第六章 第4节 万有引力理论的成就

2π2 Mm 提示：不能，因为地球绕太阳公转时有 G r2 ＝m T r，
公式中的地球质量 m 直接消去了，无法求得，只能求得太阳 (中心天体)的质量 M。
[跟随名师· 解疑难]
1．环绕法计算天体质量的思路和方法 (1)基本思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，向 心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求 中心天体的质量。 (2)计算方法 ①已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，半径为 Mm 4π2 4π2r3 r，则由 G 2 ＝m 2 r 得 M＝ 。 r T GT2
答案：B
3 M1 T24 M2· T14 ＝
[探规寻律] 解决天体运动问题时应注意的问题： (1)应用万有引力定律求解问题时要注意挖掘题目中的隐 含条件。如地球公转一周是 365 天，自转一周是 24 小时，其 表面的重力加速度约为 9.8 m/s2 等。 Mm (2)由 G R2 ＝mg 可以得到 GM＝gR2。由于 G 和 M(地球 质量)这两个量往往不易记住，而 g 和 R 容易记住。所以粗略 计算时，一般采用上述代换，这就避开了引力常量 G 和地球 的质量 M。
gR2 质量为 M＝ G 。
[特别提醒] (1)环绕法只能计算出中心天体的质量。 (2)注意养成区分书写 R、r 的习惯。R 一般指天体的半 径，r 指轨道半径。若沿近地轨道运行，则有 R＝r。 3．天体密度的计算 M M 根据密度公式 ρ＝ V ＝4 ，只要求出天体的质量代入 3 π R 3 此式就可计算天体的密度。 (1)重力加速度法求天体的密度 Mm M 3g 由 mg＝G R2 和 ρ＝4 得 ρ＝4πGR。 3 π R 3
(2)环绕法求天体的密度 Mm 4π2 M 3πr3 由 G r2 ＝m T2 r 和 ρ＝4 得 ρ＝GT2R3。 3 π R 3 (3)近地卫星的轨道半径 r 等于天体半径 R Mm 4π2 M 3π 由 G R2 ＝m T2 R 和 ρ＝4 得 ρ＝GT2。 3 π R 3
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手) (好题共享· 选自鲁科版教材 P95· T 5) 月亮绕地球转动的周期为 T，轨道半径为 r，地球半径为 R， 引力常量为 G，请写出地球质量和地球密度的表达式。
知识点一
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知识点二 命题点一
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第 4 节
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第4节
万有引力理论的成就
1．若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受 重 力 等 于 地 球 对 物 体 的 引 力 ， 即 mg ＝ Mm gR2 G R2 ，可得地球质量 M＝ G ，该公式同样 适用于其它天体。 2 ．根据万有引力提供行星做圆周运动的向心 力， 只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径 4π2r3 r 和周期 T， 就可得太阳的质量为 M＝ GT2 。 3．应用万有引力定律可以计算天体的质量，还 可以发现未知天体， 海王星的发现和哈雷彗 星的 “ 按时回归 ” 确立了万有引力定律的 地位。
②已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和运行的线速
2 2 v v r Mm 度 v，则由 G r2 ＝m r 得 M＝ G 。
③已知卫星的线速度 v 和运行周期 T，则由 v2 v3T Mm 2πr G r2 ＝m r 和 v＝ T 得 M＝2πG。 2．重力加速度法计算天体质量的思路和方法 若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g，根据物 Mm 体的重力近似等于地球对物体的引力得 mg＝G R2 ，解得地球
Gm D．向心加速度 a＝ R2
2 v Mm 解析：由万有引力提供向心力可得 G R2略月球自转时，有 G R2 ＝mg，联立各式解得相 关物理量后可判断选项 A 正确。
答案：A
天体质量的计算
[典题例析] 1．下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量 G 是 已知的) ( )
[跟踪演练] 一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为 T， 速度为 v，引力常量为 G，则下列关系式错误的是 v3T A．恒星的质量为2πG vT C．行星运动的轨道半径为 2π 4π2v3 B．行星的质量为 GT2 2πv D．行星运动的加速度为 T ( )
vT 2πr 解析：因 v＝ T ，所以 r＝ 2π ，选项 C 正确；结合万有引力定 v2 v3T GMm 律公式 r2 ＝m r ， 可解得恒星的质量 M＝2πG， 选项 A 正确； 因不知行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质量无 v2 2π 2πv 2 法计算，选项 B 错误；行星的加速度 a＝ r ＝v ×vT＝ T ，选 项 D 正确。
称量地球的质量 (1)R 为地球半径 (2)g 为地球表面 说明 的重力加速度
计算太阳的质量 (1)r 为地球绕太阳做匀速圆周 运动的半径 (2)T 为地球绕太阳做匀速圆 周运动的周期
(3)这两种方法同样适用于计算其他天体的质量 (4)求出天体的质量后， 还可以进一步计算其密度
