关于绝对值的几种题型及解题技巧
绝对值的八种题型
以下是关于绝对值的八种题型：
1. 已知一个数，求其绝对值。
例如：求-5的绝对值。
解：绝对值是一个数到原点的距离，所以|-5|=5。
2. 已知一个数的绝对值，求这个数。
例如：若|x|=3，求x的值。
解：绝对值等于3的数有两个，即x=3或x=-3。
3. 绝对值范围内的整数问题。
例如：求绝对值小于3的非负整数。
解：非负整数就是正整数或0，所以绝对值小于3的非负整数有0、1、2。
4. 含有绝对值的方程求解。
例如：求解方程|x-2|=3。
解：将绝对值拆开，得到两个方程x-2=3和x-2=-3，解得x=5或x=-1。
5. 含有绝对值的不等式求解。
例如：求解不等式|x-1|>2。
解：将绝对值拆开，得到两个不等式x-1>2和x-1<-2，解得x>3或x<-1。
6. 绝对值的最小值问题。
例如：求几个绝对值和的最小值。
解：根据绝对值的性质，求最小值只需记住口诀：奇点求中间，偶点求中段。
7. 绝对值的最大值问题。
例如：求几个绝对值和的最大值。
解：先确定零点，画出数轴，标出零点，分三种情况讨论比较大小即可。
8. 绝对值的应用题。
例如：在数轴上，已知点A的坐标为3，点B的坐标为-5，求线段AB的长度。
解：线段AB的长度就是点A和点B之间的距离，即|3-(-5)|=8。
通过掌握这八种题型，可以帮助我们更好地理解和解决与绝对值相关的问题。
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法(新教材,重难点分层培优提升)(解析版)
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法（新教材，重难点分层培优提升）类型一、绝对值的有关概念1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）A．0B．1-C．2-D．1【答案】C【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．=-=-==，【详解】解：∵|0|0,|1|1,|2|2,|1|1而210>>，∴->-=>，|2||1||1|0故选：C．-，那么a=．2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是0.74【答案】0.74【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)34--；(2)()0.5-+-⎡⎤⎣⎦；(3)6217⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)()2-+．4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（）A ．2-B ．1-C ．3D ．05．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数m 在数轴上的位置如图所示，则化简3m m ++结果是．6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知|2||1|6a a ++-=，则=a ；7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知3535x x -=-，则x 的取值范围是．8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果0a b c ++=且c b a >>．则下列说法中可能成立的是（）A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、b 、c 为正数9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：76-65--．11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①1-与0.01-；②2--与0；③0.3-与13-；12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：4.5+，142--，0， 2.5-，6，5-，()3+-．(1)负数集合：{．．．．．．}；(2)用“<”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|3||5|0x y -++=，求||x y +的值．15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a ＋2）2＋|b ﹣3|＝0，c 是最大的负整数，求a 3＋a 2bc ﹣12a 的值．二、填空题16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若12x <<，求代数式2121x x xx x x---+=．17．（23-24·上海杨浦·期末）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为．18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知112x -<<，化简|||2|3x x ---=．三、解答题19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．【答案】(1)>，<，>(2)322a c --21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为．22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1：解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2：解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程53x -=的解为______；(2)解不等式2219x ++<；(3)若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；故答案为：8x =或2x =．（2）2219x ++<（3）123x x -++=，表示到1的点与到2-的点距离和为3，故答案为：21x -£<．23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为．(2)若34x +=，则x =．(3)32x x --+最大值为，最小值为．24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，a 可以理解为0a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A ，B ，分别用数a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离为AB a b =-，反过来，式子a b -的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A 用数a 表示，则①若35a -=，那么a 的值是_________．②36a a -++有最小值，最小值是_________；③求123202*********a a a a a a ++++++++++++ 的最小值．25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：8+，6-，3+，4-，8+，4-，5+，3-．(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？(2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：5,3,4,5,8,2,1,3,4,1+-+-+-+--+．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？一、单选题1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①0a b ->；②0ab <；③a b a b +=--；④()0b a c ->，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．0ab >B ．4b a ->C ．2a b a b +=D ．()()230a b +-<3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则b a b c a c --+--的化简结果为（）A ．2c-B ．2a C ．2b D ．22b c+4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A ．a b +B ．a b -C ．abD ．a b -5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|5||3|8a a ++-=的整数a 的值有（）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个二、填空题6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a 、b 为整数，202320a b +--=，且b a <，则a 的最小值为．7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知x a b ，，为互不相等的三个有理数，且a b >，若式子||||x a x b -+-的最小值为2，则2023a b +-的值为．三、解答题9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：(单位：千米)15+，3-，13+，11-，10+，12-，4+，15-，16+，19-(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？(3)出租车油箱内原有5升油，请问：当0.05a =时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由．10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“a ”的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“2a <”可理解为：；我们定义：形如“x m ≤，≥x m ，x m <，x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．例如：315x x -≤+我们将x 作为一个整体，整理得：315x x -≤+3x ≤再根据绝对值的几何意义：表示数x 在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为33x -≤≤仿照上述方法，解下列绝对值不等式：①254x x -<-②1312313x x -+<-．11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|4--=；由此可知|63|+的意义可理解为数轴上表示数6和3-这两点的距离；|4|x +的意义可理解为数轴上表示数x 和4-这两点的距离；(1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？(2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A B C ，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小？(3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A B C D ，，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小？(4)①|3||4|x x ++-的最小值是_________，此时x 的范围是_________；②|6||3||2|x x x ++++-的最小值是_________，此时x 的值为_________；③|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是_________，此时x 的范围是_________．（3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案．【详解】（1）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PA PA AB PA AB +=++=+，当点P 在A 、B 之间时，PA PB AB +=，当点P 点点B 的右边时，2PA PB AB PB PB AB PB +=++=+，∴当点P 在A 、B 之间时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；（2）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PC PA PA AC PB PA PB AC ++=+++=++，当点P 在A 、B 之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在B 点时，PA PB PC AC ++=，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在点C 的右边时，2PA PB PC PC PB AC ++=++，∴当点P 在B 点时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小（3）解：当点P 在点A 左边时，42PA PB PC PD PA AB CB AD +++=+++，当点P 在A 、B 之间时，2PA PB PC PD PB CB AD +++=++，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PD BC AD +++=+，当点P 在C D 、之间时，2PA PB PC PD BC AD PC +++=++，当点P 在点D 的右边时，24PA PB PC PD BC AD DC PD +++=+++，∴当点P 在B C 、之间时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小；（4）解：①由（1）可得：当34x -≤≤时，有最小值，最小值为()437--=，∴|3||4|x x ++-的最小值7，此时x 的范围是34x -≤≤；②由（2）可得：这是在求点x 到6-，3-，2三点的最小距离，∴当3x =-时，有最小值，最小值为|6||3||2||36||33||32|8x x x ++++-=-++-++--=；③由（3）可得：这是在求点x 到7-，4-，2，5四点的最小距离，∴当42x -≤≤时，由最小值，最小值为|7||4||2||5|742518x x x x x x x x ++++-+-=++++-+-=．