《固体物理学》概念和习题 答案

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：
1.给出原胞的定义。

答：最小平行单元。

2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。

答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。

3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。

4. 请描述七大晶系的基本对称性。

5. 请给出密勒指数的定义。

6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。

7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。

8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。

9. 给出布里渊区的定义。

10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么
11. 写出晶体衍射的结构因子。

12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。

13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。

14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。

15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。

（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。

17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。

18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。

19. 简述晶体热膨胀的原因。

20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。

21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）
22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。

23. 写出金属的电导率公式。

24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。

25. 简述能隙的起因。

26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。

27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。

28. 给出空穴概念。

29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。

30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。

31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。

32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。

33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。

34. 给出半导体的电导率。

35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。

36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。

37. 什么叫费米液体
38. 请给出纯金属的电导率随温度的关系。

39. 请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。

40. 请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。

41. 请列出铁磁性固体的主要特征。

42. 请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。

43. 什么是格波和声子晶体中声子有多少种可能的量子态
44. 请说明Debye热容量模型的基本假设，为什么说Debye热容量模型在低温下是正确的
45. 什么是近自由电子近似和紧束缚近似
46. 请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点47. 什么是n型半导体和p型半导体什么是本征半导体
48. 试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。

《固体物理学》习题
注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢q的定义（q=1/λ）与课堂上所用的波矢k相差2π（k=2π/λ）；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与国际单位制之间的转换
1.在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子
2.在六角晶系中常用4个指数（h,k,i,l）来表示，如图，前三个指数表示晶面族中最靠
近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1,a2,a3上的截距为：a1/h,a2/k,a3/i，第4个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l,证明：i=-(h+k),并将下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(1̅33)(1 1̅0)(32̅3)(100)(010)( 21̅̅̅̅3)。

答：根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。

前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关
系：i＝-( h + k ) 。

（0001），（1323），（1100），（3213），（1010），（0110），（2133）。

3.证明理想六角密堆积结构的c/a比是√8/3=，如果c/a值比这个值大得多，可以把晶
体视为由原子密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。

4.在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大在面心立方晶格中，哪个晶面的原子面密度
最大
答：单晶硅中，晶面上的原子密度是(111)>(110)>(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度（111）> (100) >(110)。

5. 如图的两种正六边形（边长为a）平面格子是布喇菲格子还是复式格子应如何选取其基矢和原胞
6. 六角空间点阵，六角空间点阵的基矢可以取为：
a⃗=√3a
2x̂+a
2
ŷ；b⃗⃗=−√3a
2
x̂+a
2
ŷ；c⃗=cẑ；
（1）证明：原胞的体积是√3
2
a2c；
（2）证明：倒易点阵的基矢是：A⃗=
√3a x̂+2π
a
ŷ，B⃗⃗=
√3a
x̂+2π
a
ŷ，C⃗=2π
c
ẑ；
因此直接点阵就是它本身的点阵，但轴经过了转动；（3）描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区。

7. 证明第一布里渊区的体积是(2π)3
V c
此处V c是晶体初基晶胞的体积。

8. 金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个原子组成；
（1）给出这个基元的结构因子；
（2）求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足h+k+l=4n，且所有指数都是偶数，n是任何整数；否则所有指数都是奇数。

体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。

[如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件] 9. 如果a 表示晶格常数，θ表示入射光束与衍射光束之间的交角，证明对于简 单立方晶格，sin
θ2
=
λ2a
(ℎ2+k 2
+l
2)1
2
式中（h k l ）为密勒指数，为入射光波长。

10. 画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在（100），（110），（111）面上的原子排列。

11. 若一晶体的总互作用能可表示为：U (r )=N
2
(−αr +β
r )，试求：
（1） 平衡间距r 0； （2） 结合能W ； （3） 体弹性模量；
（4） 若m=2,n=10,r 0=3,W=4eV,求α、β的值。

