高二数学函数的单调性与导数综合测试题
高中数学 专题1.3.1 函数的单调性与导数测试(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)
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函数的单调性与导数（时间：25分,满分50分）班级姓名得分1．(5分）函数f(x）＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数,当a2－3b<0时,f（x）是( ）A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数【答案】A2．（5分）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是（）A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x【答案】B【解析】显然y＝sin x在（0，＋∞）上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝x e2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝x e2在（0，＋∞）内为单调增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3（x＋错误!)（x－错误!），故函数在（－∞，－错误!)，（错误!，＋∞)上为单调增函数，在（－错误!，错误!）上为单调减函数；对于D，y′＝错误!－1 (x〉0)．故函数在（1,＋∞)上为单调减函数，在(0,1)上为单调增函数．故选B.3．(5分）如果函数f(x）的图象如图，那么导函数y＝f′(x）的图象可能是（）【答案】A【解析】由f(x）与f′（x)关系可选A。
4．（5分）设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是（) A．b2－4ac〉0 B．b>0,c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac〈0【答案】D5。
高考数学必考点专项第8练 导数与函数的单调性(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第8练 导数与函数的单调性习题精选一、单选题1. 函数21()9ln 2f x x x =-在区间上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A.B. C.D.2. 若函数()sin()sin(2)cos()2f x x x a x πππ=+---在区间(0,]2π上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (,1]-∞-B. (-∞C. D. [1,)+∞3. 若函数在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A. 1a <或4a >B. 4aC. 14a <<D. 14a4. 若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A. (-,-2]∞B. 1(-,+)8∞C. 1(-2,-)8D. (-2,+)∞5. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意0x >都有2()()0f x xf x +'>成立，则( )A. 4(2)9(3)f f -<B. 4(2)9(3)f f ->C. 2(3)3(2)f f >-D. 3(3)2(2)f f -<-(2,1)m m +(0,1)(0,2)6. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()10xf x '+>，(3)=-ln 3f ，则不等式()+0x f e x >的解集为( )A. 3(,+)e ∞B. 3(0,)eC. (ln 3,)+∞D. 3(ln 3,)e7. 已知函数，若存在1[,2]2x ∈，使得()()0f x xf x +'>，则实数b 的取值范围是( )A.B. 9(,)4-∞C. (,3)-∞D. (,2)-∞8. 已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c b a <<B. b c a <<C. b a c <<D. a b c <<9. 已知是函数的导数，且，当0x 时，，则不等式的解集是( )A.B.C.D.10. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()2f x f x x =-+，当0x >时，()2 1.f x x '>+若(1)()21f a f a a +-++，则实数a 的取值范围是( )A. 1[,)2-+∞B. 3[,)2-+∞C. [1,)-+∞D. [2,)-+∞二、填空题11. 函数2()24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为__________12. 设函数()x x f x e ae -=+ (a 为常数)，若()f x 为奇函数，则a =__________；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是__________.13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________.()f x '()f x①；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．三、解答题14. 已知函数2()sin sin 2.f x x x =(1)讨论()f x 在区间(0,)π的单调性； (2)证明：33|()|8f x ； (3)设*n N ∈，证明：222sin sin 2sin 4x x x (2)3sin 2.4nnn x15. 已知0a >且1a ≠，函数()(0).ax x f x x a =>(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围.16. 已知函数()2ln 1af x x x x=--+，()(2ln ).x g x e x x =- (1)若函数()f x 在定义域上是增函数，求a 的取值范围； (2)求()g x 的单调区间．17. 已知函数21()ln (1)(0).2f x a x a x x a =-++->(1)讨论()f x 的单调性； (2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求实数ab 的最大值．18. (本小题12.0分)已知函数2().xf x e ax x =+-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性; (2)当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围.19. 已知函数(1)令，讨论的单调区间；(2)若2a =-，正实数12,x x 满足，证明1251.2x x -+()g x 1212()()0f x f x x x ++=20. 已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--，().a R ∈(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A解：()f x 的定义域是(0,)+∞，9(3)(3)()x x f x x x x+-'=-=， 令()0f x '>，解得：3x >，令()0f x '<，解得：03x <<， 故()f x 在(0,3)递减，在(3,)+∞递增， 若函数21()9ln 2f x x x =-在区间(2,1)m m +上单调递减， 则20m 且013m <+且21m m <+，解得：01m <， 故选：.A2.【答案】A解：因为1()sin()sin(2)cos()cos sin cos sin 2cos 22f x x x a x x x a x x a x πππ=+---=+=+在(0,]2π上是增函数，所以当(0,]2x π∈时，，即212sin sin 0x a x --，因为当(0,]2x π∈时，sin (0,1],x ∈所以12sin sin a x x-+， 令1()2sin sin g x x x =-+，(0,],2x π∈则22cos 1()2cos cos (2)0sin sin x g x x x x x '=--=--<，所以()g x 在(0,]2π单调递减，所以，即(,1],a ∈-∞-故选.A3.【答案】A解：求导可得，()f x ∴在其定义域上不单调等价于方程有两个解，，解得1a <或 4.a >故选.A4.【答案】D解：根据题意得1()2f x ax x'=+， ()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则()0f x '在内有解，，故min 21()2a x-，，令21()=-2g x x ，，则()g x 在1(,2)2单调递增，1()(2,)8g x ∈--， 故-2.a > 故选.D5. 【答案】A解：1()||f x x =时，3(3)1f -=，2(2)1f -=，可以排除D ； ()||f x x =时，2(3)6f =，3(2)3(2)6f f -==，可排除C ；设2()()g x x f x =，22()(())2()()(2()())g x x f x xf x x f x x f x xf x '='=+'=+'，0x >时，2()()0f x xf x +'>，0x ∴>时()0g x '>，()g x 为(0,)+∞上的单调增函数；(2)(3)g g ∴<，4(2)9(3)f f ∴<，又()f x 为偶函数，4(2)9(3)f f ∴-<，A ∴对，A ，B 矛盾，故B 错，故选.A6.【答案】C解：令()()ln g x f x x =+，(0,).x ∈+∞ 在(0,)+∞上的函数()f x 满足()10xf x '+>，1()1()()0xf x g x f x x x'''+∴=+=>，∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，(3)(3)ln 30g f =+=，而不等式，所以3x e >，即ln3x >，∴不等式()0x f e x +>的解集为(ln3,).+∞故选.C7.【答案】B解：，，∴，∴，存在，使得，即，∴，设，∴.而，当时，解得：，当时，即时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减，因为，所以，∴，故选：.B8.【答案】B解： 令ln ()xf x x=，0x >， 则21ln (),0xf x x x-'=>， 令()0f x '>，得0x e <<，令()0f x '<，得x e >， 所以()f x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 又3e π>>， 所以()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<， 所以3ln ln 3ππ<， 又4ln 3a π=，34ln c π=， 所以a c >， 又由()f x 的单调性得ln 4ln 4ππ<，即4ln 4ln ππ<， 因为343ln 4,4ln 3ln b c πππ===， 所以b c <， 综合得.b c a << 故选.B9.【答案】D解：设，则因为当0x 时，，所以当0x 时，，即在上单调递增. 因为，所以，所以是偶函数. 因为，所以，即，，则，解得1.2x <故选.D10.【答案】A解：设()()g x f x x =-，则()()()[()]0g x g x f x x f x x --=---+=，()()g x g x ∴=-，()g x ∴是偶函数，当0x >时，()()1g x f x '='-，而()21f x x '>+，则()()120g x f x x '='->>，()g x ∴在(0,)+∞上是增函数， (1)()21f a f a a +-++， (1)(1)()()f a a f a a ∴+-+---，即(1)()g a g a +-，|1|||a a ∴+-，()g x ()g x即12a -， 故选：.A11.【答案】(2,)+∞解：()f x 定义域为(0,)+∞，242(2)2(2)(1)()22x x x x f x x x x x---+'=--==，故当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 故()f x 的单调递增区间为(2,).+∞ 故答案为(2,).+∞12.【答案】1-(,0]-∞解：根据题意，函数()xxf x e ae-=+，若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 即()xx x x eae e ae --+=-+，变形可得1a =-，经检验，1a =-满足()f x 为奇函数，()f x 是R 上的增函数，()0f x '∴对x R ∀∈恒成立，即0x xae e -对x R ∀∈恒成立，2()x a e ∴恒成立． 2()0x e >，0.a ∴故答案为1-；(,0].-∞13.【答案】2()(f x x =答案不唯一，均满足)解：取2()f x x =，则22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===，满足①，()2f x x '=，0x >时有，满足②，()2f x x '=的定义域为R ，又()2()f x x f x ''-=-=-，故是奇函数，满足③. 故答案为：2()(f x x =答案不唯一，均满足)14.【答案】解：23(1)()sin sin 22sin cos f x x x x x ==，222222()2sin (3cos sin )2sin (34sin )2sin [32(1cos 2)]f x x x x x x x x ∴'=-=-=--22sin (12cos 2)x x =+，令()0f x '=，解得，3x π=，或23x π=， 当(0,)3x π∈或2(,)3ππ时，()0f x '>，当2(,)33x ππ∈时，()0f x '<， ()f x ∴在(0,)3π，2(,)3ππ上单调递增，在2(,)33ππ上单调递减．证明：(2)(0)()0f f π==，由(1)可知2()()3f x f π==极小值()()3f x f π==极大值()0f x '>()f x 'max 33()8f x ∴=，min 33()8f x =-， ，()f x 为周期函数，33|()|8f x ∴； (3)由(2)可知322333sin sin 2()84x x =，322333sin 2sin 4()84x x =，32232333sin 2sin 2()84x x =，…，3212333sin 2sin 2()84n nx x -=， 334sin sin 2sin 4x x x ∴……313233sin 2sin 2sin (sin sin 2sin 4n n x x x x x x -=……331223sin 2sin 2)sin 2()4nn nnx x x -，222sin sin 2sin 4x x x ∴……23sin 2.4nnn x15.【答案】解：(1)2a =时，2()2x x f x =，222ln 2()222ln 2(2ln 2)ln 2()(2)22x x x xxx x x x x x f x ⋅-⋅-⋅-'===， 当2(0,)ln 2x ∈时，()0f x '>，当2(,)ln 2x ∈+∞时，()0f x '<， 故()f x 在2(0,)ln 2上单调递增，在2(,)ln 2+∞上单调递减． (2)由题知()1f x =在(0,)+∞有两个不等实根，ln ln ()1ln ln a x x af x x a a x x a x a=⇔=⇔=⇔=， 令ln ()x g x x =，21ln ()xg x x-'=，()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以max 1()()g x g e e==， 又(1)0g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<，即0()()g a g e <<，解得1a >且a e ≠， 所以a 的取值范围是(1,)(,).e e ⋃+∞16.【答案】解：(1)由题意得0x >，22()1af x x x'=-+，由函数()f x 在定义域上是增函数得，()0f x '， 即222(1)1(0)a x x x x -=--+>恒成立， 因为2(1)11(x --+当1x =时，取等号)， 所以a 的取值范围是[1,).+∞2(2)()(2ln 1)x g x e x x x'=---+，由(1)得2a =时，2()2ln 1f x x x x=--+， 此时()f x 在定义域上是增函数，又(1)0f =， 所以，当(0,1)x ∈时，()0f x <， 当(1,)x ∈+∞时，()0.f x > 所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '>， 当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '< 所以()g x 的单调递增区间是(0,1)，()g x 的单调递减区间是(1,).+∞17.【答案】解：，(0,0)a x >>，①1a =时，，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②01a <<时，由()0f x '>，解得：1a x <<，()f x ∴在(,1)a 上单调递增，在(0,)a ，(1,)+∞上单调递减；③1a >时，同理()f x 在(1,)a 上单调递增，在(0,1)，(,)a +∞上单调递减；21(2)()2f x x ax b -++恒成立，ln 0a x x b ∴-+恒成立，令()ln g x a x x b =-+，则()a xg x x-'=， ()g x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．max ()()ln 0g x g a a a a b ∴==-+，ln b a a a ∴-，22ln ab a a a ∴-，令22()ln (0)h x x x x x =->，则()(12ln )h x x x '=-，()h x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，max ()2e h x h e e ∴==-=， .2e ab∴ 即ab 的最大值为.2e18.【答案】解：(1)当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，记()()g x f x ='，因为()20xg x e '=+>，所以()()21xg x f x e x ='=+-在R 上单调递增， 又(0)0f '=，得当0x >时()0f x '>，即2()xf x e x x =+-在(0,)+∞上单调递增； 当0x <时()0f x '<，即2()xf x e x x =+-在(,0)-∞上单调递减. 所以2()xf x e x x =+-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.(2)①当0x =时，a ∈R ；②当0x >时，31()12f x x +即32112xx x e a x++-， 令32112()x x x e h x x++-=，231(2)(1)2()x x e x x h x x ----'= 记21()12x m x e x x =---，()1x m x e x '=-- 令()1xq x e x =--，因为0x >，所以()10xq x e '=->，所以()()1xm x q x e x '==--在(0,)+∞上单调递增，即()1(0)0xm x e x m ''=-->=所以21()12x m x e x x =---在(0,)+∞上单调递增，即21()1(0)02x m x e x x m =--->=， 故当(0,2)x ∈时，()0h x '>，32112()xx x e h x x ++-=在(0,2)上单调递增； 当(2,)x ∈+∞时，()0h x '<，32112()xx x e h x x++-=在(2,)+∞上单调递减；所以2max7[()](2)4e h x h -==，所以274e a -，综上可知，实数a 的取值范围是27[,).4e -+∞19.