24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(复习)
24.2点、直线、圆与圆的位置关系 知识点+例题+练习(精品)
1.点和圆的位置关系(1)点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:①点P在圆外⇔d>r②点P在圆上⇔d=r①点P在圆内⇔d<r(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.(3)符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端.2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆.注意:这里的“三个点”不是任意的三点,而是不在同一条直线上的三个点,而在同一直线上的三个点不能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”,即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆,过一点可画无数个圆,过两点也能画无数个圆,过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.3.三角形的外接圆与外心(1)外接圆:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.(2)外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.(3)概念说明:①“接”是说明三角形的顶点在圆上,或者经过三角形的三个顶点.②锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.③找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.4.反证法(了解)(1)对于一个命题,当使用直接证法比较困难时,可以采用间接证法,反证法就是一个间接证法.反证法主要适合的证明类型有:①命题的结论是否定型的.②命题的结论是无限型的.③命题的结论是“至多”或“至少”型的.(2)反证法的一般步骤是:①假设命题的结论不成立;②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确.5.直线和圆的位置关系(1)直线和圆的三种位置关系:①相离:一条直线和圆没有公共点.②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点.③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交⇔d<r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d>r.6.切线的性质(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下:如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:①直线过圆心;②直线过切点;③直线与圆的切线垂直.(3)切线性质的运用由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.7.切线的判定(1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)在应用判定定理时注意:①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的.③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.8.切线的判定与性质(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)常见的辅助线的:①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;②有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.9.切线长定理(1)圆的切线定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.(3)注意:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.(4)切线长定理包含着一些隐含结论:①垂直关系三处;②全等关系三对;③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.10.三角形的内切圆与内心(1)内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.(3)三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.11.圆与圆的五种位置关系(1)圆与圆的五种位置关系:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含.如果两个圆没有公共点,叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时,叫两个圆外离,当一个圆上的点都在另一圆的内部时,叫两个圆内含,两圆同心是内含的一个特例;如果两个圆有一个公共点,叫两个圆相切,相切分为内切、外切两种;如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交.(2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系:①两圆外离⇔d>R+r;②两圆外切⇔d=R+r;③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r);④两圆内切⇔d=R-r(R>r);⑤两圆内含⇔d<R-r(R>r).12.相切两圆的性质相切两圆的性质:如果两圆相切,那么连心线必经过切点.这说明两圆的圆心和切点三点共线,为证明带来了很大方便.13.相交两圆的性质(1)相交两圆的性质:相交两圆的连心线(经过两个圆心的直线),垂直平分两圆的公共弦.注意:在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系.(2)两圆的公切线性质:两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等.两个圆如果有两条(内)公切线,则它们的交点一定在连心线上.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种:(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;(2)若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线;(3)经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=34,D是线段BC的中点.(1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切线.【例5】如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相切.【例6】如图,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧上一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP是半圆O的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系:2. 切线的定义和性质:3.三角形与圆的特殊位置关系:4. 圆与圆的位置关系:(两圆圆心距为d ,半径分别为21,r r )相交⇔2121r r d r r +<<-; 外切⇔21r r d +=;内切⇔21r r d -=; 外离⇔21r r d +>; 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算.【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6,点O 到直线a 的距离为5,则直线a 与⊙O 的位置关系为( )A .相离B .相切C .相交D .内含例 2. 如图1,⊙O 内切于ABC △,切点分别为D E F ,,.50B ∠=°,60C ∠=°,连结OE OF DE DF ,,,,则EDF ∠等于( )A .40°B .55°C .65°D .70°例3. 如图,已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ,且A 、B 到直线L 的距离相等,则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有( )A .0个B .1个C .无数个D .0个或1个或无数个例4.已知⊙O 1半径为3cm ,⊙O 2半径为4cm ,并且⊙O 1与⊙O 2相切,则这两个圆的圆心距为( ) A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5.两圆内切,圆心距为3,一个圆的半径为5,另一个圆的半径为 例6.两圆半径R=5,r=3,则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时,•两圆相交;•当d•满足___ ___时,两圆不外离.例7.⊙O 半径为6.5cm ,点P 为直线L 上一点,且OP=6.5cm ,则直线与⊙O•的位置关系是____例8.如图,PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ,切点C 在弧AB 上,若PA 长为2,则△PEF 的周长是 _.例9. 如图,⊙M 与x 轴相交于点(20)A ,,(80)B ,,与y 轴切于点C ,则圆心M 的坐标是例10. 如图,四边形ABCD 内接于⊙A ,AC 为⊙O 的直径,弦DB ⊥AC ,垂足O O2O1为M ,过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ,若AC=10,tan ∠DAE=43,求DB 的长.【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4,圆心距为7,那么两圆位置关系是( )A .相离B .外切C .内切D .相交2.⊙A 和⊙B 相切,半径分别为8cm 和2cm ,则圆心距AB 为( )A .10cmB .6cmC .10cm 或6cmD .以上答案均不对3.如图,P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于( )A. 15B. 30C. 45D. 604. 如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于( ) A )6 (B )25 (C )210 (D )2145.如图,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长).⊙A 半径为2,⊙B 半径为1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于( )A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长63,以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图,在ABC △中,12023AB AC A BC =∠==,°,,A ⊙与BC 相切于点D ,且交AB AC 、于M N 、两点,则图中阴影部分的面积是 (保留π).9.如图,B 是线段AC 上的一点,且AB :AC=2:5,分别以AB 、AC 为直径画圆,则小圆的面积与大圆的面积之比为_______.O D C B A第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图10. 如图,从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆,则剩下的纸板面积是___.11. 如图,两等圆外切,并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm .则大圆的半径是______cm .12.如图,直线AB 切⊙O 于C 点,D 是⊙O 上一点,∠EDC=30º,弦EF ∥AB ,连结OC 交EF 于H 点,连结CF ,且CF=2,则HE 的长为_________.13. 如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,切点分别为A 、B ,若直径AC=12cm ,∠P=60°.求弦AB 的长.【中考连接】一、选择题1. 正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.32.⊙O 是等边ABC △的外接圆,⊙O 的半径为2,则ABC △的边长为( )A .3B .5C .23D .253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30,过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点.PC =5,则⊙O 的半径为 ( )A. 335B. 635 C. 10 D. 5 4. AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,PC 是⊙O 的切线,C 为切点,PC =26,PA =4,则⊙O 的半径等于( )A. 1B. 2C. 23D. 26 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆,在某一平面内,让它们两两外切,该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中,你认为正确的有( )①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6. 如图,AB 、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为B 、C ,D 是优弧BC 上的一点,已知∠BAC =80°,那么∠BDC =__________度.B P A OC 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图7. 如图,AB 是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O ,,,的度数比为3∶2∶4,MN 是⊙O 的切线,C 是切点,则∠BCM 的度数为________. 8.如图,在△ABC 中,5cm AB AC ==,cos B 35=.如果⊙O 的半径为10cm ,且经过点B 、C ,那么线段AO = cm .9.两个等圆⊙O 与⊙O ′外切,过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB = .10.如图6,直线AB 与⊙O 相切于点B ,BC 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点D ,连结BD ,则图中直角三角形有 个.11.如图,60ACB ∠=°,半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ,若将O ⊙在CB 上向右滚动,则当滚动到O ⊙与CA 也相切时,圆心O 移动的水平距离是__________cm .12.如图, AB 与⊙O 相切于点B ,线段OA 与弦BC 垂直于点D ,∠AOB =60°,B C=4cm ,则切线AB = cm.13.如图,⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=图象上,则阴影部分面积等于 . 14. Rt △ABC 中,9068C AC BC ∠===°,,.则△ABC的内切圆半径r =______. 15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,当d 、r 是关于x 的方程x 2-4x+m=0的两根,且直线l 与⊙O 相切时,则m 的值为_____.16.已知:⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5,且两两相切,则AB 、BC 、CA 分别为 .17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,当d 、r 是关于x 的方程x 2-4x+m=0的两根,且直线l 与⊙O 相切时,则m 的值为_____.三、解答题18. 如图,AB 是⊙O 的弦,OA OC ⊥交AB 于点C ,过B 的直线交OC 的延长线于点E ,当BE CE =时,直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系?请说明理由.19.如图1,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,AC 是弦,4OC =,60OAC ∠=.(1)求∠AOC 的度数;(2)在图1中,P 为直径BA 延长线上的一点,当CP 与⊙O 相切时,求PO 的第10题图 第11题图 第12题图 第13题图 第18题图长;(3)如图2,一动点M 从A 点出发,在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动,当MAO CAO S S △△时,求动点M 所经过的弧长.。
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(新授课ppt).课件资源应命名为:直线与圆的位置关系
?
B
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=5cm, AC=3cm,以C为圆心的圆与AB C 相切,则这个圆的半径是 cm。
A
2、如图,已知∠AOB=30°,M为OB上 一点, 且OM=5cm,以M为圆心,r为半径的圆 与 直线OA有怎样的位置关系?为什么? ①r=2cm;②r=4cm;③r=2.5cm。
A M B
O
探索切线性质
在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线L⊥OA, 则圆心O到直线L的距离 是多少?______,直线L和 ⊙O有什么位置关系?
.
O
L A 过半径的外端并且垂于这条半径的直线是圆的切线.
例题
在Rt△ABC中,∠C为90度,AC=3cm,BC=4cm, 以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系? 为什么?(1)r=2cm (2)r=2.4cm (3)r=3cm 解:过C作CD⊥AB,垂足为D 在△ABC中, D AB= AC2 BC2 5
直线和圆的 位置关系
复习引入
点与圆的位置关系
点到圆心的距离为d,圆的半径为r,则: 1.点在圆外,d>r 2.点在圆上,d=r 3.点在圆内,d<r
?直线与圆的位置关系有几种呢
一、直线和圆的位置关系
.O l
直线和圆没有公共点, 特点: 叫做直线和圆相离。
特点: 直线和圆有唯一的公共点, 叫做直线和圆相切。 这时的直线叫切线,
1 1 CD AB AC BC 2 2 AC BC 3 4 CD 2.4(cm ) AB 5
即圆心C到AB的距离d=2.4cm,即相离
24.2.2 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
直线和圆有两个 直线和圆有唯一
公共点时,叫做 公共点时,叫做 直线和圆相交. 直线和圆相切.
这条直线叫做 圆的割线,公 共点叫直线和 圆的交点.
这条直线叫做圆 的切线,这个点 叫做切点.
直线和圆没有公 共点时,叫做直 线和圆相离.
直线与圆的位置关系判定定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
ห้องสมุดไป่ตู้
总结
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数 形结合思想的转化过程,它始终是“数”:圆心 到直线的距离与圆的半径大小,与“形”:直线 和圆的位置关系之间的相互转化. (2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等 法求出.
巩固练习2:
1.已知直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距 离为6,则r的取值范围是( )
0 d r 直线与O相交
d r 直线与O相切 d r 直线与O相离
例1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4cm,
以点C为圆心,2cm为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是
( B)
A.相离
B.相切
C.相交 D.相切或相交
例2.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,E为AB上 一点,且DE、CE分别平分∠ADC和∠BCD,判断以AB为直 径的圆与CD有怎样的位置关系?试证明你的结论.
直线与圆的位置关系性质定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
直线与O相交 0 d r
直线与O相切 d r 直线与O相离 d r
例3.在Rt△ABC中,AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°.若 以点C为圆心,r为半径的圆与直线AB不相离,求r的取值 范围.