12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：(1)a c +__________0，b c -__________0，a b -__________0（用“＞”、“<”、“=”）；(2)化简||||||a c b c a b ++---．13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ．其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2021，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000．(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数；(2)若原点O 在A ，B 两点之间，求a b b c ++-的值；(3)若O 是原点，且18OB =，求a b c +-的值．【答案】(1)点A 所对应的数a 为3021-，点B 所对应的数b 为1000-(2)3021(3)a b c +-的值为3003-或3039-【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键．（1）根据题意先求解AC 的长，结合数轴的定义可求解点A ，B 所对应的数；（2）根据数轴上点的特征可得a<0，0b >，0c >，0b c -<，结合绝对值的性质化简可求解；，14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a ，b 在数轴上的位置如图所示：(1)用“>”、“<”或“=”填空：____0a ，____0a b +，____0b a -；(2)化简：||||2||a b a a b +--+；(3)若21a b =-=，，x 为数轴上任意一点所对应的数，则代数式||||x a x b -+-的最小值是______；此时x 的取值范围是______．。
专题：人教版七年级上册 绝对值的几何意义综合题型讲解和练习
绝对值的几何意义综合题型讲解与练习知识背景绝对值的定义（几何定义）：数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
记作a 图形解释：0a -表示数轴上数a 到数字0的距离；例子：3a -表示数轴上数a 到数字3的距离；2a +=(2)a --表示数轴上数a 到数字2-的距离；类型一：绝对值方程1.先阅读下列小明和小红的解题过程，再解答问题：解方程：32x +=．小明：当30x +≥时，原方程可化为32x +=，解得1x =-；当30x +<时，原方程可化为32x +=-，解得 5.x =-所以原方程的解是1x =-或5x =-． 小红：32x +=可以理解为数轴上数x 到数字3-的距离为2，在数轴上可以找到，距3-的距离是2的数字有-5和-1，则1x =-或5x =-(1) 解方程：150x --=；（用小明的方法）(2) 解方程：4160x --=；（用小红的方法）针对练习1．已知30x -=，那么x = ．2．关于x 的方程136++-=x x 的解是 ．3．若26x -=-，则x = ．4．定义运算a b ab a =-★，如131312=⨯-=★．若2a =，且4a b =★，则b 的值为 ．5．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为 ．类型二：绝对值最值问题模型：求x a b ++的最小值，当0x a +=时，式子有最小值b求x a b -++的最大值，当0x a +=时，式子有最大值b1. 当x = 时；12x +有最小值，最小值为 ；2. 当x = 时；47x ++有最小值，最小值为 ；3. 当x = 时；374x -+有最小值，最小值为 ；4. 当x = 时；12x -+有最大值，最大值为 ；5. 当x = 时；47x -++有最大值，最大值为 ；6. 当x = 时；374x --+有最大值，最大值为 ；7．若a 表示一个有理数，则式子51a --有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时，a = ．类型三：绝对值非负性1．已知()2120a b -++=，则()2018a b ＋的值为 ．2．若2m -和()22n +互为相反数，则2m n -的值为 ．3．若|1||2|0a ab -+-=，则111(1)(1)(2)(2)(2022)(2022)a b a b a b +++++++++= ．4．若a ，b 为实数，且()222|16|04a b b -+-=+，求3a b -的值 ． 5．如果p ，q 是非零实数，关于x 的方程||20232024||x p q --=-始终存在四个不同的实数解，则||||||||||p q p q pq p q p q p q pq p q +-+++++-的值为类型四：绝对值几何意义的应用1．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；（3）若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++= ；（4）求32x x -++的最小值。
初中数学：关于绝对值的几种题型及解题技巧，很全面，值得收藏！
初中数学：关于绝对值的几种题型及解题技巧，很全面，值得
收藏！
绝对值是初中数学很重要的一个知识点，什么是绝对值？如果在在数轴上表示就是一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。
绝对值就是一个数不管是正数还是负数，它的绝对值都是正的，当然零除外，零的绝对值是零。
一个整数，绝对值就是本身，比如3的绝对值是3；一个负数，绝对值就是它的相反输，比如-5的绝对值就是5。
这样看来，是不是很好理解？
确实，要理解觉得值的概念是很简单的，不过，要想解决绝对值的相关题型，那可就不是一件简单的事情了。
我们都知道，数学的考试题型是千面万化的，同样的一个知识点，可以演化出各式各样的题型，叫人眼花缭乱，解起来也让人倍感头痛。
绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。
这是解绝对值题的必须要有的一种思维模式。
在初中的时候，绝对值的相关题型算是比较简单的一类，但正是因为简单，我们才更加不能出错。
这里也给大家带来了初中数学关于绝对值的几种题型及解题技巧，很全面，值得收藏！
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绝对值的八种题型
绝对值的八种题型绝对值是数学中常见的概念之一，用来表示一个数到0的距离。
在解决绝对值相关题目时，需要掌握不同类型的题型和相应的解题方法。
本文将介绍绝对值的八种常见题型及解题思路。
1. 绝对值的定义题型这种题型要求直接根据绝对值的定义来求解，即将绝对值内的数分别取正负值，求得结果。
例如，求解|3x+1|=7，可以得到两个方程3x+1=7和3x+1=-7，解方程得到x=2和x=-2。
2. 绝对值的不等式题型这种题型要求解不等式中包含绝对值的问题。
通常的解题思路是，先去掉绝对值，得到一个二次不等式，然后根据不等式的性质求解。
例如，求解|2x-3|>5，可以得到两个不等式2x-3>5和2x-3<-5，解方程得到x>4和x<-1。
3. 绝对值的加减法题型这种题型要求计算带有绝对值的加减式。
解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。
例如，计算|2+3|+|4-5|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到5+1=6。
4. 绝对值的乘法题型这种题型要求计算带有绝对值的乘法式。
解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。
例如，计算|2x-1|*|3x+2|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到(2x-1)*(3x+2)和(2x-1)*(-3x-2)。
5. 绝对值的除法题型这种题型要求计算带有绝对值的除法式。
解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。
例如，计算|2x-1|/|3x+2|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到(2x-1)/(3x+2)和(2x-1)/(-3x-2)。
6. 绝对值的方程题型这种题型要求求解带有绝对值的方程。
解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后解方程。
例如，求解|2x-1|=5，可以得到两个方程2x-1=5和2x-1=-5，解方程得到x=3和x=-2。
绝对值的八大题型
绝对值的八大题型
绝对值是数学中的一个重要概念，涉及到多种题型。
以下是“绝对值的八大题型”及其相应的解题技巧和示例：
一、绝对值的基本概念题
这类题型主要考查对绝对值基本概念的理解。
解题关键是掌握绝对值的定义，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例1：判断下列说法是否正确：
（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
解：（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
二、求一个数的绝对值
这类题型要求根据绝对值的定义求出一个数的绝对值。
解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。
例2：求下列各数的绝对值：
（1）12 （2）- 15 （3）0.2 （4）- 6.7
解：（1）|12| = 12 （2）|-15| = 15 （3）|0.2| = 0.2 （4）|-6.7| = 6.7
三、比较两个数的绝对值
这类题型要求比较两个数的绝对值的大小。
解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。
例3：比较下列各组数的绝对值的大小：
（1）|2| 和|3| （2）|-4| 和|-3| （3）|0| 和|-5|
解：（1）因为|2| < |3|，所以|2| < |3|。
（2）因为|-4| = |-3|，所以|-4| = |-3|。
（3）因为|0| < |-5|，所以|0| < |-5|。
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题(6种常考题型(解析版)
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a b a b +的值是（）2．若0ab ≠，那么a ab b +的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】本题考查了绝对值的意义，由0ab ≠，可得：①0a >，0b >，②0a <，0b <，③0a >，0b <，④0a <，0b >；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．【详解】解：∵0ab ≠，，3．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）4．0a <，则化简a a a a a a ++-的结果为（）5．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b+B ．22a b c +-C ．c -D ．2b c--【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断0a b +<，0c b ->的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d +++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．的结果是．【答案】32a b c-+【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出a 、b 、c 的符号及大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解： 由图可知，0b a c <<<，||a c >，0a b ∴->，0a c +<，∴原式()22232a b a c a b a c a b c =-++=-++=-+．故答案为：32a b c -+．9．若12x <<，求代数式21x x x ---+=．10．若0a >，a=；若0a <，||a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b c a b c ++=．