12. (黄昆教材用雷纳德-琼斯势计算Ne 在体心立方和面心立方结构中的结 合能之比。

13. (黄昆教材对于H 2，从气体的测量得到雷纳德-琼斯势中的参数为：ε=50×10-23J ，σ=，计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的结合能。

(A 12=, A 6= 14. (固体物理习题集和黄昆教材 证明六角晶体的介电常数张量为
(ε1000ε200
ε2
) 15. (固体物理习题集
设两原子间的互作用能可表示为：u (r )=−
αr
m
+βr n
式中，第一项为引力能；
第二项为排斥能；α、β均为正常数。

证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须n>m 。

16. (固体物理习题集
设两原子间的互作用能可由：u(r)=−α
r m +β
r n
表述。

若m=2,n=10，而且两
原子构成稳定的分子，其核间距离为：3×10-10m，离解能为4eV,试计算：
（1）α和β；
（2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距；
（3）使原子间距比平衡距离减少10%时所需要的压力。

17. (固体物理习题集
有一晶体，平均每对离子的互作用能为：u(R)=λA n R−αe2R式中，R是最
RR近邻离子间距；α是马德隆常数；λ、A n为常数。

若n=10, α=,平衡时最近邻距离R0=×10-10m。

求由2N=2×1022个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用能。

18. (固体物理习题集
设LiF晶体(NaCl结构)的总互作用能可写成：U=N
2
(Zλe−R/ρ−αe2/R)，式中，
N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距；α是马德隆常数；λ、ρ为参量。

求平衡时最近邻间距R0、总结合能U0和体积弹性模量B的表达式。

19. (固体物理习题集
设NaCl晶体的互作用能可表示为：U(R)=−N
2
(αe2/R−Ae−R/ρ)式中的N、R、ρ、A 分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径和排斥能参数。

实验测定，NaCl 晶体近邻离子的平衡间距R0=×10-10m，体积弹性模量K=×1011dyn/cm2，已知NaCl 结构的马德隆常数α=，试求NaCl晶体的排斥核半径ρ和排斥能参数A。

20. 2N个正负离子组成一个一维链晶体。

平衡时两个最近邻正负离子间距为R0。

试证：
(1)该晶体的马德隆常数为μ＝2ln2。

(2)自然平衡状态下的结合能为E b(R0)=2Nq2ln2
4πε0R0(1−1
n
)。

-q +q
21. (固体物理习题集
已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为：g(ω)=2N
(ωm2−
π
ω2)−1/2式中ωm是格波的最高频率。

求证它的振动模总数恰好等N。

22. (固体物理习题集
设有一维原子链（如图），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β'（β'<β）。

设两种原子的质量相等，最近邻原子间距均为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=±1/4a时的振动频率。

s
23. (固体物理习题集
设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错地等于β和10β。

若两种原子的质量相等，并且最近邻间距为a/2，试求在波矢k=0和k=π/a处的ω(k)，并画出其色散关系曲线。

24. (固体物理习题集
考虑一个由相同原子组成的二维正方格子的横振动。

设原子质量为M，点阵常数为a，最近邻原子间的恢复力常数为β，试求：
（1）格波的色散关系；
（2）长波极限下格波的传播速度。

25. 边长为L的正方形二维晶体，含N个原胞，试求：
（1）该点阵振动的模式密度D(ω)；
（2）德拜截止频率νD和德拜温度θD；
（3）点阵振动内能表达式和低温下比热表达式。

（其中∫x2
e x−1dx≈2.4
∞
）26. (固体物理习题集
已知一个频率为ωi的谐振动在温度T下的平均能量
εi̅=1
2
ℎωi+
ℎωi
eℎωi/k B−1
试用爱因斯坦模型求出由N个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。

