2020年四川省成都市高三第二次诊断性考试数学文
2020届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测文科数学试题 word
2020届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测数学(文科） 第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z 满足z(l+i)-2(i 为虚数单位)，则z 的虚部为(A)i (B) -i (C)-l (D)l2．设全集U=R ．集合M={x|x<l}，N={x|x>2}，则(C ∪M)∩N=(A){x|x>2} (B){x|x ≥l} (C){x|l<x<2} (D){x|x ≥2)3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中高中生恰有30人，则n 值为(A)20 (B) 50 (C)40 (D) 604．曲线y=x 3-x 在点(1，0)处的切线方程为(A)2x-y=0 (B)2x+y-2=0 (C)2x+y+2=0 (D)2x-y-2=05．已知锐角α满足2sin2α= l-cos2α，则tan α=(A) 21 (B)l (C)2 (D)4 6．函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在[1，1]的图象大致为7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(A)16 (B)48 (C)96 (D)1288．已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f 则函数f(x)的图象的对称轴方程为(A) Z k kx x ∈-=,4π (B) Z k kx x ∈+=,4π (C) Z k k x ∈=,21π (D) Z k k x ∈+=,421ππ 9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使B 1P ∥平面α，A 1Q ∥平面α若直线B 1D ∩平面α=M ，则11MB MD 的值为 (A) 41 (B) 31 (C) 21 (D) 32 10．如图，双曲线C: 2222by a x -=l(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F 1（-c ，0），F 2（c ，0)，直线abc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为 (A)2 (B) 324 (C) (D) 332 11已知EF 为圆(x-l)2+(y+1)2=l 的一条直径，点M(x ，y)的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅ 的取值范围为(A)[ 29,13] (B)[4,13] (C)[4,12] (D)[ 27,12] 12．已知函数x x x f ln )(=，g(x)=xe -x ，若存在x l ∈(0,+∞)，x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)=k(k<0)成立，则k e x x 212)(的最大值为 (A)e 2 (B)e (C)24e (D) 21e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．已知函数f(l)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,20,1x x x x 则f(f(x-1))= ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=3π，a=2，b=3，则△ABC 的面积为 ．15.设直线l ：y=x-l 与抛物线y2=2px （p>0）相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2，则p 的值为16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为____．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）已知{a n }是递增的等比数列，a 1=l ，且2a 2，23a 3，a 4成等差数列． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设2212log log 1++⋅=n n n a a b ，n ∈N*,求数列{bn}的前n 项和S n . 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为 AB ，BC 的中点．(I)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PE=3，求三棱锥B-PEM 的体积．19. (本小题满分12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：(I)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润；(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(I)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年将(I)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：20.（本小题满分12分）已知椭圆E: 12222=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点分别为F 1(-l ，0)，F 2(1，0)，点P(1，22)在椭圆E 上．(I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)设直线l ：x=my+1(m ∈R)与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2+y 2=a 2相交于C ，D 两点，当|AB|▪|CD|2的值为82 时，求直线x 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2-mx-mlnx ，其中m>0．(I)若m=l ，求函数，(l)的极值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)+mx ．若g(x)> x1在(1，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==m y m x 22（m 为参数）以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ-ρcos θ+1=0.(I)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(Ⅱ)已知点P(2，1)，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求||1||1PN PM +的值 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|．(I)解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)设g(x)=-x 2+2ax ，其中a 为常数，若方程f(x)=g(x)在(0，+∞)上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，。
2020-2021学年四川省高三第二次诊断性测试数学(文)试题及答案解析
高三第二次诊断性测试数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}11A x x =-≤≤，{}03B x x =<<，则A B =I(A) {}01x x <≤(B) {}01x x << (C){}13x x -≤< (D){}13x x ≤<2．在复平面内，复数31i 1i++对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 10 4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y 轴对称的函数是(A) cos(2)2y x π=+(B) sin y x =(C) 2sin ()4y x π=-(D) sin 2cos 2y x x =+5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为5-，则输出y 的值是(A) －1 (B) 1 (C) 2 (D) 146．已知函数2()x f x a-=，()log a g x x =（其中0a >且1a ≠），若(5)(3)0f g ⋅->，则()f x ，()g x 在同一坐标系内的大致图象是(A) (B) (C) (D)7．已知直线2100x y +-=过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为(A)221169x y -= (B)221205x y -= (C) 221520x y -= (D) 221916x y -=8．设5()ln(f x x x =+，则对任意实数a ，b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件9．设实数x ，y 满足约束条件324040120x y x y x y a ⎧⎪-+≥⎪+-≤⎨⎪⎪--≤⎩，已知2z x y =+的最大值是7，最小值是26-，则实数a 的值为(A) 6(B) 6- (C) 1- (D) 110.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，它的准线与对称轴的交点为,H 过点H 的直线与抛物线C 交于A B 、两点，过点A 作直线AF 与抛物线C 交于另一点1B ，过点1A B B 、、的圆的圆心坐标为,a b （），半径为r ，则下列各式成立的是(A) 2214a r =-(B) a r = (C) 2214a r =+(D)221a r =+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：51log 25lg100++ . 