5.5二次函数最大面积问题
九年级数学下册 第5章 二次函数 5.5 用二次函数解决问题作业设计 (新版)苏科版-(新版)苏科版
用二次函数解决问题第1课时、第2课时1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为()A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－73502．某产品的进货单价为每件90元，按100元一件出售时，每周能售出500件．若每件涨价1元，则每周销售量就减少10件，则该产品每周能获得的最大利润为() A．5000元 B．8000元C．9000元 D．10000元3．某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．4．一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出当销售价为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少．5．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是()A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675 m 26．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数表达式是________，当边长x 为________米时，花圃有最大面积，最大面积为________平方米．7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室的一边长为x (m)，占地面积为y (m 2)．(1)如图5－5－3①，则饲养室的一边长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图②，现要求在所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x 比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．图5－5－38．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (米)与小球运动的时间t (秒)之间的函数表达式是h ＝t －t 2，则小球的最大高度为________米．9．飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数表达式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是______m.10．小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)．(1)用含x 的代数式表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？11．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫之间的距离为x (单位：千米)，乘坐地铁的时间y 1(单位：分)是关于x 的一次函数，其关系如下表：(1)求y 1关于x 的函数表达式；(2)李华骑单车的时间y 2(单位：分)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝12x 2－11x ＋78来描述，则李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短？并求出最短时间．12．某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数．公司发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？参考答案1．B[解析] 由题意，得y ＝(x －21)(350－10x )＝－10x 2＋560x －7350. 2．C3．3[解析] 由题意可得y ＝(6－x )x ，即y ＝－x 2＋6x ，当x ＝3时，y 有最大值． 4．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，把(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)．(2)W ＝(x －10)(－x ＋40)＝－x 2＋50x －400(10≤x ≤16)．∵W ＝－x 2＋50x －400＝－(x －25)2＋225，函数图像的对称轴是直线x ＝25，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大． ∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 最大，为144.即当销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5．B[解析] 设矩形的一边长为x m ，则其邻边长为(50－x )m ，设池底面积为S m 2，则S ＝x (50－x )＝－x 2＋50x ＝－(x －25)2＋625.∴当x ＝25时，S 取得最大值，最大值为625.6．S ＝－2x 2＋10x 52252[解析] 由题意知平行于墙的一边长为(10－2x )米，则S ＝x (10－2x )＝－2(x －52)2＋252(0<x <5)，所以当x ＝52时，花圃有最大面积，最大面积为252平方米．7．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252(0<x <50)，∴当x ＝25时，占地面积y 最大，即当饲养室的一边长x 为25 m 时，占地面积y 最大． (2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，占地面积y 最大．∵26－25＝1(m)≠2 m ，∴小敏的说法不正确． 8．9．24[解析] ∵y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，飞机着陆后滑行到最大距离600 m ，然后停止滑行；当t ＝16时，y ＝576，∴最后4 s 滑行的距离是24 m.10．解：(1)W 1＝(50＋x )(160－2x )＝－2x 2＋60x ＋8000，W 2＝19(50－x )＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8950(x 为整数)． ∵－2＜0，抛物线的开口向下，－412×（－2）＝414，∴当0≤x <414时，W 随x 的增大而增大；当414<x ≤50时，W 随x 的增大而减小， 又∵x 取整数，故当x ＝10时，W 最大，W 最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160.即当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是9160元．11．解：(1)设乘坐地铁的时间y 1关于x 的一次函数表达式是y 1＝kx ＋b .把x ＝8，y 1＝18；x ＝10，y 1＝22代入，得⎩⎪⎨⎪⎧18＝8k ＋b ，22＝10k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2， ∴y 1关于x 的函数表达式是y 1＝2x ＋2.(2)设李华从文化宫回到家里所用的时间为y 分，则y ＝y 1＋y 2， 即y ＝2x ＋2＋12x 2－11x ＋78＝12x 2－9x ＋80＝12(x －9)2＋792，∴当x ＝9时，y 最小值＝792.∴李华选择从B 地铁口出站，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短，最短时间为792分钟． 12．解：(1)由题意，知若观光车能全部租出，则0＜x ≤100，由50x －1100＞0，解得x ＞22，∴22<x ≤100.又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元． (2)设每辆车的净收入为y 元． 当0＜x ≤100时，y 1＝50x －1100. ∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1有最大值为50×100－1100＝3900； 当x ＞100时，y 2＝(50－x －1005)x －1100＝－15x 2＋70x －1100＝－15(x －175)2＋5025，∴当x ＝175时，y 2有最大值为5025. ∵5025>3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多．第3课时1．如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为y ＝－112x 2＋23x ＋53，由此可知铅球被推出的距离是() A ．10 m B ．3 m C ．4 m D ．2 m 或10 m2．小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y ＝－15x 2＋的一部分(如图)．若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是()A ．3.5 mB ．4 mC ．4.5 mD ．4.6 m3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m)与飞行时间x (单位：s)之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？4．某某省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面的宽度AB 为()A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m5．建立如图所示的直角坐标系，某抛物线形桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，则它对应的表达式为________________．6．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，当水面下降1米时，水面的宽度为多少米？7．某广场有一个喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米B．3米C．2米D．1米8．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷出的水柱的最大高度．9．冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，他在家后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB ，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子．绳子的形状近似抛物线y ＝110x 2＋bx ＋c ，如图①，已知BD ＝8米，绳子最低点离地面的距离为1米．(1)求立柱AB 的长度；(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN 撑起绳子(如图②)，MN 的长度为米，通过调整MN 的位置，使左边抛物线F 1对应函数表达式的二次项系数为14，顶点离地面米，求MN 与AB 的距离．10．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？参考答案1．A[解析] 令y ＝0，则－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2，由此可知铅球被推出的距离是10 m. 故选A.2．B[解析] 当y ＝时，－15x 2＋＝，解得x 1＝－1.5(舍去)，x 2＝，∴l ＝＋＝4(m)． 故选B.3．解：(1)令y ＝15，有－5x 2＋20x ＝15， 化简得x 2－4x ＋3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3， 即飞行时间是1 s 或3 s.(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故令y ＝0， 则有0＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝0，x 2＝4，所以小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(s)． (3)y ＝－5x 2＋20x ＝－5(x －2)2＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，此时y ＝20.故在飞行过程中，当飞行时间为2 s 时，小球的飞行高度最大，最大高度为20 m. 4．C 5．