27. (固体物理习题集
设一维原子链中，两原子的互作用能由下式表示
u(x)=u0[(σ
x
)
12
−2(
σ
x
)
6
]
式中x为相邻原子间距。

求原子链的线胀系数α。

28. (固体物理习题集
设某离子晶体中离子间的互作用能
u(r)=−e2
+
B
9
式中，B为待定常数；r为近邻离子间距。

求该离子晶体的线胀系数。

已知近邻离子的平衡间距为3×10-10m。

29. 具有简立方结构的晶体，原子间距为2，由于晶体中非谐作用的存在，一但个沿[1,1,0]方向传播的波矢为×1010m-1的声子同另一个波矢大小相等，沿[1,-1,0]方向传播的声子相互作用，合并成第三个声子，试求新形成的第三个声子的波矢。

30. (固体物理习题集
已知金属铯的E F=，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。

31. (固体物理习题集
证明：在T=0K时，费米能级E0F处的能态密度为
g(E F0)=3N 2E F0
式中N为金属中的自由电子总数。

32. (固体物理习题集
证明：低温下金属中电子气的费米能
E F=E F0[1−π2
12
(
k B T
E F0
)
2
]
其中
E F0=ℎ2
2m
(
3n
8π
)
2/3
为绝对零度的费米能，n为电子浓度。

33. (固体物理习题集
证明，在T=0K时，金属中自由电子气的压强和体积弹性模量分别为：
P=2
5N
V
E F0, B=2
3
N
V
E F0
式中E F0为T=0K时的费米能；V、N分别代表金属的体积和自由电子总数。

已知锂（体心立方结构）的晶格常数a=×10-10m，费米能E F0=×10-19J，试估计锂中自由电子对体积弹性模量的贡献。

34. (固体物理习题集
证明：（1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度
E0 V =
4πℎ2k F5
5m
式中，k F为费米球半径，V为金属体积。

（2）金属中电子的平均能量
E 0=3ℎ2k F
2
35. (固体物理习题集
铜的费米能级EF=，试计算每单位体积铜的平均电子数，并与从密度计算得到的电子浓度相比较。

已知铜的密度等于cm 3。

代入数据得：n=322cm 10⨯ 36. (固体物理习题集问答
一维晶格能量E 和波矢k 的关系如图所示。

设电子能谱与自由电子相同，试写出与简约波矢k=π/2a 对应的点A （第一能带）、B （第二能带）和C （第三能带）处的能量。

37. (固体物理习题集问答
对简单立方、体心立方和面心立方晶格，由紧束缚近似导出的能带底部电子的有效质量均可表示为
m ∗=ℎ
2
22
能否据此断言：具有这三种结构的晶体，在能带底部的电子具有同样大小的有效质量 38. (固体物理习题集
证明：在三维晶格中，电子能量在k 空间中具有周期性：E(k)=E(k+G)式中，G 为任一倒格矢。

证明：
所以：()()()r G G k i G
G k e G G k C r ⋅-++-+=∑0
0ϕ
定义：G G G →-0 则有：()()r r k G k ϕϕ=+0
所以：E(K)=E(K+G)
39. (固体物理习题集
设有一单价金属，具有简单立方结构，晶格常数a=×10-10m ，试求 （1）费米球的半径；
（2）费米球到布里渊区边界的最短距离。

40. (固体物理习题集
应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，试证明其S 态芯电子的能带为E(k)=E min+4Jsin2(πak) 式中，E min为能带底部的能量，J为交迭积分。

并求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子有效质量。

41. (固体物理习题集
一矩形晶格，原胞边长a=2×10-10m，b=4×10-10m，
（1）画出倒格子图；
（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区；
（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有两个电子）。

42. (固体物理习题集，
试证明：如只计及最近邻原子间的相互作用，用紧束缚方法导出的体心立方晶体的S态电子的能带为
E(k)=E0-A-8J[cos(πak x) cos(πak y) cos(πak z)]
式中J为交迭积分，试求：
（1）体心立方晶格能带的宽度；
（2）能带底部和顶部电子的有效质量；
（3）画出沿k x方向（k y=k z=0）E(k x)和v(k x)的曲线。

