2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 Word版
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2-2-2 含答案 精品
2.2.2平面与平面平行的判定学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．知识点平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案不一定．思考2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行．思考3如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？答案无数条．不平行．梳理面面平行的判定定理类型一面面平行的判定定理例1下列四个命题：(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(3)平行于同一直线的两个平面平行；(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行．其中正确的个数是______________．答案0反思与感悟在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．跟踪训练1设直线l, m, 平面α，β，下列条件能得出α∥β的有()①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P, l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个答案 A解析①错误，因为l, m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．类型二平面与平面平行的证明例2如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明如图，连接B1C.由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.又∵MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.引申探究若本例条件不变，求证：平面CB1D1∥平面A1BD.证明因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，同理A1D∥平面CB1D1.又BD∩A1D＝D，所以平面CB1D1∥平面A1BD.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.类型三线线平行与面面平行的综合应用命题角度1线线、线面、面面平行的相互转化的证明问题例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.反思感悟解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．(2)线线平行――→判定线面平行――→判定面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面HB 1D 1.证明 (1)如图，取BB 1的中点M ，连接C 1M ，HM ，易知HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1， 又由已知可得MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接OE ，D 1O ，则OE 綊12DC .又D 1G 綊12DC ，∴OE 綊D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知HD 1∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面HB 1D 1，BF ，BD ⊂平面BDF ， 且B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面HB 1D 1.命题角度2 线线与面面平行的探索性问题例4 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO ?解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，连接PQ ，如图，易证四边形PQBA 是平行四边形，∴QB ∥P A .又∵AP ⊂平面APO ，QB ⊄平面APO ，∴QB ∥平面APO .∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 同理可得D 1B ∥平面P AO ， 又D 1B ∩QB ＝B ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .反思感悟 对于探索性问题，一是可直接运用题中的条件，结合所学过的知识探求；二是可先猜想，然后证明猜想的正确性．跟踪训练4 在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，M 为PE 的中点，在棱PC 上是否存在一点F ，使平面BFM ∥平面AEC ？并证明你的结论．解 当F 是棱PC 的中点时，平面BFM ∥平面AEC . ∵M 是PE 的中点，∴FM ∥CE . ∵FM ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ， ∴FM ∥平面AEC . 由EM ＝12PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ，如图所示，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．连接OE，则BM∥OE.∵BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BM∥平面AEC.又∵FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，∴平面BFM∥平面AEC.1．下列命题中正确的是()A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行答案 B解析如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确．2．在正方体中，相互平行的面不会是()A．前后相对侧面B．上下相对底面C．左右相对侧面D．相邻的侧面答案 D解析由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，所以选D.3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案 A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥EGH1.4．如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱P A，PB，PC的中点，则平面DEF 与平面ABC的位置关系是________．答案平行解析在△P AB中，因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面P AC？证明你的结论．解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1的中点M，连接D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，故D1B∥平面P AC.又因为M为AA1的中点，所以D1M∥P A，从而D1M∥平面P AC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂α，D1B⊂α，所以α∥平面P AC.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．课时作业一、选择题1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案 B解析因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，α∥β，b∥β答案 D解析A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若三点不在β的同一侧，α与β相交；C错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D.3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：γ∥α，γ∥β，则α∥β.故①正确．②、③均错误．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A．面ABB1A1B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D1答案 C解析取AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1(如图)，故面A1E1F1D1∥面BCFE.5．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案 D解析由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；∵FG∥BC1，FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.7．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面P AD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面P AD∥平面P AB. 其中正确的有()A．①③B．①④C．①②③D．②③答案 C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.同理平面P AD∥BC.二、填空题8．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是_____．答案相交或平行解析b、c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．9．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．答案平行解析假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β. 10．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．答案平行解析在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，∵a∥β，∴a与l无公共点，∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.三、解答题11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.证明连接B1D1，B1C.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.12．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD 上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，可知平面MNQ∥平面PBC.13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)解平面GFP∥平面ABC，证明如下：在CD上取中点P，连接FP，GP.∵F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC，又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP，∴平面GFP∥平面ABC.四、探究与拓展14．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下面四个命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l∥α，m∥l，则m∥α.其中所有真命题的序号是________．答案②解析当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，故①错误；②正确；若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故③错误；④中直线m有可能在平面α内，故④错误．15．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥ADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．解当F为AB的中点时，平面C1CF∥ADD1A1.理由如下：∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，F为AB的中点，∴CD綊AF綊C1D1，∴AFCD是平行四边形，且AFC1D1是平行四边形，∴CF∥AD，C1F∥AD1.又CF∩C1F＝F，CF，C1F都在平面C1CF内，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。
2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2_第2章 点_直线_平面之2.3.1
返回导航
·
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3．直线和平面所成的角
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面__垂__直____，这条直线
叫做这个平面的斜线，斜线和平面的___交__点___叫做斜足．过斜线上斜足以外的
一点向平面引垂线，过___垂__足___和__斜__足____的直线叫做斜线在这个平面上的射
一点，且SA＝SB＝SC．
数
(1)求证：SD⊥平面ABC；
学
必 修
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
②
人 教
版
返回导航
·
·
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
人 教
版
返回导航
·
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能
(A)
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
[解析] ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，
又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与
数 学
m不可能平行．
必
修
②
人 教
版
返回导航
·
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角
即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面
内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些
人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)
高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．Q PC'B'A'C BA使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ， 又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PEEM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2__第2章 点_直2.3.2
图形 语言
符号 α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，O__A_⊥__l___，_O__B_⊥__l__ ⇒ 语言 ∠AOB 为二面角 α－l－β 的平面角
作二面角的平面角的方法
方法一(定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面 内分别作垂直于棱的射线．
如图①，∠AOB 为二面角 α －a －β 的平面角． 方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面 角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平 面角．
4．对于直线 m、n 和平面 α、β，能得出 α⊥β 的一个条件是( ) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：取正方体 ABCD－A1B1C1D1，连接 AC，A1C1，把 AD 所 在直线看作直线 m，BB1 所在直线看作直线 n，把平面 BB1C1C 作为 平面 α，平面 AA1C1C 作为平面 β.对于 A 虽满足 m⊥n，m∥α，n∥β， 但 α 不垂直于 β，从而否定 A.类似地可否定 B 和 D.
答案：C
类型一 求二面角 例 1 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中： (1)求二面角 D′－AB－D 的大小； (2)求二面角 A′－AB－D 的大小．
【解析】 (1)在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面 AD′，所以 AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD 为二面角 D′－ AB－D 的平面角．在 Rt△D′DA 中，∠D′AD＝45°，所以二面角 D′－AB－D 的大小为 45°.