【答案】(1)解：21()()(1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =--=-+-+，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=，当0a 时，因为0x >，所以()0.g x '> 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数；当0a >时，1()(1)()a x x a g x x--+'=， 令()0g x '=，得1x a=， 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a+∞是减函数，综上，当0a 时，()g x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a >时，()g x 的单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(,).a+∞(2)证明：当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>，由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=-，令12t x x =，则由()ln t t t ϕ=-，得1()t t tϕ-'=，0t >， 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)1t ϕϕ=，所以21212()()1x x x x +++，解得12512x x -+或12512x x --+， 又因为10x >，20x >，因此12512x x -+成立．20.【答案】解：(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，(i)若0a ，则在(,)x ∈-∞+∞时()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减． (ii)若0a >，则由()0f x '=得ln .x a =-当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增．(2)(i)若0a ，由(1)知，()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，故()f x 至多有一个零点，不合题意．(ii)若0a >，由(1)知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln .f a a a-=-+①当1a =时，由于(ln )0,f a -=故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0.f a -< 又422(2)(2)2220f aea e e ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则0000()(2)n n f n e ae a n =+-- 000020.n n e n n >->-> 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1).。
《函数的单调性与导数》专题训练及答案解析
《函数的单调性与导数》专题训练1.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是下列选项中的( )2．如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．在区间(3,5)上f (x )是增函数 3．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．(－∞，e －2) B ．(0，e －2) C ．(e －2，＋∞)D ．(e 2，＋∞)4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3， 3) 5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1，m＋12)上是单调函数，求实数m的取值范围．《函数的单调性与导数》专题训练答案解析1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的()【答案】C【解析】题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数【答案】C【解析】由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C. 3．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是()A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)【答案】B【解析】因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3)∪[3，＋∞) B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3)【答案】B【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.] 5．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【答案】D【解析】f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 【答案】－32－6【解析】f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________． 【答案】(1,2)【解析】[f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间． 【解析】f ′(x )＝(ax ＋2a ＋1)x e x .(1)若a ＝1，则f ′(x )＝(x ＋3)x e x ，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(1)＝4e ，f (1)＝e. 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0. (2)若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)x e x .令f ′(x )＝0解x 1＝－1，x 2＝0. 当∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0；所以f (x )的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8，∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)∵f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(1)(3)(0)x x x x--> ∴当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗↘↗∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数， 则⎩⎨⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，52.。
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac0 B．b0，c0C．b＝0，c D．b2－3ac0[答案] D[解析]∵a0，f(x)为增函数，f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0.2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋)[答案] D[解析]考查导数的简单应用．f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋) B．(－，2]C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋)[答案] B[解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]．4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案] C[解析]当01时xf(x)0f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是()A.－，－2和0，2B.－2，0和0，2C.－，－2，D.－2，0和[答案] A[解析]y＝xcosx，当－x2时，cosx0，y＝xcosx0，当02时，cosx0，y＝xcosx0.6．下列命题成立的是()A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数[答案] B[解析]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．7．(2019福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0[答案] B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0. 8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b)[答案] C[解析]∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0，f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数，又0＜a＜b，af(b)bf(a)．9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1)C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1)[答案] C[解析]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单调递增，在(－，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C.10．(2019江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为[答案] A[解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减，g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立，a1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12，函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)．14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋)[解析]y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.三、解答题15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13.所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数；当x(3，＋)时，f(x)也是增函数；当x(－1,3)时，f(x)是减函数．16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则f(x)＝1－12cosx＞0，f(x)在(－，＋)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[分析]可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[解析]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx.令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0.当x－2b3a，0时，函数为增函数．令y＜0，即3ax2＋2bx＜0，x＜－2b3a，或x＞0.在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数．18．(2019新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．[解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0.故f(x)在(－，－1]，[0，＋)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
2020人教版高二数学下学期重点练专题03 函数的单调性与导数(含答案解析)
1．若函数y ＝f ′(x )在区间(x 1，x 2)内是单调递减函数，则函数y ＝f (x )在区间(x 1，x 2)内的图象可以是( )【答案】B【解析】选项A 中，f ′(x )>0且为常数函数；选项C 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内单调递增；选项D 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内先增后减．故选B.2．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，0和⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12和⎝⎛⎭⎫0，12 【答案】C【解析】由题意得，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝(2x ＋1)(2x －1)x，令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0，解得x >12，故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选C. 3.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数．∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)，∴x >－1.4．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可，令f ′(x )＝1－12ax －12≤0，解得a ≥2x ，则a ≥4.∴a min ＝4. 5．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有专题03 函数的单调性与导数 第一章 导数及其应用( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )【答案】C 【解析】因为⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C. 6．若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x【答案】A【解析】对于选项A ，f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫12x ＝⎝⎛⎭⎫e 2x ，∵e 2＞1，∴e x f (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )＞0，得x ＞0或x ＜－2； 令e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，∴函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x ，∵e 3＜1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫e 3x 在R 上单调递减，∴f (x )＝3－x 不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e x f (x )＝e x cos x ，则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e x f (x )＝e x cos x 在R 上不是单调递增的，∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.7.如图所示的是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则在[－2,5]上函数f (x )的递增区间为________．【答案】(－1,2)和(4,5]【解析】因为在(－1,2)和(4,5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________． 【答案】(0，＋∞)【解析】若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.9．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎭⎫1，32 【解析】显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k －1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32. 10．(1)已知函数f (x )＝ax e kx －1，g (x )＝ln x ＋kx .当a ＝1时，若f (x )在(1，＋∞)上为减函数，g (x )在(0,1)上为增函数，求实数k 的值；(2)已知函数f (x )＝x ＋a x－2ln x ，a ∈R ，讨论函数f (x )的单调区间． 【解析】(1)当a ＝1时，f (x )＝x e kx －1，∴f ′(x )＝(kx ＋1)e kx ，g ′(x )＝1x＋k . ∵f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 则∀x ＞1，f ′(x )≤0⇔k ≤－1x， ∴k ≤－1.∵g (x )在(0,1)上为增函数，则∀x ∈(0,1)，g ′(x )≥0⇔k ≥－1x， ∴k ≥－1.综上所述，k ＝－1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－a x 2－2x ＝x 2－2x －a x 2. ①当Δ＝4＋4a ≤0，即a ≤－1时，得x 2－2x －a ≥0，则f ′(x )≥0.∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝4＋4a ＞0，即a ＞－1时，令f ′(x )＝0，得x 2－2x －a ＝0，解得x 1＝1－1＋a ，x 2＝1＋1＋a ＞0.(ⅰ)若－1＜a ≤0，则x 1＝1－1＋a ≥0，∵x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在(0,1－1＋a )，(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增，在(1－1＋a ，1＋1＋a )上单调递减．(ⅱ)若a ＞0，则x 1＜0，当x ∈(0,1＋1＋a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(1＋1＋a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间(0,1＋1＋a )上单调递减，在区间(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增.。
高中数学同步练习 导数与函数的单调性