43. (固体物理概念题与习题指导
已知某简立方晶体的晶格常数为a,其价电子的能带：
E= Acos(ak x) cos(ak y) cos(ak z)+B (其中常数A,B>0)
,试求参数A;
(1) 已测得带顶电子的有效质量m∗=−?2
2a2
(2) 试求能带宽度；
(3) 试求布里渊区中心点附近电子的态密度。

所以能态密度为
44. (固体物理习题集
设v F , T F 分别为费米面电子的速度和平均自由时间，g(E F )为费米能级处的状态密度，证明：对于球形费米面的情况，电导率σ=e 2 vF 2T F g(E F )/3
45. (固体物理习题集
证明：在一给定温度下，当电子浓度n=n i (μh /μe )1/2，空穴浓度p=n i (μe /μh )1/2时，半导体的电导率为极小。

这里n i 是本征载流子浓度，μe 和μh 分别为电子和空穴的迁移率。

46. (固体物理习题集
实验得到一锗样品不呈现任何霍尔效应。

已知锗中电子迁移率为3500cm 2/Vs ，空穴迁移率为1400cm 2/Vs ，问电子电流在该样品的总电流中所占的比例等于多少
47. (黄昆教材
设有二维正方晶格，晶体势场为
U (x,y )=−4Ucos (2πa x)cos (2πa
y) 用近自由电子近似的微扰论（简并微扰）近似求出布里渊区顶角（π/a,π/a）处的能隙。

(本题类似于基特尔教材（）)
48. (黄昆教材
设有一维晶体的电子能带可以写成
E (k )=ℎ2ma 2(78−cos ka +18
cos 2ka) 其中，a 是晶格常数，试求：
（1）能带的宽度；
（2）电子在波矢k 状态的速度；
（3）能带底部和能带顶部的有效质量。

49. (黄昆教材
晶格常数为的一维晶格，当外加102V/m和107V/m电场时，试分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。

50. (黄昆教材
若已知E(k)=Ak2+c(k x k y+k y k z+k z k x)，导出k＝0点上的有效质量张量，并找出主轴方向（使用空间旋转矩阵）。

51. (黄昆教材
He3的自旋为1/2，是费米子。

液体He3在绝对零度附近的密度为cm3。

计算费米能E F 和费米温度T F。

52. (黄昆教材
若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量：
（1）费米能和费米温度；
（2）费米球半径；
（3）费米速度；
（4）费米球面的横截面积；
（5）在室温及低温时电子的平均自由程。

银的密度等于g/cm3，原子量等于，电阻率等于×10-6Ωcm
（在295K）×10-6Ωcm（在20K）。

53. (黄昆教材
InSb的电子有效质量me=（m为电子静质量），介电常数ε=18，晶格
常数a=，试计算：
（1）施主的电离能；
（2）基态的轨道半径；
（3）若施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少
54. (黄昆教材
已知Si中只含施主杂质ND=1015/cm3。

现在40K下测得电子浓度为1012/cm3，试估算施主杂质的电离能。

E i=1.381×10−23×40ln (1015−1012)×1.266×1018
24
=1.156×10−20J=0.0722eV
55. (黄昆教材
某一N型半导体电子浓度为1×1015/cm3，电子迁移率为1000cm2/Vs，求其电阻率。

56. (基特尔教材
孔氏异常（Kohn anomaly）：假定晶面运动方程F s=∑C p(u s+p−u s)
p
中平面
力常数C p取如下形式C p=A sin pk0a
pa
,其中A和k0是常数，而p遍取所有的整数值。

这种形式是对于金属的预期结果。

利用这个公式和式ω̅2=2
M ∑C p
p>0
(1−cos pKa)
求出ω2和ω2/K的表达式，证明K=k0时，ω2/K是无穷大，于是在k0处ω2对K或ω对K的图形有一条垂直的切线：即在k0
57. (基特尔教材
约化能区中的自由电子能量。