跟踪训练 2 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直底面， ∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D 是棱 AA1 的中点．
2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.2
第二章 2.3 2.3.2A级基础巩固一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面导学号09024521(C)A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在[解析]经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．2．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：导学号09024522①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中表述正确的个数是(B)A．1B．2C．3D．4[解析]①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．3．如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A ＝AC，则二面角P－BC－A的大小为导学号09024523(C)A．60°B．30°C．45°D．15°[解析]由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC又P A∩AC＝C∴BC⊥平面P AC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△P AC中，由P A＝AC得∠PCA＝45°，故选C．4．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是导学号09024524(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC[解析]可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE 垂直的是导学号09024525(B)A．AC B．BDC．A1D1D．A1A[解析]在正方体中，AA⊥平面ABCD1∴AA1⊥BD．又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A∴BD⊥平面AA1C1C．∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C∴CE⊂平面AA1C1C∴BD⊥CE．二、填空题6．在三棱锥P－ABC中，已知P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有__3__对.导学号09024526[解析]∵P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P∴P A⊥平面PBC∵P A ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AC∴平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AC ⊥平面PBC ．同理可证：平面P AB ⊥平面P AC ． 7．(2018·诸城一中高一检测)在三棱锥S －ABC 中，AC ⊥平面SBC ，已知SC ＝a ，BC ＝3a ，SB ＝2a ，则∠SCB ＝__90°__.导学号 09025157[解析] 因为AC ⊥平面SBC ，SC ，BC ⊂平面SBC∴AC ⊥SC ，AC ⊥BC ，又BC ＝a ，BC ＝3a ，SB ＝2a ，所以SB 2＝SC 2＋BC 2，故△SCB 为直角三角形，∴∠SCB ＝90°．三、解答题8．如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点.导学号 09024528(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； [解析] (1)取EC 的中点F ，连接DF ． ∵CE ⊥平面ABC∴CE ⊥BC ．易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF ． ∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC ． 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中 EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ．故DE ＝DA ．(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊CF ．∵BD綊CF，∴MN綊BD∴N∈平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA．又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA．9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，导学号09024529(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面P AC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值．[解析](1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a∴PC2＝PD2＋DC2∴PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D∴PD⊥平面ABCD．(2)由(1)知PD⊥平面ABCD∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D∴AC⊥平面PDB．同时，AC⊂平面P AC∴平面P AC⊥平面PBD．(3)设AC∩BD＝O，连接PO．由P A＝PC，知PO⊥AC．又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝22a．在Rt△PDO中，tan∠POD＝PDOD＝a22a＝2．B级素养提升一、选择题1．(2018·集宁一中高一检测)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列结论，正确的有导学号09025158(C)①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．A．①②B．②③C．①④D．③④[解析]①由平行的传递性知正确；②a⊥b，b⊥c，则a，c可能相交，平行异面，故②错误；③a∥γ，b∥γ，则a，b可能相交，平行，异面，故③错误；④若a⊥γ，b⊥γ，则a ∥b正确．2．(2018·大连海湾高级中学高一检测)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个结论中正确的是导学号09025159(D)A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥n，m⊥β，则n∥βD．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β[解析]A中，m⊥n可得α与β相交，故A错；B中，m∥α，m⊥n，可得n⊥α或n ⊂α，故B错；C中，m⊥n，m⊥β，则n∥β或n⊂β，故C错；D中，m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β，故D正确．3．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC ＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为导学号09024532(D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC设平面ABC∩l＝D则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角∵AB＝6，BC＝3∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°∴二面角大小为60°或120°．4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有导学号09024533(A)A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[解析]由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选A．二、填空题5．在三棱锥P－ABC中，P A＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P－AB －C的大小为__60°__.导学号09024534[解析]取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△P AB中，PM＝22－(3)2＝1同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°．6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD．底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足__BM⊥PC(其他合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD．(注：只要填写一个你认为正确的即可)导学号09024535[解析]∵四边形ABCD的边长相等∴四边形为菱形．∵AC⊥BD又∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC．若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM．∴平面PCD⊥平面BDM．C级能力拔高1．(2015·湖南)如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F 分别是BC、CC1的中点.导学号09024536(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．[解析](1)如图，因为三棱柱ABC－AB1C1是直三棱柱1所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1．(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD ，因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB ，又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，因此CD ⊥平面A 1AB 1B ，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角，由题设知∠CA 1D ＝45°所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝ 2 所以FC ＝12AA 1＝22故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S AEC ×FC ＝13×32×22＝612．2．(2018·莱州一中高一检测)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.连接BD ，AC 交于E . 导学号 09025160(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)连接PE ，求∠PEA 的大小． [解析] (1)连接BD 、AC 交于E ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ． ∴BD ⊥P A ．又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3．∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ．又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ． (2)∵BD ⊥平面P AC ． ∴BD ⊥PE ，BD ⊥AE在Rt △AEB 中，AE ＝AB ·sin ABD ＝ 3 ∴tan ∠AEP ＝APAE ＝3，∴∠AEP ＝60°．。
高中数学人教A版2019必修第二册 空间点 直线 平面之间的位置关系 同步练习(解析版)
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.34.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固答案1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【答案】C【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【答案】C【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.【答案】b与α平行或相交或b在α内【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b 时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】D【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)【答案】③④【解析】①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.【解析】a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.【解析】平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。
2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2__第2章 点_直2.1.1-2.1
知识导图
学法指导 1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言 的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置 关系．用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要 注意实线与虚线的区别． 2．学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论， 明确四个公理各自的作用． 3．要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含 义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件． 4．判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法． 5．作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线．
3．公理 3 的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共 线问题；③证明线共点问题.
公理 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交 集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的 两个平面．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间不同三点确定一个平面．( × ) (2)空间两两相交的三条直线确定一个平面．( × ) (3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．( √ )
(1)一个希腊字母：如 α，β，γ 等；
表示 (2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个
方法 顶点；
(3)四个大写英文字母：பைடு நூலகம்示平面的平行四边形的四个顶点
1．平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念， 不能进行度量；
2019年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面课时作业解析版新人教A版必修2
2.1.1 平面1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B )(A)a∈α,A⊂a⇒A⊂α(B)a⊂α,A∈a⇒A∈α(C)a∈α,A∈a⇒A⊂α(D)a∈α,A∈a⇒A∈α解析:直线在平面内用“⊂”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故选B.2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作( B )(A)A∈b,b∈β(B)A∈b,b⊂β(C)A⊂b,b⊂β(D)A⊂b,b∈β解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.4.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C )(A)0 (B)1(C)1或4 (D)无法确定解析:四点可以确定平面的个数为1个;四点不共面,可以确定平面的个数是4,故空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4个.5.如图平面α∩平面β=直线l,点A,B∈α,点C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ,则γ与β的交线必过( D )(A)点A(B)点B(C)点C但不过点D(D)点C和点D解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ,所以γ与β的交线必过点C和D.6.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( D )解析:在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P,Q,R,S共面,故选D.7.以下三个命题:①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若A,B,C,D共面,A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③依次首尾相接的四条线段一定共面,其中正确命题的个数是( B ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①正确;对于②,当A,B,C三点共线,如图(1)所示,A,B,C,D,E不一定共面,故②不正确;对于③,如图(2)所示的AB,BC,CD,DA依次首尾相连,但四条线段不共面,故③不正确.8.(2017·金华九校联考)长方体的12条棱所能确定的平面个数为( C )(A)8 (B)10(C)12 (D)14解析:在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面,共12个面.9.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α;(2)α∩β=a,P∉α且P∉β;(3)a⊄α,a∩α=A ;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (3)A (4)B10.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是.解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.答案:011.已知α,β为不重合的平面,A,B,M,N为不同的点,a为直线,下列推理中错误的是(填序号).①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β;②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN;③A∈α,A∈β⇒α∩β=A.解析:由公理1知①正确;②中,易知M,N为平面α与β交线上的点,故②正确;易知③错误. 答案:③12.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.解析:①O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,即A,C,O,D四点共面;②因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;④连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.答案:①③④13.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F为所在棱的中点,求证:D1,E,F,B四点共面.证明:如图,在BB1上取中点M,则BM=AE,连接EM,C1M,因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以ME∥AB且ME=AB,所以ME∥C1D1且ME=C1D1,所以四边形C1D1EM是平行四边形,所以D1E∥C1M.同理可得C1M∥FB且C1M=FB,所以D1E∥FB且D1E=FB,所以四边形EBFD1是平行四边形.所以D1,E,F,B四点共面.14.如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==.求证:三条直线EF,GH,AC交于一点.证明:因为E,H分别是AB,AD中点,所以EHBD,因为==,所以GF∥BD,GF=BD,所以EH∥GF且EH≠GF,所以四边形EFGH为梯形,所以两腰EF,GH交于一点,记为P.因为EF⊂平面ABC,所以P∈平面ABC,同理P∈平面ADC,所以P在平面ADC和平面ABC的交线AC上,所以三条直线EF,GH,AC交于一点.15.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,判断过A,Q,B1三点的截面图形的形状. 解:由于点Q是线段DD1上的动点,故当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形AB1D1,如图1所示.当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图2所示.当点Q不与点D,D1重合时,截面图形为梯形AQRB1,如图3所示.图1 图2 图316.下列各图是正方体,A,B,C,D分别是所在棱的中点,这四个点中共面的图有( C )(A)①②③(B)①③④(C)①③ (D)①②④解析:如图所示,正方体中A,B,C,D分别是所在棱的中点.图①中,因为AD∥EF,BC∥EF,所以AD∥BC,所以A,B,C,D四点共面.图②中,因为CD∥EF,EF∥MN,所以A,B,C,D四点不共面.图③中,因为CD∥EF,EF∥AB,所以CD∥AB,所以A,B,C,D四点共面.图④中,因为CD∥EF,所以A,B,C,D四点不共面.所以这四个点中共面的图有①③.故选C.17.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与GH交于点M,则( A )(A)M一定在直线AC上(B)M一定在直线BD上(C)M可能在AC上,也可能在BD上(D)M既不在AC上,也不在BD上解析:如图所示,HG∩EF=M,HG⊂平面ACD,EF⊂平面ACB,所以M∈平面ACD,M∈平面ACB.又平面ACD∩平面ACB=AC,所以M∈AC.故选A.18.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是.①A,M,O三点共线;②A,M,O,A1四点共面;③A,O,C,M四点共面;④B,B1,O,M四点共面.解析:因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.答案:④19.如图,正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1,P为BC中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S.当CQ=时,S的面积为,若S为五边形,则此时CQ的取值范围为.解析:如图1所示,当CQ=时,截面S为等腰梯形,易求得上、下底边长分别为, ,腰为,所以底边上的高为,所以S的面积为.当CQ=时,可知截面是等腰梯形,当CQ=1时,易得截面是一个菱形.所以,只有<CQ<1时,截面是一个五边形,如图2所示.答案: (,1)20.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为2,M,N,P分别是A1B1,AD,BB1的中点.(1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD,平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长.解:(1)如图,连接MP并延长交AB的延长线于R,连接NR交BC于点Q,则NQ就是过M,N,P三点的平面与平面ABCD的交线,连接PQ,则过M,N,P三点的平面与平面BB1C1C的交线是PQ.(2)易知Rt△MPB1≌Rt△RPB,所以MB1=RB=1.因为BQ∥AN,所以△BQR∽△ANR,所以==,可得BQ=.在Rt△PBQ中,PQ===.。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系
