-⎰，证明()201f x dx π=⎰.3.设()1lnt1xf x dt t=+⎰，证明()211ln 2f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.4.设()f x 为连续函数，且()0f x >，[],x a b ∈，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[],x a b ∈，证明方程()0F x =在区间[],a b 上有且仅有一个实根.5.设()()231x x x tdt ϕ=-+-⎰，求()x ϕ的极值.*5设()f x 连续，求()220xd tf x t dt dx -⎰. ———————————————————————————————————————————————四、定积分的应用（一）利用定积分求面积和体积例1求由曲线1y x=，2x =与3y =所围成平面图形的面积. 例2求抛物线()220y px p =>与直线32y x p =-所围成的图形的面积.例3求抛物线243y x x =-+-及其点()0,3-和点()3,0处的切线所围成的平面图形的面积.例4求曲线2y x =，2x =与直线0y =所围成的平面图形绕x 轴旋转后生成旋转体的体积.例5试求抛物线2y x =在点()1,1处的切线与抛物线自身及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转后所得旋转体的体积.（二）平面曲线的弧长包括直角坐标情形和参数方程情形例1计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.例2计算摆线()()sin 1cos x a y a θθθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，()02θπ<<的长度.五、广义积分的计算例1计算下列广义积分 （1）2x xedx +∞-⎰.（2）21x dx x +∞+⎰.（3）()31ln e dx x x +∞⎰.（4）2122dx x x +∞-∞++⎰.第四章 多元函数微积分一、多元函数的定义例1写出下列二元函数(),z f x y =的几何意义（表示何种空间曲面） （1）z ax by c =++.（2）z =（3）z =.（4）22z x y =+.二、二元函数的定义域例1求下列函数的定义域（1）z =.（2）()22ln 1z x y =+-.（3）z =（4）z =三、多元函数的偏导数例1求函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在原点()0,0的偏导数. 例2设tan x y z y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求z x ∂∂和z y ∂∂. 例3设()sin xyz xexy -=+，求z x ∂∂和zy∂∂. 四、全微分的概念例1求()arctan z xy =的全微分五、复合函数的偏导数例1设22z u v =+，u x y =+，v x y =-，求z x ∂∂和z y∂∂.例2设v z u =，223u x y =+，42v x y =+，求z x ∂∂和z y∂∂. 例3设,x z f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dz . *例3设()22,z f x x =，求dz . 例4求()23,xy z f x y e =+的全微分.*例4设()2,z f x u x u ==+，()cos u xy =，求f x ∂∂和z x∂∂. 六、隐函数的导数及偏导数例1设(),z z x y =由下列方程确定，求z x ∂∂和z y∂∂.（1）20x y z ++-=.（2）22lnz x z y+=. *例1设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂七、高阶偏导数例1设()sin x y z ye+=，求22zx∂∂和2z x y ∂∂∂.*八、高阶复合偏导数参见习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）——————————————————————————————————————————————— 练习题1.求下列函数偏导数z x ∂∂和z y∂∂：（1）(ln z x =.（2）2y xe z y =.2.设ln x z z y =，求z x ∂∂和zy∂∂. 3.设ze xyz =确定(),zf x y =，求z x ∂∂和zy∂∂.4.设()22ln z x xy y =++，证明2z z xy x y∂∂+=∂∂. ———————————————————————————————————————————————八、二重积分（一）二重积分的定义（二）直角坐标下二重积分的计算 例1计算()22Dxxy y dxdy ++⎰⎰，(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.例2计算2Dxydxdy ⎰⎰，D 由0x =，0y =与221x y +=所围成的第一象限的图形.例3计算sin Dx dxdy x ⎰⎰，D 是由直线y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 例4计算()2D x y dxdy -⎰⎰，D 由1y =，230x y -+=，30x y +-=围成.（三）利用极坐标计算二重积分 例1计算22xy De dxdy --⎰⎰，D 是圆心在原点，半径为a 的圆.例2计算()22ln 1Dx y d σ++⎰⎰，D 是圆周221x y +=及坐标轴围成的第一象限内的闭域. ——————————————————————————————————————————————— 练习题 1.设lnarctany z x =，求z x ∂∂和zy ∂∂. 2.设()2sin 2x yz ex y -=+，求z x ∂∂和zy∂∂. 3.设()2ln 123z x y=++，求dz .4.设2231xy x y =++确定y 是x 的函数，求12x y dy dx==.5.求xyD yedxdy ⎰⎰，其中积分区域D 是由y 轴，1y =，2y =及2xy =所围成的平面区域.6.求2Dydxdy ⎰⎰，式中积分区域D1y ≤≤.7. 变换积分次序，并计算积分22121122xy y x x dx e dy dx e dy +⎰⎰⎰⎰.8.计算222x y Dedxdy +-⎰⎰，式中积分区域D 由221x y +≤，0x ≥，0y ≥所确定.———————————————————————————————————————————————第五章 常微分方程一、微分方程的基本概念例1验证12cos sin x C kt C kt =+（1C 、2C 为任意常数）是方程2220d x k x dt+=的通解.例2已知方程2220d x k x dt+=的通解为12cos sin x C kt C kt =+，0t x A ==，求00t dxdt ==条件下的特解.