矩阵与变换练习题
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等二轮复习专题练习(一)含答案新教材高中数学
高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．若22
11
x x x y y y =--,则______x y +=（汇编年高考上海卷（理）） 2．已知线性方程组的增广矩阵为116 12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组解为42⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则实数a =_1-__． 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
＝
31⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．求矩阵M ．
4．二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-.
(1)求矩阵M 的逆矩阵1-M ；
(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求l 的方程．。
矩阵与变换练习题
矩阵与变换编写：陈爱兵 审核：黄爱华1.由曲线22221x y 变换为曲线221812x y ，变换矩阵为____________； 2.已知矩阵31 cos60 sin 6022,31sin60 cos60 22A B ，则先A 后B 的变换所对应的矩阵是______________；3.若81 1 10 10 1x ，则12log x =__________； 4.若点22,A 在矩阵cos sin sin cos αααα对应的变换作用下得到的点为(1,0)，则α=________； 5.若矩阵 a b A c d 有两个不等的特征值,m n ，则22m n =___________；6.在密码学中，常用二阶矩阵对信息进行加密。
现在我们先将英文字母数字化1,2,,26a b z ，发送方要传递的信息是：come on 。
双方约定的矩阵是5 17 3，则发送的密码应该是_______________；7.已知在矩阵M 的作用下点(1,2)A 变成了点(11,5)A ，点(3,1)B 变成了点(5,1)B ，点(,0)C x 变成了(,2)C y ，求矩阵M 并求,x y 的值。
8.若cos sin (R)sin cos xθθθθθ，试求2()23f x x x 的最值。
9.已知矩阵(), 1,2x A f x B x x C a ，若A BC ，求函数()f x 在1,2上最小值。
10.已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°。
⑴求矩阵A 及A 的逆矩阵B ；⑵已知矩阵 3 32 4M，求M 的特征值和特征向量； ⑶若81α在矩阵B 的作用下变换为β，求50M β(运算结果用指数式表示)。
11.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵0 10 1N=1 0 1 0M ，-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等二轮复习专题练习(一)带答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．若矩阵A 有特征值122,1λλ=-=，它们所对应的特征向量分别为10i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦和01j ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵A =______________. 2．有下列四种变换方式:①向左平移4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8π; ③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8π,再将横坐标变为原来的21; 其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)42s i n (π+=x y 的图像的是______________ 评卷人得分 二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在矩阵02a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)， 求a ，b 的值．4．选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值．将上述结果代入直线l 的方程得()2321066x ay bx y ab ab ''-+''+++=++，5．已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-（1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.6． 若点A （2，2）在矩阵M= ⎢⎣⎡ααsin cos ⎥⎦⎤-ααc oss in 对应变换的作用下得到的点为B （-2，2），求矩阵M 的逆矩阵。
（本小题满分10分）7．已知二阶矩阵A 有特征值31=λ及其对应的一个特征向量111轾犏=犏臌α，特征值12-=λ及其对应的一个特征向量211轾犏=犏-臌α，求矩阵A 的逆矩阵1A -．8．变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(三)带答案人教版高中数学
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．已知矩阵27b A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵是273a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则=+b a ． 2．已知2和3是矩阵25m A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值，则A =＿＿＿＿＿; 1A -=＿＿＿＿＿。
2()(2)25f n n m λλλ=-++-30n m =⎧⎨=⎩ 20,53A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，11025163A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 评卷人得分 二、解答题3． （本小题14分）设矩阵0 0ab ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中0,0a b ><）. （1）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵-1M ；（2）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2/2:14x C y +=，求,a b 的值.4．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A ，1201B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）若点P 在矩阵B 的变换下得到点)1,3('-P ，求点P 的坐标；（2）把直线02:=++y x l 先进行矩阵A 所对应的变换，再进行矩阵B 所对应的变换得到直线'l ，求直线'l 的方程．5．已知曲线22:1C x y +=，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，再作矩阵B=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线22:14x C y +=．求实数b 的值。
6．求曲线C ：xy=1在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111M 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程。
7．已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ a b ⎤⎥⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向是是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）若向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A β的值.8．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y ++=在矩阵14a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:40m x y --=，求实数,a b 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．82． 评卷人得分 二、解答题3． （1）01 2103-⎤⎡⎥⎢=⎥⎢⎣⎦1M ； ………………………7分 （2）2,1a b ==. ………………………14分4．（1）)1,1(-P ； （2）02:'=++y x l ．5．6．7．8．。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等考前冲刺专题练习(三)带答案新教材高中数学
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．圆221x y +=在矩阵1300⎡⎤⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下的曲线方程为___________． 2．已知 1 04 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
B , 则矩阵B= . 评卷人
得分 二、解答题
3．已知矩阵213122A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵B ；
（Ⅱ）若直线l 经过矩阵B 变换后的直线方程为730x y -=，求直线l 的方程.