■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线 既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面 内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β， 即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因 为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与 平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线 与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这 两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两 种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线， 既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是 相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平 面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直 线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在 平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册全册同步练习
（2019新教材）人教A 版高中数学必修第二册全册同步练习6．1 平面向量的概念[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D. 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案：27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量；(2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形， 所以BE 綊FD ， 所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形． 解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E . 因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ， 所以|AC →|＝|AE →|. 因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →， 如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i ＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．6.2 向量的运算[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B.CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B.EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B. 3．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 4．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 5．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选C.由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝______，|a －b |＝________． 解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线，所以|a －b |＝2.答案：0 27．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②因为OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④因为－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：(1)AC →；(2)AD →；(3)AD →－AB →；(4)AB →＋CF →； (5)BF →－BD →.解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝OD →－OA →＝d －a . (3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a ＋f －c . (5)BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝OF →－OD →＝f －d . 10．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ 解：(1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD .又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为菱形， 所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直．[B 能力提升]11．给出下面四个结论：①若线段AC ＝AB ＋BC ，则向量AC →＝AB →＋BC →； ②若向量AC →＝AB →＋BC →，则线段AC ＝AB ＋BC ； ③若向量AB →与BC →共线，则线段AC ＝AB ＋BC ； ④若向量AB →与BC →反向共线，则|AB →－BC →|＝AB ＋BC . 其中正确的结论有________．解析：①由AC ＝AB ＋BC 得点B 在线段AC 上，则AC →＝AB →＋BC →，正确． ②三角形内AC →＝AB →＋BC →，但AC ≠AB ＋BC ，错误．③AB →，BC →反向共线时，|AC →|＝|AB →＋BC →|≠|AB →|＋|BC →|，也即AC ≠AB ＋BC ，错误． ④AB →，BC →反向共线时，|AB →－BC →|＝|AB →＋(－BC →)|＝AB ＋BC ，正确． 答案：①④12．已知|OA →|＝a ，|OB →|＝b (a >b )，|AB →|的取值范围是[5，15]，则a ，b 的值分别为______． 解析：因为a －b ＝||OA →|－|OB →||≤|OA →－OB →|＝|AB →|≤|OA →|＋|OB →|＝a ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5.答案：10 513．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|AB →－BC →|＝________． 解析：如图，在△ABD 中， AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，AB →－BC →＝AB →＋CB → ＝AB →＋BD →＝AD →.易求得AD ＝3，即|AD →|＝ 3. 所以|AB →－BC →|＝ 3. 答案：314．如图所示，点O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a ，b ，c ，d 的方向(用箭头表示)，使a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，并画出b －c 和a ＋d .解：因为a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，所以a ＝OA →，b ＝BO →，c ＝OC →，d ＝OD →.如图所示，作平行四边形OBEC ，平行四边形ODF A .根据平行四边形法则可得，b －c ＝EO →，a ＋d ＝OF →.[C 拓展探究]15．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB .又M 是斜边AB 的中点， 所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →， 又|AM →|＝|CM →|，所以|a －b |＝|a |. (2)因为M 是斜边AB 的中点， 所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →，因为|CA →|＝|CB →|， 所以|a ＋(a －b )|＝|b |.向量的数量积[A 基础达标]1．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选D.如图，AD →与CD →的夹角为∠ABC ＝150°.2．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A. 3 B.5 C ．3D ．5解析：选C.由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C.因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.4．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12解析：选C.因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0.解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)．故选C.5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－32B ．32C ．－32D ．32解析：选C.因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC →＝1×3×cos 150°＝－32.6．若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是北偏东60°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a )·(a ＋b )＝－3|a |2－3a ·b ＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×12＝－32.答案：－327．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝2，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________．解析：根据题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，因为(3a ＋λb )⊥a ，所以(3a ＋λb )·a ＝3a 2＋λa ·b ＝3＋λ＝0，所以λ＝－ 3.答案：－38．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 解析：因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形9．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，所以|b |＝22.设向量a ，b 的夹角为θ， 因为a ·b ＝12，所以|a |·|b |cos θ＝12，所以cos θ＝22，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a ，b 的夹角为45°. (2)因为|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝12，所以|a －b |＝22. 10．已知|a |＝2|b |＝2，e 是与b 方向相同的单位向量，且向量a 在向量b 方向上的投影向量为－e .(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解：(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影向量为|a |cos θ e ＝－e ， 所以cos θ＝－12，所以θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)因为λa ＋b 与a －3b 互相垂直， 所以(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， 所以λ＝47.[B 能力提升]11．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：选D.因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)， 所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →)＝0， 所以BC →·AC →＝0，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．12．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得a·b ＝0，由|a －b |＝2|a |可得3a 2＝b 2，所以|b |＝3|a |，设向量a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝（a －b ）·b |a －b ||b |＝－|b |22|a |·3|a |＝－3|a |223|a |2＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.13．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________．解析：由DC →＝2BD →，所以BD →＝13BC →，BC →＝AC →－AB →，故AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝⎣⎡⎦⎤AB →＋13·（AC →－AB →）·(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →) ＝13AB →·AC →＋13AC →2－23AB →2 ＝13|AB →||AC →|cos 120°＋13|AC →|2－23|AB →|2＝13×2×1×⎝⎛⎭⎫－12＋13×1－23×22＝－83. 答案：－8314．设向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 化简即得2t 2＋15t ＋7<0，画出y ＝2t 2＋15t ＋7的图象，如图． 若2t 2＋15t ＋7<0， 则t ∈⎝⎛⎭⎫－7，－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142. 所以所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. [C 拓展探究]15．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝()AD →＋DP →·()BC →＋CP→ ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC →＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6， 所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36. 设AB →与AD →的夹角为θ，又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示[A 基础达标]1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7，6)C ．(5，0)D ．(11，8)解析：选D.因为OA →＝(4，2)，OB →＝(3，4)， 所以2OA →＋OB →＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B.112 C ．－292D.292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，所以λ＋x ＝－292，故选C.3．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →等于( )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：选D.12AB →＝12(MB →－MA →)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设点D (m ，n )，则由题意得(4，3)＝2(m ，n －2)＝(2m ，2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 5．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.23解析： 选C.如图所示，因为∠AOC ＝45°， 所以设C (x ，－x )， 则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3，0)，B (0，2)， 所以λOA →＋(1－λ)OB → ＝(－3λ，2－2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 解析：设O 为坐标原点，因为OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________． 解析：设c ＝x a ＋y b ，则(x ，2x )＋(－2y ，3y )＝(x －2y ，2x ＋3y )＝(4，1)．故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，2x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 所以c ＝2a －b . 答案：2a －b8．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13AB →＝13(3，6)＝(1，2)，DA →＝－23AB →＝－23(3，6)＝(－2，－4)，DC →＝DA →＋AC →＝(－1，－2)， 所以CD →＝(1，2)． 答案：(1，2)9．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. 10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3，1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1.所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1. (2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， 又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.[B 能力提升]11．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝ab ，那么向量b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫2，45 B.⎝⎛⎭⎫－2，－45 C.⎝⎛⎭⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎫－2，45 解析：选A.设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝ab ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝⎛⎭⎫2，45. 12．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝______．解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA→＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.答案：2313．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－P A →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)14．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2，0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝⎛⎭⎫－32＝－32，y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12，所以b ＝⎝⎛⎭⎫－32，12.同理可得c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝⎛⎭⎫－32，－332＝λ1(2，0)＋λ2⎝⎛⎭⎫－32，12＝(2λ1－32λ2，12λ2)， 所以⎩⎨⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.所以c ＝－3a －33b .[C 拓展探究]15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标；(2)若OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，试求m －n 的值． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2，2)， 故OP →＝(2，2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． 所以AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，AC →＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)， 因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x 0，y 0)＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.两向量共线的充要条件及应用[A 基础达标]1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B.因为平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以1×m －(－2)×2＝0，解得m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k )．因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.4．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( )A ．1，2B ．2，2C ．3，2D ．2，4解析：选B.由题意知，AB →＝(1，2)，DC →＝(3－x ，4－y )． 因为AB →∥DC →，所以4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足．故选B.5．已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9，1) B ．(9，－1) C ．(9，1)D ．(－9，－1)解析：选C.设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝⎛⎭⎫8，12－(1，－3)＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)， 所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC →＝(－2，1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．