第3章 §1 第1课时 导数与函数的单调性A 级 基础巩固一、选择题1．在下列结论中,正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 分别举反例：(1)y ＝lnx,(2)y ＝1x (x>0),(3)y ＝2x,(4)y ＝x 2,故选A.2．若函数f(x)＝kx －lnx 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是( D ) A ．(－∞,－2] B ．(－∞,－1] C ．[2,＋∞)D ．[1,＋∞)[解析] 由条件知f′(x)＝k －1x ≥0在(1,＋∞)上恒成立,∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力． ∵f(x)＝2x＋x 3－2,0<x<1,∴f ′(x)＝2xln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增． 又f(0)＝20＋0－2＝－1<0,f(1)＝2＋1－2＝1>0,f(0)·f(1)<0,则f(x)在(0,1)内至少有一个零点, 又函数y ＝f(x)在(0,1)上单调递增,则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中,在(0,＋∞)内为增函数的是( B ) A ．y ＝sinx B ．y ＝xe 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝lnx －x[解析] 对于B,y ＝xe 2,则y′＝e 2,∴y ＝xe 2在R 上为增函数,在(0,＋∞)上也为增函数,选B. 5．(2019·临沂高二检测)已知函数y ＝f(x)的图像是如图四个图像之一,且其导函数y ＝f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( B )[解析] 由导函数图像可知函数在[－1,1]上为增函数,又因导函数值在[－1,0]递增,原函数在[－1,1]上切线的斜率递增,导函数的函数值在[0,1]递减,原函数在[0,1]上切线的斜率递减,选B.6．若f(x)＝lnxx ,e<a<b,则( A )A ．f(a)>f(b)B ．f(a)＝f(b)C ．f(a)<f(b)D ．f(a)f(b)>1[解析] 因为f′(x)＝1－lnxx2, ∴当x>e 时,f′(x)<0,则f(x)在(e,＋∞)上为减函数,因为e<a<b, 所以f(a)>f(b)．选A. 二、填空题7．(2019·烟台高二检测)函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为(－∞,－1)． [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为 (2,＋∞)∪(－∞,－1),令f(x)＝x 2－x －2,f ′(x)＝2x －1<0,得x<12,∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞,－1)．8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是(－∞,0]． [解析] ∵f(x)＝x 3－ax 2－3x,∴f ′(x)＝3x 2－2ax －3, 又因为f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数, f ′(x)＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1,＋∞)上恒成立, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a≤0,故答案为(－∞,0]． 三、解答题9．(2018·天津理,20(1))已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a 的单调区间．[解析] 由已知,h(x)＝a x－xln a, 有h′(x)＝a xln a －ln a. 令h′(x)＝0,解得x ＝0.由a>1,可知当x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：所以函数10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0,函数f(x)＝(x 2－2ax)·e x.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数,求a 的取值范围．[解析] ∵f(x)＝(x 2－2ax)e x, ∴f′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝e x[x 2＋2(1－a)x －2a]令f′(x)＝0,即x 2＋2(1－a)x －2a ＝0, 解x 1＝a －1－1＋a 2,x 2＝a －1＋1＋a 2, 其中x 1<x 2,当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表∵a≥0,∴x 1212∴x 2≥1,即a －1＋1＋a 2≥1, ∴a≥34.B 级 素养提升一、选择题1．(2018·和平区二模)已知f(x)是定义在R 上的函数,它的图像上任意一点P(x 0,y 0)处的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),那么函数f(x)的单调递减区间为( A )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－1)D ．(2,＋∞)[解析] 因为函数f(x),(x ∈R)上任一点(x 0,y 0)的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),即函数在任一点(x 0,y 0)的切线斜率为k ＝x 20－x 0－2, 即知任一点的导数为f ′(x)＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1),由f ′(x)＜0,得－1＜x ＜2,即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)． 故选A.2．函数f(x)的定义域为R,f(－2)＝2017,对任意x ∈R,都有f ′(x)<2x 成立,则不等式f(x)>x 2＋2013的解集为( C )A ．(－2,2)B ．(－2,＋∞)C ．(－∞,－2)D ．(－∞,＋∞)[解析] 令F(x)＝f(x)－x 2－2013,则F ′(x)＝f ′(x)－2x<0,∴F(x)在R 上为减函数, 又F(－2)＝f(－2)－4－2013＝2017－2017＝0, ∴当x<－2时,F(x)>F(－2)＝0,∴不等式f(x)>x 2＋2013的解集为(－∞,－2)． 二、填空题3．若函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,则a 的取值范围是[－13,13].[解析] 函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,等价于f ′(x)＝1－23cos2x ＋acosx＝－43cos 2x ＋acosx ＋53≥0在(－∞,＋∞)恒成立．设cosx ＝t,则g(t)＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0g (－1)＝－43－a ＋53≥0,解得－13≤a≤13.4．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1),则a 的取值集合为{0}； (2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减,则a 的取值集合为{a|a<0}． [解析] f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋2a －3 ＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1), ∴－1和1是方程f ′(x)＝0的两根,∴3－2a3＝1,∴a ＝0,∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0在(－1,1)内恒成立,又二次函数y ＝f ′(x)开口向上,一根为－1,∴必有3－2a3>1,∴a<0,∴a 的取值集合为{a|a<0}． 三、解答题5．已知函数f(x)＝(ax 2＋x －1)·e x,其中e 是自然对数的底数,a ∈R. (1)若a ＝1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若a ＝－1,求f(x)的单调区间．[解析] (1)因为f(x)＝(x 2＋x －1)e x,所以f′(x)＝(2x ＋1)e x＋(x 2＋x －1)e x＝(x 2＋3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k ＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e,所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1), 即4ex －y －3e ＝0.(2)f(x)＝(－x 2＋x －1)e x,因为f′(x)＝－x(x ＋1)e x, 令f′(x)<0,得x<－1或x>0；f′(x)>0 得－1<x<0.所以f(x)的减区间为(－∞,－1),(0,＋∞),增区间为(－1,0)．6．(2019·山师附中高二检测)已知函数f(x)＝alnx ＋2a2x ＋x(a>0)．若函数y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直．(1)求实数a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间． [解析] (1)f ′(x)＝a x －2a2x2＋1,∵f ′(1)＝－2,∴2a 2－a －3＝0,∵a>0,∴a ＝32.(2)f ′(x)＝32x －92x 2＋1＝2x 2＋3x －92x 2＝(2x －3)(x ＋3)2x2, ∵当x ∈(0,32)时,f ′(x)<0；当x ∈(32,＋∞)时,f ′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,32),单调递增区间为(32,＋∞)．C 级 能力拔高(2019·广德高二检测)已知函数f(x)＝x 2＋2alnx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝2x ＋f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ,函数f(x)的定义域为(0,＋∞)．①当a≥0时,f ′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)； ②当a<0时f ′(x)＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下：(2)由g(x)＝2x ＋x 2＋2alnx,得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax ,由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数, 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立, 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x －x 2,x ∈[1,2],则h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)<0,∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min ＝h(2)＝－72,∴a≤－72,故a 的取值范围为{a|a≤－72}．。
高中数学 2-2导数与函数的单调性练习(一) 试题
某某省毫州市蒙城县坛城镇芮集高中数学 2-2导数与函数的单调性练习（一）1．若函数y ＝f(x)在R 上可导，且满足不等式xf ′(x)>－f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a>b ，则下列不等式一定成立的是________．①af(b)>bf(a); ②af(a)>bf(b)； ③af(a)<bf(b); ④af(b)<bf(a)2．函数f(x)的定义域为(0，π2)，f ′(x)是它的导函数，且f(x)<f ′(x)tan x 恒成立，则下列结论正确的是________． ①3f(π4)>2f(π3); ②f(1)<2f(π6)sin 1； ③2f(π6)>f(π4); ④3f(π6)<f(π3)．3．函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f(3)，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<c<a4．若函数f(x)＝x2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值X 围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞)C ．[0,3] D ．[3，＋∞)5．已知函数f(x)＝x2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值X 围是________．6．若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________． 7．已知函数f(x)＝ln x ＋k ex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f(x)的单调区间．8．函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a ≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a 的取值X 围．9．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值X围；若不是，请说明理由．10．已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．11．已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若A，B是函数f(x)图像上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，某某数m的取值X 围．1．答案 ②解析 令F(x)＝xf(x)，则F ′(x)＝xf ′(x)＋f(x)，由xf ′(x)>－f(x)，得xf ′(x)＋f(x)>0 即F ′(x)>0，所以F(x)在R 上为递增函数．因为a>b ，所以af(a)>bf(b)．2．答案 ④解析 f(x)<f ′(x)tan x ⇔f(x)cos x<f ′(x)sin x ，构造函数g(x)＝f(x)sin x， 则g ′(x)＝f ′(x)sin x －f(x)cos x sin2x， 根据已知f(x)cos x<f ′(x)sin x ，5．答案 [－22，＋∞)解析 依题意知，x>0，f ′(x)＝2x2＋mx ＋1x， 令g(x)＝2x2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m 4≤0时，g(0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立， 当－m 4>0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－22≤m<0， 综上，m 的取值X 围是m ≥－2 2. 6．解析：∵f(x)＝13x3－32x2＋ax ＋4， ∴f′(x)＝x2－3x ＋a ，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.7．解：(1)由题意得f′(x)＝1x －ln x －k ex 又f′(1)＝1－k e ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x －ln x －1ex.设h(x)＝1x －ln x －1(x>0)，则h′(x)＝－1x2－1x<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．8.解 (1)f ′(x)＝3ax2＋6x ＋3，f ′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．①若a ≥1，则f ′(x)≥0，且f ′(x)＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f(x)在R 上是增函数． ②由于a ≠0，故当a<1时，f ′(x)＝0有两个根x1＝－1＋1－a a ，x2＝－1－1－a a. 若0<a<1，则当x ∈(－∞，x2)或x ∈(x1，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；当x ∈(x2，x1)时，f ′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数；若a<0，则当x ∈(－∞，x1)或x ∈(x2，＋∞)时，f ′(x)<0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；当x ∈(x1，x2)时，f ′(x)>0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．(2)当a>0，x>0时，f ′(x)＝3ax2＋6x ＋3>0，故当a>0时，f(x)在区间(1,2)是增函数．当a<0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a<0. 综上，a 的取值X 围是[－54，0)∪(0，＋∞)．9．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex ，∴f′(x)＝(－2x ＋2)ex ＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－2<x<2， ∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R 上单调递减，则f′(x)≤0对任意x ∈R 都成立．即[－x2＋(a －2)x ＋a]ex≤0对任意x ∈R 都成立．∵ex>0，∴x2－(a －2)x －a≥0对任意x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R 上单调递减．若函数f(x)在R 上单调递增，则f′(x)≥0对任意x ∈R 都成立，即[－x2＋(a －2)x ＋a]ex≥0对任意x ∈R 都成立．∵ex>0，∴x2－(a －2)x －a≤0对任意x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a2＋4>0， 故函数f(x)不可能在R 上单调递增．综上可知函数f(x)不是R 上的单调函数．10．解：(1)f′(x)＝axln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(ax －1)ln a.∵a>1，∴当x ∈(0，＋∞)时， ln a>0，ax －1>0，∴f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f(x)＝ex ＋x2－x －4，∴f′(x)＝ex ＋2x －1，∴f′(0)＝0，当x>0时，ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数；同理，f(x)是(－∞，0)上的减函数．又f(0)＝－3<0，f(1)＝e －4<0，f(2)＝e2－2>0，当x>2时，f(x)>0，∴当x>0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，∴k ＝1满足条件；f(0)＝－3<0，f(－1)＝1e －2<0，f(－2)＝1e2＋2>0， 当x<－2时，f(x)>0，∴当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，∴k ＝－2满足条件．综上所述，k ＝1或－2.11．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，。
