高考数学复习离散型随机变量的分布列

※第十二章概率与统计●网络体系总览●考点目标定位1.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.2.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.3.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本.4.会用样本频率分布估计总体分布.5.了解正态分布的意义及主要性质.6.了解线性回归的方法和简单应用.7.实习作业以抽样方法为内容，培养学生解决实际问题的能力.●复习方略指南在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列●知识梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母ξ、η等表示.（1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.（2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列（1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，x i，…，ξ取每一个值x i（i=1，2，…）的概率P（ξ=x i）=p i，则称表ξx1x2…x i…P p1p2…p i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.（2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P（ξ=k）=C kp k q n－k.n其中k=0，1，…，n，q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ0 1 …k…nP C0p0q n C1n p1q n－1…C k n p k q n－k…C n n p n q0n我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n、p为参数，并记C k n p k q n－k=b（k；n，p）.特别提示二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布.●点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是A.一颗是3点，一颗是1点B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键.答案：D2.下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是ξ－1 0 1P0.3 0.4 0.4解析：A 、D 不满足分布列的基本性质②，B 不满足分布列的基本性质①. 答案：C3.已知随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=k 21，k =1，2，…，则P （2<ξ≤4）等于A.163B.41C.161D.51 解析：P （2<ξ≤4）=P （ξ=3）+P （ξ=4）=321+421=163.答案：A4.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为________.解析：本题中商品数量较大，故从中任意抽取5件（不放回）可以看作是独立重复试验n =5，因而次品数ξ服从二项分布，即ξ～B （5，0.1）. ξ的分布列如下：5.设随机变量ξ～B （2，p ），η～B （4，p ），若P （ξ≥1）=95，则P （η≥1）=______. 解析：P （ξ≥1）=1－P （ξ<1）=1－C 02p 0·（1－p ）2=95， ∴p =31，P （η≥1）=1－P （η=0）=1－C 04（31）0（32）4=1－8116=8165. 答案：8165●典例剖析【例1】 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.剖析：随机变量ξ可以取0，1，2，η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.解：（1）P （ξ=0）=31038C C =157，P （ξ=1）=3102812C C C =157，P （ξ=2）=3102218C C C =151， 所以ξ的分布列为ξ12P157 157 151 （2）P （η=k ）=C k8·0.83－k ·0.2k （k =0，1，2，3），所以η的分布列为η0 1 2 3 PC 080.83C 180.82·0.2C 280.8·0.22C 380.23评述：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即η～B （3，0.8）. 特别提示求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.【例2】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即ξ可以取1，2，3.解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53； 当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523C C =103； 当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522C C =101. 因此，的分布列如下表所示：ξ123P53 103 101 相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数，即n =C 35，取每一个球的概率都属古典概率（等可能性事件的概率）.【例3】 （2004年春季安徽）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及E ξ.剖析：每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，所以ξ可以取2，3，4.解：P （ξ=2）=108×97=4528； P （ξ=3）=108×92×87+102×98×87=4514； P （ξ=4）=1－4528－4514=151. ∴ξ的分布列如下： ξ234P4528 4514 151 E ξ=2×P （ξ=2）+3×P （ξ=3）+4×P （ξ=4）=922. 评述：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.思考讨论1.ξ=4时有哪些情况?2.本题若改为取出后放回，如何求解?●闯关训练 夯实基础1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是A.5B.9C.10D.25 解析：号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种. 答案：B2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P （ξ=12）等于A.C 1012（83）10·（85）2B.C 911（83）9（85）2·83C.C 911（85）9·（83）2 D.C 911（83）9·（85）2解析：P （ξ=12）表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P （ξ=12）=C 911·（83）9（85）2×83.答案：B3.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是________.解析：ξ～B （5，0.3），ξ的分布列是P （ξ=k ）=C k50.3k 0.75－k ，k =0，1， (5)答案：P （ξ=k ）=C k 50.3k 0.75－k ，k =0，1，…，54.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤6）=________.解析：取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个.其分值为ξ=4，6，8，10分.P （ξ≤6）=P （ξ=4）+P （ξ=6）=470344C C C +471334C C C =3513. 答案：3513 5.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率. 解：（1）ξ的可能取值为0，1，2.P （ξ=k ）=36342C C C kk -⋅，k =0，1，2.∴ξ的分布列为E ξ=0×51+1×53+2×51=1. （3）“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P （ξ≤1）=P （ξ=0）+P （ξ=1）=54. 培养能力6.A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B别为ξ、η.（1）求ξ、η的概率分布； （2）求E ξ、E η. 分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.P （ξ=3）=32×52×52=758，P （ξ=2）=32×52×53+31×52×52+32×53×52=7528， P （ξ=1）=32×53×53+31×52×53+31×53×52=52， P （ξ=0）=31×53×53=253；根据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）=P （ξ=3）=758， P （η=1）=P （ξ=2）=7528， P （η=2）=P （ξ=1）=52， P （η=3）=P （ξ=0）=253. （2）E ξ=3×758+2×7528+1×52+0×253=1522；因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ=1523. 7.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW ，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min ，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW 的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班的8 h 内，不能正常工作的时间大约是多少?分析：由实际问题确定随机变量的取值，由独立重复试验求概率值.解：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由于机床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因此ξ～B （10，p ）.其中p 是每台机床开动的概率，由题意p =6012=51.从而P （ξ=k ）=C k10（51）k （54）10－k，k =0，1，2，…，10. 50 kW 电力同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作.这一事件的概率为P （ξ≤5），P （ξ≤5）=C 010（54）10+C 110·51·（54）9+C 210（51）2·（54）8+C 310（51）3（54）7+C 410（51）4·（54）6+C 510（51）5·（54）5≈0.994. 因此，在电力供应为50 kW 的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0.006，从而在一个工作班的8 h 内，不能正常工作的时间只有大约8×60×0.006=2.88（min ），这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响.评述：分布列的实际应用，应结合题意给出答案.8.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的分布列.解：根据题意可知随机变量ξ的取值为3，4，5.当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1，2，故有P （ξ=3）=3522C C =101. 当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故P （ξ=4）=3523C C =103. P （ξ=5）=3524C C =106. 可得ξ的分布列为9.如果ξ～B （20，31），则使P （ξ=k ）取最大值的k 的值是________.解析：)()1(k P k P =+=ξξ=k k k k k k ---++20201201120)32()31(C )32()31(C =120+-k k ×21≥1，得k ≤6.所以当k ≤6时，P （ξ=k +1）≥P （ξ=k ）， 当k ＞0时，P （ξ=k +1）＜P （ξ=k ）， 其中k =6时，P （ξ=k +1）=P （ξ=k ）， 从而k =6或7时，P （ξ=k ）取得最大值. 答案：6或7 ●思悟小结1.离散型随机变量的概率分布的两个本质特征：p i ≥0（i =1，2，…，n ）与∑=ni 1p i =1是确定分布列中参数值的依据.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率.3.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量. ●教师下载中心 教学点睛离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和. 求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提.拓展题例【例题】 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列.剖析：从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6.解：ξ的所有可能取值为3，4，5，6.P （ξ=3）=31233C C =2201； P （ξ=4）=3122319C C C =22027； P （ξ=5）=3121329C C C =5527； P （ξ=6）=31239C C =5521. 所以ξ的分布列为ξ3456P2201 2207 5527 5521 评述：本题的关键是正确地求出ξ取某个值时对应的事件个数. 思考讨论若本题改为：若每次取1个，用完放回再取1个，用完再放回，再取1个用完放回，则怎样求此时ξ的分布列呢?。