12．已知等腰三角形ABC 的底边AB 的长为4，则AC AB ⋅=u u u r u u u r.13．已知βα,3(,)4ππ∈，4cos()5αβ+=，5cos()413πβ-=-,则sin()4πα+=________.14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 .15．若存在实数0x 和正实数x ∆，使得函数)(x f 满足00()()4f x x f x x +∆=+∆，则称函数)(x f 为“可翻倍函数”，则下列四个函数 ① ()f x x =②2()2,[0,3]f x x x x =-∈；③()4sin f x x =； ④ ()ln x f x e x =-. 其中为“可翻倍函数”的有 （填出所有正确结论的番号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21231761,9a a a a a +==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3132333log log log log n n b a a a a =++++L ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 17．(本小题满分12分)某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币4次为一局，每次掷到正面时赋值为1，掷到反面时赋值为0，将每一局所掷4次赋值的结果用(,,,)a b c d 表示，其中,,,a b c d 分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”.（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；（Ⅱ）求每局获奖的概率；（Ⅲ）求每局结果满足条件“+++2a b c d ≤”的概率. 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()a b c a b c bc +--+=. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）已知向量m (1)c =,n (,2)b =,若m 与n 共线，求tan C .19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点. （Ⅰ）证明：EF //平面BOC ； （Ⅱ）证明:OD ⊥平面EFG ； （Ⅲ）求三棱锥G EOF -的体积.20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率等于2，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E 作关于y 轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y 轴左边的交点由上到下依次为A B ,，y 轴右边的交点由上到下依次为,C D ，求证：直线AD 过定点，AC并求出定点坐标.21．(本小题满分14分)已知函数()2xf x me x =--.（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）若曲线()y f x =过点(0,1)P ，求曲线()f x 在点(0,1)P 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x >在R 上恒成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）若()f x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，求21211()()x xx x y e e m e e =--+的值域.数学(文史类)参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题11.12 12.8 13.3365- 14. 15. ①④ 三、解答题16.解：（Ⅰ）设等比数列公比为为q ,因各项为正,有0q > …………………….…（1分）由1121122426317111616139913a a a a a q a a a a q a q q ⎧=⎪+=+=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩……………………………….…（5分） 1()3n n a ∴= (n *∈N ) …………………………………………….…. …（6分）（Ⅱ）n n a a a a b 3332313log log log log ++++=Λ312log ()n a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅12+31log ()3n ++=L (1)2n n +=- …………………………………………………...（9分）12112()(1)1n b n n n n ∴=-=--++………………………………………….…（10分） ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和12111111111+212231n n S b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 21n n =-+…（12分）17.解：（Ⅰ）每局所有可能的赋值结果为：(1,1,1,1)， (1,1,1,0)，(1,1,0,1)，(1,1,0,0)，(1,0,1,1)，(1,0,1,0)，(1,0,0,1)，(1,0,0,0)，(0,1,1,1)， (0,1,1,0)，(0,1,0,1)，(0,1,0,0)，(0,0,1,1)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，(0,0,0,0) ……………………………..…（4分）（Ⅱ）设每局获奖的事件为A ，以（Ⅰ）中结果为基本事件，A 所含的基本事件有5个，∴每局获奖的概率P A =（）516………………………………………..………（8分） （III ）设满足条件“+++2a b c d ≤”的事件为B ，由（Ⅰ）知B 所含的的基本事件有11个，∴ P B （）=1116…………………………………………..…..（12分） 法2：+++2a b c d ≤⇔所掷4次中至多2次正面向上，为（Ⅱ）中A 的对立事件A ，∴ 51111616P A =-=（） 18.解: （Ⅰ）Q ()()a b c a b c bc +--+=∴2222a b c bc bc --+=∴222b c a bc +-= ………………………………………..(3分)由余弦定理知：Q 2222cos b c a bc A +-= ………………..…(5分)∴1cos 2A = Q 0A π<< ∴ 3A π=…………………………….(6分)（Ⅱ）Q m 与n 共线∴21)c b = ……………………………...(7分)由正弦定理知：2sin 1)sin C B = …………….………...(8分) 又Q 在ABC ∆中， sin sin()B A C =+∴2sin 1)sin()3C C π=+ ……………………………………..(10分)即：12sin sin )2C C C =+(33)cos C C =∴tan 2C =+ ………………………………………….（12分）19.（Ⅰ）证明：作OC 的中点H ,连接,FH BH ,,F H Q 分别是,OD OC 的中点 ∴FH //12CD ……………………………………………………(1分) 又Q 在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点∴EB //12CD …………………………………………………………（2分）∴EB //FH∴四边形BEFH 是平行四边形∴//EF BH ,又Q EF ⊄平面BOC ，BH ⊂平面BOC∴EF //平面BOC ………………………………………………(4分)（Ⅱ）证明:Q 四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点,∴DE =又Q 侧棱OB ⊥底面ABCD ,AB ⊂面ABCD∴OB ⊥AB又Q 2,1OB EB ==∴OE =∴DE OE ==∴ODE ∆是等腰三角形， F Q 是OD 的中点,∴EF OD ⊥ ………………………………………….……………..(5分)同理DG DG ==∴ODG ∆是等腰三角形， F Q 是OD 的中点,FG OD ∴⊥ ……………………………………………………….（6分） EF FG F =Q I,EF FG ⊂面EFGOD ⊥平面EFG ……………………………………………………(8分)（Ⅲ）解:Q 侧棱OB ⊥底面ABCD ,BD ⊂面ABCD∴OB ⊥BDQ 2,OB DB ==∴OD =由（Ⅱ）知：OD ⊥平面EFGOF 是三棱锥O 到平面EFG 的距离F Q 分别是OD 的中点OF = …………………………………………………………(9分)DE OE ==EF OD ⊥,∴EF =DG DG ==FH OD ⊥∴FG =Q 四边形ABCD 是边长为2的正方形，,E G 是,AB BC 的中点∴EG =∴三角形EFG 是等边三角形∴EFG S =V ……………………………………………………………（11分） 01132G EOF EFG V V Sh --=== …………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）由已知2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩， ……………………………………………..……（2分）得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 椭圆Γ的方程为22184x y += ……………..…（4分）（Ⅱ）证明：由已知可设AB 方程为4(0),y kx k =+>代入22184x y += 得22(12)16240k x kx +++=………………………………………..……（5分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212221624,1212k x x x x k k+=-=++.…..……（6分）由对称性知22(,)D x y -，AD ∴方程为121112(),y y y y x x x x --=-+.……（8分） 11224,4y kx y kx =+=+Q ，AD ∴方程可化为121112()()4k x x y x x kx x x -=-+++……………………………………..……（9分） 1212111212()()4k x x k x x x x kx x x x x --=-++++2122121121212224()2()124241612k x x x k x x k x kx x k k x x x x x x k --+=++=+⨯++++-+ 1212()1k x x x x x -=++ …………………………………………………..……（12分）AD ∴恒过定点，定点为(0,1)……………………………………………..……（13分）其它证法，参照给分。