数学高二选修2试题 3.1导数与函数的单调性
第三章 3.1导数与函数的单调性1．函数的单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．2．求函数极值点的步骤(1)求出导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于f′(x)＝0的每一个解x0：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．3．函数的最值(1)在闭区间上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x )>0是f (x )为增函数的充要条件．( × ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的． ( × ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． ( √ ) (6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( √ )2． 函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x(x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．3．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点． 当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)答案 B解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维启迪 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 f ′(x )＝e x －a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x －a ≥0， 即f (x )在R 上单调递增， 若a >0，e x －a ≥0，∴e x ≥a ，x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ， 当a >0时，f (x )的单调增区间是[ln a ，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝e x －a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x 在x ∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2<x <3，∴e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3. 当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3在x ∈(－2,3)上， f ′(x )<0，即f (x )在(－2,3)上为减函数，∴a ≥e 3. 故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________．答案 (2,2a )解析 f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数； 当2<x <2a 时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数． 综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数， 在区间(2,2a )上是减函数．(2)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析 转化为f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1， 所以g (x )min ＝－1，则b 的取值范围是(－∞，－1]．题型二 利用导数求函数的极值例2 设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．思维启迪 (1)通过f ′(2)的值确定a ；(2)解f ′(x )＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值． 解 (1)由已知，得x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax ，y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0， 故所求的切线方程为y ＝x －2.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax＝x 2－a ＋1x ＋a x ＝x －1x －ax.①当0<a <1时，若x ∈(0，a )，f ′(x )>0， 函数f (x )单调递增；若x ∈(a,1)，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12.②当a ＝1时，f ′(x )＝x －12x>0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增， 此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a .综上，当0<a <1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a >1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax1＋ax 22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 ⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )极大值极小值所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型三 利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间上的最大值为28，求k的取值范围．思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)；(2)可以列表观察h(x)在(－∞，2]上的变化情况，然后确定k的取值范围．解(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h′(x)，h(x)在(－∞，2]上的变化情况如下表所示：x (－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2) 2h′(x)＋0－0＋＋h(x)28－4 3当－3<k<2时，函数h(x)在区间上的最大值小于28.因此k的取值范围是(－∞，－3]．思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f(x)＝x ln x.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间上的最小值．(其中e为自然对数的底数)．解(1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，由f ′(x )＝0得x ＝1e，所以f (x )在区间(0，1e )上单调递减，在区间(1e ，＋∞)上单调递增．所以，x ＝1e 是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在．(2)g (x )＝x ln x －a (x －1)， 则g ′(x )＝ln x ＋1－a ， 由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1，所以，在区间(0，e a －1)上，g (x )为递减函数， 在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )为递增函数．当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间上，g (x )为递增函数， 所以g (x )的最小值为g (1)＝0.当1<e a －1<e ，即1<a <2时，g (x )的最小值为g (e a －1)＝a －e a －1. 当e a －1≥e ，即a ≥2时，在区间上，g (x )为递减函数， 所以g (x )的最小值为g (e)＝a ＋e －a e. 综上，当a ≤1时，g (x )的最小值为0； 当1<a <2时，g (x )的最小值为a －e a －1； 当a ≥2时，g (x )的最小值为a ＋e －a e.提醒四 利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间上的最小值．思维启迪 (1)解方程f ′(x )＝0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k －1和区间的关系求最值．规范解答解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－e k－1所以，f((2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在上单调递减，所以f(x)在区间上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在上的最小值为f(1)＝(1－k)e.用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．方法与技巧1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1． 若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像可能为( )答案 C解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图像应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.2． 下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)答案 C解析 y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 当x ∈(3π2，5π2)时，恒有x cos x >0.故选C.3． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e答案 A解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.4． 设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4答案 C解析 ∵f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )在上是减函数． ∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (0)＝2.二、填空题6． 函数f (x )＝x ＋9x 的单调减区间为________．答案 (－3,0)，(0,3) 解析 f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x 2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3， 故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．7． 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________． 答案 a >2或a <－1 解析 ∵f (x )＝x 3＋3ax 2＋3，∴f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. ∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根． 即Δ＝4a 2－4a －8>0，∴a >2或a <－1. 8． 设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，72)解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.三、解答题9． 已知函数f (x )＝1x ＋ln x ．求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．10．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0,1)上单调递减，求实数a 的取值范围． 解 (1)F (x )＝f (x )＋2＝x 2＋b sin x －2＋2＝x 2＋b sin x ， 依题意，对任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0. 即x 2＋b sin x －(－x )2－b sin(－x )＝0， 即2b sin x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2－2. (2)∵g (x )＝x 2－2＋2(x ＋1)＋a ln x ， ∴g (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ， g ′(x )＝2x ＋2＋ax.∵函数g (x )在(0,1)上单调递减，∴在区间(0,1)内， g ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax ≤0恒成立，∴a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．∵－(2x 2＋2x )在(0,1)上单调递减，∴a ≤－4为所求．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0) 答案 D解析 令g (x )＝f xex ，则g ′(x )＝(f xe x )′＝f ′x e x －f x e x e 2x ＝f ′x －f xe x<0，所以函数g (x )＝f xe x 是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 014)<g (0)， 即f 1e 1<f 01，f 2 014e 2 014<f 01， 故f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)．2． 如图是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图像，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289答案 C解析 由图像可得f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ， 又∵x 1、x 2是f ′(x )＝3x 2－2x －2＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(23)2＋2×23＝169. 3． 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.4． (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋b )＋a e x －2x －4 ＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4∵y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4， ∴f ′(0)＝a ＋b －4＝4，f (0)＝b ＝4， ∴a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2) ＝2(x ＋2)(2e x －1)令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝ln 12，列表：∴y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，⎝⎛⎭⎫ln 12，＋∞； 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－2，ln 12. f (x )极大值＝f (－2)＝4－4e －2.5． 已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.(1)求a 的取值范围．(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在上的最大值和最小值． 解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0，得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝e x ， f ′(x )＝e x ，依题意对于任意x ∈，有f ′(x )≤0. 当a >0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图像开口向上， 而f ′(0)＝－a <0，所以需f ′(1)＝(a －1)e<0，即0<a <1； 当a ＝1时，对于任意x ∈，有f ′(x )＝(x 2－1)e x ≤0， 且只在x ＝1时f ′(x )＝0，f (x )符合条件； 当a ＝0时，对于任意x ∈，f ′(x )＝－x e x ≤0， 且只在x ＝0时，f ′(x )＝0，f (x )符合条件； 当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)因g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0， g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对于任意x ∈有g ′(x )＝－2x e x ≤0， g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2， 在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时， g (x )在上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. 当1－a 2a <1，即13<a <1时， g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a )＝2a e 1－a 2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值， 而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，由g (0)－g (1)＝1＋a －(1－a )e ＝(1＋e)a ＋1－e ＝0， 得a ＝e －1e ＋1.则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (0)－g (1)≤0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ； 当e －1e ＋1<a <1时，g (0)－g (1)>0， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.。
高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案