y ＝－125(x －20)2＋16[解析] 由图可知抛物线的对称轴为直线x ＝20，顶点坐标为(20，16)．可设此抛物线的表达式为y ＝a (x －20)2＋16.又此抛物线过点(0，0)，代入得(0－20)2a ＋16＝0，解得a ＝－125，所以此抛物线的表达式为y ＝－125(x －20)2＋16.6．解：建立如图所示的直角坐标系，可知OA 和OB 的长均为AB 的一半，即2米，抛物线顶点C 的坐标为(0，2)，通过以上条件可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋2.把(－2，0)代入y ＝ax 2＋2，得出a ＝－， 所以y ＝－x 2＋2.当y ＝－1时，有－1＝－x 2＋2， 解得x ＝±6，所以当水面下降1米时，水面的宽度为2 6米．7．A[解析] 直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为4ac －b24a ＝4×（－1）×0－424×（－1）＝4，或将y ＝－x 2＋4x 化为顶点式也可得出结论．8．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3，5)， ∴设y ＝a (x －3)2＋5，将(8，0)代入，得a ＝－15，∴y ＝－15(x －3)2＋5，即y ＝－15x 2＋65x ＋165(0<x <8)．(2)当y ＝时，即＝－15x 2＋65x ＋165，解得x 1＝7，x 2＝－1(舍去)．答：王师傅必须站在离水池中心7米以内．(3)由y ＝－15x 2＋65x ＋165，可得原抛物线与y 轴的交点坐标为(0，165)．∵装饰物的高度不变， ∴新抛物线也经过点(0，165)．∵喷出水柱的形状不变， ∴a ＝－15.∵直径扩大到32米， ∴新抛物线过点(16，0)．设新抛物线的表达式为y 新＝－15x 2＋bx ＋c ，将点(0，165)和(16，0)代入，得b ＝3，c ＝165.∴y 新＝－15x 2＋3x ＋165＝－15(x －152)2＋28920，∴当x ＝152时，y 新的最大值为28920.答：扩建改造后喷出的水柱的最大高度为28920米．9．解：(1)由题意可知抛物线的表达式为y ＝110(x －4)2＋1，即y ＝110x 2－45x ＋135.令x ＝0，得y ＝135，∴AB ＝135.答：立柱AB 的长度为135米．(2)由题意可以假设抛物线F 1的表达式为y ＝14x 2＋mx ＋2.6.∵4×14×－m 24×14＝，∴m ＝±1.∵抛物线F 1的对称轴在y 轴右侧，14>0，∴b ＜0，∴b ＝－1，∴抛物线F 1的表达式为y ＝14x 2－x ＋2.6.令y ＝，解得x 1＝1，x 2＝3， 当x ＝1时，不合题意，舍去， ∴x ＝3，∴MN 与AB 的距离为3米．10．解：(1)由题意可知函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图像经过点(0，0.5)，，3.5)， ∴错误!解得错误!∴抛物线的函数表达式为y ＝－2516t 2＋5t ＋12＝－2516(t －85)2＋92，∴当t ＝85时，y 最大值＝92.答：足球飞行的时间是85 s 时，足球离地面最高，最大高度是92 m.(2)把x ＝28代入x ＝10t ，得28＝10t ，∴t ＝2.8.25 16×2＋5×＋12＝＜，∴他能将球直接射入球门．当t＝时，y＝－。
5.5用二次函数解决问题(1)-苏科版九年级数学下册培优训练
5.5用二次函数解决问题（1）-苏科版九年级数学下册培优训练一、选择题1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为( ) A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－73502、用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2 B.43m2 C.83m2 D.4 m23、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A. 5月B. 6月C. 7月D. 8月4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A．5元B．10元C．0元D．6元5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价()A.20元B.15元C.10元D.5元6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A. 20B. 1508C. 1558D. 15857、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是()A. 140元B. 150元C. 160元D. 180元8、如图，线段的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形∆ACD和∆BCE，那么DE长的最小值是_______.二、填空题9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为____10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是__________________________，当边长x为________ 米时，花圃有最大面积，最大面积为________ 平方米．11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x元,当x=时,商场能在一周内获得最大利润.13、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C 重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．14这两个数的积最大可以达到______15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．16、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2三、解答题17、如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8 c m，∠B＝30°，若边长AB＝x cm：(1)写出▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围；(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的一边长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图②，现要求在所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．绿化带的面积最大？20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．设这种面包的单价提高到x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)．(1)用含x 的代数式表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？22、已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=，10BC CD ==， 30=∠C ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）点E F ，分别是BC CD ，上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ．求EFC △面积的最大值，并说明此时E F ，的位置．23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p ＝⎩⎨⎧14t ＋30（1≤t ≤24，t 为整数），－12t ＋48（25≤t ≤48，t 为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 6 10 20 40… 日销售量y(千克) 118 114 108 100 80 40 …(1)已知(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n 元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．5.5用二次函数解决问题 （1）-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）一、选择题1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x )件，则商店所获得的利润y (元)与每件商品售价x (元)之间的函数表达式为( )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7350B ．y ＝－10x 2＋560x －7350C ．y ＝－10x 2＋350xD ．y ＝－10x 2＋350x －7350[解析]B 由题意，得y ＝(x －21)(350－10x )＝－10x 2＋560x －7350.2、用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C ) A.6425 m 2 B.43 m 2 C.83m 2 D .4 m 23、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为y=-n 2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A. 5月B. 6月C. 7月D. 8月【解析】试题解析：y=-n 2+14n-24=-（n-7）2+25，∵-1＜0，∴开口向下，y 有最大值，即n=7时，y 取最大值25，故7月能够获得最大利润, 故选C.4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A )A ．5元B ．10元C ．0元D ．6元5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价 ( )A .20元B .15元C .10元D .5元[解析] D 设这种商品每个降价x 元,每天的利润为y 元,则降价后,每个商品的利润为100-70-x=(30-x )元,平均每天的销售量为(20+x )个,所以y=(30-x )(20+x )=-x 2+10x+600.当x=-=5时,y 取得最大值.6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（），由于某种原因，价格只能15≤x ≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）A. 20B. 1508C. 1558D. 1585【解析】由题意知，一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（）， 且15≤x≤22，根据二次函数的开口方向向下，可知当x=20时， y 1558=最大值． 故选：C ．7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )A. 140元B. 150元C. 160元D. 180元【解析】设每张床位提高x 个20元，每天收入为y 元．则有y=（100+20x ）（100-10x ）=-200x 2+1000x+10000．当x=-时，可使y 有最大值．又x 为整数，则x=2时，y=11200；x=3时，y=11200；则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元． 故选C ．8、如图，线段的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形∆ACD 和∆BCE ，那么DE 长的最小值是_______.【详解】设AC=x ，则BC=2-x ，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x ，CE=（2-x ），∴∠DCE=90°， 故DE 2=DC 2+CE 2=x 2+（2-x ）2=x 2-2x+2=（x-1）2+1，当x=1时，DE 2取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1，故答案为：1．二、填空题9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为75m2 .10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数表达式是__________________________， 当边长x 为________ 米时，花圃有最大面积，最大面积为________ 平方米．