funcEx2

• A2n=*0,1+1/2n+,n=1,2,…. • 确定{An}的上极限和下极限 • 显然[0,1] An (n=1,2,…).而当x (1, 2) 时，必存在正整数 1 1 1 x 2 N(x),使当n>N(x)时， 2n 2n 1 x A ,但 x A 。换句话说，对于开 • 即当n>N(x)时， 区间(1,2)中的x,具有充分大奇数指标集都含有x,从 而{An}中有限多个集合含有x，而充分大的偶数指 标的集都不含有x的集不是有限多个。再注意到 • [0,2)以外的点都不属于任何{An}。因此有 lim A [0, 2), lim A [0,1]
• 即 A B {x | x A 或 x B} 由同时属于A和B的那些元素所组成的集合称为A与B 的交集。记为 A B 即 A B {x | x A且 x B} 设D是一个集合，如果对于D中的每个元素a，都有 一个集合Aa与之对应，则这些Aa组成的集合称为 以D为指标集的集族。记为{Aa} 设Aa为任意集族，由集族中一切Aa所有的元素组成 的集合称为集族{Aa} aD的并，记为 A A ={x|存在某个aD,使得xAa}
x n
n
n1

n
n
n
lim An An
n n 1

n 1
例4点集E上的函数列 {f (x)} 不收敛于 f(x) 的点组成的 n 集合为 E[| fn( x) f ( x) |] 1/ k ]
k 1 N 1 n N
• 证：假设E中的函数列 {fn (x)} 不收敛于f(x)的点组成 的集合为A，现证A= E[| fn( x) f ( x) |] 1/ k ] k 1 N 1 n N • 先证左端 右端。对于任一 x0 左端，则 f ( x ) 不收敛于f(x),因此就有ɛ>0及一串正整数 n1< n2<….<ni< … 使 | f n ( x 0) f ( x 0) | 自然，只要使k充分大，使1/k<ɛ,就有
aD
aD


i
i
i 1
i 1
a
aD
a
aD
a
aD
aD
• (2) A B B A; A B B A(交换律) • (3) ( A B) C A ( B C ); ( A B) C A ( B C ) (结合律) (4) A ( B C ) ( A B) ( B C ); A ( B C ) ( A B) ( B C ) (分配律) 定理1.4设A，B是二集合,{Ai}是一列集合，则 (1) A B A A B (2)若Ai B (i=1,2,…),则 A B (3)若Ai B (i=1,2,…),则 A B (4) B ( A ) ( A B), B ( A ) ( B A )
0
0 0 0
• 故对任意正整数N，都有自然数 n N，使
|
f n ( x ) f ( x ) | 1/ k .

所以{fn(x0)}不收敛于f(x0),从而得知 x 0 A 。由x0的任 意性知 A E[| f ( x ) f ( x ) | 1/ k ], n
A
• 当我们研究某一个问题时，往往所涉及的一切集 合都是某个集合S的子集，这时便称S是全集。例 如，当我们仅讨论直线上的点集时，直线就是全 集，A的补集记为 ðA S , S. • 定理1.4 (1) 痧 A S; A A . • (2) A 痧 A B • (3) A B 当且仅当 痧 • (4) A \ B A ðB • (5) 痧 ( A) A • 定理中的（4）把差的运算转换为交的运算
• 定理1.5(Morgen公式)设A，B是二集合{Aa},aD是 一集族，则 • (1) 痧 ( A B) A 痧 B, ( A B) 痧 A B ( A ) A ,痧 ( A ) A • (2) 痧 (1) A \ ( X ) ( A \ X ); • 例1.2证明：
a a a a aD aD