答案：①③④8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m 等于________．解析：由(1，2)⊗m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．答案：(2，0)9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.所以当k ＝－12时，k a －b 与a ＋2b 共线．(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．(1)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标；(2)已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标．解：(1)法一：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM →＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以x 1＝0，y 1＝20，x 2＝9，y 2＝2，即M (0，20)，N (9，2)，所以MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二：设点O 为坐标原点，则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 从而OM →＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →， 所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M (0，20)，N (9，2)，故MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． (2)①当点P 在线段P 1P 2上时，如图a ：则有P 1P →＝23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35. ②当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，如图b ：则有P 1P →＝－23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝－23（－1－x ），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故点P 的坐标为(8，－9)．综上可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)．[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上， 则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 答案：⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 13.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为______．解析：设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5，4)，CA →＝(－3，6)，DC →＝(4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)． 又因为CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4，4λ)， 由CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得λ＝47，所以DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167， 所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167. 答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝xOA →＋yOB →，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形，所以AB →，AC →不共线，又AB →＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标．解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →，所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →， 所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )，则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)，所以x ＝－5，y ＝－2， 所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →，所以4CE →＝ED →，所以4CE →＋4ED →＝5ED →，所以4CD →＝5ED →. 设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎨⎧x ′＝－165，y ′＝－115.所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－165，－115.平面向量数量积的坐标表示[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8D ．82解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b 的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为______． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝（2cos θ－3）2＋（2sin θ）2＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2 θ＝7－43cos θ， 当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋39．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4. (2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3， 故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cosθ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12，所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值为________．解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系， 则A (3，0)，B (0，0)，C (0，4)．所以AB →＝(－3，0)，BC →＝(0，4)，CA →＝(3，－4)． 所以AB →·BC →＝－3×0＋0×4＝0， BC →·CA →＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA →·AB →＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝0－16－9＝－25. 法三：(转化法)因为|AB →|＝3，|BC →|＝4，|AC →|＝5， 所以AB ⊥BC ，所以AB →·BC →＝0，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →) ＝CA →·AC →＝－|AC →|2＝－25. 答案：－2514．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围． 解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)， 所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)， 所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．[C 拓展探究]15．已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)． AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， 所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD .(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， 所以AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)．又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.正弦定理[A 基础达标]1．在△ABC 中，一定成立的式子是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得a sin B ＝b sin A . 2．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( ) A.π3 B.π6 C.π3或2π3D.π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 3．(2019·济南检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．4．在△ABC 中，若c ＝3，C ＝60°，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．6B ．23C ．2D ．3解析：选C.利用正弦定理的推论，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝c sin C ＝3sin 60°＝2.5．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2Bcos A.因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。
最新人教A版高中数学必修二全册同步课时跟踪练习
最新人教A版高中数学必修二全册同步课时跟踪练习棱柱、棱锥、棱台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征中心投影与平行投影及空间几何体的三视图空间几何体的直观图柱体、锥体、台体的表面积与体积球的体积和表面积平面空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系直线与平面、平面与平面平行的判定直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程两条直线的交点坐标、两点间的距离点到直线的距离、两条平行线间的距离圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用空间直角坐标系棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、题组对点训练对点练一棱柱的结构特征1．下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选A三棱柱只有面对角线，没有体对角线．2．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是()A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱解析：选D解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义，正确；图③不满足侧面都是平行四边形，不正确．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱对点练二棱锥、棱台的结构特征4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个 D.4个解析：选D三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.5．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．6．下列四个几何体为棱台的是()解析：选C棱台的底面为多边形，各个侧面为梯形，侧棱延长后又交于一点，只有C 项满足这些要求．对点练三多面体的表面展开图7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()解析：选C本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.8．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④ D.①②解析：选C可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D，M，R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．答案：②④二、综合过关训练1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．以下有三个结论：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③侧面都是矩形的棱柱是长方体．正确的个数是()A．0 B．1C．2 D.3解析：选A由棱柱、棱锥定义知①②错；侧面都是矩形的棱柱可能是斜棱柱，故③错．3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析：选A两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．4．下列说法正确的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：选D选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．5．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七6．如图所示平面图形沿虚线折起后，(1)为________，(2)为________，(3)为________．解析：结合棱柱、棱锥的概念可知，(1)是四棱柱，(2)是三棱锥，(3)是四棱锥．答案：四棱柱三棱锥四棱锥7．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．8．如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．解：作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4 cm，OB＝3 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝5 cm.所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、题组对点训练对点练一旋转体的结构特征1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D.①和④解析：选D根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球 D.圆台解析：选C圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．答案：①对点练二简单组合体4．下列几何体是简单组合体的是()解析：选D A选项中的几何体是圆锥，B选项中的几何体是圆柱，C选项中的几何体是球，D选项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．5．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．6．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．对点练三有关几何体的计算7．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B.8π C.4π D.2π解析：选B由题意可知，假设围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r，则2πr＝4，所以r＝2π，所以截面是长为2，宽为4π的矩形，所以截面面积为2×4π＝8π.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，截面面积为8π.8．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.解析：h＝20 cos 30°＝103(cm)．答案：10 3二、综合过关训练1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.2．下列说法中正确的个数是()①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1 C．2 D.3解析：选C①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．3.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()解析：选D结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．4．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是()A．1B．7C．3或4 D.1或7解析：选D如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.5．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 2 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为a，则a2＝1－22a1，即a＝2 2.答案：22cm7.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14 (cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.中心投影与平行投影及空间几何体的三视图一、题组对点训练对点练一平行投影和中心投影1．直线的平行投影可能是()A．点B．线段C．射线 D.曲线解析：选A直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.2．下列的四个图形中采用中心投影画法的是()解析：选A根据平行投影和中心投影的画法规则，B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形，而A选项中的图形采用的是中心投影画法．3.如图，E，F分别是正方体ABCD-AB1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③对点练二简单几何体的三视图4．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱 D.上面为棱台，下面为圆柱解析：选C结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．5．如图所示的几何体中，正视图与侧视图都是长方形的是________．解析：(2)的侧视图是三角形，(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：(1)(3)(4)6．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．解：三视图如图所示．对点练三由三视图还原空间几何体7.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为() A．217 B．2 5C．3 D.2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．∵ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON2＝22＋42＝2 5.8．如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是________．解析：由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥．答案：正四棱锥9．如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图，其中图(1)是________，图(2)是________，图(3)是________(写出视图名称)．解析：由几何体的位置知，(1)为正视图，(2)为侧视图，(3)为俯视图．答案：正视图侧视图俯视图二、综合过关训练1．下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D矩形的平行投影可能是线段，平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线．因此A、B、C均错，故D 正确．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.3.某个游戏环节，玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为()解析：选A由题意知，图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图，结合选项中给出的图形分析可知，A中几何体满足要求．故选A.4．在一个几何体的三视图中，正视图和侧视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为()A．①②B．②③C．③④ D.②④解析：选D若俯视图为图①，则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：76．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 47．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，求三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P -ABC 的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形， 其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时，其俯视图的面积最小， 最小面积S 2＝12×1×1＝12，所以三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.空间几何体的直观图一、题组对点训练 对点练一 斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A ′＝( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D.90°解析：选C 在画直观图时，∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴，而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点解析：选B 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直． 3．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D 由斜二测画法规则可知，平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是 ( )A．①②B．②③C．②④ D.③④解析：选D原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．对点练二由直观图还原平面图形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长为22，结合各选项可知选A.7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ACC．