答案：S ＝－2x 2＋10x 52 252[解析] 由题意知平行于墙的一边长为(10－2x )米，则S ＝x (10－2x )＝－2(x －52)2＋252(0<x <5)， 所以当x ＝52时，花圃有最大面积，最大面积为252平方米． 11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6－x )个，则当x ＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．[解析] 由题意可得y ＝(6－x )x ，即y ＝－x 2＋6x ，当x ＝3时，y 有最大值．12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x 元,当x= 时,商场能在一周内获得最大利润.[解析] 设销售单价涨价x 元,一周内获得的利润为y 元,则涨价后,每件的利润为60+x-40=(x+20)元,平均每天的销售量为(300-10x )个,所以y=(x+20)(300-10x )=-10x 2+100x+6000.当x=-=5时,y 取得最大值.13、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2mm /s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm /s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过________s ，四边形APQC 的面积最小．[解析] 设P ，Q 同时出发后，经过的时间为t s ，四边形APQC 的面积为S mm 2，则有S ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×12×24－12×4t ×(12－2t )＝4t 2－24t ＋144＝4(t －3)2＋108. ∵4＞0， ∴当t ＝3时，S 取得最小值．故答案为3.14、两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到__9____15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x 棵橘子树，橘子总个数为y 个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．[解析] 设果园里增种x 棵橘子树，那么果园里共有(x ＋90)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x )个橘子．∴y ＝(x ＋90)(520－4x )＝－4x 2＋160x ＋46800，∴当x ＝－b 2a ＝－1602×（－4）＝20时，y 最大，橘子总个数最多． 16、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____12.5____cm 2三、解答题17、如图所示，已知平行四边形ABCD 的周长为8 c m ，∠B ＝30°，若边长AB ＝x cm ：(1)写出▱ABCD 的面积y (cm 2)与x (cm)的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；(2)当x 取什么值时，y 的值最大？并求最大值．答案：(1)y ＝－12x 2＋2x (0<x <4)；(2)当x ＝2时，y 有最大值，最大值为2. 18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室的一边长为x (m)，占地面积为y (m 2)．(1)如图①，则饲养室的一边长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图②，现要求在所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x 比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252(0<x <50)， ∴当x ＝25时，占地面积y 最大，即当饲养室的一边长x 为25 m 时，占地面积y 最大．(2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338， ∴当x ＝26时，占地面积y 最大．∵26－25＝1(m)≠2 m ，∴小敏的说法不正确．19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m )的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m 的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(2)当x 为何值时，绿化带的面积最大？解： (1)∵四边形ABCD 为矩形，BC ＝x m ， ∴AB ＝40－x 2m. 根据题意，得y ＝AB ·BC ＝40－x 2·x ＝－12x 2＋20x (0＜x ≤25)． (2)∵y ＝－12x 2＋20x ＝－12(x －20)2＋200， ∴当x ＝20时，绿化带的面积最大．20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．设这种面包的单价提高到x （角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y （角）．（1）用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y 与x 之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？答案：（1）,5-x ()x x 20300720160-=--，（2）150040020)20300)(5(2-+-=--=x x x x y ,（3）150040020)20300)(5(2-+-=--=x x x x y =-20(x-10)2+500当定价为10角时，利润最大，为500角.21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)．(1)用含x 的代数式表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？解：(1)W 1＝(50＋x )(160－2x )＝－2x 2＋60x ＋8000，W 2＝19(50－x )＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8950(x 为整数)．∵－2＜0，抛物线的开口向下，－412×（－2）＝414， ∴当0≤x <414时，W 随x 的增大而增大； 当414<x ≤50时，W 随x 的增大而减小， 又∵x 取整数，故当x ＝10时，W 最大，W 最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160.即当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是9160元．22、已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=，10BC CD ==， 30=∠C ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）点E F ，分别是BC CD ，上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ．求EFC △面积的最大值，并说明此时E F ，的位置．答案： (1)S ＝232550-, (2).425)5(41254122+--=+-=t t t S (100<<t )， 当t ＝5时，S 最大值＝.425此时E 在BC 中点，F 在CD 中点. 23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p ＝⎩⎨⎧14t ＋30（1≤t ≤24，t 为整数），－12t ＋48（25≤t ≤48，t 为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 6 10 20 40 …日销售量y(千克) 118 114 108 100 80 40 …(1)已知(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n 元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．解：(1)依题意，得y ＝120－2t .当t ＝30时，y ＝120－60＝60. 答：在第30天的日销售量为60千克．(2)设日销售利润为W 元，则W ＝(p －20)y .当1≤t ≤24时，W ＝(14t ＋30－20)(120－2t )＝－12t 2＋10t ＋1200＝－12(t －10)2＋1250. 当t ＝10时，W 最大＝1250.当25≤t ≤48时，W ＝(－12t ＋48－20)(120－2t )＝t 2－116t ＋3360＝(t －58)2－4. 由二次函数的图象及性质知，当t ＝25时，W 最大＝1085.∵1250>1085， ∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．(3)依题意，得每天扣除捐款后的日销售利润W ＝(14t ＋30－20－n )(120－2t )＝－12t 2＋2(n ＋5)t ＋1200－120n . 其图象对称轴为直线t ＝2n ＋10，要使W 随t 的增大而增大．由二次函数的图象及性质知，2n ＋10≥24，解得n ≥7.又∵n <9，∴7≤n <9.。
苏科版九年级下册《5.5用二次函数解决问题》强化提优检测(三)
苏科版九年级下《5.5用二次函数解决问题》强化提优检测（三）利用二次函数解决建筑的问题（时间：90分钟满分：120分）一．选择题（共10题；共30分）1. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m第1题图第2题图第3题图第4题图2. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．43米B．52米C．213米D．7米3．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－1/25x2，当水面离桥拱的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.－20m B.10m C.20m D.－10m5﹒如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A.60m2B.63m2C.64m2D.66m2第5题图第6题图第7题图第8题图第10题图6﹒某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面40/3m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A.2mB.3mC.4mD.5m7．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（）A. 1.5m，1mB. 1m，0.5mC. 2m，1mD. 2m，0.5m8．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 2.76米B. 6.76米C. 6米D. 7米9.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t−5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )A. 6 sB. 4 sC. 3 sD. 2 s10.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x （m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4二、填空题（共10题；共30分）11．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．12．一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面的宽为m．第12题图第13题图第14题图13. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.14．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为_____米．15．农贸市场拟建两间长方形储藏室,储藏室的一面靠墙(墙长30m),中间用一面墙隔开,如图所示,已知建筑材料可建墙的长度为42m,则这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为_______m 2.第15题图 第16题图 第17题图16．