函数的单调性与导数选择题1、函数f(x)=xlnx的单调递增区间是( )A(01) B(1+∞)C D【解析】选D因为f(x)=xlnx(x>0)所以f′(x)=lnx+1令f′(x)>0得lnx+1>0即x>所以函数f(x)的单调递增区间是2、下列函数中在(0+∞)内为增函数的是( )Ay=sinx By=xe2Cy=x3-x Dy=lnx-x【解析】选B对于Ay=sinx在(0+∞)内有增有减对于By′=(xe2)′=e2>0故y=xe2在(0+∞)内是增函数;对于Cy′=3x2-1=3当x∈时y′<0;故y=x3-x在上是减函数对于Dy′=-1=当x∈(1+∞)时y′<0故y=lnx-x在(1+∞)上是减函数3、(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一且其导函数y=f′(x)的图象如图所示则该函数的图象是( )【解析】选B由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的且先由“平缓”变“陡峭”再由“陡峭”变“平缓”观察图象可得B正确4、若f(x)=e<a<b则( )Af(a)>f(b) Bf(a)=f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1【解题指南】先判断f(x)的单调性再比较f(a)与f(b)的大小【解析】选A因为f′(x)==当x∈(e+∞)时1-lnx<0所以f′(x)<0所以f(x)在(e+∞)内为单调递减函数故f(a)>f(b)5、(2016·烟台高二检测)若a>0且f(x)=x3-ax在B(-11]C(-11) D上是单调函数求a的取值范围【解析】f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x令f′(x)=0即x2+2(1-a)x-2a=0解得x1=a-1-x2=a-1+其中x1<x2当x变化时f′(x)f(x)的变化情况见下表:x (-∞x1) x1(x1x2) x2(x2+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗↘↗因为a≥0所以x1<-1x2≥0f(x)在(x1x2)上单调递减由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1即a-1+≥1解得a≥故所求a的取值范围为10(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(02)且在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0(1)求函数y=f(x)的解析式(2)求函数y=f(x)的单调区间【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(02)知d=2所以f(x)=x3+bx2+cx+2f′(x)=3x2+2bx+c由在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=1f′(-1)=6所以即解得b=c=-3故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2(2)f′(x)=3x2-6x-3令f′(x)>0得x<1-或x>1+;令f′(x)<0得1-<x<1+故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞1-)和(1++∞)单调递减区间为(1-1+)1已知对任意实数x有f(-x)=-f(x)g(-x)=g(x)且当x>0时有f′(x)>0g′(x)>0则当x<0时有( )Af′(x)>0g′(x)>0 Bf′(x)>0g′(x)<0Cf′(x)<0g′(x)>0 Df′(x)<0g′(x)<0【解析】选B由题知f(x)是奇函数g(x)是偶函数根据奇偶函数图象特点知当x<0时f(x)的单调性与x>0时相同g(x)的单调性与x>0时恰好相反因此当x<0时有f′(x)>0g′(x)<0 2(2016·南昌高二检测)设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A(-30)∪(3+∞) B(-30)∪(03)C(-∞-3)∪(3+∞) D(-∞-3)∪(03)【解析】选D因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)所以当x<0时′>0所以f(x)·g(x)在(-∞0)上是增函数又g(-3)=0所以f(-3)g(-3)=0所以当x∈(-∞-3)时f(x)g(x)<0;当x∈(-30)时f(x)g(x)>0又因为f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以f(x)g(x)在R上是奇函数其图象关于原点对称所以当x∈(03)时f(x)g(x)<0综上选D【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数f(-1)=0当x>0时xf′(x)-f(x)<0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A(-∞-1)∪(01) B(-10)∪(1+∞)C(-∞-1)∪(-10) D(01)∪(1+∞)【解析】选A记函数g(x)=则g′(x)=因为当x>0时xf′(x)-f(x)<0故当x>0时g′(x)<0所以g(x)在(0+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数故函数g(x)是偶函数所以g(x)在(-∞0)上单调递增且g(-1)=g(1)=0当0<x<1时g(x)>0则f(x)>0;当x<-1时g(x)<0则f(x)>0综上所述使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞-1)∪ (01)二、填空题(每小题5分共10分)3(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1k+1)上不是单调函数那么实数k的取值范围是【解析】显然函数f(x)的定义域为(0+∞)y′=4x-=由y′>0得函数f(x)的单调递增区间为;由y′<0得函数f(x)的单调递减区间为由于函数在区间(k-1k+1)上不是单调函数所以解得1≤k<答案:4(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0+∞)上单调递增则实数m的取值范围是【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x由题意得f′(x)≥0在(0+∞)上恒成立令g(x)=mx+m-1则解得m≥1答案:令f′(x)=0得x1=1x2=a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以4≤a-1≤6解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为方法二:f′(x)=x2-ax+a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以即解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为6(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x其中e是自然对数的底数a∈R(1)若a=1求曲线f(x)在点(1f(1))处的切线方程(2)若a=-1求f(x)的单调区间【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x所以曲线f(x)在点(1f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e又因为f(1)=e所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)即4ex-y-3e=0(2)f(x)=(-x2+x-1)e x因为f′(x)=-x(x+1)e x令f′(x)<0得x<-1或x>0f′(x)>0得-1<x<0所以f(x)的减区间为(-∞-1)(0+∞)增区间为(-10)关闭Word文档返回原板块。
高二数学利用导数研究函数的单调性试题
高二数学利用导数研究函数的单调性试题1.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为()A．1B．C．D．【答案】B【解析】设P，点P到直线y＝x－2的距离==，设=（），所以==，当＜0时，＜0，当＞0时，＞0，则在（0,1）是减函数，在（1，+）上是增函数，则当=1时，取极小值也是最小值=2，此时=，故选B.考点:点到直线的距离公式，导数的综合运用2.直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】得列表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ ) ++y画出大到图象可得：-2<a<2,故选A.【考点】函数的极值.3.已知函数有极大值和极小值，则的取值范围为()A．－12B．－36C．－1或2D．－3或6【答案】D【解析】,函数有极大值与极小值，则，即方程有两个不等的根，所以，解得或．【考点】函数的极值．4.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】显然x=1时，有|a|≥1，a≤-1或a≥1．令g（x）=ax3-lnx，g′(x)＝3ax2−＝=g（1）当a≤-1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)＝＜0，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=a≤-1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意．当a≥1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)＝＝0，∴x＝函数在（0，）上单调递减，在（,+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为g()＝+ ，解得：a≥∴实数a 取值范围是[，+∞),故答案为.【考点】导数知识的运用，函数的单调性与最值，分类讨论的数学思想，函数恒成立问题.5.函数的单调减区间为___________.【答案】【解析】因为，解得，因此函数的单调减区间为.【考点】导数求单调区间6.设函数（1）试问函数能否在处取得极值，请说明理由;（2）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围.【答案】（1）函数不能在处取得极值，理由详见试题解析;（2）的取值范围是.【解析】（1）先对函数求导，因为函数在实数上单调递增，故函数不可再处取得极值.（2）函数与的图像在有两个公共点，即方程在有两解，结合函数的单调性可求的取值范围.（1），当时，，而此时，函数在实数上单调递增，故函数不可再处取得极值.（2）当时，，函数与的图像在有两个公共点，即方程在有两解，方程可转化为，设，则，令，解得，所以函数在递增，在上递减.，所以要使得方程有两解需.【考点】导函数的综合应用、构造思想、转化与化归思想.7.已知若,使得成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】由题可知的最大值为，又，当时，减函数，当时，，为增函数，所以有最小值为.若,使得成立,只需.【考点】利用导数判断函数的单调性.8.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】，在区间内是增函数，在区间内恒成立，由，故【考点】导数与单调性，恒成立问题9.(本小题满分15分)若函数在时取得极值，且当时，恒成立.（1）求实数的值；（2）求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，是方程的一个根，设另一个根是，则，所有（2）所以，，令，解得+0-0+极大值又，所以，当时，。
导数与函数的单调性测试题(含答案)
导数与函数的单调性测试题一、单项选择题（本大题共10小题，共50分） 1. 函数y =12x 2−lnx 的单调递减区间为( )A. (−1,1]B. (0,1]C. [1,+∞)D. (0,+∞)2. 设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )A. B.C. D.3. 函数y =(x −3)e x 的单调增区间是( )A.B. (0,3)C. (1,4)D.4. 已知函数f(x)=32x 2−4x +lnx ，则函数f(x)的单调递减区间是( )A. (0,13),(1,+∞)B. (0,1),(3,+∞)C. (0,13),(3,+∞)D. (13,1)5. 已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)=x 2+3xf′(3)，则f′(3)=( )A. −1B. −2C. −3D. −46. 函数f(x)=xlnx( )A. 在(0,5)上单调递增B. 在(0,5)上单调递减C. 在(0,1e )上单调递减，在(1e ,5)上单调递增 D. 在(0,1e )上单调递增，在(1e ,5)上单调递减7. 若函数f(x)=x 3−ax 2−x +6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a =1C. a ≤1D. 0<a <18. 函数f(x)=x 3+ax +b 在区间(−1,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，则( )A. a =1，b =1B. a =1，b ∈RC. a =−3，b =3D. a =−3，b ∈R9. 已知函数f(x)=x 3+mlnx 在区间[2 , 3]上不是单调函数，则m 的取值范围是( )A. (−∞,−81)B. (−24,+∞)C. (−81,−24)D. (−81,+∞)10.函数f(x)=x3+ax−2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()A. [3,+∞)B. [−3,+∞)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)二、填空题（本大题共2小题，共10分）11.若函数f(x)=e x(x2+ax+3)在R上单调递增，则实数a的取值范围为______ ．12.函数f(x)=x的单调递减区间为_______________．lnx三、解答题（本大题共4小题，共40分）−1．13.已知函数f(x)=lnxx(1)求函数在点(1,f(1))处的切线方程．(2)试判断函数f(x)的单调性；14.已知函数f(x)=x2−ax+lnx+b(a,b∈R)，(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为x+y+2=0，求实数a，b的值;(2)若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围．15.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a−3)x−1．(1)若f(x)的单调递减区间为(−1,1)，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(−1,1)内单调递减，求实数a的取值范围．16.已知函数f(x)=x3+ax2−a2x+2．(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间．答案和解析1.解：令f(x)=12x2−ln x定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=x−1x=(x+1)(x−1)x≤0，得0<x≤1，函数的单调递减区间为(0,1]，2.解：由f(x)的图象知当x∈(−∞,1)时，f(x)单调递减，f′(x)<0当x∈(1,4)时，f(x)单调递增，f′(x)>0当x∈(4,+∞)时，f(x)单调递减，f′(x)<03.解：∵y=(x−3)e x，∴y′=e x+(x−3)e x=(x−2)e x，由y′>0得x−2>0，解得x>2，∴函数y=(x−3)e x的单调增区间是(2,+∞)．4.解：函数的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=3x−4+1x =3x2−4x+1x，由f′(x)<0得3x2−4x+1x<0，得3x2−4x+1<0，得(x−1)(3x−1)<0，得13<x<1，即函数的单调递减区间为(13,1)，5.解：∵f(x)=x2+3xf′(3)，∴f′(x)=2x+3f′(3)，令x=3，则f′(3)=2×3+3f′(3)，解得：f′(3)=−3，6.解：∵y=xlnx，∴y′=lnx+1，由y′=lnx+1=0，得极值点x=1e，∵x∈(0,5)，∴当x∈(0,1e)时，f′(x)<0，函数是单调递减函数．当x∈(1e,5)时，f′(x)>0，函数是单调递增函数．7.解：f′(x)=3x2−2ax−1，导函数为二次函数，∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴结合导函数的性质可得不等式3x2−2ax−1<0在(0,1)内恒成立．∴f′(0)≤0，f′(1)≤0，∴a≥1．8.解：∵f(x)=x3+ax+b，∴f′(x)=3x2+a．∵f(x)在(−1,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，∴f′(1)=3+a=0．∴a=−3，b∈R．9.解：f′(x)=3x2+mx =3x3+mx，若f(x)在[2,3]不单调，则3x3+m=0在[2,3]有解，且在解的两边正负号不同，即y=m和y=−3x3在(2,3)有交点，而x∈(2,3)时，函数y=−3x3单调递减，y∈(−81,−24)，故m的取值范围为(−81,−24)．10.解：f′(x)=3x 2+a ，因为函数f(x)=x 3+ax −2在区间(1,+∞)内是增函数，所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，即a ≥−3x 2在(1,+∞)上恒成立， 易知函数y =−3x 2在(1,+∞)上单调递减，所以y <−3，所以a ≥−3． 即实数a 的取值范围是[−3,+∞)．11.解：由题知f′(x)=e x [x 2+(a +2)x +a +3]≥0恒成立，即x 2+(a +2)x +a +3≥0恒成立，∴△=(a +2)2−4(a +3)≤0， 即−2√2≤a ≤2√2，故答案为：[−2√2,2√2].12.解：因为函数，其定义域为(0,1)∪(1,+∞)．f ′(x )=lnx−x·1x(lnx )2=lnx−1(lnx )2， 令f ′(x )<0，则lnx <1,解得0<x <1或1<x <e ．所以函数f(x)=xlnx 的单调减区间为(0,1)，(1,e)．故答案为(0,1)，(1,e)．13.解：(1)由题可知：f′(x)=1−lnx x 2；所以：f′(1)=1，f(1)=−1；∴函数在点(1,f(1))处的切线方程为：y −(−1)=x −1即：y =x −2． (2)因为函数的定义域(0,+∞)且f′(x)=1−lnx x 2；令f′(x)=1−lnx x >0得0<x <e ，f′(x)=1−lnx x <0得x >e ，因此函数单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,+∞)．14.解：∵f(x)=x 2−ax +lnx +b ，∴f ′(x)=2x −a +1x ，∴f(1)=1−a +b ，f′(1)=3−a ，(1)∵函数f(x)在x =1处的切线方程为x +y +2=0∴{k =f ′(1)=3−a =−11+f(1)+2=0,解得：a =4，b =0；(2)f(x)=x 2−ax +lnx +b 的定义域为{x|x >0}∵f(x)在其定义域内单调递增 ∴f ′(x)=2x −a +1x ≥0在x ∈(0,+∞)恒成立(允许个别点处取到等号) ∵2x −a +1x ≥0(x >0)即a ⩽2x +1x (x >0)(允许个别值处取到等号)令g(x)=2x +1x (x >0)，则a ≤g(x)min ，因为g(x)=2x +1x≥2√2x ⋅1x=2√2，当且仅当2x =1x 即x =√22时取到等号．所以 g(x)min =2√2，所以a ≤2√2．15.解：(1)∵f(x)=x 3+ax 2+(2a −3)x −1，∴f′(x)=3x 2+2ax +2a −3=3(x +1)(x +2a−33)由于f(x)的单调减区间为(−1,1)，∴−1和1是方程f′(x)=0的两根，∴2a−33=−1，解得a =0;(2)由(1)可知，f′(x)=3(x+1)(x+2a−33)，∵f(x)在区间(−1,1)内单调递减，∴f′(x)≤0在(−1,1)内恒成立，又函数y=f′(x)为二次函数，且图象开口向上，方程f′(x)=0的一个根为−1，又方程f′(x)=0的另一个根为3−2a3，∴3−2a3≥1，∴a≤0，∴实数a的取值范围为(−∞,0]．16.解(1)∵a=1，∴f(x)=x3+x2−x+2，∴f′(x)=3x2+2x−1，∴f′(1)=4.又f(1)=3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0．(2)f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+2ax−a2=(x+a)(3x−a)，由f′(x)=0得x=−a或x=a3.又a>0，由f′(x)<0，得−a<x<a3，由f′(x)>0，得x<−a或x>a3，故f(x)的单调递减区间为(−a,a3)，单调递增区间为(−∞,−a)和(a3,+∞)．。