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=(i+1)(i−2)，则复数z的虚部是()A. 1B. −1C. 3D. −32.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，集合M={0,1}，N={0,1，2}，则(∁U M)∩N=()A. {0,2}B. {1,2}C. {2}D. {0}3.某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n为()A. 75B. 85C. 90D. 1004.曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是()A. 4x−y−1=0B. 4x+y−1=0C. 4x−y+1=0D. 4x+y+1=05.已知α为锐角，sinα=13，则sin2α等于()A. 89B. 4√29C. −79D. −896.函数f(x)=sinx⋅ln x−1x+1的大致图象为()A. B.C. D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 5B. 4C. 3D. 28. 函数y =3sin(2x +π3)的对称轴方程是( )A. x =kπ+π3，k ∈Z B. x =kπ2+π12，k ∈ZC. x =2kπ−π12，k ∈ZD. x =2kπ−π3，k ∈Z9. 如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA =AD =2，AB =1.则点A 到平面MBC 的距离为( )．A. √52 B. 2√55 C. 2√33 D. √5310. 已知倾斜角为135°的直线交双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P(2,−1)，则双曲线的离心率是( )A. √3B. √2C. √62D. √5211. 已知⊙O ：x 2+y 2=4及点A(1,3)，BC 为⊙O 的任意一条直径，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6B. 5C. 4D. 不确定12. 函数f(x)满足，若存在a ∈[−2,1]，使得f(2−1m )≤a 3−3a −2−e 成立，则m 的取值范围是( )A. [23,1]B. [23,+∞)C. [1,+∞)D. [12,23]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)，已知f[f(x)]=2，则x =______．14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c.若∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3，则a+b sinA+sinB=___________15.已知直线y=x−1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA⊥OB，则p的值为__________．16.已知底面是直角三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，若球0的表面积为3π，则这个直三棱柱的体积是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a3=9，a2是a1，a7的等比中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=1，求{b n}的前n项和S n．n(a n+7)18.如图，正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，(Ⅰ)求证：平面EBD⊥平面PAC；(Ⅱ)求三棱锥E−PBD的体积．19. 某企业为了提高企业利润，从2015年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：(1)记ω=年利润增长量−投资金额，现从2015年至2019年这5年中抽出两年进行调查分析，求所抽两年都是ω>2万元的概率；(2)请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；如果2020年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2020年的年利润增长量为多少？参考公式：b ̂=i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n =∑x i y i −nxyni=1∑x i2−nx2n i=1，a ˆ=y −b ˆx ； 参考数据：∑x i y i 5i=1=286，∑x i 2n i=1=190．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1,0)、F 2(1,0)，上、下顶点分别为B 1、B 2，且△B 1F 1F 2为等边三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)设点M(4,0)，直线B 1M 与椭圆E 相交于另一点A ，证明：A ，F 2，B 2三点共线．21. 函数(1)当−2<a <0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m ≥1时，不等式f(2m −1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα.(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ=4cosθ． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点A (1,0)，且C 1和C 2的交点分别为点M ，N ，求1|AM |+1|AN |的取值范围．23.已知函数f(x)=|x|+|2x−1|．(1)求不等式f(x)<3的解集；(2)若存在α∈(0,π)，使得关于x的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：z=(i+1)(i−2)=−3−i．则复数z的虚部是−1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．根据集合补集和交集的定义进行求解即可．解：由条件可得∁U M={−2,−1,2}，则(∁U M)∩N={2}．故选：C．3.答案：C解析：解：由分层抽样的定义得10001400+1200+1000=25n，即10003600=25n，得n=90，故选：C．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：A解析：解：∵y=x3+x+1，∴y′=3x2+1令x=1得切线斜率4，∴切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0故选A．求出导函数，将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程．本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查了二倍角公式和同角三角函数基本关系式，属于基础题．通过已知条件求出，再通过二倍角公式求出．解：∵sinα=13，α为锐角，∴cosα=2√23，∴sin2α=2sinα·cosα=2×13×2√23=4√29．6.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，属于一般题．判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合f(3)的符号是否对应，进行排除即可．解：由题可得，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，f(−x)=−sinx⋅ln −x−1−x+1=−sinx⋅lnx+1x−1=sinx⋅ln x−1x+1=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，f(3)=sin3ln12<0，排除B，故选：D．7.答案：A解析：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=20，i=2，否；S=10，i=3，否；S=103，i=4，否；S=103×4=56<1，i=5，是，输出i=5.故选A．8.答案：B解析：本题考查正弦函数的图象与性质，是基础题．令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，解得x即可．解：令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，得x=12kπ+π12(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴为x=12kπ+π12(k∈Z)，故选B．9.