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m ，则能建成的饲养室面积最大为 m 2．17．某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y 米关于水平距离x 米的函数解析式为y =－x 2＋4x ＋9/4，那么圆形水池的半径至少为________米时，才能使喷出的水流不落在水池外．18．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________．第18题图 第19题图 第20题图19.如图(1)是一座横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在直线l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是__________. 20．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m ，那么木船的高不得超过 ______m.三．解答题（共8题；共60分）21．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y ＝﹣x 2，当水面离桥顶的高度为m 时，水面的宽度为多少米？22如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？23.如图是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为10米(即HF＝FG＝GM＝MP＝10米)，拱桥顶点D到桥面的距离DG＝2米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝ax2＋6.(1)求a的值；(2)求支柱EF的高．24.一座拱桥呈抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，拱桥顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，拱桥宽ED是多少？是否超过1 m?25.“创建全国文明城市”的号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m 2(如图)．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 m 2，求x 的值；(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．则丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.26．如图需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx 来表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32 m.(1)求该拋物线的函数表达式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该面墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案？27．如图小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h (单位：米)随时间t (单位：时)的变化满足函数关系h ＝－1128(t －19)2＋8(0≤t ≤40)，且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？28.．如图①，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y ＝110x 2－45x ＋3的绳子．(1)求绳子最低点离地面的距离；(2)因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子(如图②)，使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；(3)将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为14，设MN 离AB 的距离为m 米，抛物线F 2的顶点离地面的距离为k 米，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．教师样卷一．选择题（共10题；共30分）1. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m【答案】C [解析] 以2 m 长线段所在直线为x 轴，以其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ） A ．43米 B ．52米 C ．213米 D ．7米【答案】B 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设大孔对应的函数关系式为y ＝ax 2＋c ，过B (5，c －1.5)，F (7，0)，代入y ＝ax 2＋c ，，解得a=0.06 c=0,94，∴大孔对应的函数关系式为y ＝－0.06x 2＋2.94．当x ＝10时，y ＝－0.06×102＋2.94＝－3.06，∴H (0，－3.06)．设右边小孔顶点坐标为D (10，1.44)，则右边小孔对应的函数关系式为y ＝m (x －10)2＋1.44，过点G (12，0)，则0= m (12－10)2＋1.44，解得m =－0.36，∴右边小孔对应的函数关系式为y ＝－0.36(x －10)2＋1.44，当y ＝－3.06时，－3.06＝－0.36(x －10)2＋1.44，解得x＝10±，52/2∴大孔水面宽度为20米，时单个小孔的水面宽度为52米．故选项B 正确． 3．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m 宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m ．设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．y ＝﹣x 2+50xB ．y ＝﹣x 2+24xC ．y ＝﹣x 2+25xD ．y ＝﹣x 2+26x【答案】D 解：设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是：y ＝x •（50+2﹣x ）＝﹣x 2+26x ．故选：D ．4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y ＝－1/25x 2，当水面离桥拱的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为（ ） A .－20m B .10m C .20m D .－10m【答案】C 解答：根据题意B 的纵坐标为﹣4， 把y ＝﹣4代入y ＝﹣1/25x 2，得x ＝±10，∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4），∴AB ＝20m ．即水面宽度AB 为20m ．故选：C ．5﹒如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ） A .60m 2 B .63m 2 C .64m 2 D .66m 2【答案】C 解答：设BC ＝x m ，则AB ＝(16﹣x )m ，矩形ABCD 面积为y m 2，根据题意得：y ＝(16﹣x )x ＝﹣x 2+16x ＝﹣(x ﹣8)2+64，当x ＝8m 时，y 最大值＝64m 2，则所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2．故选：C ．H M F G D C E O N C B A yx第5题图第6题图第7题图第8题图第10题图6﹒某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面40/3m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A.2mB.3mC.4mD.5m【答案】B 解答：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+40/3，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+40/3，得a(0﹣1)2+ ＝10，解得a＝﹣10/3，因此抛物线解析式为y＝﹣10/3(x﹣1)2+40/3，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选：B．7．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（）A. 1.5m，1mB. 1m，0.5mC. 2m，1mD. 2m，0.5m【答案】A【解析】试题分析：设长为x，则宽为，S=，即S=，要使做成的窗框的透光面积最大，则x=，于是宽为=1m，所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m，故选A．8．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 2.76米B. 6.76米C. 6米D. 7米【答案】B【解析】试题解析：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，代入解析式可得﹣4=a×102⇒a=﹣1/25故此抛物线的解析式为y=﹣1/25x2．因为桥下水面宽度不得小于18米所以令x=9时可得y=﹣3.24米此时水深6+4﹣3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B．9.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t−5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )A. 6 sB. 4 sC. 3 sD. 2 s【答案】．A 解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t−5t2得：5t2−30t=0，解得：t1=0(舍去),t2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s. 故选A.10.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x （m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4【答案】C解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x2+2x+3=0，得x1=-1，x2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选：C．三、填空题（共10题；共30分）11．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．【答案】6 解：∵h＝30t﹣5t2，∴当h＝0时，t＝0或t＝6，∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，故答案为：6．12．一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面的宽为m．【答案】2．解：如图：以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据题意设二次函数解析式为：y＝ax2+2把A（2，0）代入，得a＝﹣，所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2，当y＝﹣1时，﹣x2+2＝﹣1解得x＝±．所以水面的宽度为2．故答案为2．第12题图第13题图第14题图13. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.【答案】48[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB与y轴交于点H.∵AB＝36 m，∴AH＝BH＝18 m.由题可知：OH＝7 m，CH＝9 m，∴OC＝9＋7＝16(m)．设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.∵抛物线的顶点为C(0，16)，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴a＝－136，∴y＝－136x2＋16.当y＝0时，0＝－136x2＋16，∴－136x2＝－16，解得x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，∴OE＝OD＝24 m，∴DE＝OD ＋OE＝24＋24＝48(m)．