1111||||||a b c a b c ++=-++=，当a 、b 、c 中有三个负数时，1113||||||a b c a b c ++=---=-，故答案为：1或3-．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．【答案】(1)见详解(2)3a【分析】（1）根据所给的范围确定数在数轴上的位置即可；（2）由题意可知0b c +>，0a b -<，0a c ->，再化简即可．本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．【详解】（1）解：依题意，有理数0a >，0b >，0c <，且a c b<<∴如图所示：（2）解：0a > ，0b >，0c <，且a c b <<，0b c ∴+>，0a b -<，0a c ->，|||||2|b c a b a c ∴+--+-()(2)b c b a a c =+--+-2b c b a a c=+-++-3=a ．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---【答案】2a c d--+【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，熟练掌握以上知识是解题的关键．先观察数轴，得到0a b c d <<<<，从而得到0a c +<，0b d -<，0c b ->，然后根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：由数轴可知，0a b c d <<<<，∴0a c +<，0b d -<，0c b ->，∴2a c b d c b a c b d c b a c d++---=---+-+=--+13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．b ，．【答案】21b -【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据数轴可以判断a 、b 、c 的正负和绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．【详解】解：根据数轴，得10,0,0a c b a b c +<->++<，|1|(1),||,||()a a c b c b a b c a b c ∴+=-+-=-++=-++，|1|||||a cb a bc ∴+---++(1)()()a cb a bc =-+--+++1a c b a b c=---++++21b =-．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．3,1a b =-=-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．4．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）5．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．【答案】32【分析】根据有理数的非负性解答即可．本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：∵()22430||a b ++--=，∴20,30a b +=-=-，解得：3,2b a ==．故答案为：3，2．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．故答案为：1，2．2y =8．已知，b 是有理数，且满足，求与b 的值．【答案】1a =，2b =【分析】本题考查了绝对值非负的性质．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值．【详解】解：|1||2|0a b -+-= ，10a ∴-=，20b -=，1a ∴=，2b =，故答案为：1a =，2b =．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．x y -的值．，求、的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．【答案】3a =，2015b =根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）2．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据绝对值的非负性即可求解．【详解】解：∵a 是有理数∴1a -可为正数、负数、零由绝对值的非负性可知：|1|0a -≥∴2|12|a -+≥即：|1|2a -+的最小值是2故选：C【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可．4．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．【答案】4【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥ 2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取对x 的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．以1-和2为界点，将数轴分成三部分，对x 的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．【详解】解：如图，当1x <-时，10x +<，20x -<，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =-+--12x x =---+213x =-+>；当2x >时，10x +>，20x ->，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =++-12x x =++-213x =->；当12x -≤≤时，10x +≥，20x -≤，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =+--123x x =+-+=；综上所述，当12x -≤≤时，|1||2|x x ++-取得最小值，所以当|1||2|x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是12x -≤≤．故答案为：12x -≤≤．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？的点之间的距离，当23x -≤≤-时，23x x +++的最小值是为根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．故答案为：，，0．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．4【答案】D【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后根据两种情况确定出点C D 、的位置，再根据数轴上的两点间的距离求出C 的可能值，据此即可求解，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．【详解】解：如图，C D 、间的距离可能是0268、、、，∴C D 、之间的距离不可能是4，故选：D ．2．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A 落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C 点表示的数．【详解】设A '是点A 的对应点，由题意可知点C 是A 和A '的中点当点A 在B 的右侧，6BA '=，A '表示的数为10616+=，那么C 表示的数为：(1416)21-+÷=，当点A 在B 的左侧，6BA '=，A '表示的数为1064-=，那么C 表示的数为：(144)25-+÷=-，故选：C ．3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解．【详解】解： 已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，B ∴对应的数为：12186-=-；故①是正确的；1829÷= ，故②是正确的；当2BP =时，16AP =，1628t =÷=，故③是错误的；在点P 的运动过程中，9MN =，故④是错误的；故选：B ．4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．1【答案】C【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点A 表示数为a ，点B 表示数为2，点C 表示数为2a +，熟知数轴A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据已知图形可写出墨水盖住的整数，相加即可；【详解】由图可知，被墨水盖住的整数为：3-，2-，1，2，3，相加为()321231-+-+++=；故选C ．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，准确表示出盖住的整数是解题的关键．6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．【答案】12-【分析】根据题意，则2b a =+，3c a =+，7d a =+，结合343a b =-，列式解答即可．本题考查了数轴的意义，有理数的计算，熟练掌握有理数加减运算是解题的关键．【详解】解：仔细观察图形，由数轴可知：a b c d <<<.∵每相邻两点之间的距离是1个单位长，∴2b a =+，3c a =+，7d a =+.∵343a b =-，∴()3423a a =+-，∴5a =-，∴3532c a =+=-+=-，7572d a =+=-+=，∴521012c d -=--=-.故答案为：12-．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长∵113922BEC S BE D A BE '''=⋅=⨯=V ，∴6BE =，∴369AE AB BE =+=+=，∵点E 是线段AA '的中点，∴18AA '=，∵点A 表示的数为4-，∴点A '表示的数为41814-+=；②当正方形ABCD 沿数轴向左移动时，如图，S V Q 6,BE ∴=∴633AE BE AB =-=-=，∵点E 是线段AA '的中点，∴6AA '=，∵点A 表示的数为4-，∴点A '表示的数为4610--=-．综上，数轴上点A '表示的数是14或10-；故答案为：14或10-．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 最小值为．【答案】6【分析】根据题意得出2AB BC ==，然后分情况讨论，作出相应图形求解即可．【详解】解：∵4AC =，点B 为AC 的中点，∴2AB BC ==，当点P 位于点A 左侧时，如图所示，()22410PA PB PC PA PA AB PA AC PA ++=++++=+；当点P 与点A 重合时，如图所示，202810PA PB PC ++=++=；当点P 位于点A 与点B 之间时，如图所示：()22226PA PB PC PB BC PB ++=++=+；当点P 与点B 重合时，如图所示，220226PA PB PC ++=++⨯=；当点P 位于点B 与点C 之间时，如图所示：22246PA PB PC AB PB PB PC ++=+++=+=；当点P 与点C 重合时，如图所示，2426PA PB PC ++=+=；当点P 位于点C 右侧时，如图所示，2264PA PB PC AC PC BC PC PC PC ++=++++=+；综上可得：2PA PB PC ++的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离及分类讨论思想，理解题意，进行分类讨论是解题关键．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．+=--=-，617112∴x的值为2-或7．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2023（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？的和是m．(1)若B为原点．则A点对应的数是__________；点C对应的数是__________，m=__________．CO=．求m．(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且6【答案】(1)2--，1，1(2)22-A B C所对应的数是解题关键．【分析】本题主要考查了数轴的知识，根据题意确定点、、A B C所对应的数，即可获得答案；（1）根据题意，确定点、、A B C所对应的数，即可获得答案．（2）根据题意，确定点、、【详解】（1）解：根据题意，2BC=，AB=，1若B为原点，即点B对应的数为0，则点A 对应的数为2-，点C 对应的数为1，∴2011=-++=-m ．故答案为：2-，1，1-；（2）解：根据题意，原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =，则点C 对应的数为6-，点B 对应的数为7-，点A 对应的数为9-，∴()()67922m =-+-+-=-．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A ．0B ．100C ．50D ．－50【答案】C【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位．故答案为：C ．【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．3．