BC D.AD解析：选B由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．8.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2D.4 2解析：选C在△AOB中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝22，且∠AOB＝90°，S△AOB＝12OA·OB＝12×1×22＝ 2.二、综合过关训练1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500，11 000，1500计算，最后单位转化为cm.2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32) cm D.(2＋23) cm解析：选B直观图中，O′B′＝2，原图形中OC＝AB＝(22)2＋12＝3，OA＝BC ＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为()A．2 2 B. 2C．16 2 D.1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴，所以在△ABO 中，AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16，所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8，所以A ′B ′＝4.如图，作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′，所以B ′C ′＝A ′C ′，所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4 的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原平面图形的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC ，垂足为E .∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1.由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋227.如图，四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与O 重合， 在x 轴上取点C ，使AC ＝2， 再在y 轴上取点D ，使AD ＝2， 取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ， 使DE ＝EB ，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形A ′B ′C ′D ′的原图形(也可以过点C 作BC ∥y 轴，且使CB ＝AD ＝2，然后连接AB ，DC )，如图所示．易知四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝2，AC ＝2，∴S ▱ABCD ＝2×2＝2 2. 8．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54D.36解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫94 2＝81π4.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S底＋S 侧＝6π. 答案：6π对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π38．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其体积为2×2×2－13×1×22＝203.答案：203对点练三 求几何体体积的方法9.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积VA -A 1EF ＝VE -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 3 二、综合过关训练1．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 棱柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，。
数学试题 人教a版必修2 同步练习第二章检测测试题(两套)
第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是( )A.没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线D.不在同一平面内的两条直线是异面直线解析:没有公共点的两条直线还可能异面,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B选项不正确;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.答案:C2.如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论一定不成立的是( )A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30°D.l与BD垂直答案:A3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α解析:对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,但当a与b异面时,不存在平面α,使结论成立,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,但当a与b平行时,不存在平面α,使结论成立,D错误.答案:B4.给出下列四个命题:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.其中不正确的个数是( )A.1B.2C.3D.0解析:利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C.答案:C5.若l为直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:对于A,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A错误;对于B,由线面垂直的性质可得,B 正确;对于C,若l⊥α,l∥β,应推出α⊥β,故C错误;对于D,l与β的位置关系不确定,l∥β,l⊂β,l 与β相交,都有可能,故D错误.答案:B6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.BDB.ACC.ADD.A1D1解析:由BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,则BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE.答案:A7.如图,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是( )A.1 BC解析:如图,取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF中,ED EF答案:B8.已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为( )A.75°B.60°C.45°D.30°解析:如图,O为底面ABCD的中心,连接AC,BD,SO,易得SO⊥平面ABCD.所以∠OCS为侧棱SC与底面ABCD所成的角.又由已知可求得OC因为SC=1,所以∠OCS=45°.答案:C9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1; ②EF∥AC;③EF与AC异面; ④EF∥平面ABCD.其中一定正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.①④解析:如图,由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.答案:D10.已知平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n 所成角的正弦值为( )A解析:(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成角的正弦值(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体.易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.直线l1∥l2,在l1上取2个点,l2上取2个点,由这4个点能确定平面的个数是.解析:因为l1∥l2,所以经过l1,l2有且只有一个平面.答案:112.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB 的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)解析:∵l⊥平面ABC,∴l⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴∠PCB=90°.故当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小不变.答案:不变13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,它的体积解析:由已知可求得长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长过点A1作A1E⊥AB1于点E,如图.因为B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1E.因为AB1∩B1C1=B1,所以A1E⊥平面AB1C1.所以∠A1B1E即为A1B1与平面AB1C1所成的角.因为AA1所以AB1=2,A1E因为sin∠A1B1E所以∠A1B1E=60°.答案:60°14.已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S -ABC的体积为9,则球O的表面积为.解析:取SC的中点O,连接OA,OB.因为SA=AC,SB=BC,所以OA⊥SC,OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC,且OA⊂平面SAC,所以OA⊥平面SBC.设OA=r,则V A-SBC△SBC×OA所r=3.所以球O的表面积为4πr2=36π.答案:36π15.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).解析:由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1C1C,即只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案:B1D1⊥A1C1(答案不唯一)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.证明:(1)如图,连接EF,CD1,BA1.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.又BA1∥CD1,所以EF∥CD1.所以E,C,D1,F四点共面.(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P.由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理,得P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA.所以CE,D1F,DA三线共点.17.(8分) 如图,PA⊥正方形ABCD所在的平面,经过点A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又ABCD是正方形,所以AB⊥BC.而PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE.因为PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.所以AE⊥PB.18.(9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解:棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.理由如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF,如图. 因为E为AB的中点,所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解:在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD·AD·PE由题设x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=可得四棱锥P-ABCD的侧面积·PD·AB·DC60°=6+20.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG,如图.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB所以三棱锥E-ABC的体积V△ABC·AA1第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面给出了四个条件:①空间三个点;②一条直线和一个点;③和直线a都相交的两条直线;④两两相交的三条直线.其中,能确定一个平面的条件有( )A.3个B.2个C.1个D.0个解析:①当空间三点共线时不能确定一个平面;②点在直线上时不能确定一个平面;③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面;④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.故4个条件都不能确定一个平面.答案:D2.对于直线m,n和平面α,下列结论正确的是( )A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n解析:当m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线时,n与α可以平行,也可以相交,故A,B错误;对于C,由线面平行的性质定理可知C正确;对于D,m与n还可以相交,故D错误.答案:C3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为( )A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH的形状是平行四边形.答案:B4.已知a,b,c是直线,则下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成的角相等.其中真命题的个数为( )A.0B.3C.2D.1解析:异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确.答案:D5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析:选项B,C中,易知AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.答案:A6.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:当三棱锥D-ABC的体积最大时,平面DAC⊥ABC,取AC的中点O,连接OD,OB(图略),则△DBO是等腰直角三角形,即∠DBO=45°.答案:B7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则( )A.AD1⊥B1EB.AD1∥B1EC.AD1与B1E共面D.以上都不对解析:连接A1D(图略),则由正方形的性质,知AD1⊥A1D.又B1A1⊥平面AA1D1D,所以B1A1⊥AD1,所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED,所以AD1⊥B1E,故选A.答案:A8.已知一个正方体的展开图如图所示,其中A,B为所在棱的中点,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中AB与CD所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:展开图还原为正方体(如图),其中EF,FG,EG分别为所在面的对角线.因为A,B分别为相应棱的中点,所以EF∥AB.易知CD∥EG,所以∠FEG为AB与CD所成的角(或其补角).又因为EG=EF=FG,所以∠FEG=60°,即AB与CD所成角的大小为60°.答案:C9.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC.则下列说法正确的是( )A.平面PAC⊥平面ABCB.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABCD.BC⊥平面PAB解析:如图,因为PA=PB=PC,所以点P在底面的射影是底面△ABC的外心.又因为∠ABC=90°,所以射影O为AC的中点.则PO⊥平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.答案:A10.如图,在多面体ACBDE中,BD∥AE,且BD=2,AE=1,F在CD上,要使AC∥平面EFB,A.3B.2C.1 D解析:连接AD交BE于点O,连接OF.因为AC∥平面EFB,平面ACD∩平面EFB=OF,所以AC∥OF.所又因为BD∥AE,所以△EOA∽△BOD,所答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;④若a,b与c成等角,则a∥b.其中正确的是.(只填序号)解析:由公理4知①正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可能相交、平行,也可能异面,故②不正确;当a⊂平面α,b⊂平面β时,a与b可能平行、相交或异面,故③不正确;当a,b与c成等角时,a与b可能相交、平行,也可能异面,故④不正确.答案:①12.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为.解析:如图,过点A作AE⊥BD于点E.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AE=A,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥PE.又因为ABCD为矩形,且AB=3,BC=4,所以AE所以PE答案:13.如图,正方形ABEF和正方形ABCD有公共边AB,∠EBC=60°,AB=CB=BE=a,则DE=.解析:由已知∠EBC=60°,连接EC(图略).因为BE=BC=a,所以EC=a,又可证CD⊥平面EBC,所以CD⊥EC.因为CD=a,所以DE答案:14.如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于.解析:不妨将几何体放在如图所示的正方体中,则PB与AC所成的角等于PB与PQ所成的角.设正方体的棱长为a,连接BQ,则在△BPQ中,PQ=a,BQ所以tan∠BPQ答案:15.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:①PC∥平面OMN;②平面PCD∥平面OMN;③OM⊥PA;④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是.解析:连接AC(图略),易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,结论①正确.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA.又PC∥OM,所以OM⊥PA,结论③正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角,即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形,所以∠PDC=60°,故④错误.答案:①②③三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=90°,点D,E在线段AC上,且DE=EC,PD=PC,点F在线段AB上,且EF∥BC.证明:AB⊥平面PFE.证明:由DE=EC,PD=PC知,E为等腰三角形PDC中DC边上的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,所以PE⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC,所以PE⊥AB.因为∠ABC=90°,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内的两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.17.(8分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.18.(9分) 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面PAD?若能,请确定点E的位置,并给出证明;若不能,请说明理由.解:在PC上能找到点E,且满BE∥平面PAD.证明如下:延长DA和CB交于点F,连接PF,如图.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB所所所以在△PFC所以BE∥PF.而BE⊄平面PAD,PF⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)解:如图,取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BCBC∥AD,∠ABC=90°,得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD垂直底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以CM⊥侧面PAD, 所以CM⊥PM.设BC=x,则CM=x,CD取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN因为△PCD的面积所解得x=-2(舍去),x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=所以四棱锥P-ABCD的体积V20.(10分)如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且平面AOB⊥平面AOC.动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值.(1)证明:由题意知,CO⊥AO,平面AOB⊥平面AOC,所以CO⊥平面AOB.又CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.(2)解:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO.所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.由(1)知CO⊥BO,在Rt△OCB中,CO=BO=2,OE第21 页共22 页所以CE又DE所以在Rt△CDE中,tan∠CDE故异面直线AO与CD 所成的角的正切值第22 页共22 页。
2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2__第2章 点_直2.3.1
方法归纳
求直线与平面所成的角的步骤 (1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂 足的位置是关键； (2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依 据为直线与平面所成的角的定义； (3)求：一般来说是借助三角形的相关知识求角．
跟踪训练 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 A1B1 的中点，求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值．
2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，与 BC1 垂直的平面是( ) A．平面 DD1C1C B．平面 A1B1CD C．平面 A1B1C1D1 D．平面 A1DB
解析：由于易证 BC1⊥B1C，又 CD⊥平面 BCC1B1，所以 CD⊥BC1. 因为 B1C∩CD＝C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD.