aD

i
i
i 1
i 1
(2) A \ ( X i ) ( A \ X i )
i 1 i 1
• 证：前面我们证明两个集合相等时，都是根据定 理1.1中的2，证明两个集合互为子集，现在我们 换一种方法，即用集合运算的法则直接推导。
(1) A \ ( X i ) A 痧 ( X i ) A ( X i ) ( A X i ) ( A \ X i )
2n
2 n1
n
n
n
n
• 如果集列{An}的上极限和下极限相等，则称集列 lim 是集列{A }的极限记为 {An}收敛，并称 A lim n An n An n A lim A • 如果集列{An}满足 An An1 (或 A A ),则称{An}是单 调增加（或减少）集列 • 定理1.7单调集列必是收敛的。如果{An}是单调增 加的，那么 lim A A ；如果{An}是单调减少的
• 注意(1)空集是任何集合的子集。即 • (2)从属关系 和包含关系 是两个不同的概念，前者是指 集合的元素和集合本身的关系，后者是表示集合之间的关 系。例如，A={a,b},有a A，{a} A,而写法a A和{a}A都是 错误的。 • 定理1.1对于任何集合A，B，C 有 • （1）自反性 • （2）反对称性 若A B，且B A，则A=1B • （3）传递性，若A B，B C，则A C • 1.3集合的运算 • 设A，B是两个集合，A中的元素和B中的元素的全体组成的 集合称为A与B的并集，记为 A B
0 N 1 n N 0 0 0
E[| f n ( x ) f ( x ) | ],
N 1 n N
i

0
0
x E[| f n ( x ) f ( x ) | 1/ k ],
0 n N 0 0 0
• 于是存在正整数n,使得
,且
0 0
x
0
E[|
f n ( x ) f ( x ) | 1/ k ].
a aD
a aD
• 由集族中一切Aa共有元素组成的集合，称为集族 {Aa} a D的交，记为 Aa A a} • Aa ={x|对每个a D,都有x • 当D是N时，就是 A , A x A 当且仅当x属于{A }中的某 • 从定义可以看出： a 个集合。 x A 当且仅当x属于{A }中的每一个集合。 a 对任意a D,恒有A A ，Aa Aa 定理1.2对任意集合A，B，C下列诸运算律成立 (1) A A A; A A A (幂等律)





(2)同(1) 类似可得
i 1
i 1
i 1
i 1

i 1
i 1

A \ ( X i ) A 痧 ( X i ) A ( 痧 Xi ) ( A Xi ) ( A \ Xi )
i 1 i 1 i 1 i 1

通常，实，复数减法运算的许多性质对于集合差运 ( A B) \ A 未必 算并不适用，例如( A \ B) B未必等于A， 等于B。移项变号的规则也不再适用。 定义 设集列A1，A2，…,由属于上述集列中无限多个集 的那种元素的全体组成的集称为这一集列的上极 限记为 lim A lim A ={x|存在无穷多个A ,使得x An } n
n 0
i
|
f n ( x ) f ( x ) | 1/ k, i 1, 2,...
i
0
0
所以
0
x E[| f n ( x ) f ( x ) | ], N 1, 2,....
n N
i

0
0
从而
• 于是
x E[| f n ( x ) f ( x ) | ],
实变函数论之集合论初步
何水宫 he1shui2gong@ All Rights Reserve
Chapter 1集合论基础
• 1.1集合及其运算 • 1集合的概念 • 凡具有某种性质的，确定的，有区别的事物的全体就是一 个集合，其中每一个体事物称为这个集合的元素，例如全 体自然数叫做自然数集，即,1,2,3,…• （1）关于集合的描述必须是确定的。任何事物对于一个 集合而言或者是该集合的事物，或者不是该集合的事物， 二者必居其一，不可兼得。 • （2）同一集合中的元素必须是有区别的，即集合中的元 素必不 相同的。如方程的解集是{0,-1},而不是{0,0,-1}。 • （3）集合中的元素一般是无顺序可言的。 • 通常我们用R表示实数集，Q表示有理数集，N表示正整数 集，Z表示整数集。
k 1 N 1 n N 0 0
• 综上可知，结论成立
1.2映射与基数
• 定义2.1设A，B是两个非空集合，若存在一个法则 f,使得对每个 x A ，有唯一确定的 y B 与之对 应，则称f为A到B的一个映射，记为f: A B • Y称为x在映射f下的像，记为y=f(x)并用符号 f : x y • 表示。X称为y的一个原像，A称为f的定义域， • f ( A) { f ( x) | x A}称为映射f的值域 • 一般地有 f ( A) B 未必有f(A)=B • 定义2.2设f是A到B的一个映射 (1)如果对任意 x, y A若 x y ,便有 f ( x) f ( y) f是A到B的 单射。
n n n n
• 对于集列A1, A2,…,那种除有限个集合外，属于集列 中其余每个集的元素全体组成的集称为这一集列 的下限集记为 lim A • lim A ={存在N(x),当n>N(x)时，x A } • 显然有 A lim A lim A A