如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为﹣2、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过秒后，M 、N 两点间的距离为8个单位长度．【答案】14或149【分析】已知运动时间为t 秒，根据题意建立含有t 的一元一次方程，解出t 的值即可．【详解】解：已知运动时间为t 秒，根据题意M 、N 两点间的距离为8个单位长度，分析N 点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得：当N 向左运动，则有25448t t -+-+=，解得t =149，当N 向右运动，则有25448t t -+--=，解得t =14．故答案为14或149．【点睛】本题主要考查线段的动点和数轴问题，根据题意分情况列出含有t 的一元一次方程是解决本题的关键．4．如图，动点A ，B ，C 分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，若k PM MN ⋅-为常数，则k 为．【答案】2【分析】运动t 秒后，点P 在数轴上表示的数为-15+t ，点M 在数轴上表示的数是5+2t ，点N 在数轴上表示的数是9+4t ，分别表示出PM =20+t ，MN =2t +4，再代入k PM MN ⋅-，根据k PM MN ⋅-为常数，得到关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，点P 在数轴上表示的数为-3022t +=-15+t ，点M 在数轴上表示的数是1042t +=5+2t ，点N 在数轴上表示的数是1882t +=9+4t ，则PM =20+t ，MN =2t +4，(20)(24)(2)204k PM MN k t t k t k ∴⋅-=+-+=-+- k PM MN ⋅-为常数，2=0k ∴-2k ∴=故答案为：2．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上点的位置关系，根据k PM MN ⋅-为常数列方程是解题关键．5．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的美好点．例如：如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的美好点，但点D 是【B ，A 】的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2(1)点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M ，N 】美好点的是_；写出【N ，M 】美好点H 所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点？【答案】(1)G ；4-或16-(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M ，N 】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分8种情况，须区分各种情况分别确定P 点的位置，进而可确定t 的值．【详解】（1）解：根据美好点的定义，18GM =，9GN =，2GM GN =，只有点G 符合条件，故答案是：G ．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，点N 的右侧不存在满足条件的点，点M 和N 之间靠近点M 一侧应该有满足条件的点，进而可以确定4-符合条件．点M 的左侧距离点M 的距离等于点M 和点N 的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是16-．故答案为：4-或16-；（2）解：根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分8种情况，第一情况：当P 为【M ，N 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图1，当2MP PN =时，3PN =，点P 对应的数为231-=-，因此 1.5t =秒；第二种情况，当P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图2，当2PM PN =时，6NP =，点P 对应的数为264-=-，因此3t =秒；第三种情况，P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M 左侧，如图3，当2PN MN =时，18NP =，点P 对应的数为21816-=-，因此9t =秒；第四种情况，M 为【P ，N 】的美好点，点P 在M 左侧，如图4，当2MP MN =时，27NP =，点P 对应的数为22725-=-，因此13.5t =秒；第五种情况，M 为【N ，P 】的美好点，点P 在M 左侧，如图5，当2MN MP =时，13.5NP =，点P 对应的数为213.511.5-=-，因此 6.75t =秒；第六种情况，M 为【N ，P 】的美好点，点P 在M ，N 左侧，如图6，当2MN MP =时， 4.5NP =，因此 2.25t =秒；第七种情况，N 为【P ，M 】的美好点，点P 在M 左侧，当2PN MN =时，18NP =，因此9t =秒，第八种情况，N 为【M ，P 】的美好点，点P 在M 右侧，当2MN PN =时， 4.5NP =，因此 2.25t =秒，综上所述，t 的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．6．若A 、B 、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的好点．例如，如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的好点，但点D 是【B ，A 】的好点．知识运用：如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为2-，点N 所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M ，N 】的好点；(2)如图3，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为20-，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？【答案】(1)2或10t=秒或20秒或15秒(2)10【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题：（1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况；（2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果；正确理解新定义是解题的关键．【详解】（1）解：设点H是【M，N】的好点，∴=，2HM HN当H在M、N之间时，HM HN MN∴+==--=，4(2)6∴+=，HN HN26∴=，2HN∴表示的数为422H-=，当H在N右边时，设H表示的数为h，h h∴--=-，(2)2(4)∴=，10h故答案为：2或10；（2）解：当P是【A，B】好点时，即2=，PA PB\-=´，t t60222t∴=；10当P是【B，A】好点时，即2=，PB PA∴=-，t t22(602)t∴=；20当B是【A，P】好点时，即2BA BP=，\=´，6022tt∴=，15当A是【B，P】好点时，即2=，AB AP∴=-，602(602)tt∴=；15t=秒或20秒或15秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．综上所述，当10、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O为坐标原点，若点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点t>．同时运动时，设运动时间为t秒()0①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）②猜想的长度是否与t的大小有关？如果有关请你写出用t表示的代数式；如果无关请你求出的长度．如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长可以用右边=-．的数减去左边的数表示，即AB b a请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．试探索：AC AB-，C表示4，图见解析；【答案】(1)A表示2-，B表示5CA=--=+=（cm）；（2）4(2)426设D表示的数为a，度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．当Q 点未到达点，此时3AQ x =，BP x =，则Q 则()10243PQ x x =-+--+此时(343AQ AC QC =-=-则Q 点表示的数为2468-+-两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．。
高中数学绝对值方程解题技巧
高中数学绝对值方程解题技巧绝对值方程是高中数学中常见的一种题型，解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
本文将介绍一些常见的绝对值方程解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些技巧。
一、绝对值方程的定义和性质绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为|ax + b| = c。
其中，a、b、c为已知实数，x为未知数。
解绝对值方程的关键在于利用绝对值的定义和性质，将方程转化为两个简单的线性方程。
二、绝对值方程的基本解法1. 消去绝对值符号对于形如|ax + b| = c的绝对值方程，首先要将绝对值符号消去。
根据绝对值的定义，当x满足ax + b = c时，|ax + b| = c成立；当x满足ax + b = -c时，|ax + b| =c也成立。
因此，我们可以得到两个方程：ax + b = c和ax + b = -c。
2. 解线性方程将消去绝对值符号后的方程ax + b = c和ax + b = -c分别解得x的值，即可得到绝对值方程的解。
举例说明：例题1：解方程|2x + 3| = 5。
解答：根据基本解法，我们先消去绝对值符号，得到两个方程：2x + 3 = 5和2x + 3 = -5。
解第一个方程2x + 3 = 5，得到x = 1。
解第二个方程2x + 3 = -5，得到x = -4。
所以，方程|2x + 3| = 5的解为x = 1和x = -4。
例题2：解方程|3x - 2| = 7。
解答：同样地，我们消去绝对值符号，得到两个方程：3x - 2 = 7和3x - 2 = -7。
解第一个方程3x - 2 = 7，得到x = 3。
解第二个方程3x - 2 = -7，得到x = -5/3。
所以，方程|3x - 2| = 7的解为x = 3和x = -5/3。
三、绝对值方程的拓展应用除了基本的绝对值方程解法外，我们还可以将绝对值方程与其他类型的方程相结合，进一步拓展应用。
绝对值经典题型
题型一：定义考察正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|-3|的相反数是.【解析】：|-3|的绝对值为3，3的相反数是-3.例2.绝对值大于2小于5的所有整数有.【解析】：绝对值大于2小于5的整数有-4、-3、3、4.例3.已知|X|= 4，则X= ; 已知|-X|= 5，则X= ;【解析】：(1)绝对值等于4的数有±4；(2)虽然|-X|有个“-”，但带有绝对值，这个“-”可以直接去掉，可以同(1)一样，绝对值等于5的数有±5.例4.已知|X-5|=2，则X= .【解析】：解法1：可以把绝对值里面的数当作一个整体，（X-5）的绝对值为2，则X-5=±2解得X=7或X=3解法2：利用绝对值的几何意义来解题：|X-5|=2，一个数到5的距离为2，则这个数为3或者7例5.下列语句:○1一个数的绝对值一定是正数；○2-a 一定是一个负数；○3没有绝对值为-3 的数；○4若|a| =a,则a 是一个正数；○5在原点左边离原点越远的数就越小.正确的有( )个A.0B.3C.2D.4【解析】：○1一个数的绝对值的绝对值可能是正数也肯是负数；○2一个字母前面带“-”，不能确认这个字母是正是负还是0，所以带上“-”后也不能确定是正是负还是0；○3一个数的绝对值只可能≥0○4一个数的绝对值等于它本身，这是数可能是正数也有可能是0○5在原点左边离原点越远的数就越小，在原点右边离原点越远数就越大例6.若|a| = -a,则a一定是( )A.正数B.负数C.正数或零D.负数或零【解析】：一个数的绝对值等于它的相反数，它可能是负数也可能是0题型二：非负性一个数的绝对值≥0例1.已知|a+3|+|c-2|=0，则a+c= .【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a+3=0，c-2=0 → a=-3，c=2，∴a+c=-1例2.若|x+3|+(y-1)2 = 0，求xy的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，一个数的平方也是≥0，两个≥0的数相加等于0，只可能是它们分别为0，即: x+3=0，y-1=0，∴x=-3，y=1；∴xy=-3例3.若|2x-4|与|y-3|互为相反数，求3x-y的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，两个绝对值互为相反数，只有可能两者都为0，因为0的相反数仍为0∴2x-4=0，y-3=0；∴x=2，y=3；∴3x-y=9例4.已知|a-3|+|b -5|=0，x，y互为相反数，求3(x+y) -a+2b的值.