4．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等考前冲刺专题练习(二)含答案人教版高中数学考点大全
依题意可得 ， 或 而由 可得 ．………6分
故 , ．…………………………………………10分
5．解：由题意得 ，…………………………………………………5分
， …………………………10分
6．
7．
8．解：设 为曲线 上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点 ，
则有 ，…………………………………4分
8．求曲线 : 在矩阵 对应的变换下得到的曲线 的方程。
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、填空题
1．A．解析：设直线上任一点经变换后，变为，则，又P′在直线上，∴，从而即与是同一条直线∴，从而．
解析：A．解析：设直线 上任一点 经变换后，变为 ，则 ，又P′在直线 上，
∴ ，从而
即 所以 ……………………………………………………8分
又因为点P在曲线 上，所以 ，
故有 即所得曲线方程 .…………………………………………………10分
评卷人
得分
二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）若 ，求 ．
4．设曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 ，求矩阵M的逆矩阵 ．
5．已知矩阵 ， ，求满足 的二阶矩阵 ．
6．试用逆矩阵解二元一次方程组
[来源:学科网]
7．已知 为矩阵 属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2。
即 与 是同一条直线
∴ ，从而 ．
2．易得……3分,在直线上任取一点，经矩阵变换为点，则，∴，即……8分代入中得,∴直线的方程为……………10分
解析：易得 ……3分,在直线 上任取一点 ，经矩阵 变换为
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(四)带答案人教版高中数学考点大全
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．已知A(0,0),B (1,3),C(0,2)，△ABC 在矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321对应的变换作用下得到的图形的面积为 ．2．在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积.评卷人得分二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值．4．已知121217⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，M β，计算5M β．5．已知曲线22:1C x y +=，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，再作矩阵B=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线22:14x C y +=．求实数b 的值。
6．给定矩阵⎢⎣⎡=32A ⎥⎦⎤01，.22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B（1）求A 的特征值21,λλ及对应的特征向量21,αα； （2）求.4B A7．已知矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.[来8．已知2143M -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，4131N -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求二阶方阵X ，使MX N =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．2．，..................4分设为椭圆上任一点，它在的作用下所对应的点为，则，..................6分∴，即， (10)分代入得， (12)分∴.………………14分解析： 010*********MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………4分设00(,)x y 为椭圆2241x y +=上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(,)x y ，则000010202x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………6分 ∴ 002x x y y =⎧⎨=⎩，即002x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ………………10分代入220041x y +=得221x y +=， ………………12分∴ S π=. ………………14分 评卷人得分二、解答题3．设直线l 上任意一点(,)P x y 在矩阵M 作用下的点P '的坐标为(,)x y ''， 则'012'x a x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,2.x ax y x y '=⎧⎨'=-+⎩……………………………4分将点(,)P x y '''代入直线:40l x y '+-=， 得(1)240a x y -+-=．即直线l 的方程为1202a x y -+-=．所以3a =． ……………………………10分 4．矩阵M的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----．………………………………3分 令12()031f λλλ===-，解得，，从而求得对应的一个特征向量分别为121111⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，αα． ………………………………………………………………………5分令m n =+12，βαα所以求得4m =， 3n =-．………………………………………………7分55551212(43)4()3()=-=-M M ααM αM αβ5511224()3()λλ=-αα5511975433(1)11969⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………………10分 5． 6． 7．8．解：设x y X z w ⎛⎫=⎪⎝⎭，按题意有21414331x y z w --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分根据矩阵乘法法则有2421433431x z y w x z y w -=⎧⎪-=-⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ ……6分解之得92151xyzw⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪=-⎪⎩ (8)分∴91251X⎛⎫-⎪=⎪-⎝⎭……10分。
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得分 一、填空题
1．函数221log ()2y x =+的值域为_______________. 关键字：复合函数；求值域；对数
2．方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩
对应的增广矩阵为 . 评卷人
得分 二、解答题
3．（本小题满分12分）
二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-变换成点(1,1)--，点(2,1)-变换成点(0,2)-.