14．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为_____米．【答案】0.2 【解析】如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，由题知，图象过B（0.6，0.36），代入得：0.36=0.36a∴a=1，即y=x2．∵F 点横坐标为﹣0.4，∴当x=﹣0.4时，y=0.16，∴EF=0.36﹣0.16=0.2米故答案为0.2．15．农贸市场拟建两间长方形储藏室,储藏室的一面靠墙(墙长30m),中间用一面墙隔开,如图所示,已知建筑材料可建墙的长度为42m,则这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为_______m2.【答案】147 解：设中间隔开的墙EF的长为xm,建成的储藏室总占地面积为sm²,根据题意得AD+3x=42,解得AD=42-3x,则S=x(42-3x)= -3x²+42x=-3(x-7)²+147,故这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为：147m²,故答案为：147.点睛：本题考查了二次函数的应用，配方法，矩形的面积，有一定的难度，解答本题的关键是得到建成的储藏室的总占地面积的解析式.第15题图第16题图第17题图16．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则能建成的饲养室面积最大为 m2．【答案】75 【解析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为28+2-3x=30-3x，则总面积S=x（30-3x）=-3x2+30x=-3（x-5）2+75，所以饲养室的最大面积为75平方米，17．某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y 米关于水平距离x 米的函数解析式为y =－x 2＋4x ＋9/4，那么圆形水池的半径至少为________米时，才能使喷出的水流不落在水池外．【答案】．9/2 【解析】当y=0时，即-x 2+4x+9/4=0，解得x 1=9/2，x 2=-1/2（舍去）．18．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________．【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋4第18题图 第19题图 第20题图19.如图(1)是一座横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在直线l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是__________.【答案】y ＝2x 220．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m ，那么木船的高不得超过 ______m.【答案】1.2【解析】以水面所在水平线为x 轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y 轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A （-2，0），B （2，0），C （0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a （x+2）（x-2）代入点C 坐标，求得a=-1/2，即抛物线的解析式为y=-1/2（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.故答案为：1.2.三．解答题（共8题；共60分）21．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y ＝﹣x 2，当水面离桥顶的高度为m 时，水面的宽度为多少米？解：在y ＝﹣x 2中，当y ＝﹣时，x ＝±，故水面的宽度为＝（米）．答：水面的宽度为米．22如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解：(1)M(12，0)，P(6，6)； (2)设y ＝a(x －6)2＋6，把(0，0)代入得a ＝－16，∴y ＝－16(x －6)2＋6； (3)设D(m ，n)，则C(12－m ，n)，设支架总长为S m ，∴AD ＝CB ＝n ＝－16m 2＋2m ，DC ＝12－2m ，∴S ＝2AD ＋DC ＝－13m 2＋2m ＋12，当m ＝－b 2a＝3时，S 最大＝15.答：“支撑架”总长的最大值为15米．23.如图是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为10米(即HF ＝FG ＝GM ＝MP ＝10米)，拱桥顶点D 到桥面的距离DG ＝2米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y ＝ax 2＋6.(1)求a 的值； (2)求支柱EF 的高．解：(1)根据题意可知A(－20，0)，将其代入y ＝ax 2＋6，得400a ＋6＝0，解得a ＝－3200. (2)把x ＝－10代入y ＝－3200x 2＋6，得y ＝－3200×(－10)2＋6＝92，∴EF ＝6＋2－92＝72(米)．24.一座拱桥呈抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，拱桥顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，拱桥宽ED 是多少？是否超过1 m?解：由题意可知，点A(－0.8，－2.4)，O C ＝2.4 m ，OF ＝0.9 m .设抛物线的表达式为y ＝ax 2，将点A 的坐标代入，得0.64a ＝－2.4，解得a ＝－154，∴y ＝－154x 2.把y ＝－0.9代入，得－154x 2＝－0.9，解得x ＝±65，∴DE ＝2 65 m . ∵2 65＝2425<1，∴离开水面1.5 m 处，拱桥宽ED 是2 65 m ，没有超过1 m25.“创建全国文明城市”的号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m 2(如图)．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 m 2，求x 的值；(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．则丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.解：(1)y ＝－2x 2＋36x (9≤x ＜18)(2)由题意得－2x 2＋36x ＝160，解得x 1＝10，x 2＝8(不符合题意，舍去)．∴x 的值为10.(3)∵y ＝－2x 2＋36x ＝－2(x －9)2＋162，∴x ＝9时，y 有最大值162.设购买乙种绿色植物a 棵，购买丙种绿色植物b 棵，由题意得14(400－a －b )＋16a ＋28b ＝8600，∴a ＋7b ＝1500，∴b 的最大值为214，即丙种植物最多可以购买214棵，此时a ＝2，需要种植的面积＝0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2(m 2)＜162 m 2，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上． 26．如图需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx 来表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32 m.(1)求该拋物线的函数表达式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该面墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案？解：(1)根据题意，得B(12，34)，C(32，34)．把B ，C 两点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧34＝14a ＋12b ，34＝94a ＋32b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴拋物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ，∴图案最高点到地面的距离为－224×（－1）＝1(m )．(2)令y ＝0，即－x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，∵10÷2＝5，∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线形图案．27．如图小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h (单位：米)随时间t (单位：时)的变化满足函数关系h ＝－1128(t －19)2＋8(0≤t ≤40)，且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋11，由题意得B(8，8)，则64a ＋11＝8，解得a ＝－364，即y ＝－364x 2＋11.(2)水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h 最多为11－5＝6(米)，那么6＝－1128(t －19)2＋8，解得t 1＝35，t 2＝3，∴35－3＝32(时)．答：需32小时禁止船只通行．28.．如图①，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y ＝110x 2－45x ＋3的绳子．(1)求绳子最低点离地面的距离；(2)因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子(如图②)，使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；(3)将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为14，设MN 离AB 的距离为m 米，抛物线F 2的顶点离地面的距离为k 米，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．解：(1)∵a ＝110＞0，∴抛物线的顶点为最低点．∵y ＝110x 2－45x ＋3＝110(x －4)2＋75，∴绳子最低点离地面的距离为75米．(2)由(1)可知，BD ＝8，令x ＝0，得y ＝3，∴A(0，3)，C(8，3)．由题意可得抛物线F 1的顶点坐标为(2，1.8)，设F 1的表达式为y ＝a(x －2)2＋1.8.将(0，3)代入，得4a ＋1.8＝3，解得a ＝0.3，∴抛物线F 1的表达式为y ＝0.3(x －2)2＋1.8.当x ＝3时，y ＝0.3×1＋1.8＝2.1，∴MN 的长度为2.1米．(3)∵MN ＝CD ＝3米，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上，∴抛物线F 2的顶点坐标为(12m ＋4，k)，∴抛物线F 2的表达式为y ＝14(x －12m －4)2＋k.把C(8，3)代入，得14(8－12m －4)2＋k ＝3，解得k ＝3－14(8－12m －4)2，即k ＝－116(m －8)2＋3，从而k是关于m 的二次函数．又由已知条件得m ＜8，则二次函数k ＝－116(m －8)2＋3在对称轴的左侧，k 随m 的增大而增大，∴当k ＝2时，－116(m －8)2＋3＝2，解得m 1＝4，m 2＝12(不符合题意，舍去)；当k ＝2.5时，－116(m －8)2＋3＝2.5，解得m 1＝8－2 2，m 2＝8＋2 2(不符合题意，舍去)．∴m 的取值范围是4≤m ≤8－2 2.。
5.5用二次函数解决问题
无锡金星中学 萧 婷
复习旧知
求下列二次函数的最大值或最小值：
(1) y 1 x 32 8
2 (2) y x2 4x 5
(3) y 2x2 4x 3
探索新知
问题一：每年12月22日左右是冬至节气，在无锡，到了冬至 有吃团子的传统习俗。无锡穆桂英糕点店特在冬至来临前夕， 制作了一批团子礼盒，每盒成本价是20元．店家规定每盒售 价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为 25元时，每天可卖出700盒；若每盒售价每提高1元，则日销 售量减少20盒． （1）若设每盒售价为x元，则日销售量减少_______盒，求日 销售量y（盒）与x的函数关系式. （2）若设每天的销售利润 W元，求W与每盒售价x的函数关 系式.