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(第3课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(第3课时)一、学习目标:1. 了解切线长的概念。
2. 理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,熟练掌握它的应用。
二、学习重点、难点:1. 重点:切线长定理及其运用。
2. 难点:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题。
三、学习过程:(一)温故知新1.已知△ABC,作三个内角平分线,说说它具有什么性质?2.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理,它们如何?(口述)(二)自主学习自学教材P96---P98,思考下列问题:1.按探究要求,请同学们动手操作,你发现哪些等量关系?2.什么叫切线长?默写切线长定理,并加以证明。
3.依据“温故知新”第1题作的三角形的三条角平分线,思考一下交点到三边的距离相等吗?请以交点为圆心,以这一距离为半径作圆,你发现什么?4.什么叫三角形的内切圆、三角形的内心?(三)合作探究例1:如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,∠OAB=30°.(1)求∠APB的度数;(2)当OA=3时,求AP的长.BA CE DOFE DOABCF 例2:如图,△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,且AB=9cm ,BC=14cm,CA=13cm,求AF 、BD 、CE 的长。
(四)巩固练习3.如图,已知⊙O 是△ABC 的内切圆,切点为D 、E 、F ,如果AE=1,CD=2,BF=3,且△ABC 的面积为6.求内切圆的半径r .(五)达标训练1.从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,•从这点到圆的最短距离为( ).A .93B .9(3-1)C .9(5-1)D .92.如图1,PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点,C 为劣弧AB 上一点,∠APB= 30°,则∠ACB=( ). A .60° B .75° C .105° D .120°BAC POB AC DPOBACBA CE D OF(1) (2) (3)(4) BAP O3.如图2,PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ,并与圆O 的切线,分别相交于C 、D ,•已知PA=7cm ,则△PCD 的周长等于_________.4.如图3,边长为a 的正三角形的内切圆半径是_________.5.如图4,圆O 内切Rt △ABC ,切点分别是D 、E 、F ,则四边形OECF 是_______.6、如图所示,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 为切点,求证∠ABO=12∠APB.(六)拓展创新1.圆外一点P ,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,C 为优弧AB 上一点,若∠ACB=a ,则∠APB=( )A .180°-aB .90°-aC .90°+aD .180°-2a2.如图所示,EB 、EC 是⊙O 的两条切线,B 、C 是切点,A 、D 是⊙O 上两点,• 如果∠E=46°,∠DCF=32°,求∠A 的度数.OPACBBA CED OF。
24.2.2直线与圆的位置关系(第2课时)
4.运用切线的性质和判定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理解决简单问题
(1)切线的判定方法有几种?结合已知,你选择 哪种判定方法?(切线的判定定理.) (2)要证明切线需要什么条件?如何添加辅助线? (只要证明由点O向 AC 所作的垂线段OE是⊙O的半径 就可以了.所以过圆心 O 作 OE⊥AC ,垂足为E ,连接 OD ,OA .)
O A l
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线.
2.探究切线的判定定理
下面图中直线 l 与圆相切吗?
O A ×
l
O l
A ×
2.探究切线的判定定理
下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠,在砂轮上 打磨工件时飞出的火星中,存在与圆相切的现象吗?
2.探究切线的判定定理
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的 切线?
在运用切线的判定定理和性质定理时,应如何添加 辅助线?
4.运用切线的性质和判定定理解决简单问题
教科书第 98 页
练习第 1,2 题.
5.课堂小结
(1)切线的判定定理与性质定理是什么?它们有 怎样的联系? (2)在应用切线的判定定理和性质定理时,需要 注意什么?
6.布置作业
教科书习题 24.2 第 4,5,12 题.
O A
3.探究切线的性质定理
将本课件第 5 页中的问题反过来,如图,在⊙O 中,如果直线 l 是⊙O 的切线,切点为 A,那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢?
O A l
圆的切线垂直于过切点的半径.
4.运用切线的性质和判定定理解决简单问题
例 已知:△ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC 的 中点,腰 AB 与⊙O 相切于点 D. 求证: AC 是⊙O 的切线.
24.2.2 课时1 直线和圆的三种位置关系 人教版九年级数学上册课件
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
4.⊙O直径是8,直线l和⊙O相交,圆心O到直线l的距离是d,则d应满足 ( C) A. d<8 B. 4<d<8 C. 0 ≤d<4 D. d>0
移动硬币,你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗?公共
点个数最少时有几个?最多时有几个?
0
2
● ● ●
l
填一填:
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
公共点个数
0个
公共点名称
直线名称
位置关系
1个 切点 切线
公共点个数
相交
2个 交点 割线
问题3 根据上面观察的发现结果,你认为直线与圆的位置关系可 以分为几类?你分类的依据是什么?分别把它们的图形在草稿纸 上画出来.
AB
5
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
记住:斜边上的高 等于两直角边的乘 积除以斜边.
d
D
所以 (1)当r=2cm时, 有d >r, 因此⊙C和AB相离.
(2)当r=2.4cm时,有d=r. 因此⊙C和AB相切.
(3)当r=3cm时,有d<r, 因此,⊙C和AB相交.
d
D
dD
变式题: 1.Rt△ABC,∠C=90,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心画圆,当半径r为 何值时,圆C与线段AB没有公共点?当半径r为何值时,圆C与线段AB有 一个公共点?当半径r为何值时,圆C与线段AB有两个公共点?
5.直线和圆相交,圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5,则有 (B ) A.r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
24.2点、直线、圆和圆的位置关系
3.以P(3,2√2 )为圆心的圆与x轴相切,则这个圆与 y轴的关系是( A) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
4.在等腰△ABC中,AB=AC=2cm,若以A为圆心,1cm 为半径的圆与BC相切,则∠ABC的度数为,( A) A、30° B、60° C、90° D、120°
d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . 相交 3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 相切 直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 相离 直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;
4.已知⊙O的半径为3,点A在直线l上,点A 到⊙O的圆心O的距离为3,则l与⊙O的位置关 系为 D 。 A.相离
归纳与小结 1.直线与圆的位置关系表:
直线和圆 的位置关 系
图形
公共 点个 数
公共点 名称
圆心到直线的 距离d与半径r 的关系
直线 名称
相 交
相 切 相 离
2个
交点 切 点
d<r d=r d>r
割 线 切线
1个 0个
.O
.
A
.O
.
B l
.
切点 A
l
.O
l
1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
(1) (2)
· O
(3) l
· O
l
· O
l 相离 (4) 相交 (5) 相切
· O
相交
l
?
l
· O
(5)
?
· O
l
如果,公共点的个数不好判断, 该怎么办? “直线和圆的位置关系”能否像 “点和圆的位置关系”一样进行数 量分析?
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(第1课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(第1课时)一、学习目标:1.理解并掌握设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P 在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r及其运用。
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用。
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念。
4.了解反证法的证明思想。
二、学习重点、难点:1. 重点:点和圆的位置关系的结论:不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用。
2. 难点:讲授反证法的证明思路。
三、学习过程:(一)温故知新:1.圆的两种定义是什么?2.圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何?3.如果在圆外有一点呢?圆内呢?请你画图想一想.(二)自主学习:自学教材P90-----P92,思考下列问题:1.点与圆的三种位置关系:(圆的半径r,点P与圆心的距离为d)点P在圆外⇔;点P在圆上⇔;点P在圆内⇔;2.自己作圆:(思考)(1)作经过已知点A的圆,这样的圆能作出多少个?(2)经过A、B两点作圆,这样的圆能作出多少个?它们的圆心分布有什么特点?(3)经过A、B、C三点作圆,有哪些情况?三点应符合什么条件才能作圆?3.什么叫三角形的外接圆?三角形的外心及性质?4.教材是如何用反证法证明过同一直线上的三点不能作圆?反证法的证明思路是什么?(三)合作探究:例1.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示.为复制该瓷盘确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.(圆心是一个点,一个点可以由两条直线交点而成,因此,只要在残缺的圆盘上任取两条线段,作线段的中垂线,交点就是我们所求的圆心).(四)巩固练习:(五)达标训练1.下列说法:①三点确定一个圆;②三角形有且只有一个外接圆; ③圆有且只有一个内接三角形;④三角形的外心是各边垂直平分线的交点;⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等;⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内,其中正确的个数有(•)A.1 B.2 C.3 D.42.Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=4,如果以点A 为圆心,AC 为半径作⊙A ,•那么斜边中点D 与⊙O 的位置关系是( )A .点D 在⊙A 外B .点D 在⊙A 上C .点D 在⊙A 内 D .无法确定 AC B DB ACD O(第2题图) (第3题图)3.如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 是直径,BC=4,AC=3,CD 平分∠ACB ,则弦AD 长为( )A .522B .52C .2D .3 4.经过一点P 可以作_______个圆;经过两点P 、Q 可以作________•个圆,•圆心在_________上;经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆,•圆心是________的交点.5.在平面内,⊙O 的半径为5cm ,点P 到圆心O 的距离为3cm ,则点P 与⊙O 的位置关系是 .6.直角三角形的外心是______的中点,锐角三角形外心在三角形______,钝角三角形外心在三角形_________.(六)拓展创新1.已知△ABC 的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ,则这个三角形的外接圆的面积为__________cm2.(结果用含π的代数式表示)2.如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图所示,A 、B 、C •为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,•要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址. B A C。
点和圆、直线和圆的位置关系
§24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、知识点过关知识点1 点和圆的位置关系(重点;掌握)点和圆的位置关系有三种,设点P 到圆心O 的距离d OP =,⊙O 的半径为r ,则有: 点P r >;点P 在圆上 r =;点P 在圆内 r <; 【命题点1 根据d 与r 的数量关系判定点与圆的位置关系】例1 已知⊙O 的面积是16π,若5.4=OP ,则点P 在⊙O ;若4=OP ,则点P 在⊙O ;若OP ,则点P 在⊙O 内.针对性训练1、若点)0(,a B 在以点)01(,A 为圆心,2为半径的圆内,则a 的取值范围为 ( ) 31.<<-a A 3.<aB 1.->aC 13.-<>ora a D知识点2 圆的确定(重点;理解)不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心. 【命题点2 求三角形外接圆的半径】例2 △ABC 中,10==AC AB ,12=BC ,求△ABC 的外接圆半径.针对性训练1. 如图,点A ,B ,C 在同一条直线上,点D 在直线AB 外,过这4个点中的任意3个点,能画圆的个数是( )A.1B.2C.3D.4知识点3 直线和圆的位置关系(重点;掌握)1.相交、相切与相离的概念[画图板书](1)直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.(2)直线和圆有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.(3)直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系如果设⊙O 的半径为r ,圆心到直线l 的距离为d ,可归纳出下列结论: (1)直线l 和⊙O 相离 r d >; (2)直线l 和⊙O 相切 r d =; (3)直线l 和⊙O 相交 r d <;【命题点3 根据直线与圆的位置关系求半径R 的取值范围】例3 已知︒=∠30MON ,在ON 边上有一点P ,cm OP 5=,若以点P 为圆心,以R 为半径作圆,求满足下列条件的⊙P 的半径R 的取值范围. (1)射线OM 与⊙P 只有一个公共点; (2)射线OM 与⊙P 有两个公共点.针对性训练1、在Rt △ABC 中,cm AC 3=,cm BC 4=,︒=∠90ACB .若以点C 为圆心,r 为半径的圆与直线AB 不相离,求r 的取值范围.知识点4 圆的切线的判定与性质(重点、难点;理解)1.切线的判定(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(2)如果圆心到直线的距离等于半径,那么直线是圆的切线.