高二数学选修1、3-3-1函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞0[答案] C2．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞) D ．(－12，0)及(0，12)[答案] C[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )>0，得x >12，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是() A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)[答案] D[解析] 考查导数的简单应用．f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫π2，π[答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当－π2<x<0时，cos x>0，∴y′＝x cos x<0.当0<x<π2cos x>0，∴y′＝x cos x>0.5．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则() A．a≤0 B．a<1C．a<2 D．a≤1 3[答案] A[解析]f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，即a≤0.6．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为() A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析]f′(x)＝－3x2＋a≤0，∴a≤3x2.∴a≤3.7．设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a，b)上单调递减的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A8．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则()A．b≤2 B．b＜2C．b≥2 D．b＞2[答案] A[解析]函数y＝x2－2bx＋6的对称轴为x＝b，要使函数在(2,8)内是增函数，应有b≤2成立．9．(2009·湖南文，7)若函数y＝f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()[答案] A[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.[点评] B 图中切线斜率逐渐减小，C 图中f ′(x )为常数，D 图中切线斜率先增大后减小．10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A 、C ，原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增，再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上函数值先正，再负，再正，排除B ，故选D.二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________．[答案] (－∞，－13)，(1，＋∞) [解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)，∴由y ′>0得，x >1或x <－13. 12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立，即a ≥32在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．[答案] m ≥13[解析] 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1在R 上单调，所以f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只能递增，∴Δ＝4－12m ≤0.∴m ≥13. 14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围________． [答案] a >0[解析] y ′＝－4x 2＋a ，若y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－4x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0.三、解答题15．讨论函数f (x )＝bx x 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性． [解析] ∵f (x )＝bx x 2－1(－1<x <1，b ≠0) ∴f ′(x )＝(bx )′(x 2－1)－bx (x 2－1)′(x 2－1)2＝bx 2－b －2bx 2(x 2－1)2＝－b (1＋x 2)(x 2－1)2∵－1<x <1，∴1－x 2>0，(x 2－1)2>0，①当b >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递减．②当b <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递增．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l .(1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．[解析] (1)证明：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋1)＋3＝3(x ＋1)2＋3>0恒成立，∴此函数在R 上递增．(2)解：由(1)知f ′(x )＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴l 的斜率的范围是k ≥3.17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] f (x )＝a ·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋tf ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t∵函数f (x )在(－1,1)上是增函数∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)恒成立∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在(－1,1)上恒成立即t ≥3x 2－2x 在(－1,1)上恒成立令g (x )＝3x 2－2，x ∈(－1,1)∴g (x )∈(－13，5) 故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，只需t ≥5即：所求t 的取值范围为：t ≥518．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x (e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．[解析] (1)f ′(x )＝(2ax －b )e x ＋(ax 2－bx )·e x＝[ax 2＋(2a －b )x －b ]e x ，由于f (x )的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，点A 的横坐标为1，则A (1，－e )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－e f ′(1)＝－e 即⎩⎪⎨⎪⎧(a －b )e ＝－e (3a －2b )e ＝－e ， 解得a ＝1，b ＝2.(2)由a ＝1，b ＝2得f (x )＝(x 2－2x )e x ，定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝(x 2－2)e x ＝(x －2)(x ＋2)e x ，令f ′(x )>0，解得x <－2或x > 2.令f ′(x )<0，解得－2<x < 2.故函数f (x )在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上分别单调递增，在区间(－2，2)上单调递减．。
高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析
高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析1.奇函数的定义域为，且满足，已知，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为根据已知可知f(x)在(-1,1)上递减，那么则满足a-2>3-2a,同时a-2,和2a-3都要满足在区间(-1,1)内，那么可以解得为选项D.2.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为由图可知，函数单调递减，并且导数值都为读书，变量越大利用导数的几何意义可知，那么成立的为f’(-2)<f(-2)<f(-3)<f’(-3)<03.已知函数满足，且在区间和区间上分别单调。
（Ⅰ）求解析式；（Ⅱ）若函数求的值。
【答案】解：（Ⅰ）∵，∴。
① 1分又∵在区间和区间上分别单调，∴的对称轴为，即。
②由②得，。
2分把代入①得，。
3分（Ⅱ）∵∴4分，5分∴。
6分【解析】本试题主要是考查了函数的单调性质和函数的求值的运用。
（1）根据已知f(-1)=-5,那么得到a.b的关系式，并结合对称性可知参数啊，b的值。
（2）由函数为分段函数可知函数的对应的自变量的值。
4.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。
【答案】【解析】解：因为，利用导数符号与函数单调性关系可知道f(x)的最大值，最小值分别为5.已知函数，其中.（Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）解：因为是奇函数．所以，其中且. ………… 2分即, 其中且.所以. ………………………… 6分（Ⅱ）解：. ………………………… 8分因为在区间上单调递增,所以在上恒成立，……… 9分即在上恒成立，因为在上的最小值，所以．验证知当时，在区间上单调递增. … 13分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数的性质中的运用，奇偶性和单调新的综合运用。
（1）根据奇偶性的定义先判定的定义域再看f(x)和f(-x)的关系得到结论。
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)
高中数学函数的单一性与导数综合测试题(含答案 )选修 2-2 1.3.1 函数的单一性与导数一、选择题1．设 f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx＋d(a0)，则 f(x) 为 R 上增函数的充要条件是 ()A ．b2－ 4ac0 B．b0， c0C．b＝0，c D ． b2－ 3ac0[答案] D[ 分析 ]∵a0，f(x)为增函数，f(x) ＝3ax2＋ 2bx＋ c0 恒建立，＝(2b)2－ 43ac＝ 4b2－ 12ac0， b2－3ac0.2．(2009 广东文， 8)函数 f(x) ＝ (x－ 3)ex 的单一递加区间是() A ．(－， 2) B． (0,3)C．(1,4) D ． (2，＋ )[答案] D[ 分析 ]考察导数的简单应用．f(x) ＝(x－ 3)ex＋ (x－ 3)(ex) ＝ (x－ 2)ex，令 f(x)0 ，解得 x2，应选 D.3．已知函数y＝ f(x)(xR) 上任一点 (x0， f(x0)) 处的切线斜率k ＝(x0 －2)(x0 ＋ 1)2，则该函数的单一递减区间为 ()A ．[－1，＋ ) B．(－， 2]C．(－，－ 1)和 (1,2) D ． [2，＋ )[答案]B[ 分析 ]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单一减区间为 (－， 2] ．4．已知函数y＝xf(x) 的图象如图 (1)所示 (此中 f(x) 是函数 f(x)的导函数 )，下边四个图象中，y＝ f(x) 的图象大概是 ()[答案] C[ 分析 ]当01时xf(x)0f(x)0 ，故 y＝f(x) 在 (0,1)上为减函数当 x1 时 xf(x)0 ，f(x)0 ，故 y＝ f(x) 在(1，＋ )上为增函数，所以否认 A、B、D 应选 C.5．函数 y＝xsinx ＋ cosx， x(－)的单一增区间是()A. －，－ 2 和 0，2B.－ 2， 0 和 0，2C.－，－ 2，D.－ 2，0 和[答案]A[ 分析 ] y＝xcosx，当－ x2 时，cosx0， y＝xcosx0 ，当 02 时， cosx0，y＝ xcosx0.6．以下命题建立的是 ()A ．若 f(x) 在 (a，b)内是增函数，则对任何 x(a，b)，都有 f(x)0B．若在 (a， b)内对任何x 都有 f(x)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上是增函数C．若 f(x) 在 (a， b)内是单一函数，则f(x) 必存在D ．若 f(x) 在 (a， b)上都存在，则f(x) 必为单一函数[答案]B[ 分析 ]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0 ，故 A 错； f(x)在(a，b)内是单一函数与 f(x) 能否存在无必定联系，故 C 错；f(x) ＝2 在 (a， b)上的导数为f(x) ＝ 0 存在，但f(x) 无单一性，故D错．7． (2019 福建理， 11)已知对随意实数 x ，有 f( － x) ＝－ f(x) ，g(－x) ＝ g(x) ，且 x0 时， f(x)0 ，g(x)0 ，则 x0 时 () A ．f(x)0 ，g(x) B ． f(x)0 ， g(x)0C．f(x)0 ，g(x) D ． f(x)0 ， g(x)0[答案 ]B[分析 ]f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，奇 (偶 )函数在对于原点对称的两个区间上单一性同样(反 )，x0 时， f(x)0 ，g(x)0. 8． f(x) 是定义在 (0，＋ )上的非负可导函数，且知足xf(x) ＋f(x)0 ，对随意正数 a、 b，若 ab，则必有 ()A ．af(a)f(b)B ． bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D ．bf(a)af(b)[答案 ]C[分析 ]∵xf(x) ＋ f(x)0 ，且 x0 ，f(x)0 ，f(x) －f(x)x ，即 f(x) 在(0，＋ )上是减函数，又 0＜ a＜ b， af(b)bf(a) ．9．对于 R 上可导的随意函数f(x) ，若知足 (x －1)f(x)0 ，则必有()A ．f(0) ＋ f(2)2f(1)B ． f(0) ＋ f(2)2f(1)C．f(0) ＋ f(2)2f(1) D ． f(0) ＋ f(2)2f(1)[答案] C[ 分析 ]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单一递加，在(－，1] 上单一递减或f(x) 恒为常数，故 f(0) ＋ f(2)2f(1) ．故应选 C.10．(2019 江西理， 12)如图，一个正五角星薄片( 其对称轴与水面垂直 )匀速地升出水面，记t时辰五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0) ＝0)，则导函数y＝ S(t)的图像大概为[答案]A[ 分析 ]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，此中恰露出一个角时变化不连续，应选 A.二、填空题11．已知 y ＝13x3 ＋ bx2＋ (b＋ 2)x＋ 3 在 R 上不是单一增函数，则 b 的范围为 ________．[ 答案 ] b－1 或 b2[ 分析 ]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒建立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意 b＜－ 1 或 b＞2.12．已知函数f(x) ＝ax－ lnx ，若 f(x) ＞ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，实数 a 的取值范围为 ________．[ 答案 ] a1[ 分析 ]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒建立．设 g(x) ＝ 1＋ lnxx ，则 g(x) ＝－ lnxx2 ＜ 0(x＞ 1)，g(x) ＝ 1＋ lnxx 在区间 (1，＋ )内单一递减，g(x) ＜ g(1)，∵g(1)＝ 1，1＋ lnxx ＜ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，a1.13．函数 y＝ln(x2 － x－2)的单一递减区间为__________．[答案 ] (－，－ 1)[ 分析 ]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令 f(x) ＝ x2－x － 2， f(x) ＝ 2x－10，得 x12 ，函数 y＝ ln(x2 －x－ 2)的单一减区间为 (－，－ 1)．14．若函数y＝ x3 － ax2＋ 4 在 (0,2)内单一递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．[答案 ] [3，＋ )[ 分析 ] y＝3x2 － 2ax，由题意知3x2－ 2ax0 在区间 (0,2) 内恒建立，即 a32x 在区间 (0,2)上恒建立， a3.三、解答题15．设函数 f(x) ＝x3－ 3ax2＋ 3bx 的图象与直线12x ＋y－ 1＝0 相切于点 (1，－ 11)．(1)求 a、 b 的值；(2)议论函数f(x) 的单一性．[ 分析 ] (1)求导得 f(x) ＝ 3x2－6ax＋3b.因为 f(x) 的图象与直线12x＋y － 1＝0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11，f(1) ＝－ 12，即 1－ 3a＋3b＝－ 113－6a＋3b＝－ 12，解得 a＝ 1，b＝－ 3.(2)由 a＝ 1， b＝－ 3 得f(x) ＝3x2－ 6ax＋3b＝ 3(x2－ 2x－ 3)＝3(x ＋1)(x － 3)．令 f(x)0 ，解得 x －1 或 x3；又令 f(x)0 ，解得－ 13.所以当 x(－，－ 1)时， f(x) 是增函数；当x(3 ，＋)时，f(x) 也是增函数；当 x( － 1,3)时， f(x) 是减函数．16．求证：方程x－ 12sinx＝ 0 只有一个根x＝ 0.[ 证明 ]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则 f(x) ＝ 1－12cosx＞ 0，f(x) 在(－，＋ )上是单一递加函数．而当 x＝ 0 时， f(x) ＝ 0，方程 x－ 12sinx ＝0 有独一的根x＝ 0.17．已知函数y＝ ax 与 y＝－ bx 在(0，＋ )上都是减函数，试确立函数 y＝ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 剖析 ] 可先由函数 y＝ax 与 y＝－ bx 的单一性确立 a、b 的取值范围，再依据 a、 b 的取值范围去确立 y＝ ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 分析 ]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由 y＝ ax3＋bx2＋ 5 得 y＝ 3ax2＋ 2bx.令 y＞ 0，得 3ax2＋ 2bx＞0，－ 2b3a＜ x＜ 0.当 x－ 2b3a， 0 时，函数为增函数．令 y＜ 0，即 3ax2＋ 2bx＜0，x＜－ 2b3a，或 x＞ 0.在－，－ 2b3a，(0，＋ )上时，函数为减函数．18． (2019 新课标全国文，21)设函数 f(x) ＝x(ex － 1)－ ax2.(1)若 a＝ 12，求 f(x) 的单一区间；(2)若当 x0 时 f(x)0 ，求 a 的取值范围．[ 分析 ] (1)a＝12 时， f(x) ＝x(ex － 1)－12x2，f(x) ＝ex－ 1＋ xex－ x＝ (ex－ 1)(x ＋ 1)．当 x( －，－ 1)时， f(x)0 ；当 x(－ 1,0)时， f(x)0 ；当 x(0 ，＋ )时， f(x)0.故 f(x) 在 (－，－ 1]， [0，＋ )上单一递加，在[ －1,0] 上单一递减．(2)f(x) ＝ x(ex － 1－ ax)．令 g(x) ＝ ex－ 1－ ax，则 g(x) ＝ex－ a.“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。