探索新知
问题一：每年12月22日左右是冬至节气，在无锡，到了冬至 有吃团子的传统习俗。无锡穆桂英糕点店特在冬至来临前夕， 制作了一批团子礼盒，每盒成本价是20元．店家规定每盒售 价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为 25元时，每天可卖出700盒；若每盒售价每提高1元，则日销 售量减少20盒． （3）若该店单从经济角度考虑，当每盒售价定为多少元时， 每天销售的利润 W最大？最大利润是多少？
探索新知
问题一：每年12月22日左右是冬至节气，在无锡，到了冬至 有吃团子的传统习俗。无锡穆桂英糕点店特在冬至来临前夕， 制作了一批团子礼盒，每盒成本价是20元．店家规定每盒售 价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为 25元时，每天可Байду номын сангаас出700盒；若每盒售价每提高1元，则日销 售量减少20盒． （4）物价部门规定：该礼盒每盒的利润不得超过25元．当每 盒售价定为多少元时，每天销售的利润 W最大？最大利润是
5.5++用二次函数解决问题教案
5.5用二次函数解决问题（2）教学目标：1.在解决抛物线型拱桥问题时，通过建立各种直角坐标系解决问题，体会最优化的方案.2.根据函数图像确定函数表达式，解决有关水位和河宽问题.教学重、难点：1.教学重点.建立恰当的平面直角坐标系，将抛物线形问题数学化，根据实际问题中的数量关系，寻找图像特征，揭示点的几何特征和实际意义.2.教学难点.找到题中条件，建立恰当的坐标系，确定二次函数表达式.教学方法与教学手段S1.采取“创设情境一一合作探究一一观察概括一一问题解决”的教学模式.2.独立思考、合作探究、自主创新.3.多媒体辅助教学.教学过程:一、复习回顾1.有一个抛物线型隧道，隧道的最大高度为6m,跨度为8m,把它放在如图的平面直角坐标系中.（1）求这条抛物线型拱桥隧道所对应的函数表达式;（2）一辆高4m的货车要想通过隧道，它的车身的宽度不能超过多少米？二、建构活动1.河上有一座抛物线拱桥，已知桥下的水面离桥孔顶部3m时•，水面宽为6m,当水位上升Im时，水面宽为多少？（1）这个问题与第1题有何不同？（2）解决这个问题的第一步是什么？（3）尝试解决问题.2.总结解决这类问题的一般步骤.三、例题讲解例1一艘装满防汛器材的船，在上题的河流中航行，露出水面部分的高度为0.5m,宽为4m.当水位上升Im时，这艘船能从桥下通过吗？全―且。
例2有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时AB宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD这时水面宽度为Iom.（1）建立合适的直角坐标系，求抛物线的表达式.（2）洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2m 的速度上升）四、当堂训练1.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽A8=4m,顶部C离地面高度为 4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.五、总结回顾，提升认识谈谈你的学习感受.六、布置作业，巩固提高课本第32页习题5.5第5~6题.。
求二次函数的最大值最小值的方法
求二次函数的最大值最小值的方法二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
1.最大值和最小值的定义在讨论二次函数的最大值和最小值之前，我们先来了解一下最大值和最小值的定义。
对于任意函数f(x)，如果存在一个实数c，使得对于x的任意取值，有f(x)≤f(c)，那么f(c)就是函数f(x)的最大值；同理，如果存在一个实数d，使得对于x的任意取值，有f(x)≥f(d)，那么f(d)就是函数f(x)的最小值。
2.二次函数的最大值与最小值对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过求导数的方法来求其最大值和最小值。
首先，我们对f(x)进行求导，得到f'(x) = 2ax + b。
其次，我们令f'(x) = 0，即2ax + b = 0，解得x = -b / (2a)。
然后，我们将x = -b / (2a)代入f(x) = ax^2 + bx + c，得到f(-b / (2a)) = a(-b / (2a))^2 + b(-b / (2a)) + c。
化简得，f(-b/(2a))=a(b^2/(4a^2))-b^2/(2a)+c。
再次化简得，f(-b/(2a))=b^2/(4a)-b^2/(2a)+c。
继续化简得，f(-b/(2a))=c-b^2/(4a)。
因此，二次函数f(x)的最大值或最小值就是c-b^2/(4a)。
3.判断二次函数的开口方向在求二次函数的最大值和最小值之前，我们需要先判断二次函数的开口方向。
开口方向取决于二次项系数a的正负。
当a>0时，二次函数的图像开口朝上，即为正向抛物线；当a<0时，二次函数的图像开口朝下，即为负向抛物线。
对于开口朝上的二次函数，其最小值就是c-b^2/(4a)；对于开口朝下的二次函数，其最大值就是c-b^2/(4a)。
4.实际应用二次函数的最大值和最小值在实际生活中有着广泛的应用。
用二次函数解决问题
学习内容： 5.5 用二次函数解决问题（1） 学习目标：1．能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，能运用二次函数的知识求出实际问题的最大值或最小值．2．经历探索最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学应用意识． 学习过程： 一、例题解析例1 某种粮大户去年种植水稻360亩，平均每亩收益440元.他计划今年多承租若干亩稻田，预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元.该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？练习：去年鱼塘里饲养鱼苗10千尾看，平均每千尾鱼的产量为1000kg.今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg.今年应投放鱼苗多少千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？例2 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？练习：小明是学校田径队的运动员，根据测试资料分析，他掷铅球的出手高度(铅球脱手时高地面的高度)为2m，如果出手后铅球在空中飞行的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y＝a(x－4)2＋3，那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离是多少？二、巩固练习1.从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（m）与小球运动时间t（s）的函数表达式是h=9.8t-4.9t2．小球运动的最大高度是________m.2.某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一颗树，平均x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则当x=______ 每棵树就会少结5个橘子.设果园增种．．时，y的值最大.3.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800 元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入 平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大收益是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？4.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）请你求出该函数的表达式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？三、课堂小结第 1 题编号 55 （家庭作业）初三班姓名成绩家长对孩子作业态度的评价签名1. 巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（）A．2132y x⎛⎫=--+⎪⎝⎭B．21312y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭C．21832y x⎛⎫=--+⎪⎝⎭D．21832y x⎛⎫=-++⎪⎝⎭2.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，铅球所经过的路线为图1所示抛物线，且铅球在空中飞行的水平距离x（m)与高度y（m)之间的关系式为21212++-=xxy，则该同学的出手高度（铅球脱手时离地面的高度）是 m，铅球在运行过程中离地面的最大高度是 m，该同学的成绩是 m．图1 图23.如图2，某喷灌设备点喷头A高出地面1.2m，如果喷出的抛物线水流的水平距离x（m）与高度y（m）之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2。
5.5.1 用二次函数解决问题 苏科版数学九年级下册教案
主备人用案人授课时间年月日总第课时课题 5.5用二次函数解决问题（1）课型新授教学目标1.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。