例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件. （1）22x y C -=，05x y ==.（2）()212xy C C x e =+，00x y ==，01x y ='=.（3）()12sin y C x C =-，1x y π==，0x y π='=.二、可分离变量的微分方程例1解微分方程2dyxy dx=. 例2求下列方程的通解（1'=2）10x y dy dx +=.（3）cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=.（4）()2310dy y x dx++=. 例3求方程的初始问题2sin ln x y x y y y e π='=⎧⎪⎨=⎪⎩的特解.例4求初值问题()cos 1sin 0x ydx e ydy -++=，04x y π==的特解.三、一阶线性微分方程 例1求微分方程sin cos xy y x e -'+=的通解.例2求下列非齐次方程的通解 （1）tan sin 2y y x x '+=.（2）32d d ρρθ+=.（3）()212cos x y xy x '-+=.（4）()()3222dy x y x dx-=+-.例3求tan sec dyy x x dx-=，00x y ==的特解. 例4求下列方程的特解 （1）sin dy y x dx x x +=，1x y π==.（2）cos cot 5x dyy x e dx +=，24x y π==-.四、二阶常系数齐次线性微分方程例1求解下列常系数二阶方程（1）7120y y y '''-+=.（2）44100y y y '''++=.（3）20y y y '''++=. 例2求下列方程的特解（1）340y y y '''--=，00x y ==，05x y ='=-.（2）250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.*五、微分方程综合题【热点】*例1设()()202xf x f t dt x +=⎰，求()f x .*例2求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(),x y 处的切线斜率等于2x y +.（2012年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多）———————————————————————————————————————————————练习题 1.求方程10x y dydx+=的通解. 2.求方程yxdy dx e dx +=的通解. 3.求方程cos sin 1dyxy x dx+=的通解. 4.求下列方程满足初始条件的特解：02xx y y ey -='⎧+=⎪⎨=⎪⎩.5.求下列二阶齐次方程的通解（1）340y y y '''+-=.（2）2250d y dy dx dx -=.（3）2220d ss dt-=.（4）()()()20x t x t x t '''++=. 6.求下列初值问题的特解（1）求430y y y '''++=，()02y =，()06y '=. （2）求250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.———————————————————————————————————————————————。
专插本高等数学例题和习题ch2导数计算及应用
第二章 导数计算及应用 本章主要知识点●导数定义 ●复合函数求导,高阶导数,微分 ●隐函数,参数方程求导 ● 导数应用一、导数定义函数()y f x =在0x x =处导数定义为左导数 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='+→+ 右导数 h x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→- 导数 )(0x f '存在)(),(00x f x f -+''⇔有限且)()(00x f x f -+'='分段点求导必须应用定义。
两个重要变形： 1. 0000()())lim x x f x f x f x x x →-'=-（ 2. 若)(0x f '存在，)()()()(lim0000x f n m hnh x f mh x f h '-=+-+→ 例2.1. 若(1)2f '=-，求00(12)(5)lim h f h f x h h→--+ 解：00(12)(5)lim h f h f x h h →--+＝(25)(1)14f '--= 例2.2. 若(0)2,(0)0,f f '==求0x →解：0x →00(2)(0)(2)(0)48lim 2lim (0)1333sin 32x x f x f f x f f x x →→--'=-=-=-- 例2.3．23,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ 求(0)f '解： 200(0)(0)0(0)lim lim 1h h f h f h h f h h+→+→++-+-'=== (0)(0)f f +-''≠ 所以'(0)f 不存在.例2.4．||()2x f x =，求()0f ' 解： 2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩所以(0)f '不存在。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
每小题只有一个选项符合题目要求）．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是✌．2x =- 和0x = ．2x =- 和1x =．1x =- 和2x = ．0x = 和1x =．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → ✌．等于1 ．等于2．等于1 或2 ．不存在 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C=+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是 ✌．[()()]2tan xf xg x dx x C +=+⎰．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰．[()]tan(2)x f g x dx C=+⎰ ．[()()]tan 2xf xg x dx x C +=++⎰．下列级数收敛的是 ✌．11nn e∞=∑ ．13()2nn ∞=∑ ．3121()3n n n ∞=-∑ ．121()3nn n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑． ．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件✌．0,0a b b -=< ．