高二数学函数的单调性与导数试题
高二数学函数的单调性与导数试题1.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则A．极大值为，极小值为B．极大值为，极小值为C．极大值为，极小值为D．极大值为，极小值为【答案】D【解析】解：观察图象知，x＜-3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x）＜0．-3＜x＜0时，y=x•f′（x）＜0，∴f′（x）＞0．由此知极小值为f（-3）．0＜x＜3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．x＞3时，y=x•f′（x）＜0，∴f′（x）＜0．由此知极大值为f（3）．故选D．2. .函数在=1时有极值10，则的值为（）A．=3,=－3或=―4,=11B．=－4,=1或=－4,=11C．=－1,=5D．以上都不对【答案】D【解析】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2-2ax-b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴ f′(1)="3-2a-b=0" f(1)=1-a-b+a2=10 ，解得 a=-4， b=11 或 a=3， b=-3 ，当a=3，b=-3时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0∴在x=1时f（x）无极值，考察四个选项，只有D选项符合故选D．3.已知，在区间上任取三个数，均存在以为边长的三角形，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0得到x1=1，x2=-1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m-2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m-2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即-4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C4.（本小题满分14分）已知函数处取得极值2.（1）求函数的解析式；（2）实数m满足什么条件时，函数在区间上单调递增？（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①；②当恒成立.若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）满足条件的m的取值范围是【解析】(1) 根据,建立关于a,b的方程，求出a,b的值.(2)先求出f(x)的单调增区间D，根据(m,2m+1)是D的子区间可以确定m的取值范围.(3)本小题转化为在上的最小值,然后利用导数研究最小值即可.解：（1）已知函数（2）由—1（—1，1）1——（3）分两种情况讨论如下：①当恒成立，必须当恒成立，必须故此时不存在这样的m值.综合①②得：满足条件的m的取值范围是5.已知函数在上是单调函数,则实数的取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在上是单调函数6.已知函数的定义域为R，满足，当时，，且，则使得的取值范围是 _。
北师大版高中数学选修高二导数与函数的单调性同步练习
3.1.1 导数与函数的单调性同步练习1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 32.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.3.求下列函数的单调区间(1)y =x x 2+ (2)y =92-x x (3)y =x +x4．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.参考答案1．(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)( x －4)令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33)令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2．解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－a b 2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－ab 2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－a b 2.∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3．(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x ≠0时，－22x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =92-x x 的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx . 当x ＞0时x 21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞)4．解：y ′=(x +x1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x 1的单调增区间是(－∞，－1)和(1， +∞). 令2)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x 1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)。
高二数学利用导数研究函数的单调性试题
高二数学利用导数研究函数的单调性试题1.函数的单调递增区间是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】，；令，得，即函数的单调递增区间是.【考点】利用导数研究函数的单调性.2.已知函数f(x)是偶函数，在上导数>0恒成立，则下列不等式成立的是( ).A．f(-3)<f(-1)<f(2)B．f(-1)<f(2)<f(-3)C．f(2)<f(-3)<f(-1)D．f(2)<f(-1)<f(-3)【答案】B【解析】因为函数在上，所以函数在上为增函数；又因为为偶函数，所以，，所以，即.【考点】函数的奇偶性.3.已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．【答案】（1）；（2）减区间(0,1)，增区间(1,+∞)【解析】(1)由函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值可知,解得;(2)由(1)可知,其定义域是(0,+∞),由,得由,得所以函数的单调减区间(0,1)，增区间(1,+∞).试题解析：(1)又函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值,所以解得.(2)由(1)可知,其定义域是(0,+∞)由,得由,得所以函数的单调减区间(0,1)，增区间(1,+∞).【考点】1.导数与极值;2.导数与单调性4.函数（1）a=0时，求f(x)最小值；（2）若f(x)在是单调减函数，求a的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）求函数最值问题，对于这类含有对数和分式的函数（只要是几种初等函数的四则复合）往往采用求导数的方法，利用函数的单调性求函数最值；（2）含参量函数性质讨论问题，往往都涉及导数.试题解析：（1）时，， 3分时时，∴f(x)在(0,1)单减，在单增， 5分时有最小值1 6分方法一：，在为减函数，则，即，当恒成立，∴最小值 9分令，则，12分方法二：要使函数在为减函数，可知， 9分即在,,则有 . 12分【考点】（1）导数与函数单调性；（2）含参量恒成立问题（一般采用分离常数法），特殊函数性质讨论法.5.己知函数在处的切线斜率为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设，对使得恒成立，求正实数的取值范围；（3）证明：.【答案】（1）；的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）证明见解析【解析】（1）由及处的切线斜率为，可得，即可求得，故，由及即可求得的单调区间；（2）由，，使得恒成立，只须，由（1）可求得，因为，故只须，即可求得.（3）要证明,只须证，即证，由（1）易知，当时，，为减函数，，即，故当时，，，进而再利用裂项放缩，即可证明结果成立.试题解析：（1）由已知：，∴由题知，解得；于是，当时，，为增函数，当时，，为减函数，即的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1），，即的最大值为，由题知：对，，使得恒成立，只须，，∴只须，解得．（3）要证明．只须证，只须证．由（1）当时，，为减函数，，即，∴当时，，，．【考点】利用导数求函数单调性；不等式恒成立；裂项放缩证明不等式.6.已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x）＜3则不等式＜3x－15的解集为()A．(﹣∞，4）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D．（4，﹢∞）【答案】【解析】设,则所求的不等式解集可理解为使的解集.的导函数为,根据题意可知对任意实数恒成立,所以在上单调递减.则,令,则根据单调递减可知:.【考点】导数法判断单调性;根据单调性解不等式.7.已知f(x)=e x-ax-1．（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【答案】（1）若，的单调增区间为 , ,的单调增区间为；（2）.【解析】（1）对f(x)求导得，解可得单调增区间，解不等式过程中要对进行讨论；(2) 在R上单调递增，则在R上恒成立 ,即恒成立,即,求出的最小值即可.试题解析：解：（1） 1分若，则，此时的单调增区间为 2分若，令，得此时的单调增区间为 -6分（2）在R上单调递增，则在R上恒成立 -8分即恒成立即，因为当时，所以 -12分-0 +【考点】求导，函数的单调性与导数的关系.8.已知是函数的一个极值点，其中.（1）与的关系式；（2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点处的切线的斜率恒大于，求的取值范围．【答案】（1）；（2）的增区间为，减区间为；（3）.【解析】（1）求出，因为是函数的一个极值点，所以得到即，求出与的关系式；（2）令，求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（3）函数图像上任意一点的切线斜率恒大于即代入得到不等式即，又因为，分和，，求出的最小值.要使恒成立，即要，解出不等式的解集求出的取值范围.试题解析：（1）因为是函数的一个极值点，所以即.（2），因为，所以.所以的增区间为，减区间为.（3）由题意得：，在时恒成立.令，因为，所以解得：.【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．9.已知函数（）（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）见解析【解析】（1）求导数，对参数进行分类讨论，当导函数大于0时，得到增区间，导函数小于0时得到减区间。
高二数学利用导数研究函数的单调性试题
高二数学利用导数研究函数的单调性试题1.已知函数的图象经过点（1，4），曲线在点处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围【答案】（1）;（2）【解析】（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；（3）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．试题解析：解：的图象经过点，①式则由条件，得，即②式由①②得由于，令得函数在区间上单调递增解得．【考点】（1）导数的几何意义；（2）函数单调区间的应用．2.已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）当a≥0时，递增区间为(0，＋∞)；当a＜0时，递减区间是(0，)；递增区间是(，＋∞)；（Ⅱ）．【解析】解题思路：（Ⅰ）求定义域与导函数，因含有参数，分类讨论求出函数的单调区间；（Ⅱ）利用“函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立”，得到不等式恒成立；再分离参数，求函数的最值即可.规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立.试题解析：（Ⅰ）f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a＜0时，f′(x)＝．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：(0，)(，＋∞)－0＋由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞)．（Ⅱ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝－x2，在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0，＝h(2)＝－，所以a≤－．所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min故实数a的取值范围为{a|a≤－}.【考点】1.利用导数求函数的单调区间；2.根据函数的单调性求参数.3.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数在上单调递增即在恒成立,则有在恒成立即,构造函数,,当时, ,当时, ,所以当时,因此,答案为.【考点】1.导数与函数的单调性;2.不等式的恒成立问题;3.函数的最值问题4.若函数在区间上单调递增，且方程的根都在区间上，则实数b 的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数在区间上单调递增，其导数在上恒成立，即在上恒成立，可得，而的三个根，，要使方程的根都在区间内，只需，解得，.故选C.【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式恒成立.5.已知函数在区间上为减函数，则的取值范围是__ ___．【答案】【解析】因为，由，所以函数的单调减区间为，要使函数在区间上为减函数，则，所以．【考点】函数的单调性与导数．6.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)满足.（1）求f(x)的解析式；（2）讨论f(x)在区间(-3，3)上的单调性.【答案】（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为，.【解析】（1）先对求导可得，由得，又F(x)=f(x)-3x2是奇函数，得的值，代加上式可得，可得函数解析式；（2）由（1）知函数的导函数，令得增区间，令得减区间.试题解析：解：（1） 1分F(x)=f(x)-3x2是奇函数，得 3分，得 5分6分（2）令得 10分-0 +0-所以单调递增区间为单调递减区间为， 12分【考点】求导，函数的单调性与导数的关系.7.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 ( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】先根据可确定，进而可得到在时单调递增，结合函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数可确定在时也是增函数．于是构造函数知在上为奇函数且为单调递增的，又因为，所以，所以的解集为，故选D．【考点】利用导数研究函数的单调性．8.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 ( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】先根据可确定，进而可得到在时单调递增，结合函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数可确定在时也是增函数．于是构造函数知在上为奇函数且为单调递增的，又因为，所以，所以的解集为，故选D．【考点】利用导数研究函数的单调性．9.定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数，则满足的x的集合为()A．{x|x<1}B．{x|－1<x<1}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x>1}【答案】A【解析】令，知，又，即，则得在上为增函数，又，不等式，可变为，即，知．【考点】导数与函数的单调性．10.函数在上的最小值是 .【答案】【解析】因为，，所以在单调递减，在单调递增，从而函数在上的最小值是.【考点】函数的最值与导数.11.水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为(1)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）．【答案】（1）枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月; （2）一年内该水库的最大蓄水量是108．32亿立方米．【解析】（1）对分段函数分别在两个范围内解小于50的不等式，可求得的范围，且取整可得；（2）由（1）知，的最大值只能在(4,10)内内达到，对求导，，，求得在(4,10)的极大值即为最值．解:（1）①当时，化简得，解得． 2分②当时，,化简得，解得．综上得，,或．故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月． 4分（2）由（1）知，的最大值只能在(4,10)内内达到．由, 6分令，解得（舍去）．当变化时，与的变化情况如下表：10分由上表，在时取得最大值（亿立方米）． 11分故知一年内该水库的最大蓄水量是108．32亿立方米． 12分【考点】导数的应用，函数的极值．12.若函数上为递减函数，则m的取值范围是。
导数与函数的单调性练习含答案