【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a-3=0，b-5=0，a=3，b=5；∵x，y互为相反数，∴x+y=0所以3(x+y) -a+2b=7题型三：去绝对值正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|3-π|+|π-4|= .【解析】：要想去绝对值，得先搞清楚绝对值里面的正负，这样我们才能正确把绝对值去掉.因为3-π<0，π-4<0，所以|3-π|=π-3，|π- 4|=4 -π所以|3-π|+|π-4|=1例2.如图所示，则|a-b|-|2c+b|+|a+c|= .【解析】：从图中可知c < b < c，|c|>|a|>|b|a-b>0，2c+b<0，a+c<0|a-b|=a-b，|2c+b|=-(2c+b)，|a+c|=-(a+c)所以|a-b|-|2c+b|+|a+c|=a - b --(2c+b)-(a+c)=a-b+2c+b-a-c=c> 0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|.例3.若a<-b，ab【解析】：因为a> 0，所以○1a>0，b>0；○2a<0，b<0b○1当a>0，b>0时，与a<-b矛盾，所以这种情况不存在○2当a<0，b<0时，|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-(a+b)+ab=-2a+ab 例4.若1<a<5，则|1-a|+|5-a|= .【解析】：因为1<a<5，所以1-a<0，5-a>0所以|1-a|+|5-a|= -(1-a)+(5-a)=4例5.若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=4，则m-n= .熟记：|a|=a，则a≥0，|a|=-a，则a≤0切记别把“0”漏掉【解析】：因为|m-n|=n-m，所以m-n≤0○1第一种情况：m-n=0；○2第二种情况：m-n<0；又因为|m|=4，|n|=4所以m=-4，n=4即：m-n=-8例6.若x<-2，则y=|1-|1+x||等于.提示：多个绝对的情况，由内到外依次去绝对值【解析】：∵x<-2，∴1+x<0原式=|1-[-(1+x)]=|1+1+x|=|2+x|=-(2+x)题型四：分类讨论例1.若|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a-b= . 【解析】：∵|a+b|=a+b∴a+b≥0又∵|a|=5，|b|=7∴a=±5，b=7(负舍)∴a-b=-2或a-b=-12例2.若a>0，则|a|a = ，若a<0，则|a|a= .【解析】：○1∵a>0，∴|a|=a，∴|a|a = aa= 1；○2∵a<0，∴|a|=-a，∴|a|a = −aa= -1；例3.已知abc≠0，求|a|a + |b|b+ |c|c=【解析】：○1当a、b、c没有负数时，则原式=3○2当a、b、c有一个负数时，则原式=-1+1+1=1○3当a、b、c有两个负数时，则原式=-1-1+1=-1○4当a、b、c有全是负数时，则原式=-1-1-1=-3例4.若|ab|ab =1，则|a|a+ |b|b=【解析】：∵|ab|ab=1，∴a，b同号∴○1当a，b大于0时，原式=2○2当a，b小于0时，原式=-2题型5：零点分段零点：令绝对值等于0的x值，称为该绝对值的零点.步骤：○1找出每一个绝对值的零点；○2根据零点值给x分段；○3在每一段所属范围内，化简绝对值.例1.化简|x-1|+|x-4|【解析】：零点分别为1和4.○1当x <1时，原式=1-x+4-x=5-2x○2当1≤x≤4时，原式=x-1+4-x=3○3当x >4时，原式=x-1+x-4=2x-55-2x（x <1）|x-1|+|x-4|= 3 （1≤x≤4）2x-5（x >4）题型六：绝对值方程常用公式：若|a|=|b|，则a=b或a=-b步骤：○1根据绝时位内的正员分类，并去绝对值○2解出每一类对应的程○3检验方程的解是符合分类的范围要求例1.解方程：|2x-1|=|x+2|解：2x-1=±（x+2）○1当2x-1=x+2x=3○2当2x-1= -(x+2)2x-1=-x-23x=-1x= -13例2.解方程：|x-1|=2x-5解：x-1=±（2x-5）○1当x-1=2x-5x=4○2当x-1=-(2x-5)x-1= -2x+5X=2题型七：最值问题几何意义：|a-b|表示数轴上，a到b的距离Eg.|x-2|表示数轴上x到2的距离|x+3|表示数轴上x到-3的距离例1.当x在什么范围内|x-1|+|x-3|有最小值，最小值又是多少？【解析】：几何意义x到1的距离与与到3的距离之和○1当x<1时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2○2当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2 = 2○3当x>3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2总结：|x-a|+|x-b|在a，b之间最小为|a-b|例2.求|x+1|+|x-5|+|x-2|的最小值【解析】：几何意义x到-1，5，2的距离之和当x=2时，最小值为6例3.求|x+2|+|x-1|+|x+4|+|x-7|的最小值.当-2≤x≤1时，最小值为14总结：奇为中间点，偶取中间段题型八：定值问题解题思路：让未知数之间相互抵消，则结果就是一个定值.例1. 若|x -1|+|x -2|+ … +|x -2022|的值为定值，求x 的范围.【解析】：偶数个绝对值相加，要想原式为定值，则一半的式子为x ，后一半式子-x ，这样未知数就都抵消了，所得结果为定值.(x -1)+(x -2)+ … +(x -1011)+(-x+1012)+ … +(-x+2022)这样正好将x 都消掉 解：当20222≤x ≤20222 + 1，即1011≤x ≤1012时，原式为定值例2. 若2a+|4-5a|+|1-3a|的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】：要想原式为定值，就要把a 都给抵消掉原式=2a+4-5a+3a -1解: 4-5a ≥0，1-3a ≤0，即：13≤x ≤45 原式=2a+4-5a+3a -1=3。
数学初一的绝对值的知识点总结及题型
数学初一的绝对值的知识点总结及题型
绝对值是初中数学中一个非常基础的概念，也是数学中一个非常重要的概念。
以下是初一数学中绝对值的知识点总结及题型：
1. 定义：绝对值是一个数与0的距离，表示为“|x|”。
2. 性质：
（1）|x| ≥ 0；
（2）|x| = |−x|；
（3）|xy| = |x|·|y|；
（4）|x/y| = |x|/|y|。
3. 计算方法：
（1）对于整数，绝对值即为其本身的值；
（2）对于小数，绝对值即为去掉小数点的数；
（3）对于分数，绝对值即为分子分母同时去掉正负号后的值。
4. 应用题型：
（1）求绝对值：给定一个数，求其绝对值。
例如：|−5|=5。
（2）比较大小：比较两个数的绝对值大小。
例如：|−5|>|3|。
（3）绝对值方程：给定一个含有绝对值的方程，求解未知数。
例如：|x+2|=5。
（4）绝对值不等式：给定一个含有绝对值的不等式，求
解未知数。
例如：|x+2|<7。
5. 注意事项：
（1）在进行绝对值计算时，需要注意符号的变化；
（2）绝对值的性质可以用来简化计算和证明不等式；
（3）绝对值的应用题型需要根据题目的具体情况进行分析和解答。
绝对值是初一数学中一个非常基础的概念，也是数学中一个非常重要的概念。
掌握好绝对值的知识点，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学成绩。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)精编版
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
关于绝对值的几种题型及解题技巧
关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。
即0≥a 。
但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。
怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。
所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。
如：5=a ，则5=a 和5-=a 。
合并写成：5±=a 。
于是我们得到这样一个性质：a很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。
因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。
如2)2(=--。
因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。
例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。
绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。
我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）a 0 a 0 0=a a - 0 a-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|一：比较大小典型题型：【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则 （ ）A ：a b b a -- ；B ：a b a b -- ；C ：a b b a --；D ：a a b b --这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值年夜全（零点分段法、化简、最值）之欧侯瑞魂创作一、去绝对值符号的几种经常使用方法解含绝对值不等式的基本思路是去失落绝对值符号, 使不等式酿成不含绝对值符号的一般不等式, 而后, 其解法与一般不等式的解法相同.因此掌握去失落绝对值符号的方法和途径是解题关键.1利用界说法去失落绝对值符号根据实数含绝对值的意义, 即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩, 有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去失落绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解, 如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c , 再由此求出原不等式的解集.对含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解, 也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解, 这是种典范的转化与化归的数学思想方法.3利用平方法去失落绝对值符号对两边都含有“单项”绝对值的不等式, 利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解, 这样解题要比按绝对值界说去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷, 解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围, 如果没有明确不等式两边均为非负数, 需要进行分类讨论, 只有不等式两边均为非负数(式)时, 才可以直接用两边平方去失落绝对值, 尤其是解含参数不等式时更必需注意这一点.4利用零点分段法去失落绝对值符号所谓零点分段法, 是指：若数x, 2x, ……, n x分别使含有1|x－x|, |x－2x|, ……, |x－n x|的代数式中相应绝对值为零, 1称x, 2x, ……, n x为相应绝对值的零点, 零点1x, 2x, ……, n x 1将数轴分为m+1段, 利用绝对值的意义化去绝对值符号, 获得代数式在各段上的简化式, 从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解, 即令每项即是零, 获得的值作为讨论的分区点, 然后再分区间讨论绝对值不等式, 最后应求出解集的并集.零点分段法是解含绝对值符号的不等式的经常使用解法, 这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法, 它可以把求解条理化、思路直观化.5利用数形结合去失落绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合, 利用绝对值的几何意义画出数轴, 将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.数形结合法较为形象、直观, 可以使复杂问题简单化, 此解法适用于-+-<(m为正常数)类型不等式.对x a x b m||||-+->或||||x a x b m+++>(或<m), 当|a|≠|c|时一般不用.||||ax b cx d m二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容, 在中考和各类竞赛中经常呈现, 含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一, 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义, 将绝对值符号化去, 将问题转化为不含绝对值符号的问题, 确定绝对值符号内部份的正负, 借以去失落绝对值符号的方法年夜致有三种类型.（一）、根据题设条件例1：设化简的结果是（）.