（a）在空点阵近似下考虑面心立方晶体在约化能区图式表示中的自由电子能带，在约化能区图式表示中所有的k都变换到第一布里渊区内。

粗略绘出[111]方向上的所有能带的能量，直至相当于布里渊区边界k=(2π/a)(1/2,1/2,1/2)处的最低带能量的6倍。

就令这个能量为能量的单位。

这个问题表明，为什么带边不一定要在布里渊区中心。

当考虑到晶体势场时，有几个简并（能带交叉）被消除。

58. (基特尔教材
金刚石结构中的势能。

（a）试证对于金刚石结构，在G=2A时，一个电子所感受的晶体势场的傅立叶分量U G为零，其中A是惯用立方晶胞的倒易点阵中的基矢。

（b)证
明在周期点阵中波动方程通常的一级近似解中与矢量A 末端垂直的布里渊区边界面上的能隙为零，并且证明在二级近似中该能隙不为零。

59. (基特尔教材
正方点阵。

考虑在二维情况下具有晶体势场U(x,y)=4Ucos(2πx/a)cos(2πy/a)
的正方点阵。

应用中心方程近似求出布里渊区角点（π/a,π/a）处的能隙。

这个问题只需解一个2×2的行列式方程就足够了。

(本题类似于黄昆教材
60. (基特尔教材
六角密堆积结构. 考虑点阵常数为a 和c 的三维简单六角点阵晶体的第一布里渊区，令G c ⃗⃗⃗⃗⃗表示平行于晶体点阵的 c
⃗ 轴的最短倒易点阵矢量。

(a)证明六角密堆积晶体结构的晶体势U(r ⃗)的傅立叶分量U(G c ⃗⃗⃗⃗⃗)为零； (b) U(2G c ⃗⃗⃗⃗⃗)是否也为零(c)为什么原则上可以得到由
处于简单六角点阵的阵点上的二阶原子所构成的绝缘体(d)为什么不可能得到六角密堆积结构的单价原子构成的绝缘体
解：设原胞中有m 个原子，他们在原胞中的位置由n R 表示，则晶格势能为
其中()∑=⋅-=m
n R iG n e G S 1
正倒格矢分别为：()0,0,11a a = ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=0,23,212a a ()1,0,03c a =
()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=233223211m m m i e G S π ，对于平行于c 轴的最短的倒格矢G ，有
同理，对于六角密堆结构，当G=02G ±时，()()0222≠±=±c C G U G S 所以
简单六角原胞中含有一个原子，第一个能带可容纳2N 个电子。

若晶体是双价原子组成的，则N 个原子的体系可提供2N 个价电子，这样能带可能全被填满。

所以在原则上其可构成绝缘体。

同理：单价原子构成的六角密堆结构，是不可能成为绝缘体的。

61. (方俊鑫教材32题)
平面正六方形晶格（如图），六角形两个对边的间距是a ，基矢a ⃗=a 2x ̂+√3a 2y ̂; b ⃗⃗=
−a 2x ̂+√3a 2y ̂;试画出此晶体的第一、二、三布里渊区。

如图所示：
62. (方俊鑫教材38题)
某晶体中电子的等能量曲面是椭球面E(k⃗⃗)=?2
2(k x2
m1
+k y2
m1
+k z2
m1
)，求能量E到E+dE之
间的状态数。

63. 某二维晶体，其原胞的基矢|a1⃗⃗⃗⃗⃗|=2，|a2⃗⃗⃗⃗⃗|=2；a1⃗⃗⃗⃗⃗⊥a2⃗⃗⃗⃗⃗。

设晶体有N个原胞，每个原胞内平均有1个电子：(1)画出该晶体的第一、二布里渊区；(2)在扩展布里渊区图上画出自由电子的费米面。