（1）求矩阵M ；
（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：24x y -=，求l 的方程． (12,13班做)设不等式|2x －1|＜1的解集为M ．
(1)求集合M ；。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等考前冲刺专题练习(六)含答案人教版高中数学考点大全
另 ＝1 ， ．
另 ，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是 ．
7．解（1）由题意知： ，……………………2分
= ,
即： ＝ ,
……………………6分
∴解得： . ……………………8分
（2） 时，矩阵 的特征多项式为
,
令 , ……………………12分
得到 的特征值为 1=5， 2=-4．……………………14分
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得分
一、填空题
1．已知点 ， ， ， 在矩阵 对应的变换作用下变成 ，
则 的面积为8．
2．设曲线 在 对应的变换下变成另一条曲线 ,则曲线 的方程为______
8．设 则 ，…………………………5分
故 ………………………10分
评卷人
得分
二、解答题
3．已知矩阵A= ，B= ，
求满足AX=B的矩阵B把直线 的方程。
5．试用行列式解二元一次方程组
6．若点A（2，2）在矩阵 对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．
7．已知矩阵 ，
(1)若矩阵 的逆矩阵 ，求 ；
(2)若 ，求矩阵 的特征值．
8．已知 ,求矩阵B.
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评卷人
得分
一、填空题
1．
2．
评卷人
得分
二、解答题
3．解：由题意得 ，…………………………5′
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即 所以 ……………………………………………………8分
又因为点P在曲线 上，所以 ，
故有 即所得曲线方程 .…………………………………………………10分
7．设直线 在 对应变换下变成另一个图形 ，（1）求变换矩阵 ;（2）求图形 的方程。
8．求曲线 : 在矩阵 对应的变换下得到的曲线 的方程。
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得分
一、填空题
1．
2．考查行列式运算法则=
评卷人
得分
二、解答题
3． ； ；
4．解：MN= = ，…………………………………4分
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号人
得分
一、填空题
1．已知 ,则矩阵B=.
2．行列式 的值是0。
评卷人
得分
二、解答题
3．二阶矩阵 对应的变换将点 与 分别变换成点 与 .
(1)求矩阵 的逆矩阵 ；
(2)设直线 在变换 作用下得到了直线 ，求 的方程．
4．求曲线 在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中 ， 。
5．试求曲线 在先经过矩阵M= 的变换，再经过矩阵N= 的变换后所得的新曲线方程．
6．求矩阵 的逆矩阵.
【解析】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。
设 是曲线 上任意一点，点 在矩阵MN对应的变换下变为点 ，
则有 ，于是 ， .…………………8分
代入 得 ，
所以曲线 在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为 ………………………10分
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等早练专题练习(三)含答案高中数学
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得分
一、填空题
1．现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一处密码把英文的明文（真实名）按字母分解，其中英文a ，b ，c …，z 这26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3…，26这26个正整数。
（见下表）
a b c d e f g h i J k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
用如下变换公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤∈+≤≤∈+=')
2,261,(132
)
2,261,(2
1整除能被整除不能被x x N x x x x N x x x 将明文转换
成密码。
如：132
12525::,1713288=+→=+→
再如变成即q h ，即y 变成m ； 上述变换规则，若将明文译成的密码是live ，那么原来的明文是
2．若).,,(1)1(2
是虚数单位i R b a bi ai ∈+-=+则bi a += .。
矩阵与变换练习题
4．假设点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵． 解 由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22， 即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22，∴⎩⎨⎧ cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎨⎧cos α＝0，sin α＝1. ∴M ＝⎣⎡⎦⎤01 －10.由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10. 5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A .解 由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎨⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎨⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.6．矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．7.求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点， 它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y 2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4. 所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.8．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎨⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤012－1 0. 9.设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a >0，b >0)． (1)假设a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)假设曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 那么MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. ∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎨⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，∴x ′24＋y ′2＝1.那么a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程． 又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.10. 