（A）（B）（C）（D）思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号, 第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零, 就能根据绝对值意义顺利去失落绝对值符号, 这是解答这类问题的惯例思路．（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则代数式的值即是（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出, 这就为去失落绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上, 借助数轴提供的信息让人去观察, 一定弄清：1．零点的左边都是负数, 右边都是正数．2．右边点暗示的数总年夜于左边点暗示的数．3．离原点远的点的绝对值较年夜, 牢记这几个要点就能沉着自如地解决问题了．（三）、采纳零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制, 又没有数轴信息, 要对各种情况分类讨论, 可采纳零点分段讨论法, 本例的难点在于的正负不能确定, 由于x是不竭变动的, 所以它们为正、为负、为零都有可能, 应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：, 把数轴上的数分为三个部份（如图）①那时,∴原式②那时, ,∴原式③那时, ,∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定, 但在某个具体的区段内都是确定的, 这正是零点分段讨论法的优点, 采纳此法的一般步伐是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零, 求出零点（纷歧定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点, 将数轴上的点划分为若干个区段, 使在各区段内每个绝对值符号内的部份的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来, 获得问题的谜底．误区点拨千万不要想固然地把等都当做正数或无根据地增加一些附加条件, 以免得犯毛病的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中, 如何去失落绝对值符号？因为这一问题看似简单, 所以往往容易被人们忽视.其实它既是初中数学教学的一个重点, 也是初中数学教学的一个难点, 还是学生容易搞错的问题.那么, 如何去失落绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：（一）、要理解数a的绝对值的界说.在中学数学教科书中, 数a的绝对值是这样界说的, “在数轴上, 暗示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.”学习这个界说应让学生理解, 数a的绝对值所暗示的是一段距离, 那么, 不论数a自己是正数还是负数, 它的绝对值都应该是一个非负数.（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值.从数a的绝对值的界说可知, 一个正数的绝对值肯定是它的自己, 一个负数的绝对值肯定是它的相反数, 零的绝对值就是零.在这里要让学生重点理解的是, 当a是一个负数时, 怎样去暗示a的相反数（可暗示为“-a”）, 以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用, 二是括号的作用）.（三）、掌握初中数学罕见去失落绝对值符号的几种题型.1、对形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质, 判断出a的3种情况, 便能快速去失落绝对值符号.当a>0时, ︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a=0 时, ︱a︱=0(性质 2：0的绝对值是0) ；当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) .2、对形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体, 再判断a+b的3种情况, 根据绝对值的3个性质, 便能快速去失落绝对值符号进行化简.当a+b>0时, ︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a+b=0 时, ︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；当 a+b<0 时, ︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数).3、对形如︱a-b︱的一类问题同样, 仍然要把a-b看作一个整体, 判断出a-b 的3种情况, 根据绝对值的3个性质, 去失落绝对值符号进行化简.但在去括号时最容易呈现毛病.如何快速去失落绝对值符号, 条件非常简单, 只要你能判断出a与b的年夜小即可（不论正负）.因为︱年夜-小︱=︱小-年夜︱=年夜-小, 所以当a>b时, ︱a-b︱=（a-b）= a-b, ︱b-a︱=（a-b）= a-b .口诀：无论是年夜减小, 还是小减年夜, 去失落绝对值, 都是年夜减小.4、对数轴型的一类问题,根据3的口诀来化简, 更快捷有效.如︱a-b︱的一类问题, 只要判断出a在b的右边（不论正负）, 即可获得︱a-b︱=（a-b）=a-b, ︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对绝对值符号前有正、负号的运算非常简单, 去失落绝对值符号的同时, 不要忘记打括号.前面是正号的无所谓, 如果是负号, 忘记打括号就惨了, 差之毫厘失之千里也！6、对绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗, 还是把绝对值号里的式子看成一个整体, 把它与0比力, 年夜于0直接去绝对值号, 小于0的整体前面加负号.四、去绝对值化简专题练习（1）设化简的结果是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则代数式的值即是（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知, 化简的结果是 x-8 .(4) 已知, 化简的结果是 -x+8 .(5) 已知, 化简的结果是 -3x .(6) 已知a、b、c、d满足且, 那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）(7) 若, 则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则式子化简结果为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示, 那么下列四个式子, 中负数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是实数, 下列四个结论中正确的是（ D ）.（A）y没有最小值（B）有有限多个x使y取到最小值（C）只有一个x使y取得最小值（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念, 是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念, 在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用, 全面理解、掌握绝对值这一概念, 应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看, a 暗示数a 的点到原点的距离(长度, 非负) ；b a -暗示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基赋性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=, 则x y z --=.总结：若干非负数之和为0, .（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a , 且a b b a -=-, 那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1, 则m_______1; 若|m －1|>m －1, 则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列资料并解决有关问题： 我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x , 现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式, 如化简代数式21-++x x 时, 可令01=+x 和02=-x , 分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）.在有理数范围内, 零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）那时1-<x , 原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）那时21<≤-x , 原式=()321=--+x x ；（3）那时2≥x , 原式=1221-=-++x x x .综上讨论, 原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读, 请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；23++-x x 的最小值是a , 23+--x x 的最年夜值为b , 求b a +的值. （四）、b a -暗示数轴上暗示数a 、数b 的两点间的距离．【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-, 3与5, 2-与6-, 4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A 暗示的数为x , 点B 暗示的数为―1, 则A与B 两点间的距离可以暗示为 ______________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为, 取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数, 试求x 的取值范围． （五）、绝对值的最值问题 【例5】（1）当x 取何值时, 3-x 有最小值？这个最小值是几多？（2）当x 取何值时, 25+-x 有最年夜值？这个最年夜值是几多？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x , 设421--++++=x y y y x M , 求M 的最年夜值与最小值．课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数, 求321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数, 则a 与b 的年夜小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别暗示有理数a , 1, 一l, 那么1+a 暗示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和23x x -++, 可以看出, 这个式子暗示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和, 它暗示两条线段相加：⑴那时x >, 发现, 这两条线段的和随x 的增年夜而越来越年夜；⑵那时x <, 发现, 这两条线段的和随x 的减小而越来越年夜；⑶那时x ≤≤, 发现, 无论x 在这个范围取何值, 这两条线段的和是一个定值, 且比⑴、⑵情况下的值都小.因此, 总结, 23x x -++有最小值, 即即是到的距离5. 利用数轴分析71x x +--, 这个式子暗示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它暗示两条线段相减：⑴那时x ≤, 发现, 无论x 取何值, 这个差值是一个定值；⑵那时x ≥, 发现, 无论x 取何值, 这个差值是一个定值；⑶那时x <<, 随着x 增年夜, 这个差值渐渐由负变正, 在中点处是零.因此, 总结, 式子71x x +--那时x , 有最年夜值；那时x , 有最小值；9．设0=++c b a , 0>abc , 则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或110．若2-<x , 则=+-x 11；若a a -=, 则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字, 而且c b a ≤≤, 则a c c b b a -+-+-可能取得的最年夜值是．4、当b 为______时, 5-12-b 有最年夜值, 最年夜值是_______当a 为_____时, 1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时, 3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时, 1- | 2＋b|有最年夜值是_______.2、已知b 为正整数, 且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1, 求a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数, 求x 的取值范围.7、若|5||2|7x x ++-=, 求x 的取值范围.。