经过半径的外端并且垂直于这条半斤的直线是圆的切线(切线的判定定理) 2.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径. 【命题点4 切线的性质定理的应用】例4 如图所示,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB 的延长线于点D ,且CAD D ∠=∠2.连接OC. (1)求D ∠的度数;(2)若2=CD ,求BD 的长.针对性训练1、已知⊙O 中,AC 为直径,MA ,MB 分别切⊙O 于点A ,B. (1)如图①,若︒=∠25BAC ,求AMB ∠的大小;(2)如图②,过点B 作AC BD ⊥于点E ,交⊙O 于点D ,若MA BD =,求AMB ∠的大小.知识点5 切线长的定义及定理(重点、难点;掌握)1.定义经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【命题点5 利用切线长定理求角的度数】例5 如图所示,PA ,PB 是⊙O 的切线,A 、B 为切点,BC 是⊙O 的直径,连接AB ,AC ,OP.︒=∠20BAC ,则P ∠的度数为 ( )A.50°B.70°C.110°D.40°针对性训练1、如图所示,PA ,PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B ,已知BC 是⊙O 的直径,连接AB ,AC ,OP. 求证:(1)ABC APB ∠=∠2;(2)AC ∥OP.【命题点6 利用切线长定理求线段的长】例5 如图所示,PA ,PB 是⊙O 的切线,切点分别是A 、B ,Q 为︵AB上一点,过Q 点作⊙O 的切线,交PA ,PB 与E ,F 两点,已知cm PA 10=,求△PEF 的周长.针对性训练1、如图,P 是⊙O 外一点,PA ,PB 分别和⊙O 相切于点A ,B ,C 是劣弧︵AB上任意一点,过C 作⊙O 的切线DE ,分别交PA ,PB 于点D ,E. 已知△PDE 的周长为8,︒=∠70DOE ,点M ,N 分别在PB ,PA 的延长线上,MN 与⊙O 相切于点F ,且DN ,EM 的长是方程0102=+-k x x 的两根. (1)求P ∠的度数;(2)求PA 的长;(3)求四边形DEMN 的周长.知识点6 三角形的内切圆(重点、难点;掌握)(1)与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.(内切圆与外接圆对比)(2)三角形的内心到三角形三边的距离都相等.(3)三角形的内切圆的作法:先作出三角形的两条角平分线,以两条角平分线的交点为圆心,交点到一边的距离为半径作圆,即而已得到三角形的内切圆.推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 【命题点6 利用三角形内心求角的度数】例6 如图所示,⊙O 是△ABC 的内切圆,与边BC 、CA 、AB 的切点分别为D ,E ,F ,若上︒=∠70A ,则EDF ∠= 度.针对性训练1、⊙O 是Rt △ABC 的内切圆,切点分别为D 、E 、F ,︒=∠90C ,4=AC ,3=AB ,求⊙O 的半径r .知识点7 圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质(重点;理解)1.概念:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.性质:圆内接多边形的对角互补.【命题点7 圆内接四边形与垂径定理的综合应用】例7 如图所示,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,BD AC ⊥于E ,AB OF ⊥于F ,求证:CD OF =2.针对性训练1、如图所示,在圆内接四边形ABCD 中,︒=∠30B ,则=∠D .二、全方位技巧类型题1 根据点与圆的位置关系求r 的取值范围例1 已知△ABC ,︒=∠90C ,2=AC ,3=BC ,AB 的中点为M. (1)以C 为圆心,2为半径作⊙C ,则点A ,B ,M 与⊙C 的位置关系如何?(2)若以C 为圆心作⊙C ,使A ,B ,M 三点至少有一点在⊙C 的内部,且至少有一点在⊙C 的外部,求⊙C 的半径r 的取值范围.类型题2 有关圆与一元二次方程的综合题例2 设⊙O 的半径为2,点P 到圆心的距离m OP =,且m 使关于x 的方程012222=-+-m x x 有实数根,试确认点P 与⊙O 的位置关系.类型题3 切线的判定和性质的综合应用例3 如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 与⊙O 相交于点D ,连接AD 并延长,与BC 相交于点E. (1)若3=BC ,1=CD ,求⊙O 的半径;(2)取BE 的中点F ,连接DF ,求证DF 是⊙O 的切线.类型题4 圆的切线与四边形的综合应用例4 如图所示,AB 是半圆O 的直径,点C 为半径OB 上一点,过点C 作CD ⊥AB 交半圆O 于点D ,将△ACD 沿AD 折叠得到△AED ,AE 交半圆于点F ,连接DF. (1)求证DE 是半圆的切线;(2)当BC OC =时,判断四边形ODFA 的形状,并证明你的结论.类型题5 圆周角定理的推论与垂径定理的综合应用例5 如图所示,点C ,D 在以AB 为直径的⊙O 上,且CD 平分ACB ∠,若2=AB ,︒=∠15CBA ,则CD 的长为 .类型题6 巧引辅助线,构造特殊三角形解题例6 如图所示,在⊙O 中,︒=∠=∠60BDC ACB ,cm AC 32=. (1)求BAC ∠的度数. (2)求⊙O 的周长.三、分层实战训练【基础巩固】1.已知点P 与圆周上的点的最小距离为6cm ,最大距离为16cm ,求该圆的半径.2.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为R ,若R d ,是方程02092=+-x x 的两个实数根,则直线和圆的位置关系是 .3.如图,△ABC 内接于半径为5的⊙O ,圆心O 到弦BC 的距离等于3, 则A ∠的正切值等于 ( ) 53.A 54.B 43.C 34.D4.已知AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,OB BD =,点C 在圆上,︒=∠30CAB .求证:DC 是⊙O 的切线.5.AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,连接BC ,AC ,作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ,连接DC 并延长交AB 的延长线于点E.求证:DE 是⊙O 的切线.6.AB 是⊙O 的直径,点F ,C 是⊙O 上两点,且︵AF =︵FC =︵CB ,连接AC ,AF ,过点C 作AF CD ⊥,交AF 的延长线于点D ,垂足为D.求证:CD 是⊙O 的切线.7.已知⊙O 的直径为AB ,AB AC ⊥于点A ,BC 与⊙O 相交于点D ,在AC 上取一点E ,使得EA ED =. (1)求证:ED 是⊙O 的切线;(2)当3=OA ,4=AE 时,求BC 的长度.8.如图所示,在△ABC 中,BC AC =,α=∠CAB (定值),⊙O 的圆心O 在AB 上,并分别与AC ,BC 相切于点P ,Q. (1)求POQ ∠的大小;(2)设D 是CA 延长线上的一个动点,DE 与⊙O 相切于点M ,E 在CB 的延长线上,试判断DOE ∠的大小是否随着D 点位置的变化而变化,并说明理由. (3)在(2)的条件下,如果m AB =(m 为已知数),53cos =α,设y DE x AD ==,,求y 关于x 的函数解析式.9.如图所示,在平面直角坐标系中,以点O 为圆心,半径为2的圆与y 轴交于点A ,点)24(,P 是⊙O 外一点,连接AP ,直线PB 与⊙O 相切于点B ,交x 轴于点C. (1)求证PA 是⊙O 的切线;(2)求点B 的坐标.10.如图,AB 是⊙O 的直线,弦CD 与AB 交于点E ,过点A 作⊙O 的切线与CD 的延长线交与点F ,如果CE DE 43=,58=AF ,D 为EF 的中点. (1)求证:ACF AFC ∠=∠;(2)求AB 的长.11.(2014*江苏扬州)如图,⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切与点D ,与直角边AC 相交于E 、F 两点,连接DE.已知︒=∠30B ,⊙O 的半径为12,弧DE 的长度为4π. (1)求证:DE ∥BC ;(2)若CE AF =,求线段BC 的长度.12.(2014*黑龙江哈尔滨)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,弦BD 交AC 于点E ,连接CD ,且DE AE =,CE BC =.(1)求ACB ∠的度数;(2)过点O 作AC OF ⊥于点F ,延长FO 交BE 与点G ,3=DE ,2=EG ,求AB 的长.。
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(共7课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(共7课时)第一课时:点和直线的位置关系教学内容1.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r.2.不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形外接圆及三角形的外心的概念.4.反证法的证明思路.教学目标1.理解并掌握设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P 在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r及其运用.2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用.3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.复习圆的两种定理和形成过程,并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法,给出不在同一直线上的三个点确定一个圆.接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题.重点:点和圆的位置关系的结论:不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用.难点:讲授反证法的证明思路.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们口答下面的问题.1.圆的两种定义是什么?2.你能至少举例两个说明圆是如何形成的?3.圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何?4.如果在圆外有一点呢?圆内呢?请你画图想一想.(1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,•另一个端点A所形成的图形叫做圆;圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.(2)圆规:一个定点,一个定长画圆.(3)都等于半径.(4)经过画图可知,圆外的点到圆心的距离大于半径;•圆内的点到圆心的距离小于半径.二、探索新知由上面的画图以及所学知识,我们可知:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d则有:点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来,也十分明显,如果d>r⇒点P在圆外;如果d=r⇒点P在圆上;如果d<r⇒点P在圆内.因此,我们可以得到:这个结论的出现,对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据.下面,我们接下去研究确定圆的条件:(学生活动)经过一点可以作无数条直线,经过二点只能作一条直线,那么,经过一点能作几个圆?经过二点、三点呢?请同学们按下面要求作圆.(1)作圆,使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆?(2)作圆,使该圆经过已知点A、B,你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?(3)作圆,使该圆经过已知点A、B、C三点(其中A、B、C三点不在同一直线上),•你是如何做的?你能作出几个这样的圆?老师在黑板上演示:(1)无数多个圆,如图1所示.(2)连结A、B,作AB的垂直平分线,则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等,都满足条件,作出无数个.其圆心分布在AB的中垂线上,与线段AB互相垂直,如图2所示.lBAB(1) (2) (3)(3)作法:①连接AB、BC;②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG,DE与FG相交于点O;③以O 为圆心,以OA 为半径作圆,⊙O 就是所要求作的圆,如图3所示. 在上面的作图过程中,因为直线DE 与FG 只有一个交点O ,并且点O 到A 、B 、C•三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两边的距离相等),所以经过A 、B 、C 三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.也就是,经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.下面我们来证明:经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.证明:如图,假设过同一直线L 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆,设这个圆的圆心为P ,那么点P 既在线段AB 的垂直平分线L 1,又在线段BC 的垂直平分线L 2,•即点P 为L 1与L 2点,而L 1⊥L ,L 2⊥L ,这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,过同一直线上的三点不能作圆. 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到命题成立.这种证明方法叫做反证法.在某些情景下,反证法是很有效的证明方法.例1.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示.为复制该瓷盘确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.分析:圆心是一个点,一个点可以由两条直线交点而成,因此,只要在残缺的圆盘上任取两条线段,作线段的中垂线,交点就是我们所求的圆心. 作法:(1)在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段;(2)作两线段的中垂线,相交于一点.则O 就为所求的圆心.四、应用拓展例2.如图,已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD=BC ,AB=48cm ,CD=30cm ,高27cm ,求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点,写出作法并求出这圆的半径(比例尺1:10)分析:要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点,应该先选三个点确定一个圆,•然后证明第四点也在圆上即可.要求半径就是求OC 或OA 或OB ,因此,•要在直角三角形中进行,不妨设在Rt △EOC 中,设OF=x ,则OE=27-x 由OC=OB 便可列出,•这种方法是几何代数解.作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ,则交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心. ∵ABCD 为等腰梯形,L 为其对称轴Al m BA C E D O F ∵OB=OA ,∴点B 也在⊙O 上∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆设OE=x ,则OF=27-x ,∵OC=OB= 解得:x=20∴,即半径为25m . 五、归纳总结(学生总结,老师点评)本节课应掌握:1. 点和圆的位置关系:设⊙O 的半径为r ,点P 到圆心的距离为d ,则;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内2.