2.了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识。
3.求出实际问题的最大值、最小值。
重点求出实际问题的最大值、最小值难点掌握实际问题中变量之间的二次函数关系教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动教学过程一．指导先学：1.函数y=2(x-1)2-3,当x= 时，函数y取得最值为。
2.函数y=-(x+2)2-1,当x= 时，函数y取得最值为。
3.函数y=x2-4x, 当x= 时，函数y取得最值为。
4.如果两个数的和是100，那么这两数积的最大值是多少？二．交流展示：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元。
试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？分析：根据预测，原360亩稻田今年可收益元，这是个量，所以该种粮大户的今年总收益y（元）随着的变化而变化。
根据题意，可得函数关系式。
将函数的一般式化为顶点式：用二次函数解决实际问题中的最值问题一般需要经过哪些步骤？学生回顾所学知识，先给配成顶点式，写出最值让学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班展示交流，并让学生自己归纳发现的结论教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动教学过程三．释疑拓展：1.去年鱼塘里饲养育苗10千尾，平均每千尾的产量为1000kg，今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg，应投放鱼苗多少千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？2.某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润=销售价-进货价）（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？3.如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。
青岛版九年级数学5.5二次函数y=ax2的图象和性质
5.5二次函数y=ax 2的图象和性质导学案学习目标：1．会用描点法画二次函数y=ax 2的图象，经历画图象的过程。
2．进一步理解二次函数和抛物线的有关知识。
3、经历探索二次函数y=ax 2图象性质的过程，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯。
4．进行由具体到抽象，由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育。
学习重难点：重点：会用描点法画二次函数y=ax 2的图象，掌握它的性质．难点：数形结合思想、分类讨论思想在探索二次函数图象和性质过程中的应用． 学习过程：【课前延伸】1、画函数图象的基本方法与步骤是什么?2、一次函数的图象是 ，反比例函数的图象是 。
我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy3=的图象分别是 、 ，我们曾借助图象研究其性质，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？它有什么特点和性质呢？让我们类比一次函数和反比例函数的学习，先从最简单最特殊的二次函数y=ax 2来研究二次函数的图象和性质。
【课内探究】一、自主学习（千里之行，始于足下，相信自己，你能行）请用描点法画出二次函数y=x 2的图象 思考与提示：描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？解：(1)列表：在(2) (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x 2的图象。
思考：观察这个函数的图象，它有什么特点?通过观察，思考，小组内讨论、交流，归结：抛物线概念：象刚才画出的这样的曲线通常叫做抛物线。
图象是轴对称图形，图象有条对称轴，且对称轴和图象有个交点。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．二、合作交流（海阔凭鱼跃，天高任鸟飞）1．在同一直角坐标系中，再画出函数y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（师生共同归纳概括，重点知识，重点巩固）（要求：每个同学通过本环节，进一步解疑）归纳概括：函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可知：函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。
苏科版数学九年级下册5.5《用二次函数解决问题(第1课时)》讲教学设计
苏科版数学九年级下册5.5《用二次函数解决问题（第1课时）》讲教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册5.5《用二次函数解决问题》一课时的内容是在学生已经掌握了二次函数的性质和图象的基础上进行的。
本节课主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过例题和练习题引导学生运用二次函数解决实际问题，从而加深对二次函数的理解和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有了初步的了解。
但是，学生对如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何运用二次函数解决实际问题的方法还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过列式、画图等方式寻求解决问题的方法。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。
2.学会将实际问题转化为二次函数问题，掌握运用二次函数解决实际问题的方法。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。
2.教学难点：如何引导学生运用二次函数解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生主动探索、思考，培养学生的数学应用能力。
2.案例教学法：通过分析典型案例，使学生掌握运用二次函数解决实际问题的方法。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论、合作解决问题，提高学生的沟通能力及团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示典型案例和实际问题情境。
2.练习题：准备一些相关的练习题，以便学生在课堂上进行操练和巩固。
3.教学道具：准备一些实物道具，以便在课堂上进行直观演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个实际问题情境，如抛物线形的跳板问题，引导学生思考如何运用数学知识解决此类问题。
2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现典型案例，讲解如何将实际问题转化为二次函数问题，并演示解题过程。
苏科版九年级下册用二次函数解决问题课件
当堂检测 ：
1.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙 （墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为xm，面积为Sm2． （1）求S与x的函数表达式． （2）如果要围成面积为45m2的花圃，问 AB的长是多少？
2.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半 圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（ 图中所有黑线的长度和）为10米．求当x等 于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面 积是多少？
苏科版数学九年级下册
5.5 用二次函数 解决问题
学习目标：
1．会运用二次函数的有关知识求有关销售 中最大利润的问题. 2.培养将现实生活中的相关问题转化为二次 函数问题的能力．
重难点：
会运用二次函数的有关知识求有关销售中最 大利润的问题.
自主先学
问题1 某种粮大户去年种植优质水稻360亩，平均
每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩 稻田．估计原360亩稻田平均每亩收益不变， 新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益 比去年每亩平均收益少2元．该种粮大户今 年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最 大？
.
4.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测
得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为
1m，于是你可推断点A的坐标是 ，点B的
坐标为
；根据图中的直角坐标系内，
涵洞所在的抛物线的函数表达式可设为
.