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值年夜全（零点分段法、化简、最值）之阿布丰王创作一、去绝对值符号的几种经常使用方法解含绝对值不等式的基本思路是去失落绝对值符号,使不等式酿成不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同.因此掌握去失落绝对值符号的方法和途径是解题关键. 1利用界说法去失落绝对值符号根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩,有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去失落绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解,如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ,再由此求出原不等式的解集.对含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解,这是种典范的转化与化归的数学思想方法.3利用平方法去失落绝对值符号对两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值界说去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去失落绝对值,尤其是解含参数不等式时更必需注意这一点.4利用零点分段法去失落绝对值符号所谓零点分段法,是指：若数x,2x,……,n x分别使含有|x－1x|,|x－2x|,……,|x－n x|的代数式中相应绝对值为零,称1x,2x,……,n x为相应绝对值的零点,零点1x,2x,……,n x将数轴分1为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,获得代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项即是零,获得的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集.零点分段法是解含绝对值符号的不等式的经常使用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化.5利用数形结合去失落绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于-+->或||||-+-<(m为正常数)类型不等式.对x a x b mx a x b m||||ax b cx d m+++>(或<m),当|a|≠|c|时一般不用.||||二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常呈现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部份的正负,借以去失落绝对值符号的方法年夜致有三种类型.（一）、根据题设条件例1：设化简的结果是（）.（A）（B）（C）（D）思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去失落绝对值符号,这是解答这类问题的惯例思路．（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值即是（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出,这就为去失落绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清：1．零点的左边都是负数,右边都是正数．2．右边点暗示的数总年夜于左边点暗示的数．3．离原点远的点的绝对值较年夜,牢记这几个要点就能沉着自如地解决问题了．（三）、采纳零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采纳零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不竭变动的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：,把数轴上的数分为三个部份（如图）①那时,∴原式②那时,,∴原式③那时,,∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采纳此法的一般步伐是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点（纷歧定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部份的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来,获得问题的谜底．误区点拨千万不要想固然地把等都当做正数或无根据地增加一些附加条件,以免得犯毛病的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中,如何去失落绝对值符号？因为这一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视.其实它既是初中数学教学的一个重点,也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞错的问题.那么,如何去失落绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：（一）、要理解数a的绝对值的界说.在中学数学教科书中,数a的绝对值是这样界说的,“在数轴上,暗示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.”学习这个界说应让学生理解,数a的绝对值所暗示的是一段距离,那么,不论数a自己是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数.（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值.从数a的绝对值的界说可知,一个正数的绝对值肯定是它的自己,一个负数的绝对值肯定是它的相反数,零的绝对值就是零.在这里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,怎样去暗示a的相反数（可暗示为“-a”）,以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用,二是括号的作用）.（三）、掌握初中数学罕见去失落绝对值符号的几种题型.1、对形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质,判断出a 的3种情况,便能快速去失落绝对值符号.当a>0时,︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它自己)；当a=0 时,︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ；当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) .2、对形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去失落绝对值符号进行化简.当a+b>0时,︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a+b=0 时,︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；当 a+b<0 时,︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数).3、对形如︱a-b︱的一类问题同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b 的3种情况,根据绝对值的3个性质,去失落绝对值符号进行化简.但在去括号时最容易呈现毛病.如何快速去失落绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的年夜小即可（不论正负）.因为︱年夜-小︱=︱小-年夜︱=年夜-小,所以当a>b时,︱a-b︱=（a-b）= a-b,︱b-a︱=（a-b）= a-b .口诀：无论是年夜减小,还是小减年夜,去失落绝对值,都是年夜减小.4、对数轴型的一类问题,根据3的口诀来化简,更快捷有效.如︱a-b︱的一类问题,只要判断出a在b的右边（不论正负）,即可获得︱a-b︱=（a-b）=a-b,︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对绝对值符号前有正、负号的运算非常简单,去失落绝对值符号的同时,不要忘记打括号.前面是正号的无所谓,如果是负号,忘记打括号就惨了,差之毫厘失之千里也！6、对绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与0比力,年夜于0直接去绝对值号,小于0的整体前面加负号.四、去绝对值化简专题练习（1）设化简的结果是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值即是（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知,化简的结果是 x-8 .(4) 已知,化简的结果是 -x+8 .(5) 已知,化简的结果是 -3x .(6) 已知a、b、c、d满足且,那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）(7) 若,则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示,那么下列四个式子,中负数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是实数,下列四个结论中正确的是（ D ）.（A）y没有最小值（B）有有限多个x使y取到最小值（C）只有一个x使y取得最小值（D）有无穷多个x使y取得最小值五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念,是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念,在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用,全面理解、掌握绝对值这一概念,应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看,a 暗示数a 的点到原点的距离(长度,非负) ；b a -暗示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基赋性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=,则x y z --=.总结：若干非负数之和为0,.（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a ,且a b b a -=-,那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1,则m_______1; 若|m －1|>m －1,则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列资料并解决有关问题：我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式21-++x x 时,可令01=+x 和02=-x ,分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）.在有理数范围内,零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）那时1-<x ,原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）那时21<≤-x ,原式=()321=--+x x ；（3）那时2≥x ,原式=1221-=-++x x x .综上讨论,原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读,请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；23++-x x 的最小值是a ,23+--x x 的最年夜值为b ,求b a +的值. （四）、b a -暗示数轴上暗示数a 、数b 的两点间的距离．【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-,3与5,2-与6-,4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A 暗示的数为x ,点B 暗示的数为―1,则A 与B两点间的距离可以暗示为 ______________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为,取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数,试求x 的取值范围． （五）、绝对值的最值问题 【例5】（1）当x 取何值时,3-x 有最小值？这个最小值是几多？（2）当x 取何值时,25+-x 有最年夜值？这个最年夜值是几多？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x ,设421--++++=x y y y x M ,求M 的最年夜值与最小值．