(六)一年级数学分析考试题

（六）一年级《数学分析》考试题
一 判断题：（满分10分，每小题2分）
1、设数列{}n a 递增且a a n n =∞
→lim （有限），则有{}n a a sup =； （ ） 2、设数列)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内有定义，若对)(00x U x n ∈∀，当0x x n →时，数列{})(n x f 都收敛于同一极限，则函数)(x f 在带点0x 连续；（ ）
3、设数列)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，若存在实数A ，使0→∆x 时，
)()()(00x o x A x f x x f ∆=∆--∆+，则)(0'x f 存在且A x f =)(0'；
（ ） 4、若0)()(2'1'==x f x f ，)(0)(2''1''x f x f ，则有)()(21x f x f ；（ ）
5、设⎰+=c x F dx x f )()(，⎰+=c x G dx x g )()(,则当)()(x G x F ≠时，有)()(x g x f ≠； （ ）
二 填空题：（满分15分，每小题3分）
1、∑+=+=1
61291n k n k n a ， =∞
→n n a lim ； 2、函数3
ln 3)(--=x x x f 全部间断点是 ； 3、)1ln()(2x x f +=，已知5
6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ，=0x ； 4、函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 ；
5、⎰+=c x dx x f 2sin
)(，⎰=dx x xf )(' ； 三 计算题：（满分36分，每小题6分）
1、1111lim 30-+-+→x x x ；
2、求函数54
)15(4)(+-=x x x f 的极值；
3、⎰+12x x
dx ； 4、⎰++dx x x )1ln(2
；
5、⎰+-+dx x x x 5
232 ； 6、在边长为a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形（如右上图），然后折起来做成底为正三角形的盒子，求最大体积；
四 验证题：（满分7分）
1、用“δε-”定义验证函数2
54)(2-+x x x f 在点20=x 连续； 五 证明题：（满分32分，每小题8分）
1、设函数f 在区间[]a 2,0上连续，且)2()0(a f f =，试证明：[]a c ,0∈∃，使)()(a c f c f += ；
2、设函数)(x f 在区间Ⅰ可导，且导函数)('x f 在该区间上有界，试证明函数在)(x f 在区间Ⅰ上一致连续；
3、设函数)(x f 在区间[]a ,0上二级可导，且0)(=a f ，)()(2x f x x F =，试证明：),0(a ∈∃ξ，使0)(''=ξF ;
4、试证明：对R x x x n ∈∀ , , 21 ,有不等式 n
x x x n x x x n n 2222121
+++≤+++ .
（七）《数学分析》Ⅰ考试试题
一、叙述题
1 叙述数列{}n x 的Cauchy 准则；
2 写出函数)(x f 在点0x 带 Lagrange 型余项的Taglor 公式；
3 叙述函数)(x f y =的一阶微分形式的不变性；
二、计算题
1 求函数[]1 . 0
2 1 )(∈==x n x x f n ）、、（ 的上确界[]
)(sup 1.0x f x ∈ ；
2 求极限4202cos lim x e
x x x -→- ；
3 求不定积分⎰
+dx x )1ln(2 ；
4 设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≤0 ,
010 , x 1cos x 2-1sin 222x x x x 求)(x f 在[]1,0上的一个原函数；
三、讨论举例题
1 举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子；
2 指出函数[]x
x x f 1sin
)(=的不连续点，并确定其不连续点的类型； 四、证明题 1 用“N -ε”定义验证3
22312lim 22=+-∞→n n n ； 2 设0)(0' x f +，0)(0' x f -，证明0x 是)(x f 的极小值点；
3 证明2)(x x f =在[) , 0∞+上内闭一致连续（即在[) , 0∞+中的任何闭子区间上一致连续）。

（八）《数学分析》Ⅰ考试试题
一 叙述题
1 述函数关系与数列极限关系的Heine 定理；
2 叙述Lagrange 微分中值定理；
3用肯定的语言叙述)(x f 在数列集D 上不一致连续；
二、计算题
1 求数集⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
=++= 、、 2 1 )11(1n n D n 的上确界； 2 求极限n n n
1)131211(lim ++++∞→ ； 3 求不定积分⎰+221x x
dx ； 4 求不定积分
dx x x x ⎰+)1(arctan ；
三、讨论题
1 指出函数x
x x f sin )(=的不连续点，并确定其不连续点的类型； 2 讨论函数2221)(x e x f -=
π的单调性、极值点、凸性、拐点；
四、证明题 1 用定义证明2
1721lim 22=-+∞←n n n ； 2 不等式)2,0( , sin 2π
π∈x x x x ； 3 在有限开区间),(b a 内连续，且)(+a f ，)(-b f 存在，则)(x f 在),(b a 上一致连续。

（九）《数学分析》Ⅰ考试试题
一、叙述题
1叙述-∞=+∞
→)(lim x f x 的定义； 2叙述函数)(x f 在数集D 上一致连续的定义；
3写出Taylor 公式中，)(x f 在0x 点处的Taylor 多项式)(x T n ，Lagranre 型余项和Peano 型余项；
二、计算题
1求极限n x n x n )1
(lim -+∞→ ； 2 任意次可导，求' ' ')1(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x f ； 3 积分⎰+dx x x sin 1cos ；
4 定积分⎰dx x ；
三、讨论题 1 讨论函数121
2)(1
1-+=x x x f 在0=x 点的左、右极限；
2 讨论2
)(x
x e e x f -+=的单调性、极值点、凸性和拐点； 四、证明题
1 用定义证明211
)1(lim 21=--→x x x x ；
2 设)(x f 、)(x g 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，其0)('≠x g ，则),(b a ∈∃ξ使得 0)('=ξh
其中 )()()()()()()(x g a g b g a f b f x f x h ---
= ； 3 设数列{}n x 满足条件n n n x x 211
-+ 2 1 ）、、（ =n ，证明{}n x 是基本数列。