0,0a b b -=>．0,0a b b +=< ．0,0a b b +=>二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．曲线33arctan x t ty t⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,xxdz e ydx e ydy =+ 则2zy x∂=∂∂．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．求20sin 1lim x x e x x →--．设(0)21x x y x x =>+，求dydx．求不定积分221xdx x ++⎰．计算定积分012-⎰．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ ．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ ．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+-判定级数1n n a ∞=∑的收敛性．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题（大题共 小题，第 小题 分，第 小题 分，共 分） ．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（ ）求()x ϕ；（ ）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+（ ）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；（ ）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） ✌ 二、填空题（本大题共 小题，每个空 分，共 分） 13x 2xcos x e y 13π 三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰,t =则211,22x t dx tdt =-=20121021420153011,,2211()221()2111()253115t x t dx tdt t t tdtt t dtt t -==-==-=-=-=-⎰⎰⎰解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyz x xyz y xyzz xyz xyz xyzxyzf x y z yze f x y z xze f x y z xye z yze z xze x xye y xye ∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤222020ln()3(4ln 2)23(4ln 2)|2(8ln 23)Dx y d d ππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰ 解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-414(1)1lim lim 1,3213n x x nb n b n n +→∞→∞+∴==<+-由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛．解()()()()(1)xx x x df x x de df x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞（ ）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+☎✆由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰证明（ ）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++ 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+111101x x x xξξ<<+∴<<<+ 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x ∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（ ）设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比较,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
专插本高数练习题
专插本高数练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值出现在 \( x \) 等于（）。
A. 0B. 2C. 4D. 82. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，那么 \( L \) 的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的值域是（）。
A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)5. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，那么\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是（）。
A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若 \( \lim_{x \to 2} f(x) = 5 \)，则 \( \lim_{x \to 2}(f(x) - 5) = ________ 。
7. 若 \( a \) 和 \( b \) 是二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，则 \( a + b \) 的值为 ________。
8. 若 \( \sin x = \frac{3}{5} \)，且 \( x \) 在第一象限，那么\( \cos x \) 的值为 ________。
9. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 交点的坐标为________。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C=+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．下列级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则2zy x∂=∂∂ 9．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．求20sin 1lim x x e x x→-- 12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyz x z e -=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de -=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（1）求()x ϕ；（2）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+（1）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；（2）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；2019年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++Q13.解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰14.,t =则211,22x t dx tdt =-=20121214215311,,2211()221()2111()253115t x t dx tdtt t tdt t t dtt t-==-==-=-=-=-⎰⎰⎰g15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyzxxyzyxyzzxyz xyzxyz xyzf x y z yzef x y z xzef x y z xyez yze z xzex xye y xye∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+16.解：由题意得12,0rθπ≤≤≤≤2222ln()3(4ln2)23(4ln2)|2(8ln23)Dx y ddππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰17.解：由题意得414(1),321nnb nb n n++=+-414(1)1lim lim1,3213nx xnb nb n n+→∞→∞+∴==<+-由比值判别法可知1nnb∞=∑收敛0,n n a b ≤≤Q 由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()()()()(1)xx x x df x x dedf x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-Q()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.（1）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+Q(2)由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰20.证明（1）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++Q 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =Q 在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+Q 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x ∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（2）设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比较,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x Q 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
专插本高等数学例题和习题ch1极限、连续与间断
第一章 极限、连续与间断本章主要知识点● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类● 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()limm x nP x P x ->∞方法：上下同除以x 的最高次幂◇例1.1．5422lim x x x x x->∞+-+ 解：原式534111lim 11x x x x x ->∞+-==∞+ ◇例1.2．()()2243123lim31x x x x ->∞+-+解：原式()()222243123lim13x x x x x x ->∞+-=+2241332lim 13x x x x->∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=12 ◇例1.3．111313lim-++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim -++-++∞→x x x x x =xx x x x 11111313lim -++-++∞→=3◇例1.4．)214(lim 2x x x x -+-+∞→解：原式=xx x x x 2141lim2++-+-+∞→=211411lim2++-+-+∞→x x x x =41- ◇例1.5．xx x xx x x 234234lim --+++∞→解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim--+++∞→=1 （2）题型II ()lim()m x an p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, ◇例1.6．12cos lim 1++→x x x π解：原式=1/2◇例1.7．12sin lim 231+-++→x x xx x x π 解：原式=∞◇例1.8．32lim 221-+-→x x xx x解：原式=)3)(1()1(lim 1+--→x x x x x =3lim 1+→x x x =41◇例1.9．11lim31--→x x x解：令u ==322111(1)(1)lim lim1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23◇例1.10. 2232lim 221=+-++→x x bx ax x 解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim 2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x axa=2,b=-4 （3）题型III若0)(lim =→x f ax ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax◇例1.11. 