答案：B解析：解：∵BC⊥平面PAB，AD//BC，∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，∵PA⊥AB，且AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结MF，则MF//PA，∴MF⊥平面ABCD，且MF=12PA=1，设点A 到平面MBC 的距离为h ， 由V A‐MBC =V M‐ABC ，得13S △MBC ·ℎ=13S △ABC ·MF ，∴ℎ=S △ABC ·MF S △MBC=12·BC·AB·MF 12·BC·MB =2√55．通过线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连结MF ，设点A 到平面MBC 的距离为h ，利用V A−MBC =V M−ABC ，计算即可．本题考查直线与平面平行的判定，点到面的距离，棱锥体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题目．设出AB 的坐标，利用中点坐标公式，化简，通过平方差法求出直线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为AB 的中点为P(2,−1)，所以{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2，又{x 12a −y 12b =1x 22a 2−y 22b 2=1两式相减并整理可得k AB =y 1−y 2x1−x 2=−2b 2a 2=−1=tan135°．解得2c 2−2a 2=a 2，可得：e =√62．故选：C ．11.答案：A解析：解：由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =10+√10×2cosθ+√10×2cos(π−θ)+2×2cosπ=6， 故选A ．由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ.再根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，利用两个向量的数量积的定义求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是中档题．由已知可设函数f(x)=e x lnx−e x，结合函数的导数以及单调性求出m的范围即可．解：∵f′(x)=f(x)+e xx ，x∈[12,+∞)，∴令f(x)=e x lnx−e x，则f′(x)=e x lnx+e xx −e x=f(x)+e xx，由f′(x)=e x lnx+e xx −e x=e x(lnx+1x−1)，令t(x)=lnx+1x −1，则t′(x)=1x−1x2=x−1x2，当x=1时，t(x)取得最小值为0，∴f′(x)≥0，则f(x)在(0,+∞)上是增函数．若存在a∈[−2,1]，使得f(2−1m)≤a3−3a−2−e成立，只需求出a∈[−2,1]时，a3−3a−2−e的最大值且使f(2−1m)小于等于这个最大值．设g(a)=a3−3a−2−e，a∈[−2,1]，g′(a)=3a2−3=3(a+1)(a−1)，当a∈(−2,−1)时，g′(a)>0，g(a)为增函数，当a∈(−1,1)时，g′(a)<0，g(a)为减函数，∴当a=−1时，g(a)max=−e，即当a=−1时，g(a)=−e．又∵f(x)=e x lnx−e x是增函数且f(1)=−e．∴12≤2−1m≤1，∴m∈[23,1]．故选A．13.答案：−1解析：解：函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)， f[f(x)]=2，可得2f(x)+1=2，解得f(x)=12，所以2x =12，解得x =−1．故答案为：−1．利用f[f(x)]=2，求出f(x)的值，然后利用方程求解x 即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值以及方程思想的应用，考查计算能力．14.答案：2√393解析：【试题解析】本题考查三角形面积公式及正余弦定理，属基础题目．由三角形面积公式得c =3，利用余弦定理得a ， 再由正弦定理即可得出答案．解：因为∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3=12AC ⋅AB ⋅sinA =12×4×AB ×√32，解得c =AB =3， 所以由余弦定理可得a =BC =√42+32−2×3×4×12=√13， 则a+b sinA+sinB =a sinA =√13√32=2√393．故答案为2√393． 15.答案：x =−1; 12解析：解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，y =x −1，令y =0，x =1，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)，所以抛物线的方程为y 2=4x ，所以准线方程为：x =−1；若OA ⊥OB ，设A(x,y)，B(x′,y′)，直线与抛物线联立：x 2−(2+2p)x +1=0，∴x +x′=2+2p ，xx′=1，∴yy′=xx′−(x +x′)+1=−2p若OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴xx′+yy′=0，即1−2p =0，解得p =12；故答案分别为：x =−1，12．由直线过抛物线的焦点，求出焦点坐标及p 的值，进而求出准线方程；由若OA ⊥OB ，可得数量积为令求出p 的值．考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 16.答案：12解析：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的侧棱长为h ，然后由棱柱的体积公式得答案．解：因为球O 的表面积为3π，所以球的半径为4πR 2=3π，所以4R 2=3，因为底面是直角三角形的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB =AC =1，设三棱柱的侧棱长为h ，所以AB 2+AC 2+ℎ2=4R 2，解得ℎ=1，所以这个直三棱柱的体积是1×12×1×1=12，故答案为12．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则{a 1+2d =9(a 1+d)2=a 1⋅(a 1+6d)解得 d =4或d =0(舍去)，a 1=1， ∴a n =1+4(n −1)=4n −3．(2)∵b n =1n(a n +7)=14(1n −1n+1)， ∴S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =14[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)] =14(1−1n+1)=n4n+4．解析：(1)根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；(2)利用裂项相消法求和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题． 18.答案：证明：(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO.则O 为正方形ABCD 的中心，∴PO ⊥平面ABCD.∵BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥BD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC.又AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，AC ∩PO =O ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)因为BO =12BD =12×4√2=2√2，由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，∴PO =√PD 2−DO 2=2√2，因为E 为PA 的中点， 故V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO =12×13×12×4×4×2√2=8√23．解析：本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO ，则PO ⊥平面ABCD ，于是PO ⊥BD ，又BD ⊥AC ，故而BD ⊥平面PAC ，于是平面EBD ⊥平面PAC ；(Ⅱ)由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，求得PO 的长，故由V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO 可得答案． 19.答案：解：(1)2015年至2019年的ω分别记为：ω1=2，ω2=2，ω3=3，ω4=4，ω5=4，抽取两年的基本事件有：(ω1,ω2)，(ω1,ω3)，(ω1,ω4)，(ω1,ω5)，(ω2,ω3)，(ω2,ω4)，(ω2,ω5)，(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共10种，其中两年都是ω>2的基本事件有：(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共3种，故所求概率为P =310．(2)∵x =6，y =9，5xy =270，则b ∧=x i 5i=1y i −5xy∑x 2−5x 25=286−270190−180=1.6，a ̂=y −b̂x =9−1.6×6=−0.6， 所以回归直线方程为ŷ=1.6x −0.6，将x =10代入上述方程得y ̂=15.4， 即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元．解析：本题考查古典概型概率公式及利用最小二乘法求回归直线方程及回归分析，属于基础题目．(1)列出基本事件利用古典概型概率计算公式求出即可；(2)利用最小二乘法求出回归直线方程即可得出．20.