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，假设点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求： (1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，那么矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4. f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1时，⎩⎨⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0⇒x ＋y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝4时，⎩⎨⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0⇒2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.11．二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.因⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4， 故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16， 故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，那么Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.12．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)假设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.。
矩阵变换练习题
矩阵变换练习题考虑以下矩阵变换练习题，通过解题的过程，加深对矩阵变换的理解。
题目一：已知矩阵A = [[2, 3], [1, 4]]，矩阵B = [[5, 1], [2, 3]]，求矩阵A与矩阵B的乘积。
解答一：首先，我们需要了解矩阵的乘法运算法则。
矩阵A与矩阵B的乘积C = A × B，其结果矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B 的列数。
而C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列元素逐个相乘之后再求和。
根据上述规则，我们可以进行矩阵A与矩阵B的乘积计算。
首先，计算矩阵C的第1行第1列元素：C[1][1] = A[1][1] × B[1][1] + A[1][2] × B[2][1] = 2 × 5 + 3 × 2 = 4 + 6 = 10。
接着，计算矩阵C的第1行第2列元素：C[1][2] = A[1][1] × B[1][2] + A[1][2] × B[2][2] = 2 × 1 + 3 × 3 = 2 + 9 = 11。
然后，计算矩阵C的第2行第1列元素：C[2][1] = A[2][1] × B[1][1] + A[2][2] × B[2][1] = 1 × 5 + 4 × 2 = 5 + 8 = 13。
最后，计算矩阵C的第2行第2列元素：C[2][2] = A[2][1] × B[1][2] + A[2][2] ×B[2][2] = 1 × 1 + 4 × 3 = 1 + 12 = 13。
综上所述，矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵C = [[10, 11], [13, 13]]。
已知矩阵D = [[2, 4, 1], [3, 0, 2]]，矩阵E = [[-1, 3], [2, -2], [5, 1]]，求矩阵D与矩阵E的乘积。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合检测专题练习(二)附答案高中数学
高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．已知X 是二阶矩阵，且满足满足23321211X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X =＿＿＿＿＿。
4511-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
132233223451112111211X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2．（理）写出系数矩阵为()1221，且解为()()11x y =的一个线性方程组是 ． （文）系数矩阵为
()1221的线性方程组{112233a x b y a x b y +=+=的解是{___,___.x y == 评卷人
得分
二、解答题
3．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3．
(1)求a ，b 的值；
(2)求属于2λ的一个特征向量α．
4．选修4—2：矩阵与变换。
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矩阵与变换
1. 定义运算bc ad d b c a
-=，则符合条件1
21211-+--x y y x = 0的点P (x , y )的轨迹方程为（ ） A ．(x – 1)2 + 4y 2 = 1 B ．(x –1)2 – 4y 2 = 1
C ．(x –1)2 + y 2 = 1
D ．(x –1)2 – y 2 = 1
2. 定义运算：4321
a a a a ＝a 1a 4－a 2a 3，则函数f(x)＝1
sin 1cos x x -的最大值是 ． 3、已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 －23 －7，若矩阵X 满足MX ＝⎣⎡⎦⎤1－1，求矩阵X .
4、设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4 2k 7，若AB ＝BA ，则实数k ＝________. 5. 若点A （2，2）在矩阵M= ⎢⎣⎡ααsin cos ⎥⎦
⎤-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B （-2，2），求矩阵M 的逆矩阵。
6.求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵.
7. 已知二阶矩阵M 满足：M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221=,求M
100⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-22
8.已知角α的顶点在原点，始边与x
轴的正半轴重合，终边经过点(P -． （1）定义行列式a b a d b c c d =∙-∙ 解关于x 的方程：cos sin 10sin cos x x αα+=；
（2）若函数()sin()cos()f x x x αα=+++(x ∈R )的图像关于直线
0x x =对称,求0tan x 的值．
9. 已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点
(4,0)P '-，（1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.
10. 曲线22421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的作用下变换为曲线2221x y -=， （1）求实数,a b 的值；（2）求M 的逆矩阵1M -.
11已知曲线C ：xy=1,将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45度后，得到的曲线c ’的方程？
12设a,b 都是实数，若矩阵⎢⎣
⎡⎥⎦⎤-=b a A 10把直线l:2x+y-7=0变换为另一直线l ’：9x+y-91=0,求a,b 的值。
13已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A （1,2）变成了A ’（4,5），点B （3，-1）变成了点B ’(5,1),求矩阵M
14.(2011年高考江苏卷21)
已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2A αβ=．
15在平面直角坐标系xOy 中，A （0,0）,B （-3,）,C （-2,1）,设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1,B 1,C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值。