【解析】 ∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴△AOB，△AOC 为正三角形， ∴AB＝AC＝1，又 BC＝ 2， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC， ∴△BAC 为等腰直角三角形． ∵OB＝OC＝1，BC＝ 2，∴OB2＋OC2＝BC2，∴OB⊥OC， ∴△BOC 为等腰直角三角形， 如图，取 BC 的中点 H，连接 AH，OH，则 AH⊥BC，易得 △AHB≌△AHO，∴AH⊥OH，又 OH∩BC＝H，OH⊂平面 α，BC ⊂平面 α，∴AH⊥平面 α，∴∠AOH 即为 OA 与平面 α 所成的角．
知识导图
学法指导 1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，对这种特殊 位置关系的认识，既可以从直线与平面相交所成的角为 90°的角度 来讨论，又可以从已有的线线垂直关系出发进行推理和论证． 2．在线面垂直的判定定理中，有非常重要的限制条件“两条 相交直线”，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使 用时一定要注意体现逻辑推理的规范性． 3．求直线与平面所成的角的关键是作直线在平面上的射影．
2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2__第2章 点_直2.3.3-4
解析：因为直线 l⊥AB，l⊥AC，所以直线 l⊥平面 ABC，同理 直线 m⊥平面 ABC，根据线面垂直的性质定理得 l∥m.
答案：A
3. 如图，BC 是 Rt△BAC 的斜边，PA⊥平面 ABC，PD⊥BC 于 点 D，则图中直角三角形的个数是( )
A．3 B．5 C．6 D．8
方法归纳
(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已 知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面 的垂线．
(2)证明线面垂直的常用方法： ①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α ⇒a⊥α.
跟踪训练 2 在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥ 平面 PBC.
(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD； (2)当△ADB 转动时，是否总有 AB⊥CD？证明你的结论．
解析：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时， 因为平面 ADB∩平面 ABC＝AB，所以 DE⊥平面 ABC，CE⊂ 平面 ABC 可知 DE⊥CE.由已知可得 DE＝ 3，EC＝1. 在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
∵四边形 ABCD 为正方形，∴O 为 AC 的中点，∴OF∥PA，且
OF＝12PA. ∵EB∥PA，且 EB＝12PA，∴EB∥OF，且 EB＝OF， ∴四边形 EBOF 为平行四边形，∴EF∥BD. 又 EF⊂平面 PEC，BD⊄平面 PEC，∴BD∥平面 PEC.
(2)如图，连接 PB，∵EABB＝BPAA＝ 12，∠EBA＝∠BAP＝90°， ∴△EBA∽△BAP，
2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习本册综合学业质量标准检测 Word版含解析
本册综合学业质量标准检测本检测仅供教师备用，学生书中没有本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分分．考试时间分钟．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·泰安二中高一检测)直线＝与直线＝＋垂直，则等于( )．－．．－．[解析]由题意，得＝－，∴＝－．．空间中到、两点距离相等的点构成的集合是( )．线段的中垂线．线段的中垂面．过中点的一条直线．一个圆[解析]空间中线段的中垂面上的任意一点到、两点距离相等．．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( )．①②．②③．③④．②④[解析]垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选．．如图，在同一直角坐标系中，表示直线＝与＝＋正确的是( )[解析]当>时，直线＝的斜率＝>，直线＝＋在轴上的截距等于>，此时，选项、、、都不符合；当<时，直线＝的斜率＝<，直线＝＋在轴上的截距等于<，只有选项符合，故选．．已知圆＋＋－＋＝截直线＋＋＝所得弦的长度为，则实数的值是( )．．．．[解析]圆＋＋－＋＝的圆心(－)，半径＝(<)．圆心(－)到直线＋＋＝的距离＝＝由题意，得＝．．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )[解析]如图所示，由图可知选．．(·天水市高一检测)圆＋－＋＝和圆＋－＝交于、两点，则的垂直平分线的方程是( )．＋＋＝．－－＝．－－＝．－＋＝[解析]圆＋－＋＝的圆心(，－)，圆＋－＝的圆心()，的垂直平分线过圆心、，∴所求直线的斜率＝＝，所求直线方程为＝(－)，即－－＝．．(·南平高一检测)已知直线与直线－＋＝关于直线＝对称，则直线的方程为( ) ．＋－＝．－＋＝．＋－＝．＋－＝[解析]由(\\(－＋＝＝))，得(\\(＝＝))．由题意可知直线的斜率与直线－＋＝的斜率互为相反数∴＝－，故直线的方程为－＝－(－)即＋－＝．．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是( )．．．．。
2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.3
第二章 2.2 2.2.3A级基础巩固一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是导学号09024417 (A)A．AC∥截面BA1C1B．AC与截面BA1C1相交C．AC在截面BA1C1内D．以上答案都错误[解析]∵AC∥AC1，又∵AC⊄面BA1C11∴AC∥面BA1C1．2．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是导学号09024418(B)A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能[解析]∵AB1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC1∴A1B1∥平面ABC．又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1．又AB∥A1B1，∴DE∥AB．3．下列命题正确的是导学号09024419(D)A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点[解析] A 中，直线a 与直线b 也可能异面、相交，所以不正确；B 中，直线b 也可能与平面α平行，所以不正确；C 中，直线b 也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D 正确，故选D ．4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC 、AC 于点E 、F ，则导学号 09024420( B )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE[解析] ∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM 綊BN ，∴MN 綊AB ．又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC ．又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B ．5．如右图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是导学号 09024421( A )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定[解析] ∵EH ∥FG ，FG ⊂平面BCD ，EH ⊄平面BCD ∴EH ∥平面BCD ．∵EH ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ∴EH ∥BD ．6．已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心，点Q 是面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为导学号 09024422( C )A ．1B ．2C ．22D ．32二、填空题7．如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 分别交平面α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝__209__.导学号 09024423[解析] ∵a ∥α，α∩平面ABD ＝EG ，∴a ∥EG ，即BD ∥EG ∴EG BD ＝AF AF ＋FC ，则EG ＝AF ·BD AF ＋FC ＝5×45＋4＝209． 8．(2016·扬州高二检测)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若过A ，C ，B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是__l ∥A 1C 1__.导学号 09024424[解析] ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD∴AC ∥平面A 1B 1C 1D 1．又平面ACB 1经过直线AC 与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ∴AC ∥l ． 三、解答题9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，求证：AB ∥GH .导学号 09024425[解析] ∵E 、F 分别是AA 1和BB 1的中点，∴EF ∥AB ． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ∴AB ∥平面EFGH ． 又AB ⊂平面ABCD平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ，∴AB ∥GH ．10．四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB ＝23CD ．试问在PC 上能否找到一点E ，使得BE ∥平面P AD ？若能，请确定E 点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由.导学号 09024426[解析] 在PC 上取点E ，使CE PE ＝12则BE ∥平面P AD ．证明如下：延长DA 和CB 交于点F ，连接PF ． 梯形ABCD 中，AB ∥CD AB ＝23CD ．∴AB CD ＝BF FC ＝23 ∴BC BF ＝12． 又CE PE ＝12，∴△PFC 中，CE PE ＝BC BF∴BE ∥PF而BE ⊄平面P AD ，PF ⊂平面P AD ． ∴BE ∥平面P AD ．B 级 素养提升一、选择题1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是导学号 09024427( D ) A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行 B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 相交 C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行 D ．过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行[解析] A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与a 平行了． B 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能作一条直线与a ，b 相交． C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾． D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点作直线c ∥b ，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是唯一的．2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a 、b 、c 、…，那么这些交线的位置关系为导学号 09024428( D )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点[解析] 若l ∥平面α，则交线都平行；若l ∩平面α＝A ，则交线都交于同一点A ．3．如图，在三棱锥S －ABC 中，E 、F 分别是SB 、SC 上的点，且EF ∥平面ABC ，则导学号 09024429( B )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BC C ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能[解析] ∵EF ⊂平面SBC ，EF ∥平面ABC ，平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，∴EF ∥BC ． 4．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m 、n 异面．其中假命题有导学号 09024431( C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ∵α∥β，∴α与β没有公共点． 又∵m ⊂α，∴m 与β没有公共点 ∴m ∥β，故①正确，②③错误． 二、填空题5．已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 是__平行__四边形.导学号 09024432[解析] ∵AB ∥α，平面ABD ∩α＝FH ，平面ABC ∩α＝EG∴AB ∥FH ，AB ∥EG ，∴FH ∥EG ，同理EF ∥GH ，∴四边形EFHG 是平行四边形． 6．(2016·成都高二检测)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E ，F 分别是侧棱AA 1、CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8.P 在棱AA 1上，且AP ＝2，若EF ∥平面PBD ，则CF ＝__2__.导学号 09024433[解析] 连接AC 交BD 于O ，连接PO ．因为EF ∥平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF ∩平面PBD ＝PO ，所以EF ∥PO ，在P A 1上截取PQ ＝AP ＝2，连接QC ，则QC ∥PO ，所以EF ∥QC ，所以EFCQ 为平行四边形，则CF ＝EQ ，又因为AE ＋CF ＝8，AE ＋A 1E ＝8，所以A 1E ＝CF ＝EQ ＝12A 1Q ＝2，从而CF ＝2．C 级 能力拔高1．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC 、BD 都平行，且交空间四边形边AB 、BC 、CD 、DA 分别于E 、F 、G 、H .导学号 09024434(1)求证：EFGH 为平行四边形； (2)若AC ＝BD ，EFGH 能否为菱形？(3)若AC ＝BD ＝a ，求证：平行四边形EFGH 周长为定值．[解析] (1)∵AC ∥平面EFGH ，平面ACD ∩平面EFGH ＝GH ，且AC ⊂面ACD ∴AC ∥GH ，同理可证，AC ∥EF ，BD ∥EH ，BD ∥FG ． ∴EF ∥GH ，EH ∥FG .∴四边形EFGH 为平行四边形． (2)设AC ＝BD ＝a ，EH ＝x ，GH ＝y ，AH HD ＝mn ．∵GH ∥AC ，∴GH ∶AC ＝DH ∶DA ＝DH ∶(DH ＋HA )． 即：y ∶a ＝n ∶(m ＋n )，∴y ＝nm ＋n a ．同理可得：x ＝EH ＝mm ＋na ．∴当AC ＝BD 时，若m ＝n 即AH ＝HD 时，则EH ＝GH ，四边形EFGH 为菱形． (3)设EH ＝x ，GH ＝yH 为AD 上一点且AH ∶HD ＝m ∶n ． ∵EH ∥BD ，∴EH BD ＝AHAD ．即x a ＝m m ＋n ，∴x ＝m m ＋n a ． 同理：y ＝n m ＋na∴周长＝2(x ＋y )＝2a (定值)．2．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置.导学号 09024435[解析] 若MB ∥平面AEF ，过F 、B 、M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接MN 、NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN ．又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1． 而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1故MN 是△ACE 的中位线．所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF ．。