课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数,则a 与b 的年夜小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别暗示有理数a ,1,一l,那么1+a 暗示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和23x x -++,可以看出,这个式子暗示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和,它暗示两条线段相加：⑴那时x >,发现,这两条线段的和随x 的增年夜而越来越年夜；⑵那时x <,发现,这两条线段的和随x 的减小而越来越年夜；⑶那时x ≤≤,发现,无论x 在这个范围取何值,这两条线段的和是一个定值,且比⑴、⑵情况下的值都小.因此,总结,23x x -++有最小值,即即是到的距离5. 利用数轴分析71x x +--,这个式子暗示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它暗示两条线段相减：⑴那时x ≤,发现,无论x 取何值,这个差值是一个定值；⑵那时x ≥,发现,无论x 取何值,这个差值是一个定值；⑶那时x <<,随着x 增年夜,这个差值渐渐由负变正,在中点处是零. 因此,总结,式子71x x +--那时x ,有最年夜值；那时x ,有最小值；9．设0=++c b a ,0>abc ,则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或110．若2-<x ,则=+-x 11；若a a -=,则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,而且c b a ≤≤,则a c c b b a -+-+-可能取得的最年夜值是．4、当b 为______时,5-12-b 有最年夜值,最年夜值是_______当a 为_____时,1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时,3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时,1- | 2＋b|有最年夜值是_______.2、已知b 为正整数,且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1,求a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数,求x 的取值范围.7、若|5||2|7x x ++-=,求x 的取值范围.。
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关于绝对值的几种题型及解题技巧Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。
即0≥a 。
但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。
怎么理解呢绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。
所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。
如：5=a ，则5=a 和5-=a 。
合并写成：5±=a 。
于是我们得到这样一个性质：很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢a -。
因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。
如2)2(=--。
因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。
例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。
绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。
我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 一：比较大小典型题型：0 0=a【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则 （ ）A ：a b b a -- ；B ：a b a b -- ；C ：a b b a --；D ：a a b b --这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。
因为是0 a ，0 b ，b a ，所以我们就在原点的左边标记。
3=b。
34 ，又因为它们都是负数，所以4-=a 。
3-=b当我们把条件都标记好了，并假设了一个数值带入其中，我们就能准确地判断它们的大小了。
二：判断点的位置或者原点的位置经典题型【1】不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果c a c b b a -=-+-，那么，点B 在（ ）A ：在A 、C 点的右边；B ：在A 、C 点的左边；C ：在AC 点之间；D ：上述三种均可能 ·这个题目要求从已知条件入手，判断各自的大小关系。
首先将题目进行变形： 观察一下，三个式子最后的结果是“0”，而三个式子中刚好是2个a ，2个b ，2个c 。
只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到0 b a -。
0 c b -，0 c a - 所以有：b a 。
c b ，c a 。
画出数轴： c b a 。
A 可以是正数也可以是负数。
因此原点可以在a 的左边也可以在右边。
这样原点可以在AB 之间，也可以在CB 之间，还可以在C 的左边。
三：已知点在数轴上的位置，简化或者计算。
典型题型【1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么，化简a b a --的结果是：从图中我们可以很准确地知道：0 a ，0 b ，而且点b 到原点的距离比点a 到原点的距离还长，所以我们可以判断出0 b a -。
如果你不知道自己是否判断对了，就采用数值法。
设2=a 。
4-=b 。
0642)4(2 =+=--=-b a0 b a -直接开出来。
于是，原式a b a --=b a b a -=--【2】已知b c a 0，且c b ；化简b a c a c a c b c b +-+--++--虽然条件中没有给出各点所在的位置，但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关系。
4-，5-=a 。
0 b a +。
由绝对值的性质可以得到ba c a c a cbc b +-+--++--[][][])()()()()(b a c a c a c b c b +--+---++---=【3】若31 a ，则=-+-a a 13这个题目给了a 的取值范围，因此我们要对绝对值中的式子进行判断。
31 a ，所以03 a -，而01 a -。
如果你怕自己判断错误，不妨设一个数值，2=a 。
记住一定是在1和3之间取数值。
这样你就能知道自己是否判断正确了。
如果没有给定区间，我们应该如何解答呢【4】化简1213-++x x这个题型，首先要在数轴上找出它们的零值点，也就是绝对值里面的式子必须等于“0”，由此得到：013=+x ，解得31-=x 。
012=-x ，解得21=x 。
三个部分。
第一部分：31- x 由图上箭头方向可知：013 +x 。
012 -x第二部分：2131≤≤-x由图上箭头方向可知：013≥+x 。
012≤-x第三部分：21 x由图上箭头方向可知：013 +x 。
012 -x千万记住：取零值点四：最小值或者最大值经典题型【1】设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值其值是多少我们知道：绝对值是大于零的数，正数加正数会越来越大，所以，它会有最小值，而这个最小值是9+0=9. 所以0=+b a 。
即|a+b|+9有最小值为9；如果是9-|a+b|呢因为绝对值出来的数都是非负数，9减去一个非负数只能越来越小，所以，它就会有最大值9-0=9 。
【2】设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值其值是多少这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数，这样所得出来的数值会越来越小。
因此它会有一个最大值-8。
小结：这类题目关键是加法还是减法。
正数+绝对值时有最小值；正数-绝对值时有最大值；负数-正数时有最大值。
【3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：如图，在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处 分析：我们来分析以下A 、E 两个点，不论这个邮筒放在AE 之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E 到邮筒的距离就是AE 的长度。
也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。
那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B 、D 两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD 。
最后，只需要考虑C 点到邮筒的距离最近就行了。
那么当然也就是把邮筒放在C 点了。
这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”找出零值点，3,5,2，-1，-7|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|这个式子有5项，以此排序-7，-1，2，3，5，故取中间项：x=2|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|=167212225232=++++-+-+-题后小结论：求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：当n 为奇数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 等于最中间的数值时，该A B C D E式子的值最小。
当n 为偶数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。
五：求值经典题型【1】已知3=x ；4=y ，且y x ，则=+y x 解：3=x 所以：3±=x 。
4=y ，所以4±=yy x ，所以4=y解得：这类题目注意条件。
y x 。
只要y 比x 大就可以，这里y 只能取4.而x 可以取3和-3.因此就会有两个答案。
【2】已知0≠abc ，若c c b b a a m 432••=则 =+1m 解：因为0≠abc ，故此存在四种可能：同为正，同为负，二正一负，二负一正。
（1）同为正，则=+1m 24+1=25 （2）同为负，则=+1m -24+1=-23（3）二正一负，则=+1m -24+1=-23（4）二负一正，则=+1m 24+1=25 综合：=+1m 25或者=+1m -23【3】已知0≠abc ，若c c b b a a m 432++=则 =+1m 这个题目将乘法改成加法，这时，我们需要讨论的情形就要多一些。
（1）同为正数。
c c b b a a m 432++==2+3+4=9.所以，101=+m （2）同为负数。
c c b b a a m 432++==-2-3-4=-9 所以，81-=+m （3）a 为正，b 、c 为负数5432432-=--=++=cc b b a a m 。
所以，41-=+m （4）a 为正，b 为正、c 为负数1432432=-+=++=cc b b a a m ， 所以，21=+m （5）a 为正，b 为负、c 为正数3432432=+-=++=cc b b a a m ， 所以，41=+m （6）a 为负，b 为正、c 为负数3432432-=-+-=++=cc b b a a m 所以，21-=+m （7）a 为负，b 为正、c 为正数5432432=++-=++=cc b b a a m 所以，61=+m （8）a 为负，b 为负、c 为正数1432432-=+--=++=cc b b a a m 所以，01=+m 这类题目一定要分别讨论。
最好的办法就是逐一排除。
【4】已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求cd x b a x -++)(2解：a 、b 互为相反数，所以：a+b=0.c 、d 互为倒数,所以：cd=1x 的绝对值等于1,所以12=x六：0+0型0+0型有集中很典型的题型第一类：绝对值+绝对值： 若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；因为绝对值出来的数都是非负数，而两个非负数相加要等于0.唯有绝对值里面的数等于0.【1】已知024=++-y x ，求y x y x +-= 解：024=++-y x ，所以有：x-4=0.解得：x=4；y+2=0解得：y=-2 则：34242-=+---=+-y x y x【2】若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求y x y x -+= 解：互为相反数的两个数之和等于0. 因此有：3+-y x +1999-+y x =0 解得：x-y=-3 ;x+y=1999第二类：绝对值+平方 若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；因为绝对值出来的数都是非负数，而平方数也是一个非负数，两个非负数相加等于0，则各自为0.【2】若|x+3|+(y-1)2=0，求n x y )4(--的值 解：x+3=0,所以：x=-3； y-1=0。