2lim1))x x →+∞+ 解：因为2lim3x x →+∞+＝0，而2arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 函数、极限和连续注：补充例题或习题已在题号前标注*一、函数例1（1）求函数()()ln 2f x x =+.（2）求函数()21,2132,23x xf x x x ⎧≤⎪+=⎨⎪+<<⎩的定义域.例2设函数()2g x x =+，()()ln 2f g x x =+⎡⎤⎣⎦，则()1f = . 例3已知()()ln 1f x x =+，()f x x ϕ=⎡⎤⎣⎦，求()x ϕ. 例4若1x ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭()x ϕ= . 例5已知()f x 的定义域为全体实数，()()11f x x x +=+，则()1f x -= . 例6判断函数()(lg f x x =的奇偶性.二、极限例1求下列各题的极限（1）0x →.（2）322232lim 6x x x x x x →-++--.（3）2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭.（4）lim x →+∞.例2设当0x →1与2sin x 是等价无穷小，则a = . 例3当0x →时，下列变量与x 为等价无穷小量的是（ ）. A.sin 2x B.1cos x -D.sin x x 例4求下列各题的极限 （1）0tan 2limsin 5x x x →.（2）30tan sin lim sin x x xx→-. 例5求下列各题的极限（1）11201lim 1xx x +→⎛⎫⎪+⎝⎭.（2）322lim x x x x +→∞-⎛⎫⎪⎝⎭.（3）421lim 1xx x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭.（4）lim 2xx x a x a →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭（其中a 为常数）. *例5求下列各题的极限 （1）10lim 3xxxxx a b c →⎛⎫++⎪⎝⎭.（2）21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）0x →.例6求下列各题的极限（1）sin lim x xx→∞.（2）23cos lim 1x x x x x →∞+-.例7求lim ...n →∞⎛⎫+. 例8在下列函数中，当0x →时，函数()f x 极限存在的是（ ）.A.()1,00,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩B. (),1,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩C. ()1,020,01,2x x f x x x x ⎧<⎪-⎪==⎨⎪⎪+>⎩D.()1x f x e =例9（1）22212lim ...n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.（2）10111011...lim ...n n n n m m x m ma x a x a x ab x b x b x b ---→∞-++++++++. （3）lim 2sin2nn n x →+∞.（4）01cos 2lim sin 2x xx x→-. （5）已知233lim43x x kx x →+-=-，求常数k 的值.（6）已知222lim 22x x ax bx x →++=--，求常数,a b 的值. 三、函数的连续性例1设函数()1sin ,0,01sin 1,x x x f x k x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在其定义域内连续，求常数k 的值. 例2设函数()22,0,01,1x x f x x a x bx x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上连续，求常数,a b 的值.例3设函数()21,0,012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，讨论()f x 的间断点及其类型. 例4求下列函数的间断点并说明间断点类型（1）()22132x f x x x -=-+.（2）()2f x x =.例5证明方程42xx =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少有一个实根.例6设()2xf x e =-，求证()f x 在()0,2内至少有一个点0x ，使002xe x -=.第二章 一元函数微分学一、导数与微分例1设()y f x =在0x 处可导，则()()0002limh f x h f x h→--= ;()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆=∆ .例2求下列函数的导数（1）y =（2）y =（3）()2321sin 2secx y x e +=+.（4）ln 2xxy =.（5）()2y f x x ϕ⎡⎤=+⎣⎦，其中()f u 及()x ϕ均可导.（6）已知()f u 可导，求()ln f x '⎡⎤⎣⎦、(){}n f x a '⎡⎤+⎣⎦和(){}nf x a '+⎡⎤⎣⎦.（7）设11x y f x -⎛⎫=⎪+⎝⎭，()2arctan f x x '=，求0x y ='. （8）设()f x 为二阶可导函数，且()221sin tan cos xf x x+=，求()f x ''.例3函数()(),0ln 1,0x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩在0x =处是否连续，是否可导，为什么？例4设函数()cos ,2,22x x f x x x πππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩（1）()f x 在2x π=处是否可导？（2）若可导，求曲线过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线、法线方程. 例5设函数()2,1,1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，求常数,a b 的值.例6设曲线32y x x =+-上存在切线与直线41y x =-平行，求切点. 例7设函数()y f x =由方程()2sin x y xy +=确定，求dy dx . 例8设函数()y f x =由方程3331x y xy +-=确定，求x dy dx=.例9设函数21x y x=-y '.例10设函数()2sin x y x =，求y '. 例11（1）设(2)cos n yx x -=，求()n y .（2）设()ln 1y x =+，求()n y .