不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形外接圆和三角形外心的概念.4.反证法的证明思想.5.以上内容的应用.六、布置作业1.教材P93 练习第二课时:直线和圆的位置关系(1)教学内容1.直线和圆相交、割线;直线和圆相切、圆的切线、切点;•直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念.2.设⊙O 的半径为r ,直线L 到圆心O 的距离为d直线L 和⊙O 相交⇔d<r ;直线和⊙O 相切⇔d=r ;直线L 和⊙O 相离⇔d>r .教学目标1.探索并了解直线和圆的位置关系.2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系.3.能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系.重点:探索并了解直线和圆的位置关系.难点:掌握识别直线和圆的位置关系的方法.教学过程一、复习引入(老师口答,学生口答,老师并在黑板上板书)同学们,我们前一节课已经学到点和圆的位置关系.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,(b)(c)则有:点P在圆外⇔d>r,如图(a)所示;点P在圆上⇔d=r,如图(b)所示;点P在圆内⇔d<r,如图(c)所示.(1)“大漠孤烟直,长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线和圆有几种位置关系吗?探究一、请同学在纸上画一条直线,把硬币的边缘看作圆,在纸上移动硬币,你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?直线和圆有三种位置关系:相交、相切和相离.(老师板书)如图所示:l(a)(b)相离(c)如图(a ),直线L 和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.如图(b ),直线和圆有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,•这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.如图(c ),直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离.探究二、割线切线基本概念探究二、(1) 能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系?练习已知:如图所示,∠AOB =30°,P 为OB 上一点,且OP =5 cm ,以P 为圆心,以R 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系?为什么?①R =2 cm ;②R =2.5 cm ;③R =4 cm .(2) 练习课堂小结:(学生归纳,总结发言老师点评)1.直线和圆相交、割线、直线和圆相切,切线、切点、直线和圆相离等概念.2.设⊙O 的半径为r ,直线L 到圆心O 的距离为d 则有:直线L 和⊙O 相交⇔d<r直线L 和⊙O相切⇔d=r直线L和⊙O相离⇔d>r第三课时:直线和圆的位置关系(2)教学内容1切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.教学过程是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系?我们知道,点到直线L的距离是这点向直线作垂线,这点到垂足D的距离,•按照这个定义,作出圆心O到L的距离的三种情况?(学生分组活动):设⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,•请模仿点和圆的位置关系,总结出什么结论?老师点评直线L和⊙O相交⇔d<r,如图(a)所示;l(a)直线L和⊙O相切⇔d=r,如图(b)所示;直线L和⊙O相离⇔d>r,如图(c)所示.因为d=r⇒直线L和⊙O相切,这里的d是圆心O到直线L的距离,即垂直,并由d=r就可得到L经过半径r的外端,即半径OA的A点,因此,很明显的,•我们可以得到切线的判定定理:例1.如图,已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm.(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,直线AB与⊙C相切?为什么?(2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系?分析:(1)根据切线的判定定理可知,要使直线AB与⊙C相切,•那么这条半径应垂直于直线AB,并且C点到垂足的长就是半径,所以只要求出如图AD 所示的CD 即可.(2)用d 和r 的关系进行判定,或借助图形进行判定.解:(1)如图24-54:过C 作CD ⊥AB ,垂足为D .在Rt △ABC 中∴因此,当半径为时,AB 与⊙C 相切.理由是:直线AB 为⊙C 的半径CD 的外端并且CD ⊥AB ,所以AB 是⊙C 的切线.(2)由(1)可知,圆心C 到直线AB 的距离,所以当r=2时,d>r ,⊙C 与直线AB 相离;当r=4时,d<r ,⊙C 与直线AB 相交.刚才的判定定理也好,或者例1也好,都是不知道直线是切线,而判定切线,反之,如果知道这条直线是切线呢?有什么性质定理呢?实际上,如图,CD 是切线,A 是切点,连结AO 与⊙O 于B ,那么AB 是对称轴,所以沿AB 对折图形时,AC 与AD 重合,因此,∠BAC=∠BAD=90°.因此,我们有切线的性质定理:三、巩固练习教材P94 练习,四、应用拓展例.如图,AB 为⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,D 在AB 的延长线上,且∠DCB=•∠A .(1)CD 与⊙O 相切吗?如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.A D (2)若CD 与⊙O 相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O 的半径.分析:(1)要说明CD 是否是⊙O 的切线,只要说明OC 是否垂直于CD ,垂足为C ,•因为C 点已在圆上.由已知易得:∠A=30°,又由∠DCB=∠A=30°得:BC=BD=10解:(1)CD 与⊙O 相切理由:①C 点在⊙O 上(已知) ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上:CD 是⊙O 的切线.(2)在Rt △OCD 中,∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20,∴r=10答:(1)CD 是⊙O 的切线,(2)⊙O 的半径是10.五、归纳小结(学生归纳,总结发言老师点评)本节课应掌握:1切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2、切线的性质定理,圆的切线垂直于过切点的半径.3、应用上面的知识解决实际问题.六、布置作业一、选择题.1.如图,AB 与⊙O 切于点C ,OA=OB ,若⊙O 的直径为8cm ,AB=10cm ,那么OA 的长是( )A2.下列说法正确的是( ) A .与圆有公共点的直线是圆的切线.B .和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C .垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D .过圆的半径的外端的直线是圆的切线3.已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边,AB 的延长线,AC 的延长线相切,则∠BOC 等于( )A .12(∠B+∠C )B .90°+12∠A AC.90°-12∠A D.180°-∠A二、填空题1.如图,AB为⊙O直径,BD切⊙O于B点,弦AC的延长线与BD交于D•点,•若AB=10,AC=8,则DC长为________.D2.如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A、B为切点,弦AB与PO交于C,⊙O半径为1,PO=2,则PA_______,PB=________,PC=_______AC=______,BC=______∠AOB=________.3.设I是△ABC的内心,O是△ABC的外心,∠A=80°,则∠BIC=•________,•∠BOC=________.第四课时:直线和圆的位置关系(3)教学内容1.切线长的概念.2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.三角形的内切圆及三角形内心的概念.教学目标1、了解切线长的概念.2、理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,熟练掌握它的应用.3、复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理,然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念,最后应用它们解决一些实际问题.重点:切线长定理及其运用.•难点与关键:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.教学过程一、复习引入1.已知△ABC,作三个内角平分线,说说它具有什么性质?2.点和圆有几种位置关系?你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识?3.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理,它们如何?老师点评:(1)在黑板上作出△ABC的三条角平分线,并口述其性质:•①三条角平分线相交于一点;②交点到三条边的距离相等.(2)(口述)点和圆的位置关系有三种,点在圆内⇔d<r;点在圆上⇔d=r;点在圆外⇔d>r;不在同一直线上的三个点确定一个圆;反证法的思想.(3)(口述)直线和圆的位置关系同样有三种:直线L和⊙O相交⇔d<r;直线L和⊙相切⇔d=r;直线L和⊙O相离⇔d>r;切线的判定定理:•经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线;切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.二、探索新知从上面的复习,我们可以知道,过⊙O上任一点A都可以作一条切线,•并且只有一条,根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题.问题:在你手中的纸上画出⊙O,并画出过A点的唯一切线PA,•连结PO,•沿着直线PO将纸对折,设圆上与点A重合的点为B,这时,OB是⊙O的一条半径吗?PB是⊙O的切线吗?利用图形的轴对称性,说明圆中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?学生分组讨论,老师抽取3~4位同学回答这个问题.老师点评:OB与OA重叠,OA是半径,OB也就是半径了.又因为OB是半径,PB为OB•的外端,又根据折叠后的角不变,所以PB是⊙O的又一条切线,根据轴对称性质,•我们很容易得到PA=PB,∠APO=∠BPO.我们把PA或PB的长,即经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,•叫做这点到圆的切线长.从上面的操作几何我们可以得到:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.下面,我们给予逻辑证明.例1.如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线.Array求证:PA=PB,∠OPA=∠OPB.证明:∵PA、PB是⊙O的两条切线.∴OA⊥AP,OB⊥BP又OA=OB,OP=OP,∴Rt △AOP ≌Rt △BOP ∴PA=PB ,∠OPA=∠OPB因此,我们得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.我们刚才已经复习,三角形的三条角平分线于一点,并且这个点到三条边的距离相等.(同刚才画的图)设交点为I ,那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等,如图所示,因此以点I 为圆心,点I 到BC 的距离ID 为半径作圆,则⊙I 与△ABC 的三条边都相切. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心. 例2.如图,已知⊙O 是△ABC 的内切圆,切点为D 、E 、F ,如果AE=1,CD=2,BF=3,且△ABC 的面积为6.求内切圆的半径r .分析:直接求内切圆的半径有困难,由于面积是已知的,•因此要转化为面积法来求.就需添加辅助线,如果连结AO 、BO 、CO ,就可把三角形ABC 分为三块,•那么就可解决. 解:连结AO 、BO 、CO∵⊙O 是△ABC 的内切圆且D 、E 、F 是切点. ∴AF=AE=1,BD=BF=3,CE=CD=2∴AB=4,BC=5,AC=3又∵S △ABC =6∴12(4+5+3)r=6 ∴r=1答:所求的内切圆的半径为1. 三、巩固练习 教材P98 练习.五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握:1.圆的切线长概念; 2.切线长定理3.三角形的内切圆及内心的概念.l AC第五课时:直线和圆的位置关系(4) 内容:直线和圆的位置关系复习要点梳理一、 直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。
点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)
24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系1.如图,⊙O的半径为r.(1)点A在⊙O外,则OA__>___r;点B在⊙O上,则OB__=___r;点C在⊙O内,则OC__<___r.(2)若OA>r,则点A在⊙O__外___;若OB=r,则点B在⊙O__上___;若OC<r,则点C在⊙O__内___.2.在同一平面内,经过一个点能作__无数___个圆;经过两个点可作__无数___个圆;经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆.3.三角形的外心是三角形外接圆的圆心,此点是__三边垂直平分线的交点___.4.反证法首先假设命题的__结论___不成立,经过推理得出矛盾,由此判定假设__错误___,从而得到原命题成立.知识点1:点与圆的位置关系1.已知点A在直径为8 cm的⊙O内,则OA的长可能是( D)A.8cmB.6 cmC.4 cmD.2 cm2.已知圆的半径为6 cm,点P在圆外,则线段OP的长度的取值范围是__OP>6_cm___.3.已知⊙O的半径为7cm,点A为线段OP的中点,当OP满足下列条件时,分别指出点A与⊙O的位置关系:(1)OP=8cm;(2)OP=14cm;(3)OP=16cm.解:(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外知识点2:三角形的外接圆4.如图,点O是△ABC的外心,∠BAC=55°,则∠BOC=__110°___.5.直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上.若直角三角形两直角边长为6和8,则该直角三角形外接圆的面积为__25π___.6.一个三角形的外心在其内部,则这个三角形是( C)A.任意三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形7.如图,一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A,B,C,这三个洞口不在同一条直线上,请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口?作出这个位置.解:图略.连接AB,BC,分别作线段AB,BC的垂直平分线,且相交于点O,点O 即为所求知识点3:反证法8.用反证法证明:“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D)A.相交B.两条直线不垂直C.两条直线不垂直于同一条直线D.垂直于同一条直线的两条直线相交9.用反证法证明:“△ABC中至少有两个锐角”,第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___.10.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°,求证:l1__∥___l2.