合作探究
活动一： 河上有一座拱桥，已知桥下的水面离桥拱顶 部3 m时，水面宽是6 m， （1）求此拱桥所在抛物线的关系式； （2）当水位上升1 m时，水面宽为多少（精 确到0.1 m）
• 思考： • 1.问题涉及哪些量？哪些是不变的量？哪些
是变量？你能发现其中隐藏的数量关系吗？
5.5二次函数应用(2)面积最大问题
当垂直于墙的边长为7.5米时，花圃
的面积最大为112.5平方米。
∴x=7.5时，S最大=112.5 ∵ 6≤x＜15
（3） -2x2+30x=88
解得：x1=4
∵6≤X ≤15
,x2=11
15
∴当 6≤X ≤11时，
花圃园的面积不小于88平方米
变式:
学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙， 另三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为12 米，垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花 圃的面积最大，并求这个最大值；
解：（1）s=x(24-4x) =-4x +24x
∵0＜24-4x≤8 ∴4≤ x ＜ 6
2
（2）y=-4x +24x =-4(x-3) 36
2
2
∵ 当 x ≥3时，y随x的增大而减小 又 4≤ x ＜ 6
∴当X=4时，面积最大为32平方米
二次函数的应用（2）
——面积最大问题
尝试练习 如图，一边靠校园院墙（足够长），另外三边用50m长 的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm. （1）写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式； （2）求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少？
(1)解：y x(50 2 x) 2 x 30 2 x 18
6 x 15
(1) y=30-2x (6 x<15) 解： （2）设花圃的面积为S：
则S=x(30-2x)=-2x2+30x
. 2 2 =-2(x -15x)=-2(x -2 . x 7.5+7.52-7.52)
=-2[(x-7.5)2-56.25]=-2(x-7.5)2+112.5
2
苏科版九年级下册《5.5用二次函数解决问题》强化提优检测(四)
苏科版九年级下《5.5用二次函数解决问题》强化提优检测（四）利用二次函数解决最大利润的问题（时间：90分钟满分：120分）一．选择题（共8题；共24分）1. 某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为()A．1月和11月B．1月、11月和12月C．1月D．1月至11月2.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A.5元B.10元C.15元D.20元3﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元4.某民俗旅游村为接待游客住宿需求，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）A.14元B.15元C.16元D.18元5．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，价格只能在15≤x≤22范围内，那么一周可获得的最大利润是(D)A．20 B．1508 C．1550 D．15586．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该旅游景点关闭．经跟踪测算，该旅游景点一年中某月的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W＝－x2＋16x－48，则该旅游景点一年中利润最大的月份是(C) A．4 B．6 C．8 D．107.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x之间的关系式为( )A.y＝60(300＋20x)B.y＝(60－x)(300＋20x)C.y＝300(60－20x)D.y＝(60－x)(300－20x)8. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A. y＝x2+aB. y＝a(x－1)2C. y＝a(1－x)2D. y＝a(l+x)2二、填空题（共9题；共27分）9. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．10 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a的取值范围应为________．11. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)12.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为______元时，该服装店平均每天的销售利润最大.13.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每件的售价应为________元.14．某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y 与x之间的关系应表示为_____．15．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为____________．16．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 b 4ac b x 当 时， Y最小值为 2a 4a
2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。 （2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3） 3.抛物线在什么位置时取最值？ x= -1,y最小= -4 x=2,y最大=4
注： 1.自变量X的取值范围为一切实数，顶 点处取最 值。2.有取值范围的在端点和顶点处 取最值。
点P从点A开始沿AB边向点B以2cm／s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm／s的速度 移动，如果P,Q分别从A,B同时出发， 几秒后Δ PBQ的面积最大？ 最大面积是多少？
P
A
2cm/s
C
Q
1cm/s
B
解：根据题意，设经过x秒后Δ PBQ的面积y最大 AP=2x cm PB=（8-2x ） cm
练习1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围 成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为 xm，面积为Sm2。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8m，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为xm、篱笆长为24m ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6） A x B D C
A
QB=x cm
则 y=1/2 x（8-2x）（0<x<4）
2cm/秒
P
=-x2 +4x
=-（x2 -4x +4 -4） = -（x - 2）2
+
4
C
Q
1cm/秒
B
所以，当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积y最大 最大面积是 4 cm2
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上 2： 分别选取E、F、G、,高约2.1m时，透光面积最大。
12 12 当 x 1 8 π 2( π 4) 2
≈1.1时,s的值最大.
（四）师生小结
1. 对于面积最值问题应该设图形一 边长为自变量，所求面积为函数建立 二次函数的模型，利用二 次函数有关 知识求得最值，要注意函数的定义域。 2. 用函数知识求解实际问题，需要把 实际问题转化为数学问题再建立函数 模型求解，解要符合实际题意，要注 意数与形结合。
G x C x F
6-x
=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
D H
解：设花园的面积为y
则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）
=-2x2 + 16x （0<x<6） =-2（x-4）2 + 32
x
x E
10-x
A
B
所以当x=4时 花园的最大面积为32
练习 4： 室内通风和采光主要取决于门窗的个 数和每个门窗的透光面积.如果计划用一段长 12m的铝合金材料,制作一个上部是半圆、下部 是矩形的窗框,那么当矩形的长、宽分别为多少 时,才能使该窗户的透光面积最大(精确到0.1m)?
5.5二次函数最大面积
（一）复习引入
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点 坐标、对称轴和最值 b 2 4ac b 2 y a( x ) , 2a 4a
当 所以顶点坐标为
b 4ac b 2 顶点坐标为 , 4a 2a
b 对称轴为 x 2a
D C A B
解：设AD=xm，则AB=（32-2x）m，设矩形面积为 ym2，得到：Y=x（32-2x）=-2x2+32x,由顶点公式得：
x=8m时，y最大
这个解法有 没有问题？
=128m2
D
10m
x
A
32-2x
B
实际上，∵0＜32-2x≤10，∴11 ≤ x ﹤16，由图象或增减 性可知x=11m时， y最大=110m2
∴ 花圃宽为（24－4x）m
24－4x 4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a ＝36（m2）
(3) ∵墙的可用长度为8m ,∴ 0<24－4x ≤8
∴当x＝4m时，S最大值＝32 m2
4≤x<6
例2：如图在ΔABC中，AB=8cm,BC=6cm，∠B＝90°
窗户的透光面积= 半圆的面积+ 矩形的面积 解: 设矩形窗框的宽为___m, 2x x 则半圆形窗框的半径为_____m,
(6-2x-0.5πx) 矩形窗框的高为____________m. 设窗户的透光面积为Sm2,则
1 S= πx2+2x(6-2x-0.5πx) 2 1 =-( 2 π+4)x2+12x
问题：
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形 面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多 少时，场地的面积S最大？
例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面 长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸 准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米长的 不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花 圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最 大？ (各边取整数）