例12已知cos sin ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩，求当3t π=时dy dx 的值.*例12已知参数方程()2arctan 1ln 1x ty t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，求dy dx 和22d y dx . ———————————————————————————————————————————————练习题1.已知函数()y f x =在x a =处可导，求()()3lim x f a x f a x∆→-∆-∆.2.求下列函数的一阶导数（1）3ln ln 2y =.（2）sin 1tan x x y x =+.（3）ln 2xxy =.（4）y =.3.用对数求导法求下列函数的一阶导数 （1）()arcsin 21xy x=+. （2）21xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 4.求下列隐函数的一阶导数y ' （1）1yy xe =+. （2）()cos 0x yexy ++=.5.求下列函数的二阶导数y ''（1）(ln y x =. （2）xe y x-=.6.求下列函数的微分（1）221arctan 1x y x-=+. （2）()0y x =>. 7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程（1）sin cos 2x t y t =⎧⎨=⎩，在4t π=处. （2）2223131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，在2t =处. ———————————————————————————————————————————————二、导数的应用例1不用求函数()()()()()1234f x x x x x =----的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并指出其所在范围.例2函数()1f x =()1,1-上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.例3设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且在任一点处的导数都不为零，又()()0f a f b ⋅<， 试证：方程()0f x =在开区间(),a b 内有且仅有一个实根. 例4利用洛必达法则求下列极限（1）201lim sin x x e x x →--.（2）lim m m n n x a x a x a →--.（3）11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.（4）20lim ln x x x +→. 例5求下列函数极限 （1）(lim 12x x +→+.（2）sin 0lim xx x +→.（3）2222lim 1x x x x →∞⎛⎫+⎪-⎝⎭. （4）1lim 1xx x e →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.（5）421lim 1cos x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.（6）0sin sin lim 1cos x x e x x x →--.例6证明不等式（1）()()ln 1,01x x x x x <+<>+.（2）()2arctan ,01xx x x x<<>+. *（3）()()11,(0,1)n n n n nb a b a b na a b a b n ---<-<->>>.*（4）ln ,(0)a b a a b a b a b b--<<>>例7证明不等式[)1,1,0xe x x >+∈-.例8证明下列不等式 （1）()()21ln ,11x x x x ->>+.（2）当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.（3）当1x >时，13x>-. 例9求函数()22x f x x e -=的单调区间和极值.例10求函数21xy x=-的凹凸区间和拐点. 例11求函数4210y x x =-+的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值. 例12求函数(1y x =-.例13求函数y []0,3上的最值.例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线 （1）21x y x =-.（2）1xxy e =+.——————————————————————————————————————————————— 练习题1.不求出()()()()147f x x x x =---的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并求出根所在的区间.2.证明方程120x ex -+-=仅有一个实根.3.求下列函数的极值.（1）()242f x x x =-.（2）()22x f x x e-=-.4.当a 为何值时，点()1,3是曲线3292y ax x =+的拐点.5.（1）求曲线()5332075f x x x x =-++的凹凸区间及拐点.（2）求曲线y =.6.证明下列不等式（1）当1x >时，xe e x >⋅.（2）()211cos 02x x x -<>.7.设()f x 在[),a +∞可导，且x a >时()0f x k '>>，其中k 是常数.证明：若()0f a <，则方程()0f x =在(),f a a a k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有一根.———————————————————————————————————————————————第三章 不定积分与定积分一、不定积分例1（1）已知()11xxf x e dx eC --=-+⎰，求()f x .（2）已知()arcsin xf x dx x C =+⎰，求()1dx f x ⎰. 二、积分法（一）直接积分法（公式法） 例1求下列不定积分（1）21x -.（2）))11dx ⎰.（3）()2211dx x x +⎰.（4）3xxe dx ⎰.（5）236x x x dx +⎰.（6）421x dx x +⎰. 例2求下列不定积分 （1）2sin2x dx ⎰.（2）22cos 2sin cos x dx x x ⎰.（3）11cos 2dx x+⎰.（4）2tan xdx ⎰. （二）换元积分法1.第一类换元法（凑微分法） 例1求下列不定积分（1）2xxedx -⎰.（2）()22arctan 1x dx x +⎰. （3）32sin cos x xdx ⎰. （4）sin x x e e dx ⎰. *（5）⎰.（5）⎰.（6）2145dx x x ++⎰.（7）1x xdx e e -+⎰.