证明:假设l1__不平行___l2,即l1与l2相交于一点P,则∠1+∠2+∠P__=___180°(__三角形内角和定理___),所以∠1+∠2__<___180°,这与__已知___矛盾,故__假设___不成立,所以__l1∥l2___.11.在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中,不正确的是(A)A.当a<5时,点B在⊙A内B.当1<a<5时,点B在⊙A内C.当a<1时,点B在⊙A外D.当a>5时,点B在⊙A外12.如图,△ABC的外接圆圆心的坐标是__(-2,-1)___.13.在平面直角坐标系中,⊙A的半径是4,圆心A的坐标是(2,0),则点P(-2,1)与⊙A 的位置关系是__点P在⊙A外___.14.若O为△ABC的外心,且∠BOC=60°,则∠BAC=__30°或150°___.15.如图,△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作⊙C,半径为r.(1)当r在什么范围时,点A,B在⊙C外?(2)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外?解:(1)0<r<3 (2)3<r<416.如图,⊙O′过坐标原点,点O′的坐标为(1,1),试判断点P(-1,1),Q(1,0),R(2,2)与⊙O′的位置关系.解:点P在⊙O′外,点Q在⊙O′内,点R在⊙O′上17.小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.解:(1)用尺规作出两边的垂直平分线,交于O点,以O为圆心,OA长为半径作出⊙O,⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)(2)25π平方米18.如图①,在△ABC中,BA=BC,D是平面内不与点A,B,C重合的任意一点,∠ABC=∠DBE,BD=BE.(1)求证:△ABD≌△CBE;(2)如图②,当点D是△ABC的外接圆圆心时,请判断四边形BECD的形状,并证明你的结论.解:(1)由SAS可证(2)四边形BECD是菱形.证明:∵△ABD≌△CBE,∴CE=AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心,∴DA=DB=DC.又∵BD=BE,∴BD=BE=EC=CD,∴四边形BECD是菱形ﻬ24.2.2直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系1.直线和圆有__相交___、__相切___、__相离___三种位置关系.2.直线a与⊙O__有唯一___公共点,则直线a与⊙O相切;直线b与⊙O__有两个___公共点,则直线b与⊙O相交;直线c与⊙O__没有___公共点,则直线c与⊙O相离.3.设⊙O的半径为r,直线到圆心的距离为d,则:(1)直线l1与⊙O__相离___,则d__>___r; (2)直线l 2与⊙O__相切___,则d__=___r; (3)直线l3与⊙O__相交___,则d__<___r.知识点1:直线与圆的位置关系的判定 1.(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm,点O 到同一平面内直线l的距离为5 cm ,则直线l与⊙O 的位置关系是( A )A .相交B .相切C .相离 D.无法判断2.已知一条直线与圆有公共点,则这条直线与圆的位置关系是( D ) A.相离 B.相切 C .相交 D.相切或相交3.在平面直角坐标系xO y中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆( C ) A .与x 轴相交,与y 轴相切 B .与x 轴相离,与y轴相交 C.与x 轴相切,与y轴相交 D .与x 轴相切,与y 轴相离4.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =4 c m,BC =2 cm ,以C 为圆心,r 为半径的圆与AB 有何种位置关系?请你写出判断过程.(1)r =1.5 cm ;(2)r =错误! cm ;(3)r=2 cm .解:过点C 作CD ⊥AB,垂足为D,可求CD =\r (3).(1)r =1.5 cm 时,相离;(2)r =错误! c m时,相切;(3)r=2 cm时,相交知识点2:直线与圆的位置关系的性质5.直线l 与半径为r 的⊙O 相交,且点O 到直线l 的距离为5,则半径r 的取值范围是( A )A.r>5 B .r=5 C .0<r<5 D .0<r ≤56.如图,⊙O 的半径OC=5 cm ,直线l ⊥OC,垂足为H ,且l 交⊙O 于A,B 两点,AB=8 cm ,则l 沿O C所在的直线向下平移,当l 与⊙O相切时,平移的距离为( B )A.1 cm B .2 cm C.3 cm D .4 cm7.已知⊙O 的圆心O 到直线l的距离为d ,⊙O 的半径为r,若d ,r是方程x 2-4x +m=0的两个根,且直线l 与⊙O 相切,则m 的值为__4___.8.在Rt△ABC 中,∠A=90°,∠C =60°,BO =x,⊙O 的半径为2,求当x 在什么范围内取值时,A B所在的直线与⊙O 相交、相切、相离?解:过点O 作OD ⊥AB 于D,可得OD =12OB =错误!x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时,OD=r=2,∴B O=4,∴0<x<4时,相交;x=4时,相切;x >4时,相离9.已知⊙O的面积为9πcm2,若点O到直线l的距离为πcm,则直线l与⊙O的位置关系是( C)A.相交B.相切C.相离D.无法确定10.已知⊙O的半径为3,直线l上有一点P满足PO=3,则直线l与⊙O的位置关系是(D)A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交11.已知⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.若直线l与⊙O相切,则以d,r 为根的一元二次方程可能为( B)A.x2-3x=0B.x2-6x+9=0C.x2-5x+4=0D.x2+4x+4=012.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=3,⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是__相切___.13.已知⊙O的半径是5,圆心O到直线AB的距离为2,则⊙O上有且只有__3___个点到直线AB的距离为3.14.如图,⊙P的圆心P(-3,2),半径为3,直线MN过点M(5,0)且平行于y轴,点N在点M的上方.(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′,根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系;(2)若点N在(1)中的⊙P′上,求PN的长.解:(1)图略,⊙P′与直线MN相交(2)连接PP′并延长交MN于点Q,连接PN,P′N.由题意可知:在Rt△P′QN中,P′Q=2,P′N=3,由勾股定理可求出QN=\r(5);在R t△PQN中,PQ=3+5=8,QN=错误!,由勾股定理可求出PN=错误!=错误!15.如图,半径为2的⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动.(1)当⊙P和x轴相切时,写出点P的坐标,并判断此时y轴与⊙P的位置关系;(2)当⊙P和y轴相切时,写出点P的坐标,并判断此时x轴与⊙P的位置关系;(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切?若能,写出点P的坐标;若不能,说明理由.解:∵⊙P的圆心在直线y=2x-1上,∴圆心坐标可设为(x,2x-1).(1)当⊙P和x轴相切时,2x-1=2或2x-1=-2,解得x=1.5或x=-0.5,∴P1(1.5,2),P2(-0.5,-2).∵1.5<2,|-0.5|<2,∴y轴与⊙P相交(2)当⊙P和y轴相切时,x=2或-2,得2x-1=3或2x-1=-5,∴P1(2,3),P2(-2,-5).∵|-5|>2,且|3|>2,∴x轴与⊙P相离(3)不能.∵当x=2时,y=3,当x=-2时,y=-5,|-5|≠2,3≠2,∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切16.已知∠MAN=30°,O为边AN上一点,以O为圆心,2为半径作⊙O,交AN于D,E 两点,设AD=x.(1)如图①,当x取何值时,⊙O与AM相切?(2)如图②,当x取何值时,⊙O与AM相交于B,C两点,且∠BOC=90°?解:(1)过O点作OF⊥AM于F,当OF=r=2时,⊙O与AM相切,此时OA=4,故x=AD=2(2)过O点作OG⊥AM于G,∵OB=OC=2,∠BOC=90°,∴BC=2\r(2),∴BG=CG =\r(2),∴OG=错误!.∵∠A=30°,∴OA=2错误!,∴x=AD=2错误!-2第2课时切线的判定与性质1.经过半径的__外端___,并且__垂直___于这条半径的直线是圆的切线.2.圆的切线必__垂直___于过__切点___的半径.知识点1:切线的判定1.下列说法中,正确的是( D)A.AB垂直于⊙O的半径,则AB是⊙O的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线2.如图,△ABC的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线,你所添加的条件为__∠ABC=90°___.3.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°.求证:CD 是⊙O的切线.解:连接OC.∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=30°,∴∠COD=60°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线4.(2014·孝感)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O,再以点O为圆心,OC为半径作⊙O;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解:(1)如图(2)AB与⊙O相切.证明:作OD⊥AB于点D,∵BO平分∠ABC,∠ACB=90°,OD⊥AB,∴OD=OC,∴AB与⊙O相切知识点2:切线的性质5.(2014·邵阳)如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.已知∠A=30°,则∠C的大小是(A)A.30°B.45°C.60°D.40°,第5题图),第6题图),第7题图)6.如图,⊙O的半径为3,P是CB延长线上一点,PO=5,PA切⊙O于A点,则PA=__4___.7.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切于点A.若∠MAB=30°,则∠B=__60°___.8.如图,等腰△OAB中,OA=OB,以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证:AC=BC.解:∵AB切⊙O于点C,∴OC⊥AB.∵OA=OB,∴AC=BC9.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CO=CD,则∠PCA=(D)A.30°B.45°C.60°D.67.5°,第9题图),第10题图),第11题图)10.如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是(A)A.30°B.45°C.60°D.90°11.如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是错误!的中点,则下列结论不成立的是(D)A.OC∥AE B.EC=BCC.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE12.(2014·自贡)如图,一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙O与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为__3___cm.,第12题图) ,第13题图) 13.如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆于点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为__4___.14.(2014·毕节)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.(1)求证:∠A=∠BCD.(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?并说明理由.解:(1)∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD(2)当点M是BC的中点时,直线DM与⊙O相切.理由:如图,连接DO.∵DO=CO,∴∠1=∠2.∵∠BDC=90°,点M是BC的中点,∴DM=CM,∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°,∴直线DM与⊙O相切15.如图,已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线交AC于点D,求∠CDP的度数.解:∵PC是⊙O的切线,∴OC⊥OP,即∠OCP=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB-∠OCB=∠OCP-∠OCB,即∠ACO=∠BCP.又OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠BCP=∠BAC.∵PD是∠APC的平分线,∴∠CPD=∠APD.∵∠ABC=∠CPD+∠APD+∠BCP,∠BAC+∠ABC=90°,∴∠BAC+∠CPD+∠APD+∠BCP=90°,∴∠CDP=∠APD+∠BAC=45°16.(2014·德州)如图,⊙O的直径AB为10 cm,弦BC为6cm,D,E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.(1)求AC,AD的长;(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.解:(1)连接BD.∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中,AC=错误!=\r(102-62)=8(cm).∵CD平分∠ACB,∴错误!=错误!,∴AD=BD.在Rt△ABD中,A D2+BD2=AB2,∴AD=\f(\r(2),2)AB=错误!×10=5错误!(cm)(2)直线PC与⊙O相切.理由:连接OC.∵OC=OA,∴∠CAO=∠OCA.∵PC=PE,∴∠PCE=∠PEC.∵∠PEC=∠CAE+∠ACE,∴∠PCB+∠ECB=∠CAE+∠ACE.∵CD平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB,∴∠PCB=∠CAE,∴∠PCB=∠ACO.∵∠ACB=90°,∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°,∴OC⊥PC,∴直线PC与⊙O相切ﻬ第3课时切线长定理1.经过__圆外___一点作圆的切线,这点与切点之间__线段___的长,叫做这点到圆的切线长.2.圆的切线长定理:从圆外一点可以引圆的__两___条切线,它们的切线长__相等___,这一点和圆心的连线__平分___两条切线的夹角.3.与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆,圆心叫做三角形的__内___心,它是三角形__三条角平分线___的交点.知识点1:切线长定理1.如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B)A.4 B.8C.4\r(3)D.8错误!,第1题图) ,第2题图) 2.如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点,直径FG在AB上,若BG=\r(2)-1,则△ABC的周长为(A)A.4+2\r(2)B.6C.2+2 2 D.43.(2014·天水)如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上,且∠ACB=50°,则∠P=__80°___.4.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,∠OAB=30°.(1)求∠APB的度数;(2)当OA=3时,求AP的长.解:(1)∠APB=60°(2)AP=3错误!知识点2:三角形的内切圆5.