第2讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性一、选择题1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为() A．(0,1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0,1)．答案 A2．(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sin x，则f(x)() A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数解析因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.答案 B3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )． 答案 C4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立． 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52. 答案 D5．(2017·上饶模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 解析 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.答案 B二、填空题6．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)e x(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．解析因为f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．答案(－2，2)7．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－(x－1)(x－3)x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.答案(0,1)∪(2,3)8．(2017·武汉模拟)已知f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________．解析 由f (x )＝2ln x ＋x 2－5x ＋c ，得f ′(x )＝2x ＋2x －5，又函数f (x )在区间(m ，m ＋1)上为递减函数， ∴f ′(x )≤0在(m ，m ＋1)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2m －5≤0，2m ＋1＋2(m ＋1)－5≤0，解得12≤m ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1三、解答题 9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x ，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0， 即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0， 则f (x )在(－∞，1)上为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1， 因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b .答案 C12．(2016·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立． 令t ＝cos x ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0.在t ∈[－1,1]上恒成立．∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立．令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－3a －1≤0，g (－1)＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13. 答案 C13．(2017·合肥质检)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________． 解析 令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又g (－x )＝f (－x )－x＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )， 则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)． 则f (x )＝xg (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，g (x )<0，解得x >2或－2<x <0，故不等式f (x )>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)． 答案 (－2,0)∪(2，＋∞)14．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1. (2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，∴x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x ∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值范围是(－∞，2].。
导数与函数的单调性练习题
答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0 或 f ′(x )≤03．函数 f (x )＝x ＋ 的单调区间为________．－1)，令 f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得 x < ，7．已知 y ＝ x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3 在 R 上不是单调增函数，则 b 的范围为________．基础巩固题：1.函数 f(x)= ax + 1x + 2导数与函数的单调性在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数 a 的取值范围为（ ）1 1 1 <a< <-1 或 a> > >-22 2 21 - 2a 1答案：C 解析：∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即 a> .x + 2 22．已知函数 f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数 f (x )在(0,1)上单调，则实数 a 的取值范围是()A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0 或 a ≤－4D ．a >0 或 a <－4ax在(0,1)上恒成立，即 2x 2＋2x ＋a ≥0 或 2x 2＋2x ＋a ≤0 在(0,1)上恒成立， 所以 a ≥－(2x 2＋2x )或 a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记 g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0，∴a ≥0 或 a ≤－4，故选 C.9x答案：(－3,0)，(0,3)解析：f ′(x )＝1－x 2＝ x 29 x 2－9 ，令 f ′(x )<0，解得－3<x <0或 0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数 y = x 2 - x 3 的单调增区间为，单调减区间为___________________2 答案： (0, ) ； (-∞,0),( 32 3 , +∞) 解析： y ' = -3x 2 + 2 x = 0, x = 0, 或x =23 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令 3(x －2)(x －4)＞0，解得 x ＞4 或 x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令 3(x －2)(x －4)＜0，解得 2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3 的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得 x ＞1 或 x ＜－1.∴y =3x －x 3 的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数 y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，1 2∴函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)13= x 2 x 2 [答案] b <－1 或 b >2[解析] 若 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0 恒成立，则 Δ＝4b 2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意 b ＜－1 或 b ＞2.8.已知 x ∈R,求证：e x ≥x +1．证明:设 f （x ）=e x －x －1,则 f ′（x ）=e x －1．∴当 x =0 时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当 x ＞0 时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0． 当 x ＜0 时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数 y =x + 1 x，试讨论出此函数的单调区间.1 x2 - 1 ( x + 1)( x - 1) ( x + 1)( x - 1)解：y ′=(x + )′=1－1·x －2= 令 ＞ 0. x x 21 ( x + 1)( x - 1)解得 x ＞1 或 x ＜－1.∴y =x + 的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令x x 21＜0，解得－1＜x ＜0 或 0＜x ＜1. ∴y =x + 的单调减区间是(－1，0)和(0，1)x10．已知函数的图象过点 P （0，2），且在点 M （－1，f （－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求 函数 y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数 y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由 f(x)的图象经过 P （0，2），知 d=2，所以由在 M(-1,f(-1))处的切线方程是， 知故所求的解析式是（Ⅱ）解得当 当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力．11.已知函数 f(x)=x 3-x 2+bx+c. (1)若 f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求 b 的取值范围; 解 （1）=3x 2-x+b,因 f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即 3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2 在（-∞，+∞）恒成立.设 g(x)=x-3x 2. 当 x=时，g(x)max =,∴b≥. 12.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数 a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足≥0 即可.的对称轴是 x=,∴a 的取值应满足：或解得:a≤.∴a 的取值范围是 a≤.∵=3x 2-2(a+1)x+a13．已知函数 f ( x ) = 4 x + ax 2- 2 3x 3( x ∈ R) 在区间 [-1,1]上是增函数，求实数 a 的取值范围．解： f ' ( x ) = 4 + 2ax - 2 x 2 ，因为 f (x )在区间 [-1,1]上是增函数，所以 f ' ( x ) ≥ 0 对x ∈[-1,1] 恒成立，即 x 2 - ax - 2 ≤ 0 对 x ∈[-1,1] 恒成立，解之得： -1 ≤ a ≤ 1(x －1)2 解析：f ′(x )＝ ＝(x －1)3 (x －1)3当 b －1＝1，即 b ＝2 时，f (x )＝ ，所以函数 f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，所以实数 a 的取值范围为 [-1,1]．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调 性关系：即“若函数单调递增，则 f ' ( x ) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ' ( x ) ≤ 0 ”来求解，注 意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + ax + d 的图象过点 P （0，2），且在点 M （－1， f (-1) ）处 的切线方程 6 x - y + 7 = 0 ，（1）求函数 y = f ( x ) 的解析式；（2）求函数 y = f ( x ) 的单调区间。
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一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac>0B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0[答案] D[解析]∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[答案] D[解析]考查导数的简单应用．f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)[答案] B[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案] C[解析] 当0<x <1时xf ′(x )<0∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C.5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫π2，π [答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0.6．下列命题成立的是( )A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存在，则f (x )必为单调函数 [答案] B[解析] 若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内是单调函数与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数为f ′(x )＝0存在，但f (x )无单调性，故D 错．7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0[答案] B[解析] f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.8．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )[答案] C[解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f (x )x ，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又0＜a ＜b ，∴af (b )≤bf (a )．9．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)[答案] C[解析] 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2[解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2， 由题意b ＜－1或b ＞2.12．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．[答案] a ≥1[解析] 由已知a ＞1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx 2＜0 (x ＞1)，∴g (x )＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1，∴1＋ln xx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1. 13．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________． [答案] (－∞，－1)[解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)， 令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．14．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________． [答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立， 即a >32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.三、解答题15．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12， 解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．16．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0.[证明] 设f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x ＞0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数． 而当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一的根x ＝0.17．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[分析] 可先由函数y ＝ax 与y ＝－bx 的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[解析] ∵函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0，∴－2b3a ＜x ＜0.∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－2b3a ，0时，函数为增函数． 令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0， ∴x ＜－2b3a，或x ＞0.∴在⎝⎛⎭⎫－∞，－2b3a ，(0，＋∞)上时，函数为减函数． 18．(2010·新课标全国文，21)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． [解析] (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.当a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．。