（8）3. 例2求下列不定积分 （1）22sin cos x xdx ⎰. （2）41cos dx x ⎰. （3）1sin dx x ⎰. （4）1cos dx x ⎰.2.第二类换元法 例1()20a >.例2.例3.例4（1）.（2）.（3）.（4）. （三）分部积分法例1（1）2cos x xdx ⎰.（2）2x x e dx -⎰.（3）2ln x xdx ⎰.（4）arctan xdx ⎰.（5）sin x e xdx ⎰.（6）()sin ln x dx ⎰.*例13sec xdx ⎰.例2已知()f x 的一个原函数是2x e-，求()I xf x dx '=⎰.（四）一些简单的有理函数的积分 例1（1）221dx x a -⎰.（2）2123dx x x --⎰.（3）21610dx x x -+⎰.（4）()211dx x x +⎰.———————————————————————————————————————————————练习题1.计算下列不定积分（1）234tan x x x dx ⎛⋅+ ⎝⎰.（2）211x x e dx e ----⎰.（3）3tan sec x xdx⎰. （4）⎰.（5）2156dx x x --⎰.（6）2112dx x x +-⎰.（7）()214dx +⎰. （8）arcsin xdx ⎰.（9）()2x +⎰.（10）()ln ln n n x x dx x x ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰. ———————————————————————————————————————————————三、定积分（一）牛顿-莱布尼兹公式 （二）变上限积分 （三）定积分的计算1.定积分的换元积分法（换元同时换限） 例1计算ln 0⎰.例2计算1220⎰2.定积分的分部积分法 例1计算120arcsin xdx ⎰.例2计算下列定积分（1）1arctan x xdx ⎰.（2）1xdx ⎰.（3）0cos x xdx π⎰.（4）()21sin ln e x dx π⎰.例3计算定积分24π⎰.（四）定积分的综合题【热点】 例1求下列各题的导数 （1）()0tx dt Φ=⎰.（2）()2x xx Φ=⎰.*例1已知12212xx t f dt e e --⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，求()10f x dx ⎰.例2求下列各题的极限（1）23arctan limx x x →⎰.（2）sin 0tan 00limx +→⎰⎰.（3）2220limxtx x t e dtx-→∞⎰.（此题HB 补充）例3用积分变换证明等式（1）证明()1122111011xx dx dx x x x =>++⎰⎰.（2）设()f x 为连续函数，证明()()0sin sin 2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.例4设()[]201,0,145xf x dt x t t =∈++⎰，求()f x 的最大值和最小值.例5设()0cos 2x tf x dt tπ=-⎰，求()20f x dx π⎰.（五）定积分的性质【热点】参见习题5-1（2012年最后一题考查了性质6，性质7历年未考查过）———————————————————————————————————————————————练习题 1.设()40tan n f n xdx π=⎰，()n N ∈，证明()()1354f f +=. 2.()()01cos xx t f t dt x -=-⎰，证明()201f x dx π=⎰.3.设()1lnt1xf x dt t=+⎰，证明()211ln 2f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4.设()f x 为连续函数，且()0f x >，[],x a b ∈，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[],x a b ∈，证明方程()0F x =在区间[],a b 上有且仅有一个实根.5.设()()231xx x tdt ϕ=-+-⎰，求()x ϕ的极值.*5设()f x 连续，求()22x d tf x t dt dx -⎰. ———————————————————————————————————————————————四、定积分的应用（一）利用定积分求面积和体积例1求由曲线1y x=，2x =与3y =所围成平面图形的面积. 例2求抛物线()220y px p =>与直线32y x p =-所围成的图形的面积.例3求抛物线243y x x =-+-及其点()0,3-和点()3,0处的切线所围成的平面图形的面积.例4求曲线2y x =，2x =与直线0y =所围成的平面图形绕x 轴旋转后生成旋转体的体积.例5试求抛物线2y x =在点()1,1处的切线与抛物线自身及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转后所得旋转体的体积.（二）平面曲线的弧长包括直角坐标情形和参数方程情形例1计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.例2计算摆线()()sin 1cos x a y a θθθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，()02θπ<<的长度.五、广义积分的计算例1计算下列广义积分 （1）2x xe dx +∞-⎰.（2）201x dx x +∞+⎰.（3）()31ln e dx x x +∞⎰.（4）2122dx x x +∞-∞++⎰.第四章 多元函数微积分一、多元函数的定义例1写出下列二元函数(),z f x y =的几何意义（表示何种空间曲面） （1）z ax by c =++.（2）z =.（3）z =.（4）22z x y =+.二、二元函数的定义域例1求下列函数的定义域（1）z =（2）()22ln 1z x y =+-.（3）z =（4）z =三、多元函数的偏导数例1求函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在原点()0,0的偏导数. 例2设tan x y z y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求z x ∂∂和z y ∂∂. 例3设()sin xy z xe xy -=+，求z x ∂∂和zy∂∂. 四、全微分的概念例1求()arctan z xy =的全微分五、复合函数的偏导数例1设22z u v =+，u x y =+，v x y =-，求z x ∂∂和z y ∂∂. 例2设vz u =，223u x y =+，42v x y =+，求z x ∂∂和z y∂∂. 例3设,x z f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dz . *例3设()22,z f x x =，求dz . 