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=(A)A.130°B.120°C.100°D.90°6.已知△ABC的周长为24,若△ABC的内切圆半径为2,则△ABC的面积为__24___.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆的半径为__2___.8.如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=18 cm,BC=28 cm,CA=26 cm,求AF,BD,CE的长.解:根据切线长定理得AE=AF,BF=BD,CE=CD.设AE=AF=x cm,则CE=CD=(26-x) cm,BF=BD=(18-x) cm.∵BC=28 cm,∴(18-x)+(26-x)=28,解得x=8,∴AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cmﻬ9.正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( B)A.2 B.2\r(3)C.错误!D.310.如图,AB,AC与⊙O相切于点B,C,∠A=50°,点P是圆上异于B,C的一动点,则∠BPC的度数是(C)A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50°,第10题图) ,第11题图)11.(2014·泰安)如图,P为⊙O的直径BA延长线上的一点,PC与⊙O相切,切点为C,点D是⊙O上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:(1)PD与⊙O相切;(2)四边形PCBD是菱形;(3)PO=AB;(4)∠PDB=120°.其中正确的个数为(A)A.4 B.3C.2 D.112.如图,已知PA,PB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上,∠BCA=65°,则∠P=__50°___.,第12题图) ,第13题图)13.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,⊙O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在错误!上,若PA长为2,则△PEF的周长是__4___.14.如图,点I为△ABC的内心,点O为△ABC的外心,若∠BOC=140°,求∠BIC的度数.解:∵点O为△ABC 的外心,∠BOC =140°,∴∠A=70°.又∵点I 为△AB C的内心,∴∠BIC=180°-错误!(180°-∠A)=90°+错误!∠A=125°15.如图,PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,AC 是⊙O 的直径,AC,PB 的延长线相交于点D .(1)若∠1=20°,求∠AP B的度数;(2)当∠1为多少度时,OP=O D?并说明理由.解:(1)∵PA是⊙O 的切线,∴∠BAP=90°-∠1=70°.又∵PA ,PB 是⊙O 的切线,∴PA=PB,∴∠B AP=∠ABP=70°,∴∠AP B=180°-70°×2=40° (2)当∠1=30°时,OP =OD.理由:当∠1=30°时,由(1)知∠BA P=∠ABP=60°,∴∠AP B=180°-60°×2=60°.∵P A,PB是⊙O的切线,∴∠OPB =\f(1,2)∠APB =30°.又∵∠D =∠A BP -∠1=60°-30°=30°,∴∠OPB=∠D,∴OP=OD16.如图,A B是⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,DE切⊙O于点E ,交AM 于点D ,交BN 于点C ,F 是CD 的中点,连接OF.(1)求证:OD ∥BE ;(2)猜想:OF 与CD 有何数量关系?并说明理由.解:(1)连接OE ,∵AM ,DE 是⊙O 的切线,OA ,O E是⊙O 的半径,∴∠AD O=∠ED O,∠DA O=∠DEO =90°,∴∠AOD=∠EOD =错误!∠AOE.∵∠ABE =∠OEB,∠AB E+∠O EB=∠AOE,∴∠A BE=12∠A OE ,∴∠AOD =∠ABE ,∴OD ∥BE(2)O F=\f(1,2)C D,理由:连接OC,∵BC,C E是⊙O 的切线,∴∠O CB =∠O CE.同理:∠ADO=∠EDO.∵AM ∥BN ,∴∠A DO+∠E DO+∠OCB+∠OCE=180°,∴∠EDO+∠OCE=90°,∴∠DOC=90°.在Rt△DOC中,∵F是DC的中点,∴OF=错误!CD ﻬ专题训练(七) 切线证明的方法一、有交点,连半径,证垂直(一)利用角度转换证垂直1.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥OB,交AB于E,且AD=ED.求证:AD是⊙O的切线.解:连接OA.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB.又∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,而∠DEA=∠BEO,∠B+∠BEO=90°,∴∠DAE+∠OAB=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O的切线2.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.求证:PA是⊙O的切线.解:连接OA.∵∠B=60°,∴∠AOC=120°,∴∠AOP=60°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACP=\f(1,2)∠AOP=30°,又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠PAO=90°,∴O A⊥AP,∴PA是⊙O的切线(二)利用全等证垂直3.如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC,弦AD∥OC.求证:CD是⊙O的切线.解:连接OD.由SAS证△CBO≌△CDO,得∠CDO=∠CBO=90°,∴CD⊥OD,∴CD是⊙O的切线(三)利用勾股定理逆定理证垂直4.如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上一点,点C为⊙O上一点,PC=8,PB=4,AB=12.求证:PC是⊙O的切线.解:连接OC.根据题意,可得OC=6,PO=10,PC=8,∴OC2+PC2=PO2,∴△POC为直角三角形且∠PCO=90°,∴OC⊥CP,∴PC是⊙O的切线二、无交点,作垂直,证半径5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证:AC与⊙D相切.解:连接DE,过D作DF⊥AC于F,易证△BDE≌△CDF,∴DF=DE,∴AC与⊙O相切6.如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证:CD是小圆的切线.解:连接OE,过O作OF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E,∴OE⊥AB,∵AB=CD,∴OE=OF,∴CD与小⊙O相切7.如图,AB是⊙O的直径,AM,BN分别切⊙O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半径R.解:(1)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A,∴OA⊥AD,又∵DO平分∠ADC,∴OE=OA,∴CD是⊙O的切线(2)过D点作DF⊥BC于点F,易证四边形ABFD是矩形,∴AD=BF,AB=DF,又∵AD=4,BC=9,∴FC=9-4=5.又∵AM,BN,CD分别切⊙O于点A,B,E,∴DA=DE,CB=CE,∴DC=AD+BC=4+9=13.在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,∴DF=12,∴AB=12,∴⊙O的半径R是6三、与切线证明方法有关的综合问题8.(2014·江西)如图①,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是⊙O上半部分的一个动点,连接OP,CP.(1)求△OPC的最大面积;(2)求∠OCP的最大度数;(3)如图②,延长PO交⊙O于点D,连接DB,当CP=DB 时,求证:CP是⊙O的切线.解:(1)△OPC的边长OC是定值,∴当OP⊥OC时,OC边上的高为最大值,此时△OPC 的面积最大.∵AB=4,BC=2,∴OP=OB=2,OC=OB+BC=4,∴S△OPC=错误!·OC·OP=错误!×4×2=4,即△OPC的最大面积为4(2)当PC与⊙O相切,即OP⊥PC时,∠OCP的度数最大,可求∠OCP=30°(3)连接AP,BP.∵∠AOP=∠DOB,∴AP=DB.∵CP=DB,∴AP=PC,∴∠A=∠C.∵∠A=∠D,∴∠C=∠D.∵OC=PD=4,PC=DB,∴△OPC≌△PBD,∴∠OPC=∠PBD.∵PD是⊙O的直径,∴∠PBD=90°,∴∠OPC=90°,∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径,∴CP是⊙O的切线。
人教版 九年级上册数学 24.2---24.3复习题(含答案)
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题(本大题共10道小题)1. 下列直线中,一定是圆的切线的是()A.与圆有公共点的直线B.垂直于圆的半径的直线C.到圆心的距离等于半径的直线D.经过圆的直径一端的直线2. 下列说法中,正确的是()A.垂直于半径的直线是圆的切线B.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线3. 如图,P是⊙O外一点,OP交⊙O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条经过点P且与⊙O相切的直线,其作法如下:甲:以点A为圆心,AP长为半径画弧,交⊙O于点B,则直线BP即为所求.乙:过点A作直线MN⊥OP,以点O为圆心,OP长为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交⊙O于点C,直线CP即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是()A.甲正确,乙错误B.乙正确,甲错误C.两人都正确D.两人都错误4. 已知⊙O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与⊙O的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.无法确定5. 如图,AB为⊙O的切线,切点为A,连接AO,BO,BO与⊙O交于点C,延长BO与⊙O交于点D,连接AD.若∠ABO=36°,则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°6. 如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是⊙O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是()A.DE=DO B.AB=ACC.CD=DB D.AC∥OD7.如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,BC交⊙O于点D,若∠C=70°,则∠A OD的度数为( )A. 70°B. 35°C.20°D. 40°8. 2020·黄石模拟如图,在平面直角坐标系中,A(-2,2),B(8,2),C(6,6),点P为△ABC的外接圆的圆心,将△ABC绕点O逆时针旋转90°,点P的对应点P′的坐标为()A.(-2,3) B.(-3,2)C.(2,-3) D.(3,-2)9. 如图,数轴上有A,B,C三点,点A,C关于点B对称,以原点O为圆心作圆,若点A,B,C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上,则原点O的位置应该在()图A.点A与点B之间靠近点AB.点A与点B之间靠近点BC.点B与点C之间靠近点BD.点B与点C之间靠近点C10. 如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ的最小值为()A.5 B.4 2 C.4.75 D.4.8二、填空题(本大题共7道小题)11. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是__________.12. 如图,∠APB=30°,⊙O的半径为1 cm,圆心O在直线PB上,OP=3 cm,若⊙O沿BP方向移动,当⊙O与直线PA相切时,圆心O移动的距离为__________.13. 如图,半圆的圆心O 与坐标原点重合,半圆的半径为1,直线l 的解析式为y =x +t .若直线l 与半圆只有一个公共点,则t 的取值范围是________.14. 如图,⊙O 的半径为1,正方形ABCD 的对角线长为6,OA =4.若将⊙O 绕点A 按顺时针方向旋转360°,则在旋转的过程中,⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( )A .3次B .4次C .5次D .6次15. 如图所示,在半圆O 中,AB 是直径,D是半圆O 上一点,C 是AD ︵的中点,CE ⊥AB 于点E ,过点D 的切线交EC 的延长线于点G ,连接AD ,分别交CE ,CB 于点P ,Q ,连接AC ,有下列结论:①∠BAD =∠ABC ;②GP =GD ;③点P 是△ACQ 的外心.其中正确的结论是________(只需填写序号).16.如图,正方形ABCD 的边长为8,M 是AB 的中点,P 是BC 边上的动点,连接PM ,以点P 为圆心,PM 长为半径作⊙P .当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,BP 的长为________.17. 如图,⊙M的圆心为M(-2,2),半径为2,直线AB过点A(0,-2),B(2,0),则⊙M关于y轴对称的⊙M′与直线AB的位置关系是________.三、解答题(本大题共4道小题)18. 如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与P A相切于点C.求证:直线PB与⊙O相切.19.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,P是CD的延长线上一点,且AP=AC.(1)求证:P A是⊙O的切线;(2)若PD=5,求⊙O的直径.20. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5.(1)以点A为圆心,4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是________;(2)以点B为圆心的⊙B与直线AC相交,求⊙B的半径r的取值范围;(3)以点C为圆心,R为半径的⊙C与直线AB相切,求R的值.21. 如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D,连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.求证:直线DM是⊙O的切线.人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步训练-答案一、选择题(本大题共10道小题)1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】C[解析] 对于甲的作法:连接OB,如图①.∵OA=AP,∴OP为⊙A的直径,∴∠OBP=90°,即OB⊥PB,∴PB为⊙O的切线,∴甲的作法正确.对于乙的作法:如图②,∵MN ⊥OP ,∴∠OAB =90°.在△OAB 和△OCP 中,⎩⎨⎧OA =OC ,∠AOB =∠COP ,OB =OP ,∴△OAB ≌△OCP ,∴∠OAB =∠OCP =90°,即OC ⊥PC , ∴PC 为⊙O 的切线, ∴乙的作法正确.4. 【答案】B5. 【答案】D[解析] ∵AB 为⊙O 的切线,∴∠OAB =90°.∵∠ABO =36°,∴∠AOB =90°-∠ABO =54°. ∴∠ADC =12∠AOB =27°.故选D.6. 【答案】A7.【答案】D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点A ,∴∠BAC =90°,∵∠C =70°,∴∠B =20°,∴∠AOD =∠B +∠BDO =2∠B =2×20°=40°.8. 【答案】A9. 【答案】C[解析] 如图.10. 【答案】D[解析] 如图,设PQ的中点为F,⊙F与AB 的切点为D,连接FD,FC,CD.