矩阵的合同变换

矩阵的合同变换

矩阵的合同变换

摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。

关键词：矩阵 秩 合同 对角化

定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅

定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap

-=，则称A 和B 相似A B :

定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得

T P AP B

=

那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对

称性、 性。

定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即1

2

m

P Q Q Q =L 。

此时7

11

T T T

m n P

Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积

若111T

T

T T m

n m

B P AP Q Q

Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系

列初等变换得到。所以A B ≅，从而知合同变换是等价变换。

定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵

从而11

1

()PQ

QP ---=

又由于1

111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=

T QQ =

1

QQ -=

E = 1

QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ≅

定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质

证明：A B ≅即T

P AP B =，若对称阵，则T

A

A

=

()T T T

B P AP =

T T P A P

=

T

P AP = B =

所以B 边为对称阵

[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？

引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.

证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则

||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-1200

0n x x x ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦M M ，线性无关的解向量

个数为n r -个，即5个

又因属不同特征根的特征向量线性无关

⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔

n 阶对称阵可对角化

从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，

如对二次型应用

例 求一非线性替换，把二次型

123122313

(,,)262f x x x x x x x x x =-+

二次型`

2

3

(,,)f x x x 矩阵为

011103130A ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换

212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→2

00020006⎡⎤

⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥⎣⎦

1001111

101110

01101E ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

可把二次型化为标准型

222123123

(,,)226f x x x y y y =-+

解法（2）

212103

230A -⎡⎤

⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

2101020

22⎡⎤

⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

2001022022⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥

→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

此时2

22

1

2

3

1

231(,,)262

f x x x z

z z =-+

此时非线性退化替换为

11223311321112

001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的

特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性

[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？

例3．用可逆性变换化二次型

222

123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-

解：222

112132233

:666666f x

x x x x x x x x --+-+

对二次型矩阵为

63336333

6A --⎡⎤⎢⎥--⎢

⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣

⎦

1

006006

00010999

63

30

000

002223639

9000336012216

118

1

00111

12

101010

22118010

101

02

10

0100118A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---

⎢⎥⎢⎥=→

→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢

⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣

⎦

E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形2212

f y

y =+，则

112233161801180

1x y x y x y ⎤⎢⎥

⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

PTA B

=

[注]当P 改变两行的位置交换后，发现

00016186 3 310003631010181861833

600000111

1⎡⎤⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤

⎡⎤⎥⎥

⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

⎣

⎦

定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元