答案：解：(1)由题设知c =1，因为△B 1F 1F 2为等边三角形，则a =2c =2，又a 2=b 2+c 2，所以b =√3，则E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x+1+ax(x>0)，令g(x)=x2+x+a，∵−2<a<0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x +alnx ，根据m 2≥2m −1≥1，问题转化为g(x)=−x +alnx 在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a 的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C 2：ρ=4cosθ.根据{x =ρcosθy =ρsinθ，可得ρ2=4ρcosθ，可得x 2+y 2−4x =0．(2)将{x =1+tcosαy =tsinα代入C 2的直角坐标方程， 得(1+tcosα)2+(tsinα)2−4(1+tcosα)=0，即有t 2−2tcosα−3=0，所以t 1+t 2=2cosα，t 1⋅t 2=−3．则1|AM|+1|AN|=|AM|+|AN||AM|⋅|AN|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1|+|t 2|3=|t 1−t 2|3=√(t 1+t 2)2−4t 1⋅t 23=√4cos 2α+123=2√cos 2α+33∈[2√33,43]．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.答案：解：(1)①当x ≤0时，得−x +(1−2x )<3解得x >−23，所以−23<x ≤0;②当0<x <12时，得x +(1−2x )<3解得，x >−2，所以0<x <12；③当x ≥12时，得x −(1−2x )<3，解得x <43，所以12≤x <43．综上，不等式的解集为(−23,43)．(2)f (x )={ −3x +1,x ≤0−x +1,0<x <123x −1,x ≥12, 若关于x 的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，则msinα=12有解，又，m =12sinα，所以m ∈[12,+∞)．解析：本题考查绝对值不等式和函数的零点与方程的根．(1)对x 分类讨论，去绝对值解出不等式的解集即可；(2)根据函数f (x )与y =msinα恰有一根，可得msinα=12有解，即m =12sinα，，求出m 的范围．。
2020届成都七中高三文科数学二诊模拟考试试卷答案
成都七中高2020届高三二诊模拟考试 数学文科参考答案一、选择题二、填空题13．90 14．55215．()),3(0,3+∞- 16．33三、解答题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,依题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………4分 所以()12121-=-+=n n a n ()212n a a n S n n =+=………6分 (Ⅱ)因为()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ……8分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11141n)1(4+=n n…………12分18．（Ⅰ ）频率分布直方图如下图所示： …4分（Ⅱ）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；…7分（Ⅲ）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…11分估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． …12分 仅供四川省崇州市崇庆中学使用四川省崇州市崇庆中学使用仅供21．（Ⅰ）0=a 时，1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf 令0)(='x f 得0=x …2分 当()0,∞-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在()0,∞-单调递减；当()+∞∈,0x ，0)(>'x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；…………4分所以0)0()(min ==f x f …5分（Ⅱ）12)(--='ax e x f x，注意到0)0(=f ，故0)(≥x f 的充分条件是012)(≥--='ax e x f x恒成立． 令12)()(--='=ax e x f x h x，则a e x h x2)(-='即0)(≥x h 在[)+∞,0恒成立，又注意到0)0(=h ， 则0)(≥x h 其必要条件是021)0(≥-='a h ，解得21≤a ．……10分 事实上，21≤a 时，1)(2---=x ax e x f x 0112)(≥--≥--='x e ax e x f xx（由（Ⅰ）易知） 即)(x f 在[)+∞,0单调递增，则0)0()(=≥f x f 恒成立． 综上， a 的取值范围是]21,(-∞．……………12分22解 :(Ⅰ )直线l的参数方程为322t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，消去参数t 可得l0y -+=； 曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=．……………5分仅供四川省崇州市崇庆中学使用（Ⅱ）C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ，半径为1，所以,圆心C 到l的距离为d ==所以,点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．……………10分 23、解： (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞ ；………………5分 （Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[])1()141(141m m m m m m -+-+=-+m mm m -+-+=1145911425=-⋅-+≥mm m m （当31=m 时等号成立）……8分依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+则91<+a解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(- ……10分仅供四川省崇州市崇庆中学使用。
2020-2021学年度四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(文)试题及答案
高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q =I （ ） A ．1(1,)2-B ．(1,2)- C ．(1,2)D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =r ，(3,4)b =r ，(,2)c k =r .若(3)//a b c -r r r，则实数的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ） AB ．32C．2D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32-B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I，n m ⊥，则n α⊥6.在平面直角坐标系中，经过点P）A ．22142x y -= B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -= 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2222x ≤≤”是“22223x x+≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．863π B ．86π C ．6π D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >11.已知数列{}n a 满足：当2n ≥且*n N ∈时，有1(1)3n n n a a -+=-⨯.则数列{}n a 的前200项的和为（ ）A ．300B ．200C ．100D ． 12.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e +D ．[1,1]2e+ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab =．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为． 16.已知函数21()cos 2f x x x =--，则不等式(1)(13)0f x f x +--≥的解集为． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()3cos 22x x f x =21cos 22x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，3a =sin 2sin B C =，求. 18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评 100 30 130对车辆状况不满意40 30 70 合计14060200（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP 转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率. 参考数据：2()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=o，AB BC ⊥，2AB BC ==.（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求六面体ABCEF 的体积.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为(0,1)B ，1ABF ∆21-. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当(1,)x ∈+∞时，证明：(1)ln xe x x e-<2x x <-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题(文)(解析版)