例4求()23,xy z f x y e =+的全微分.*例4设()2,z f x u x u ==+，()cos u xy =，求f x ∂∂和z x∂∂. 六、隐函数的导数及偏导数例1设(),z z x y =由下列方程确定，求z x∂∂和z y ∂∂. （1）20x y z ++-=.（2）22lnzx z y+=. *例1设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂七、高阶偏导数例1设()sin x y z ye+=，求22zx∂∂和2z x y ∂∂∂.11*八、高阶复合偏导数参见习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）——————————————————————————————————————————————— 练习题1.求下列函数偏导数z x ∂∂和z y∂∂：（1）(ln z x =.（2）2y xe z y =.2.设ln x z z y =，求z x ∂∂和zy∂∂. 3.设ze xyz =确定(),zf x y =，求z x ∂∂和zy∂∂. 4.设()22ln z x xy y =++，证明2z z xy x y∂∂+=∂∂. ———————————————————————————————————————————————八、二重积分（一）二重积分的定义（二）直角坐标下二重积分的计算 例1计算()22Dxxy y dxdy ++⎰⎰，(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.例2计算2Dxydxdy ⎰⎰，D 由0x =，0y =与221x y +=所围成的第一象限的图形.例3计算sin Dx dxdy x ⎰⎰，D 是由直线y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 例4计算()2Dx y dxdy -⎰⎰，D 由1y =，230x y -+=，30x y +-=围成.（三）利用极坐标计算二重积分 例1计算22x y Dedxdy --⎰⎰，D 是圆心在原点，半径为a 的圆.例2计算()22ln 1Dx y d σ++⎰⎰，D 是圆周221x y +=及坐标轴围成的第一象限内的闭域. ———————————————————————————————————————————————练习题1.设arctany z x =，求z x ∂∂和z y ∂∂. 2.设()2sin 2x yz ex y -=+，求z x ∂∂和zy∂∂. 3.设()2ln 123z x y =++，求dz .124.设2231xy x y =++确定y 是x 的函数，求12x y dy dx==.5.求xyD yedxdy ⎰⎰，其中积分区域D 是由y 轴，1y =，2y =及2xy =所围成的平面区域.6.求2Dydxdy ⎰⎰，式中积分区域D1y ≤.7. 变换积分次序，并计算积分22121122xy y x x dx e dy dx e dy +⎰⎰⎰⎰.8.计算222x y Dedxdy +-⎰⎰，式中积分区域D 由221x y +≤，0x ≥，0y ≥所确定.———————————————————————————————————————————————第五章 常微分方程一、微分方程的基本概念例1验证12cos sin x C kt C kt =+（1C 、2C 为任意常数）是方程2220d x k x dt+=的通解.例2已知方程2220d x k x dt+=的通解为12cos sin x C kt C kt =+，0t x A ==，求00t dxdt ==条件下的特解.例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件. （1）22x y C -=，05x y ==.（2）()212xy C C x e =+，00x y ==，01x y ='=.（3）()12sin y C x C =-，1x y π==，0x y π='=.二、可分离变量的微分方程例1解微分方程2dyxy dx=.例2求下列方程的通解 （1'=（2）10x y dy dx +=.（3）cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=.（4）()2310dy y x dx++=. 例3求方程的初始问题2sin ln x y x y y y e π='=⎧⎪⎨=⎪⎩的特解.例4求初值问题()cos 1sin 0xydx eydy -++=，04x y π==的特解.13三、一阶线性微分方程 例1求微分方程sin cos xy y x e -'+=的通解.例2求下列非齐次方程的通解 （1）tan sin 2y y x x '+=.（2）32d d ρρθ+=.（3）()212cos x y xy x '-+=.（4）()()3222dy x y x dx-=+-. 例3求tan sec dyy x x dx-=，00x y ==的特解. 例4求下列方程的特解 （1）sin dy y x dx x x +=，1x y π==.（2）cos cot 5x dyy x e dx +=，24x y π==-.四、二阶常系数齐次线性微分方程例1求解下列常系数二阶方程（1）7120y y y '''-+=.（2）44100y y y '''++=.（3）20y y y '''++=. 例2求下列方程的特解（1）340y y y '''--=，00x y ==，05x y ='=-.（2）250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.*五、微分方程综合题【热点】*例1设()()22xf x f t dt x+=⎰，求()f x .*例2求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(),x y 处的切线斜率等于2x y +.（2012年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多）——————————————————————————————————————————————— 练习题 1.求方程10x y dydx+=的通解. 2.求方程yxdy dx e dx +=的通解. 3.求方程cos sin 1dyxy x dx+=的通解. 4.求下列方程满足初始条件的特解：02xx y y ey -='⎧+=⎪⎨=⎪⎩.5.求下列二阶齐次方程的通解（1）340y y y '''+-=.（2）2250d y dy dx dx -=.（3）2220d ss dt-=.（4）()()()20x t x t x t '''++=. 6.求下列初值问题的特解（1）求430y y y '''++=，()02y =，()06y '=. （2）求250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.———————————————————————————————————————————————。