∵AB=10,AC=8,BC=6,∴∠ACB=90°,∴PQ为⊙F的直径.∵⊙F与AB相切,∴FD⊥AB,FC+FD=PQ,而FC+FD≥CD,∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时,PQ有最小值,为CD 的长,即CD为⊙F的直径.∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB,∴CD=4.8.故PQ的最小值为4.8.二、填空题(本大题共7道小题)11. 【答案】3<r<5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中,AB=4,AD=3,则BD=32+42=5.由题图可知3<r<5.12. 【答案】1 cm或5 cm[解析] 当⊙O与直线PA相切时,点O到直线PA的距离为1 cm.∵∠APB=30°,∴PO=2 cm,∴圆心O移动的距离为3-2=1(cm)或3+2=5(cm).13. 【答案】t=2或-1≤t<1[解析] 若直线与半圆只有一个公共点,则有两种情况:直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A).直线y=x+t与x轴所形成的锐角是45°.当点O到直线l的距离OC=1时,直线l与半圆O相切,设直线l与y轴交于点D,则OD=2,即t= 2.当直线过点A时,把A(-1,0)代入直线l的解析式,得t=y-x=1.当直线过点B时,把B(1,0)代入直线l的解析式,得t=y-x=-1.即当t =2或-1≤t <1时,直线和半圆只有一个公共点. 故答案为t =2或-1≤t <1.14. 【答案】B[解析] ∵正方形ABCD 的对角线长为6,∴它的边长为3 2.如图,⊙O 与正方形ABCD 的边AB ,AD 只有一个公共点的情况各有1次,与边BC ,CD 只有一个公共点的情况各有1次,∴在旋转的过程中,⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现4次.15. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中,AB 是直径,D 是半圆O 上一点,C 是AD ︵的中点,∴AC ︵=DC ︵,但不一定等于DB ︵,∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等,故①错误. 如图,连接OD ,则OD ⊥GD ,∠OAD =∠ODA .∵∠ODA +∠GDP =90°,∠OAD +∠GPD =∠OAD +∠APE =90°,∴∠GPD =∠GDP ,∴GP =GD ,故②正确. 补全⊙O ,延长CE 交⊙O 于点F . ∵CE ⊥AB ,∴A 为FC ︵的中点,即AF ︵=AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点,∴CD ︵=AC ︵,∴AF ︵=CD ︵, ∴∠CAP =∠ACP ,∴AP =CP . ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACQ =90°,∴∠ACP +∠PCQ =90°,∠CAP +∠PQC =90°, ∴∠PCQ =∠PQC ,∴PC =PQ ,∴AP =PQ ,即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点, ∴点P 为Rt △ACQ 的外心,故③正确.16. 【答案】3或4 3 [解析] 如图①,当⊙P 与CD 边相切时,设PC =PM =x .在Rt △PBM 中,∵PM2=BM2+BP2,∴x2=42+(8-x)2,∴x=5,∴PC=5,∴BP=BC-PC=8-5=3.如图②,当⊙P与AD边相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形,∴PM=PK=CD=2BM,∴BM=4,PM=8,在Rt△PBM中,BP=82-42=4 3.综上所述,BP的长为3或4 3.17. 【答案】相交[解析] ∵⊙M的圆心为M(-2,2),则⊙M关于y轴对称的⊙M′的圆心为M′(2,2).因为M′B=2>点M′到直线AB的距离,所以直线AB与⊙M′相交.三、解答题(本大题共4道小题)18. 【答案】证明:如图,连接OC,过点O作OD⊥PB于点D.∵⊙O与P A相切于点C,∴OC⊥P A.∵点O在∠APB的平分线上,OC⊥P A,OD⊥PB,∴OD=OC,∴直线PB与⊙O相切.19. 【答案】解:(1)证明:如图,连接OA.∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°.又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°.又∵AP=AC,∴∠P=∠OCA=30°,∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,∴OA⊥P A.又∵OA是⊙O的半径,∴P A是⊙O的切线.(2)在Rt△OAP中,∵∠P=30°,∴PO=2OA=OD+PD.又∵OA=OD,∴PD=OD=OA.∵PD=5,∴2OA=2PD=2 5,∴⊙O的直径为2 5.20. 【答案】解:(1)∵AC⊥BC,而AC>4,∴以点A为圆心,4为半径的⊙A与直线BC相离.故答案为相离.(2)BC=AB2-AC2=12.∵BC⊥AC,∴当⊙B 的半径大于BC 的长时,以点B 为圆心的⊙B 与直线AC 相交,即r >12.(3)如图,过点C 作CD ⊥AB 于点D . ∵12CD ·AB =12AC ·BC ,∴CD =5×1213=6013.即当R =6013时,以点C 为圆心,R 为半径的⊙C 与直线AB 相切.21. 【答案】证明:如图,作直径DG ,连接BG .∵点E 是△ABC 的内心,∴AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠DAC.∵∠G =∠BAD ,∠BDM =∠DAC ,∴∠BDM =∠G .∵DG 为⊙O 的直径,∴∠GBD =90°,∴∠G +∠BDG =90°,∴∠BDM +∠BDG =90°,即∠MDG =90°.又∵OD 是⊙O 的半径,∴直线DM 是⊙O 的切线.24.3正多边形和圆一、选择题1.如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 为⊙0直径,点C 为劣弧BD 的中点,若∠DAB=40°,则∠ABC=( ).A .140°B .40°C .70°D .50° 2.如图,圆O 是△ABC 的外接圆,连接OA 、OC ,∠OAC =20°,则∠ABC 的度数为( )A .140°B .110°C .70°D .40° 3.如图,已知△ABC 为⊙O 的内接三角形,AB >AC .E 为BAC 的中点,过E 作EF ⊥AB 于F .若AF =1,AC =4,∠C =60°,则⊙O 的面积是( )A .8πB .10πC .12πD .18π4.如图,四边形ABCD 内接于O ,9AB =,15AD =,120BCD ∠=︒,弦AC 平分BAD ∠,则AC 的长是( )A .73B .83C .12D .135.如图,AB 为⊙O 的直径,点C 为圆上一点,∠BAC =20°,将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折,交AB 于点D ,则弧AD 的度数等于( )A .40°B .50C .80°D .1006.如图,等边△ABD与等边△ACE,连接BE、CD,BE的延长线与CD交于点F,下列结论:(1)BE=CD ;(2)AF平分∠EAC ;(3)∠BFD=60°;(4)AF+FD=BF 其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点,AQ交BD于M,过M作MN⊥AM交BC于N,连AN、QN.下列结论:①MA=MN;②∠AQD=∠AQN;③S△AQN=1 2 S五边形ABNQD;④QN是以A为圆心,以AB为半径的圆的切线.其中正确的结论有()A.①②③④B.只有①③④C.只有②③④D.只有①②8.如图,在菱形ABCD中,点P是BC边上一动点,连结AP,AP的垂直平分线交BD于点G,交AP于点E,在P点由B点到C点的运动过程中,∠APG的大小变化情况是( )A.变大B.先变大后变小C.先变小后变大D.不变9.如图,矩形ABCD为⊙O的内接四边形,AB=2,BC=3,点E为BC上一点,且BE=1,延长AE交⊙O于点F,则线段AF的长为()A.755B.5C5D35210.在四边形ABCD 中,M 、N 分别是CD 、BC 的中点, 且AM ⊥CD ,AN ⊥BC ,已知∠MAN=74°,∠DBC=41°,则∠ADB 度数为( ).A .15°B .17°C .16°D .32°二、填空题11.如图,C 为半圆O 上一点,AB 为直径,且AB 2a =,COA 60∠=.延长AB 到P ,使1BP AB 2=,连CP 交半圆于D ,过P 作AP 的垂线交AD 的延长线于H ,则PH 的长度为________.12.如图,边长为4的正方形ABCD 内接于⊙O,点E 是弧AB 上的一动点(不与点A 、B 重合),点F 是弧BC 上的一点,连接OE ,OF ,分别与交AB ,BC 于点G ,H ,且∠EOF=90°,连接GH ,有下列结论:①弧AE=弧BF ;②△OGH 是等腰直角三角形;③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化;④△GBH 周长的最小值为4+22.其中正确的是_____.(把你认为正确结论的序号都填上)13.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,BC =5,AB =3,点D 是线段BC 上一动点,连接AD ,以AD 为边作△ADE ∽△ABC ,点N 是AC 的中点,连接NE ,当线段NE 最短时,线段CD 的长为_____.14.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,∠1+∠2=64°,∠3+∠4=__________°.15.如图,边长一定的正方形ABCD ,Q 为CD 上一个动点,AQ 交BD 于点M ,过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ,作NP ⊥BD 于点P ,连接NQ ,下列结论:①AM =MN ;②MP =12BD ;③BN +DQ =NQ ;④+AB BN BM为定值2.一定成立的是_____.三、解答题16.如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,42BC =,45BAC ∠=,75ABC ∠=,求AB 的长.17.如图,已知∠MON=120°,点A ,B 分别在OM ,ON 上,且OA =OB =a ,将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM′,旋转角为α(0120α≤<︒︒且60α≠︒),作点A 关于直线OM′的对称点C ,画直线BC 交于OM′与点D ,连接AC ,AD .有下列结论:有下列结论:①∠BDO + ∠ACD = 90°;②∠ACB 的大小不会随着a 的变化而变化;③当 30︒=α时,四边形OADC 为正方形;④ACD ∆面积的最大值为23a .其中正确的是________________.(把你认为正确结论的序号都填上) 18.我们定义:有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形 (1)概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子:②如图1,四边形ABCD 中,对角线BD 平分∠ABC ,∠A +∠C =180°,求证:四边形ABCD 是等补四边形(2)性质探究:③小明在探究时发现,由于等补四边形有一组对角互补,可得等补四边形的四个顶点共圆,如图2,等补四边形ABCD 内接于⊙O ,AB =AD ,则∠ACD ∠ACB (填“>”“<”或“=“);④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”,等边所夹的角叫做“等边角”,它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”,请用语言表述③中结论:(3)问题解决在等补四边形ABCD 中,AB =BC =2,等边角∠ABC =120°,等补对角线BD 与等边垂直,求CD 的长.19. 定义:在凸四边形中,我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”(1)在正方形、矩形、菱形中,一定是“完美四边形”的是______.(2)如图1,在△ABC 中,AB=2,BC=52,AC=3,D 为平面内一点,以A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”,若DA ,DC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(m+3)x+14(5m 2-2m+13)=0(其中m 为常数)的两个根,求线段BD 的长度.(3)如图2,在“完美四边形”EFGH 中,∠F=90°,EF=6,FG=8,求“完美四边形”EFGH 面积的最大值.20.如图,O 是ABC 的外接圆,ABC 的外角DAC ∠的平分线交O 于点E ,连接CE 、BE .(1)求证:BE CE =;(2)若60CAB ∠=︒,23BC =,求劣弧BC 的长度.21.(1)已知:如图1,AB 是O 的直径,点P 为O 上一点(且点P 不与A 、B 重合)连接PA ,PB ,APB ∠的角平分线PC 交O 于点C .①若86PA PB ==,,求AB 的长②求证:2PA PB PC +=(2)如图2,在正方形ABCD 中,2AB 2=,若点P 满足3PC =,且90APC ∠=︒,请直接写出点B 到AP 的距离.22.如图(1) ,折叠平行四边形ABCD ,使得,B D 分别落在,BC CD 边上的,B D ''点,,AE AF 为折痕(1)若AE AF =,证明:平行四边形ABCD 是菱形;(2)若110BCD ︒∠= ,求B AD ''∠的大小;(3)如图(2) ,以,AE AF 为邻边作平行四边形AEGF ,若AE EC =,求CGE ∠的大小23.在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在3y x =的图像上运动(不与O 重合),连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ .(1)求线段AP 长度的取值范围;(2)试问:点P 运动过程中,QAP ∠是否问定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由.(3)当OPQ ∆为等腰三角形时,求点Q 的坐标.【参考答案】1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D 9.A 10.C 11312.①②④13.411014.6415.①②③④16.17.①②④18.(1)①正方形;②略;(2)③=;④等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”;(3)CD 的值为2或4.19.(1)正方形、矩形;(2)3;(3)49.20.(1)略;(2)43π 21.(1)①10AB =,②略;(2)72或12 22.(1)略;(2)30°;(3)45°.23.(1)AP ≥(2)QAP ∠为定值,QAP ∠=30°;(3)14,0)Q ,24,0)Q ,3(0)Q -,4,0)Q。
宝丰县第六中学九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关
C.2 D.2 3
第6题图
7.(湖州中考)如下图 , 已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D , 连接OB , OD.假设∠ABC=40° , 那么∠BOD的度数是_7_0_°_____.
第7题图
8.如下图 , △ABC的内切圆⊙O与BC , CA , AB分别相切于点D , E , F , 且 AB=18 cm , BC=28 cm , CA=26 cm , 求AF , BD , CE的长.
AD,AB,BC 分别与⊙O 相切于 E,F,G 三点,
过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 M,切点为 N, 则 DM 的长为__1_3_____.
3
14.如下图 , PA , PB是⊙O的切线 , CD切⊙O于点E , △PCD的周长为12 , ∠APB=60°. (1)求PA的长 ; (2)求∠COD的度数.
合作探究
解: 整理后得
S(60l)l , 2
Sl23l0 〔0<l<30〕.
∴ 当 l2ba2(301)15时 , S 有最大值为 4acb2 225.