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A. iB. i -C.1- D. 1『答案』C『解析』由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥『答案』A 『解析』由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A. 20B. 50C. 40D. 60『答案』B『解析』由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ） A. 20x y -= B. 220x y +-= C. 220x y ++=D. 220x y --=『答案』D『解析』由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-， 即220x y --=. 故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A.12B. 1C.2D.4『答案』C『解析』由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C.6. 函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅+cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16B. 48C. 96D. 128『答案』B『解析』第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.8. 已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A. ,4x k k Z ππ=-∈B. +,4x k k Z ππ=∈C. 1,2x k k Z π=∈ D. 1+,24x k k Z ππ=∈ 『答案』C『解析』由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.9. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点,P Q 分别为1111,A D D C 的中点，在平面ABCD 中，过AB 的中点M 作平面DPQ 的平行线交直线BC 于,N 则BNBC的值为（ ）A.13B.12C. 1D.23『答案』B 『解析』如图因为PQ ∥11A C ，11A C ∥AC ，故PQ ∥AC ，所以当N 为BC 中点时，MN ∥AC ，所以MN ∥PQ ，又MN ⊄平面DPQ ，PQ ⊂平面DPQ ，由线面平行的判定定理可知，MN ∥平面DPQ .此时12BN BC =. 故选：B.10. 如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.『答案』A『解析』由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e ==.故选：A.11. 已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ） A. 9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,13C. []4,12D. 7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然TB MT TA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==2TB ==， 故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D.12. 已知函数()() ln ,x xf xg x xe x-==.若存在120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为（ ）A.1-B. 2e- C. 22e-D. 1e-『答案』D『解析』()'21ln ,xf x x-=易知()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减，同理， ()'1ex xg x -=，易得()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，又存在 120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12(0,1),(,0)x x ∈∈-∞， 12ln 0,0x x <<，且12112ln 1 ln ln 0e ex x x x x x ==<，又()g x 在(,1)-∞上单调递增， 故12ln x x =，所以1211ln x x x x =，令()ln h x x x =，则'()ln 1h x x =+，易知，()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,1)e上单调递增，故min 11()()e eh x h ==-. 故选：D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. 已知函数()1,02,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()()1f f -=___________．『答案』2『解析』由已知，1(1)2f -=，()()11()22f f f -==.故答案为：2.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3B a b π===则ABC的面积为___________．『解析』由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.故答案为：215. 设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________．『答案』1『解析』联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=，则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.16. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．『答案』36『解析』由已知，2428R ππ=，解得R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ， 直三棱柱的棱长为x，则1O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =.故答案为：36.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是递增的等比数列，11,a =且23432,,2a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设*21221,log log n n n b n N a a ++=∈⋅.求数列{}n b 的前n 项和n S解：()I 设数列{}n a 的公比为.q 由题意及11a =，知1q >.23432,,2a a a 成等差数列，34232a a a ∴=+. 2332q q q ∴=+，即2320-+=q q . 解得2q或1q =(舍去).2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为12n na .()II ()21221111log log 11n n n b a a n n n n ++===-⋅++1111112231n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+ 1n n =+ 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面,,ABCD M E 分别为,AB BC 的中点.（Ⅰ）求证:平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若3,PE =求三棱锥B PEM -的体积. 解：()I ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD .PO AC ∴⊥,OP BD ⊂平面,PBD且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 ,PBD又AC ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面,PBD()II )设三棱锥P BEM -的高为h .1.3B PEM P BEM BEMV V Sh --∴==⨯连接OE ，PO ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，PO OE ∴⊥.2,3OE PE ==，h OP ∴==111223323P BEM BEMV Sh -=⨯=⨯⨯⨯∴=19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将()I 中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式:()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑解：()I 根据表中数据，计算可得()()714,43,140iii x y x x y y ===--=∑又()27128ii x x =-=∑()()()712715iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑a y bx =- 435423a ∴=-⨯=y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将代8x =入，582363y ∴=⨯+=(亿元)∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.