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(想一想) 如果已测得地球到太阳的距离 r 及地球的公转周期 T， 能否求出地球的质量？
A． 已知地球绕太阳运动的周期 T 和地球中心离太阳中心 的距离 r B．已知月球绕地球运动的周期 T 和地球的半径 r C．已知月球绕地球运动的角速度和地球的半径 D．已知月球绕地球运动的周期 T 和轨道半径 r
解析：已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只 能求出太阳的质量， 而不能求出地球的质量， 所以选项 A 错误。 已知月球绕地球运动的周期(或角速度)和地球的半径，而不知 道月球绕地球运动的轨道半径，所以不能求出地球的质量，选 Mm 4π2 4π2r3 项 B、C 错误。由 G r2 ＝mr T2 可求得地球质量为 M＝ GT2 ， 所以选项 D 正确。
[跟踪演练] ( 天津高考 )“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对 月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。 设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距 月球表面的高度为 h，已知月球的质量为 M、半径为 R，引力 常量为 G，则卫星绕月球运动的向心加速度 a＝________，线 速度 v＝________。
计算天体的质量
[自读教材· 抓基础]
称量地球的质量 方法 重力加速度法
计算太阳的质量 环绕法
自转 影响，重力等 万有引力提供 忽略地球_____
理论 于万有引力 依据 Mm mg＝G R2 结论 M＝ gR G
2
向心力 _______
Mm 4π2 G r2 ＝mr T2
2 3 4π r M＝ GT2
2．哈雷彗星的“按时回归”
哈雷 根据万有引力定律计算了一 1705 年，英国天文学家_____
颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归。这就是哈雷彗星。 3．海王星的发现和哈雷彗星“按时回归”的重要意义 海王星的发现和哈雷彗星“按时回归”的意义并不仅仅 在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位。
(2)黄金代换： 在天体表面上， 天体对物体的万有引力近似等于物体的重 Mm 力，即 G R2 ＝mg，从而得出 GM＝gR2。 注意：上式中 R 为天体的半径，g 为天体表面的重力加速 度。
2．几个常用关系式 Mm GM (1)由 G r2 ＝ma 可得：a＝ r2 ，r 越大，a 越小。 v2 Mm (2)由 G r2 ＝m r 可得：v＝ Mm (3)由 G r2 ＝mω2r 可得：ω＝ GM r ，r 越大，v 越小。 GM r3 ，r 越大，ω 越小。 r3 GM，r 越大，T 越大。
Mm 解析：万有引力提供卫星运动的向心力，有：G ＝ma， R＋h2 v2 GM Mm 解得 a＝ 。由 G ＝m 解得 v＝ R＋h2 R＋h2 R＋h GM 。 R＋h
GM 答案： R＋h2
GM R＋h
宇宙中的双星系统
1.双星模型 宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离 其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不 计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点 O 做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星模型 ( 如图 641 所示)。
答案：D
[探规寻律] 根据万有引力定律求天体质量时，一般有两种思路： M gR2 (1)根据重力加速度求天体质量， 即由 g＝GR2， 得 M＝ G 。 (2)根据环绕天体的圆周运动规律求中心天体的质量， 即根 据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列方程 Mm 4π2 4π2r3 G r2 ＝mr T2 ，求得 M＝ GT2 。注意根据该思路只能求出中心 天体的质量。
万有引力定律 计算出来 行星——天王星的运动轨道与根据______________
的轨道总有一些偏差。因此，有人推测，在天王星轨道外面 还有一颗未发现的行星。 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维 耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计 算出这颗“新”行星的轨道。
1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位 置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行 星”。后来，这颗行星命名为海王星。
3 60 A．轨道半径之比约为 480 B．轨道半径之比约为 3 60 4802 3 3 60×4802 60×480
C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为 [思路点拨]
本题中涉及两个中心天体，可用万有引力
定律结合向心力公式写出相应的通式，再代入题中的已知条 件进行求解。
3 GMT2 2π2 Mm 解析：由公式 G r2 ＝m T r，可得通式 r＝ 4π2 ， 3 M1 T12 3 60 r1 Mm 则r ＝ 从而判断 A 错、 B 对； 再由 G r2 M2· T22＝ 4802， 2 M a1 M1 r22 ＝ ma 得 通 式 a ＝ G r2 ， 则 a ＝ M · 2＝ r 2 2 1 3 60×4804，所以 C、D 皆错。