2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.4
第二章 2.3 2.3.4A级 基础巩固一、选择题导学号 090245871．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则( C )A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直[解析] 如图∵α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β．导学号 09024588 2．设有直线m、n和平面α、β，则下列命题中正确的是( B ) A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β[解析] Error!⇒α⊥β，∴B正确．3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则导学号 09024589( C )A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直[解析] α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．4．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面导学号 09024590PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( D )A．一条线段B．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC ．又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ．∴∠ACB ＝90°．∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．已知直线m ，n 和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂a ，要使n ⊥β，则应增加的条件是( B )导学号 09024591A ．m ∥n B ．n ⊥m C ．n ∥αD ．n ⊥α[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使n ⊥β，应有n 与交线m 垂直，∴应增加条件n ⊥m ．6．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为和.过π4π6A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( 导学号 09024592A )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4∠ABA ′＝，设AB ＝2aπ6则BB ′＝2a sin ＝a ，A ′B ＝2a cos ＝aπ42π63∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB ∶A ′B ′＝2∶1．二、填空题7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：导学号 09024593①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β．其中正确的两个命题是__①③__．[解析] Error!⇒l ⊥m ，故①对；Error!⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；Error!⇒α⊥β，∴③对；Error!⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D．8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的__垂__心.导学号 09024594[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．导学号 09024595[解析] Error!⇒Error!⇒平面ABD⊥平面ACD．10．(2018·江苏卷，15)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.导学号 09025210求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC．[解析] (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．B级 素养提升一、选择题1．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：导学号 09024597①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β．其中正确命题的个数为( B )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．导学号 090245982．在空间中，下列命题正确的是( D )A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD导学号 09024599的中点，则下列结论不一定成立的是( D )A ．PE ⊥ACB ．PE ⊥BCC ．平面PBE ⊥平面ABCDD ．平面PBE ⊥平面PAD[解析] 因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥AC ，PE ⊥BC ，所以A 、B 成立．又PE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面ABCD ，所以C 成立．若平面PBE ⊥平面PAD ，则AD ⊥平面PBE ，必有AD ⊥BE ，此关系不一定成立，故选D ．二、填空题4．如图所示，P 是菱形ABCD 所在平面外的一点，且∠DAB ＝60°，边长为a .侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，PB 与平面AC 所成的角为θ，则θ＝__45°__.导学号 09024600[解析] 如图所示，取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，BD ．∵△PAD 是等边三角形∴PG ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面AC ，平面PAD ∩平面AC ＝AD ，PG ⊂平面PAD ∴PG ⊥平面AC ，∴∠PBG 是PB 与平面AC 所成的角θ．在△PBG 中，PG ⊥BG ，BG ＝PG ∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°．三、解答题5．(2016·四川文)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝AD ．12(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD ．导学号 09024601[解析] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM 12所以四边形AMCB 是平行四边形从而CM ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB 所以CM ∥平面PAB ．(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD因为AD ∥BC ，BC ＝AD ，所以直线AB 与CD 相交．12所以PA ⊥平面ABCD ．从而PA ⊥BD ．连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝AD 12所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ．所以四边形BCDM 是平行四边形．所以BM ＝CD ＝AD ，所以BD ⊥AB ．12又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB ．又BD ⊂平面PBD ．所以平面PAB ⊥平面PBD ．C 级 能力拔高1．(2018·北京文，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.导学号 09025211(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；(2)求证：EF ∥平面PCD ．[解析] (1)∵PA ＝PD ，且E 为AD 的中点∴PE ⊥AD ．∵底面ABCD 为矩形，∴BC ∥AD ，∴PE ⊥BC ．(2)∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ．∴AB ⊥PD ．又PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A∵PD ⊥平面PAB ，PD ⊂平面PCD ∴平面PAB ⊥平面PCD ．(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD ．∵F ，G 分别为PB 和PC 的中点∴FG ∥BC ，且FG ＝BC ．12∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点∴ED ∥BC ，DE ＝BC ，∴ED ∥FG ，且ED ＝FG 12∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF ∥GD ．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ．2．(2018·镇巴中学高一检测)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，E 为棱CC 1的中点. 导学号 09025162(1)求证：B 1D 1⊥AE ；(2)求证：AC ∥平面B 1DE ；(3)求三棱锥A －BDE 的体积．[解析] (1)连接BD ，则BD ∥B 1D 1∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE ⊥BD ．又AC ∩CE ＝C ，∴BD ⊥面ACE ．∵AE ⊂面ACE ，∴BD ⊥AE ，∴B 1D 1⊥AE ．(2)取BB 1的中点F ，连接AF ，CF ，EF ．∵E ，F 是CC 1、BB 1的中点，∴CE 綊B 1F ∴四边形B 1FCE 是平行四边形∴CF ∥B 1E ，CF ⊄平面B 1DE ，B 1E ⊂平面B 1DE ∴CF ∥平面B 1DE ，∵E ，F 是CC 1、BB 1的中点∴EF 綊BC又BC 綊AD ，∴EF 綊AD ．∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥ED ∵AF ⊄平面B 1DE ，ED ⊂平面B 1DE ∴AF ∥平面B 1DE∵AF ∩CF ＝F ，∴平面ACF ∥平面B 1DE ．又∵AC ⊂平面ACF ∴AC ∥平面B 1DE ．(3)三棱锥A －BDE 的体积，即为三棱锥E －ABD 的体积．∴V ＝··AD ·AB ·EC ＝··2·2·1＝．1312131223。
2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.2
第二章 2.2 2.2.2A级 基础巩固一、选择题导学号 09024383 1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是( D ) A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′[解析] 长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，故选D．导学号 090243842．下列命题正确的是( D )①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③ B．②④ C．②③④ D．③④[解析] 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①．对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．所以只有③④正确，选择D．3．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面导学号 09024385( B )A．平行B．相交C．平行或相交D．平行或在平面内[解析] 如图所示．导学号 09024371 4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( B )A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个[解析] 若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在．5．如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是导学号 09024387( A )A．平行B．相交C．异面D．不确定[解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点∴A1D1∥E1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1∴A1D1∥平面BCF1E1．又E1和E分别是A1B1和AB的中点∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形∴A1E∥BE1又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1∴A1E∥平面BCF1E1又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1．导学号 090243886．已知直线l、m，平面α、β，下列命题正确的是( D )A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β[解析] 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC．又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C 错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．二、填空题7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为__平行或相交__. 导学号 09024389[解析] 三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是__平行__(填“平行”或“相交”).