()II 由()I 可知2015 年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元)， 其中实际利润大于相应估计值的有2年.故这6年中，被评为A 级利润年有2年，分别记为12,A A ； 评为B 级利润年的有4年，分别记为1234,,,B B B B从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为:121112131421222324121314,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B 232434,,B B B B B B ，共计15种情况.其中恰有一年为A 级利润年情况分别为:1112131421,,,,A B A B A B A B A B ，222324,,A B A B A B 共有8种情况.记“从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A 级利润年”的概率为P ，.故所求概率815P =20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，点(P 在椭圆E 上. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于,A B 两点，与圆222x y a +=相交于,C D两点，当2AB CD ⋅的值为l 的方程.解：()I 21,P ⎛ ⎝⎭在椭圆上， 122PF PF a ∴+=.又12,22PF PF ===12PF PF ∴+= ，则a =2221,,c b a c ==-1b ∴=故所求椭圆E 的标准方程为2212x y +=.()II 设()()1122,,,A x y B x y联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=. 2880,m ∴∆=+>12222m y y m +=-+，12212y y m =-+ )212212m AB y m +=-=+∴设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =CD ∴==))2222222121214122m m m AB CD m m m +++∴⋅=⋅⋅=+++2AB CD ⋅= )22212m m +∴=+解得1m =±.经验证1m =±符合题意.故所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 21. 已知函数()2ln f x x mx m x =--，其中0m >.（Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）设()()g x f x mx =+.若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 解：()I 当1m =时，()2ln .f x x x x =--则()2'12121x x f x x x x--=--=，0x >令()'0,fx =解得112x =-(舍去)，21x =. 当()0,1x ∈时，()'0f x <()f x ∴在()0,1上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x 的极小值为()10f =，无极大值.()II ()2ln g x x m x =-若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，即21ln 0x m x x-->在(1,)+∞上恒成立. 构造函数()21ln ,1G x x m x x x=-->， 则()3'221212m x mx G x x x x x -+=-+=令()321,1H x x mx x =-+>.()'26H x x m ∴=-()i 若6,m ≤可知()'0H x >恒成立.()H x ∴在(1,)+∞上单调递增. ()()13H x H m ∴>=-. ①当30,m -≥即03m <≤时，()0H x >在(1,)+∞上恒成立，即()'0G x >在(1,)+∞上恒成立. ()()10G x G ∴>=在(1,)+∞上恒成立，03m ∴<≤满足条件.②当30m <即36m <≤时，()()130,21720H m H m =-<=->，∴存在唯一的()01,2,x ∈使得()00H x =.当()01,x x ∈时，()0,H x <即()'0G x <()G x ∴在()01,x 单调递减.()()10G x G ∴<=，这与()0G x >矛盾.()ii 若6,m >由()'0,H x =可得1x =舍去)，2x =易知()H x在⎛ ⎝上单调递减. ()()130H x H m ∴<=-<在⎛ ⎝上恒成立，即()'0G x <在⎛ ⎝上恒成立. ()G x ∴在⎛ ⎝上单调递减. ()()10G x G ∴<=在⎛ ⎝上恒成立，这与()0G x >矛盾.综上，实数m 的取值范围为(]0,3.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 解：()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ== 可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=.设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23. 已知函数()13f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 解：()I 原不等式即136x x -++≥.①当1≥x 时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥.此时无解； ③当3x ≤-时，化简得226x --≥.解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩， 设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <.①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x=++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根.此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x 时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+， 此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根.③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞.。
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四川省成都市2020年高三第二次诊断性考试数学文（2020成都
二诊）
数 学（文史类）
本试卷分选择题和非选择题两部分第I 卷（选择题）第1至2页，第II 卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己旳姓名，考籍号填写在答题卡规定旳位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目旳答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定旳位置上。
4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出旳四个选项中，有且只有一项是符合题目要求旳.
1.设集合{}30≤=x x A ＜，{}21
-＞，或＜x x B =，则=⋂B A （A ）(]3,2 （B ）()()∞+⋃∞，，
01-- （C ）(]3,1- （D ）()()∞+⋃∞，，
20- 2.设复数i z +=3（i 为虚数单位）在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转0°得到OB ，则点B 在
（A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
3.执行如图旳程序框图，若输入旳x 值为7，则输出旳x 旳值为
（A ）2
（B ）3
（C ）3log 2
（D ）4
1 4.在平面直角坐标系xoy 中，P 为不等式⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≤01021y x y x y 所表示旳平面区域上
一动点，则直线OP 斜率旳最大值为
（A）2 （B）1 （C）
2
1
（D）
3
1
5.已知β
α,是两个不同旳平面，则“平面//
α平面β”成立旳一个充分条件是
（A）存在一条直线l，β
α//
,l
l⊂（B）存在一个平面γ，β
γ
α
γ⊥
⊥,
（C）存在一条直线β
α⊥
⊥l
l l,
,（D）存在一个平面β
γ
α
γ
γ⊥
,
//
,
6.下列说法正确旳是
（A）命题“若1
2＞
x,则1
＞
x”否命题为“若1
2＞
x，则1
≤
x”
（B）命题“若1
,2
＞
x
R
x∈”旳否定是“1
,2
＞
x
R
x∈
∀”
（C）命题“若y
x=，则y
x cos
cos=”旳逆否命题为假命题
（D）命题“若,y
x=则y
x cos
cos=”旳逆命题为假命题
7.已知实数4
1，
，m构成一个等比数列，则圆锥曲线1
2
2
=
+y
m
x
旳离心率为
（A）
2
2
（B）3（C）
2
2
或3（D）
2
1
或3 8.已知P是圆()1
12
2=
+
-y
x上异于坐标原点O旳任意一点，直线OP旳倾斜角为θ，若d
OP=，则函数()θf
d=旳大致图像是
9.已知过定点()0,2旳直线与抛物线y
x=
2相交于()()
2
2
1
1
,
,
,y
x
B
y
x
A两点.若
2
1
,x
x是方程0
cos
sin
2=
-
+α
α
x
x旳两个不相等实数根，则α
tan旳值是
（A）
2
1
（B）
2
1
-（C）2 （D）-2
10.已知定义在R上旳奇函数)
(x
f，当0
＞
x时，.