4a
归纳总结
1.由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低〔高〕
点,当
x b 2a
时 , 二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小〔大〕 值
第10题图
11.(荆门中考)如下图 , 在平面直角坐标系xOy中 , A(4 , 0) , B(0 , 3) , C(4 , 3) , I是△ABC的内心 , 将△ABC绕原点逆时针旋转90°后 , I的対应点I′的坐标 为〔 〕A A.(-2 , 3) B.(-3 , 2) C.(3 , -2) D.(2 , -3)
九年级.数学 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系
100°
B
CE
F
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律?请写出你所得到的结论(不要求
证明).
【解】 锐角三角形(和直角三角形)的最小覆盖圆是其外接圆;钝角(dùnjiǎo)三角形
的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆.
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内容(nèiróng)总结
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系。24.2 点和圆、直线和圆的位置关系。(1)平面 内的点和圆有三种位置关系:①点在__________。(2)设⊙O半径为r,点P到O的距离OP=d,
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知识点二:三角形的外接圆
例2 小明家的房前有一块矩形(jǔxíng)的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建 一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图, 不写作法,保留作图痕迹).
在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,则△ABC的外接圆的半径(bànjìng)
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知识点三:反证法
例3 在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于H,求证(qiúzhèng):AD与 BE不能被点H互相平分.
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求证:在一个三角形中,如果(rúguǒ)两个角不等,(
A.点M在⊙O上
)
A B.点M在⊙O内
C.点M在⊙O外 D.点M在⊙O右上方
*4.用反证法证明“△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”,第一步应假设(
)
A.∠A=60° B.∠A<60°
C.∠A≠6D0°
D.∠A≤60°
24.2.2 直线和圆的位置关系(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
24.2.2 直线和圆的位置关系(第一课时)教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册(以下统称“教材”)第二十四章“圆”24.2.2 直线和圆的位置关系(第一课时),内容包括:直线和圆的位置关系.2.内容解析本节课是在学生已经学习了点和圆的位置关系后,对直线和圆的位置关系进行探索.为后续学习切线判断定理打好基础.直线与圆的位置关系从两个方面去刻画:一是通过再现海上日出的过程中,探索直线与圆的公共点的个数,将直线与圆的位置分为相交、相切、相离三种情况;二是通过比较直线与圆心的距离与半径,对直线与圆的位置进行分类,二者之间相互对应,相互联系.基于以上分析,确定本节课的教学重点是:探索直线和圆的位置关系.二、目标和目标解析1.目标1)理解直线和圆的三种位置关系.2)经历类比探索点和圆位置关系的过程,探索直线和圆的位置关系,体会类比思想,分类思想以及数形结合思想.2.目标解析达成目标1)的标志是:会根据交点个数及数量关系判断直线和圆的位置关系会运用它解决一些实际问题.达成目标2)的标志是:经历类比探索点和圆位置关系的过程,探索直线和圆的位置关系.三、教学问题诊断分析在研究直线和圆的位置关系中,学生不容易想到去类比探索点和圆位置关系的过程,探索直线和圆的位置关系.此外,在对直线和圆的位置关系进行分类时,需要学生具备运动的观点和一定的分类标准,部分学生可能也会存在困难.本节课的教学难点是:类比点和圆的位置关系的过程,探索直线和圆的位置关系.四、教学过程设计(一)复习巩固【提问】点和圆的位置关系有几种?用数量关系如何来判断呢?师生活动:教师提出问题,学生根据所学知识回答.【设计意图】通过回顾点和圆的位置关系,为本节课探究直线和圆的位置关系打好基础.(二)探究新知[诗词欣赏]晓日天际霞光入水中,水中天际一时红。
直须日观三更后,首送金乌上碧空。
【问题一】古诗前两句的意思是什么?师生活动:教师提出问题,学生根据所学知识回答.【问题二】如果从数学的角度来分析,把水面当作一直线,太阳当作一个圆,请同学们利用手中的纸片圆和笔,再现海上日出过程?师生活动:教师提出问题,学生根据所学知识回答.教师通过多媒体展示海上日出过程,加深学生理解.【问题三】再现海上日出过程中,你认为直线和圆有几种位置关系吗?分类依据是什么?师生活动:教师提出问题,学生认真观察后得出答案.教师根据情况适当提示学生通过观察圆与直线的公共点的数量判断直线和圆的位置关系.【问题四】通过预习,你能根据直线与圆之间公共点个数下定义吗?师生活动:教师提出问题,学生根据所学知识回答.教师通过多媒体给出答案:1)直线与圆没有公共点,称为直线与圆相离。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系5
F
想一想:圆的外切四边形的两组对边有什么关系?说 D N 明你的结论的正确性. C
P
O M A L B
外离
1
两圆的位置关系1
外切
2
. o
1
o2
.
相交 内切
3
4
演示
内含
5
R .
o1
d d
r .
o2
r .
o2
两圆外离 两圆外切
d > Rr d = Rr
Rr < d<R r
R .
即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以,半径 OA 的长为 3 cm. O
A C D P
B
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
内切圆和内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心.
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为 圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.
F
2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交 过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.
3.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.
AB AC 2 BC 2 32 42 5
根据三角形面积公式有 CD · AB = AC ·BC
D
AC BC 3 4 CD 2.4(cm) AB 5
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8.如图 24-2-3, AD 为△AB C 的外接圆的直径, AD ⊥B C , 垂足为点 F , ∠ABC 的平分线交 AD 于点 E, 连接 B D , CD . ( 1) 求证: B D =C D; ( 2) 请判断 B , E, C 三点是否在以 D 为圆心, 以 BD 长为半径的圆上, 并说明理由.
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内
上 外
; ; .
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5.已知点 P 到☉O 上的点的最短距离为 3 cm, 最长距离为 5 cm, 则☉O 的半径为 1或4 cm.
【解析】 (1)点 P 在圆内时, 如图①,
第 5 题答图
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∵AP =3 cm, B P =5 cm, ∴AB =8 cm, ∴O A =4 cm; (2)点 P 在圆外时, 如图②, ∵AP =3 cm, B P =5 cm, ∴AB =2 cm, ∴O A =1 cm. ∴☉O 的半径为 1 cm 或 4 cm.
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7.用反证法证明: 圆内不是直径的两条弦不能互相平分.
【解析】 根据反证法的一般步骤来证明. 解: 如图所示, 已知 AB , C D 是☉O 内的两条非直径弦, 且 AB 与 C D 相 交于点 P .求证: AB 与 C D 不能互相平分.
第 7 题答图
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2.已知☉O 的半径为 5 cm, P 为☉O 外一点, 则 O P 的长可能是 (D ) A.5 cm C.3 cm B.4 cm D.6 cm
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3.矩形 AB C D 中, AB =8, B C =3 5 , 点 P 在边 AB 上, 且 B P =3AP , 如 果圆 P 是以点 P 为圆心, P D 为半径的圆, 那么下列判断正确的是 (C ) A.点 B , C 均在圆 P 外 B.点 B 在圆 P 外, 点 C 在圆 P 内 C.点 B 在圆 P 内, 点 C 在圆 P 外 D.点 B , C 均在圆 P 内
图24-2-3
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解: (1)证明: ∵AD 为直径, AD ⊥B C , ∴B D = C D .∴B D =C D . (2)B , E, C 三点在以 D 为圆心, 以 D B 长为半径的圆上. 理由: 由(1)知 B D =C D , ∴∠B AD =∠C B D . ∵∠D B E =∠C B D +∠C B E , ∠D E B =∠B AD +∠AB E , ∠C B E =∠AB E , ∴∠D B E =∠D E B .∴D B =D E . 又∵B D =C D , ∴D B =D E =D C . ∴B , E, C 三点在以 D 为圆心, 以 D B 长为半径的圆上.
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【解析】 ∵等边三角形是轴对称图形, 但不是中心对称图形, ∴①是假命题; 如图, ∠C 和∠D 不相等, ∴②是假命题;
第 1 题答图
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三角形有且只有一个外接圆, 外接圆的圆心是三角形三边的垂 直平分线的交点, ∴③是真命题; 垂直于弦的直径平分弦, 且平分弦所对的两条弧, ∴④是真命 题.
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1.[ 2012·攀枝花] 下列四个命题: ①等边三角形是中心对称图形; ②在同圆或等圆中, 相等的弦所对的圆周角相等; ③三角形有且只有一个外接圆; ④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧. 其中是真命题的有( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
因为 P B <P D <P C , 所以点 B 在圆 P 内, 点 C 在圆 P 外, 故选 C.
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4.已知☉O 的半径为 10 cm, 点 P 到圆心的距离为 d . ( 1) 当 d=8 cm 时, 点 P 在☉O ( 2) 当 d=10 cm 时, 点 P 在☉O ( 3) 当 d= 12 cm 时, 点 P 在☉O
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【点悟】 用反证法证明命题时, 先假设命 题的结论不成立, 根据“假设”得出与定义、定 理、 公理或已知条件相矛盾的结论, 说明 “假设” 不成立, 从而证明原命题结论是正确的.
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1.若☉O 的半径为 5 cm, 点 A 到圆心 O 的距离为 4 cm, 那么点 A 与☉O 的位置关系是( C ) A.点 A 在圆外 C.点 A 圆内 B.点 A 在圆上 D.不能确定
24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知 识 管 理
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知 识 管 理
1.点和圆的位置关系 规 律: 设圆的半径为 r, 点到圆心的距离为 d, 则
( 1) 点在圆外⇔ ( 2) 点在圆上⇔ ( 3) 点在圆内⇔ 总
d>r ; d=r ; d<r .
图24-2-2
【解析】 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”知 所带的碎片必须含有圆弧的部分, 只有②符合.
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3.用反证法证明命题“在直角三角形中, 至少有一个锐角不 大于 45°”时, 应先假设( D ) A.有一个锐角小于 45° B.每一个锐角都小于 45° C.有一个锐角大于 45° D.每一个锐角都大于 45°
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【解析】 如图所示.
第 3 题答图 因为
1 AP = 4 1 AB = 4
5,
×8=2,
AD =B C =3
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2 2 所以 P D = AD + AP =
3( 5)2 2 2 =7, P B =8-2=6, 所以 P C = PB 2 + BC 2 = 6 2 + 3( 5)2 =9.
5 ∵C D = 2 5
cm,
∴点 D 在☉C 上.
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类型之二
反证法
用反证法证明: 在一个三角形中, 至少有一个内 角小于或等于 60°. 已知: △AB C . 求证: △AB C 中至少有一个内角小于或等于 60°.
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证明: 假设△AB C 中没有一个内角小于或等 于 60°, 即∠A >60°, ∠B >60°, ∠C >60°, 于是 ∠A+∠B+∠C >60°+60°+60°=180°, 这与 三角形的内角和等于 180°相矛盾, 所以△AB C 中至少有一个内角小于或等于 60°.
2 2 ∴AB = BC + AC = 52 + 102 =5 5 (cm).
∵C D 为斜边上的中线,
1 5 ∴C D = 2 AB = 2 5 cm.
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5 cm> 2 5
cm,
∴点 A 在☉C 外; ∵B C =5
5 cm< 2 5
cm,
∴点 B 在☉C 内;
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6.[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为 16 和 12, 则 此三角形的外接圆半径是 10或8 .
【解析】 ①当直角三角形的斜边长为 16 时, 这个三角形的外 接圆半径为 8; ②当两条直角边长分别为 16 和 12 时, 则直角三 角形的斜边长= 162 +122 =20, 因此这个三角形的外接圆半径 为 10.综上所述: 这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10.
【解析】∵☉O 的半径为 5 cm, 点 A 到圆心 O 的距离为 4 cm, ∴d<r, ∴点 A 与☉O 的位置关系是点 A 在☉O 内.
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2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了, 其中四块碎片如图 24-2-2 所示, 为配到与原来大小一样的圆形玻璃, 小明带到商 店去的一块玻璃碎片应该是( B ) A.第①块 C.第③块 B.第②块 D.第④块
1 ∴B F =D F = 2
(
第 9 题答图 BD = 3 .
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∵O B =2, ∴O F =1, ∴AF =1,
1 ∴S△AB D = 2 B D ·AF = 1 2 ×2 3 ×1= 3 .