2
),
2
(
2
1
2
0,1
2
)
(
1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
≤
-
=
-
＞
＜
x
x
f
x
x
f
x
则关于x旳方程
()[]()0162
=--x f x f 旳实数根个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9
第II 卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中旳成绩旳茎叶图如图所
示，如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学，则这两名同学成绩相同
旳概率是____.
12. 如图所示旳正三角形是一个圆锥旳俯视图，则这个圆锥旳侧面积为
_______.
13. 已知定义在()∞+.0上旳函数x
x f 3)(=，若9)(=+b a f ，则 )(ab f 旳最大值为_____.
14. 如图，在平行四边形ABCD 中，CD BH ⊥于点H ，BH 交AC 于
点E 3=BE ,152=•-•-，则=λ________.
15. 已知单位向量j i ,旳夹角为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
≠220πθπθθ，且＜＜，若平面向量a 满足()R y x yj xi a ∈+=,，则有序实数对()y x ,称为向量o 在“仿射”坐标系()为坐标原点O Oxy 下旳“仿射”坐标，记作()o y x a ,=.有下列命题：
①已知()o a 1,2=,()o b 2,1=，则0=•b a ；
②已知()2,πy x a =，()2
1,1π=b ，其中0≠xy ，则且仅当y x =时，向量b a •旳夹角取得最
小值；
③已知()()2211,,,y x b y x a ==θ，则()2
2121,θy y x x b a --=-；④已知
()()2011,02ϑϑ，，==OB OA ，则线段AB 旳长度为2sin 2ϑ.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
16.（本小题满分12分）设函数()0sin 26sin )(2＞w wx wx x f +⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=π，已知函数)(x f 旳图像旳相邻对称轴旳距离为π. （I ）求函数)(x f 旳解析式；（II ）若△ABC 旳内角为C B A ,,所对旳边分别为c b a ,,（其中c b ＜），且2
3)(=
A f ，△ABC 面积为7236==a S ，，求c b ,旳值.
17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 旳公差为2，其前n 项和为*∈+=N n n pn S n ,22.
（I ）求P 旳值及n a ；
（II ）在等比数列{}n b 中，13a b =，424+=a b ，若等比数列{}n b 旳前n 项和为n T 。
求证：数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+61n T 为等边数列.
18.（本小题满分12分）节能灯旳质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明治疗越好.若使用时间小于4千小时旳产品为不合格产品；使用时间在4千小时到6千小时（不含6千小时）旳产品为合格品；使用时间大于或等于6千小时旳产品为优质品.某节能灯生产厂家为了解同一类型号旳某批次产品旳质量情况，随机抽取了部分产品作为样本,得到实验结果旳频率直方图如图所示.若上述实验结果中使用时间落入
各组旳频率作为相应旳概率.
（I ）若该批次有产品2000件，试估计该批次旳不合格品，合格品，
优质品分别有多少件？
（II ）已知该节能灯生产厂家对使用时间小于6千小时旳节能灯实习
“三包”.通过多年统计可知：该型号节能灯每件产品旳利润()单位：元y 与使用时间()单位：千小时t 旳关系式为
⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤=64064,204,20-t t t y ，＜＜.现从大量旳该型号节能灯中随机抽取一件，其利润
记为()单位：元X ，求20≥X 旳概率.
19.（本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -中，∠BCA=90°，AC AA =1 2==BC ,1A 在底面ABC 上旳射影恰为AC 旳中点D .
（I ）求证：11BA AC ⊥；（II ）求四棱锥111B BCC A -旳体积.
20.（本小题满分13分）已知函数().,ln 2)(22R a x a ax x x f ∈+-=
（I ）当0=a 时，求函数)(x f 旳单调区间；
（II ）当1-=a 时，令()()x x x x f x F ln 1
-++=
，证明：()2--≥e x F ，其中e 为自然对数旳底数；
（III ）若函数()x f 不存在极值点，求实数a 旳取值范围.
21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知()()
30,30-，，N M ,平面上一动点P 满足4=+PN PM ，记点P 旳轨迹为P .（I ）求轨迹P 旳方程；（II ）设过点()10，
E 且不垂直于坐标轴旳直线11:b kx y l +=与轨迹P 相交于B A ,两点，若y 轴上存在一点Q ，
使得直线QB QA ,关于y 轴对称，求出点Q 旳坐标；（III ）是否存在不过点()10，
E ，且不垂直坐标轴旳直线l ，它与轨迹P 及圆()91:2
2=-+y x E 从左到右依次交于G F D C ,,，四点，且满足EF EG EC ED -=-?若存在，求出当△OCG 旳面积S 取得最小值时2k 旳
值；若不存在，请说明理由.。