导学号 09024390[解析] 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β．三、解答题9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.导学号 09024391[解析] 因为F为CD的中点，H为PD的中点所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE．又AE∥CF且AE＝CF所以四边形AECF为平行四边形所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE．由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F所以平面AFH∥平面PCE．10．(2018·永春一中高一期末)已知正四棱锥P －ABCD 如图所示.导学号 09025155(1)若其正视图是一个边长分别为，，2的等腰三角形，求其表面积S 、体积V ；33(2)设AB 中点为M ，PC 中点为N ，证明：MN ∥平面PAD ．[解析] (1)过P 作PE ⊥CD 于E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O则PE ⊥CD ，E 为CD 的中点，O 为正方形ABCD 的中点∵正四棱锥的正视图是一个边长分别为，，2的等腰三角形33∴PE ＝，BC ＝CD ＝23∴OE ＝BC ＝1，∴PO ＝＝．12PE 2－OE 22∴正四棱锥的表面积S ＝S 正方形ABCD ＋4S △PCD ＝22＋4××2×＝4＋4．1233正四棱锥的体积V ＝S 正方形ABCD ·PO ＝×22×＝．13132423(2)过N 作NQ ∥CD ，连结AQ ∵N 为PC 的中点，∴Q 为PD 的中点∴NQ 綊CD12又AM 綊CD ，∴AM 綊NQ 12∴四边形AMNQ 是平行四边形∴MN ∥AQ又MN ⊄平面PAD ，AQ ⊂平面PAD ∴MN ∥平面PAD ．B 级 素养提升一、选择题1．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题.导学号 09024381①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③α∥c，β∥c⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤α∥c，a∥c⇒α∥a；⑥a∥γ，α∥γ⇒α∥a．其中正确的命题是( C )A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④[解析] ①平行公理．②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面．③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行．④面面平行传递性．⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内．⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内．故①④正确．2．下列结论中：导学号 09024394(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．正确的序号为( C )A．(1)(2) B．(3)(4)C．(1)(3) D．(2)(4)3．若a、b、c、d是直线，α、β是平面，且a、b⊂α，c、d⊂β，且a∥c，b∥d，则导学号 09024395平面α与平面β( D )A．平行B．相交C．异面D．不能确定4．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中导学号 09024396( A )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线[解析] 当直线a⊂β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A．二、填空题5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：导学号 09024397①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB．其中正确的有__①②③__.(填序号)[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD．同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB．同理平面PAD∥BC．6．如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__点M在FH上__时，有MN∥平面B1BDD1.导学号 09024398[解析] ∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H∴平面FHN∥平面B1BDD1又平面FHN∩平面EFGH＝FH∴当M∈FH时，MN⊂平面FHN∴MN∥平面B1BDD1．C级 能力拔高1．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB 上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.导学号 09024399[解析] 解法一：连接CG 交DE 于点H ∵DE 是△ABC 的中位线∴DE ∥AB ．在△ACG 中，D 是AC 的中点，且DH ∥AG ，∴H 是CG 的中点．∴FH 是△SCG 的中位线∴FH ∥SG ．又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ∴SG ∥平面DEF ．解法二：∵EF 为△SBC 的中位线∴EF ∥SB ．∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ∴EF ∥平面SAB ．同理：DF ∥平面SAB ，EF ∩DF ＝F ∴平面SAB ∥平面DEF又∵SG ⊂平面SAB ，∴SG ∥平面DEF ．2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.导学号 09024400[思路分析] 由正方体的特征及N 为BB 1的中点，可知平面A 1FC 与直线DD 1相交，且交点为DD 1的中点G ．若过M ，E 的平面α与平面A 1FCG 平行，注意到EM ∥B 1D 1∥FG ，则平面α必与CC 1相交于点N ，结合M ，E 为棱C 1D 1，B 1C 1的中点，易知C 1N ∶C 1C ＝.于是平面EMN 满足14要求．[解析] 如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝C 1C 时，平面EMN 过点E ，M 且14与平面A 1FC 平行．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H ．∵C 1N ＝C 1C ，∴C 1N ＝C 1H ．1412又E 为B 1C 1的中点，∴EN ∥B 1H ．又CF ∥B 1H ，∴EN ∥CF ．又EN ⊄平面A 1FC ，CF ⊂平面A 1FC ∴EN ∥平面A 1FC ．同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ∴MN ∥A 1F ．又MN ⊄平面A 1FC ，A 1F ⊂平面A 1FC ∴MN ∥平面A 1FC ．又EN ∩MN ＝N∴平面EMN ∥平面A 1FC ．。
2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系学业质量标准
第二章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为导学号09024609(D)A．5B．4C．9D．1[解析]由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线导学号09024610(B)A．平行B．垂直C．相交D．异面[解析]当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是导学号09024611(D)A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．(2016～2017·枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是导学号09024612(B)A．相交B．平行C．异面D．不确定[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥ABl ⊥AC AB ∩AC ＝A ⇒l ⊥平面ABC⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥BC m ⊥AC AC ∩BC ＝C ⇒m ⊥平面ABC l ∥m 5．已知α、β是两个平面，直线l ⊄α，l ⊄β，若以①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有导学号09024613( A )A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①[解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m ，使m ⊥α 又因为l ⊥α，所以l ∥m .又因为l ⊄β，所以l ∥β，即①③⇒②； 因为l ∥β，所以过l 可作一平面γ∩β＝n ，所以l ∥n 又因为l ⊥α，所以n ⊥α又因为n ⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③．6．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有导学号09024614( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析]如图，和α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC ＝∠ACB ＝30°且BC ∥l 时，直线AC ，AB 都满足条件，故选B ．7．(2016～2017·浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l .若直线m 、n 满足m ∥α，n ⊥β，则导学号09024615( C )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n[解析]选项A ，只有当m ∥β或m ⊂β时，m ∥l ；选项B ，只有当m ⊥β时，m ∥n ；选项C ，由于l ⊂β，∴n ⊥l ；选项D ，只有当m ∥β或m ⊂β时，m ⊥n ，故选C ．8．(2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱BC和棱CC 1的中点，则异面直线AC 与MN 所成的角为导学号09024616( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析]如图，连接A 1C 1、BC 1、A 1B ． ∵M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点 ∴MN ∥BC 1． 又A 1C 1∥AC∴∠A 1C 1B 为异面直线AC 与MN 所成的角． ∵△A 1BC 1为正三角形 ∴∠A 1C 1B ＝60°.故选C ．9．(2018·全国卷Ⅱ文，9)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为导学号09025212( C )A ．22 B ．32 C ．52D ．72 [解析]在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CD ∥AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为∠EAB ，设正方体边长为2a ，则由E 为棱CC 1的中点，可得CE ＝a ，所以BE ＝5a ．则tan ∠EAB ＝BE AB ＝5a 2a ＝52.故选C ．10．(2018·临朐一中高一检测)已知A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则直线BD 与AC 导学号09025163( A )A ．垂直B ．平行C ．相交D ．位置关系不确定[解析]过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，连结BO∵AB ⊥CD ，由三垂线定理可得BO ⊥CD ． 同理DO ⊥BC ，∴O 为△ABC 的垂心所以CO ⊥BD ，BD ⊥AO ，CO ∩AO ＝O ，∴BD ⊥平面ADC ，所以BD ⊥AC ． 故选A ．11．(2018·邹城一中高一检测)设a ，b 是异面直线，则以下四个结论：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有导学号09025164( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析]对于①，可对在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a 有两个平面α，β与直线b 平行，则面α，β相交于直线a ，过直线b 做一平面γ与面α，β相交于两条直线m ，n 都与直线b 平行，可得a 与b 平行，所以假设不成立，所以④正确，故选C ．12．(2018·全国卷Ⅰ理，12) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为导学号09025213( A )A ．334B ．233C ．324D ．32[解析]根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与线AA 1，A 1B 1，A 1D 1所成的角是相等的所以平面AB 1D 1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的 同理平面C 1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB 1D 1与C 1BD 中间且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为S＝6×34·(22)2＝334，故选A．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是__直角三角形__.导学号09024621[解析]如图，过点A作AE⊥BD，E为垂足．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC．又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC．又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD∴BC⊥AB．∴△ABC为直角三角形．14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于__90°__.导学号09024622[解析]因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN．又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°．15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__DM⊥PC(或BM⊥PC)__时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).导学号09024623[解析]连接AC ，则BD ⊥AC ，由P A ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC ．故当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，平面MBD ⊥平面PCD ．16．(2017·全国卷Ⅰ文，16)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为__36π__.导学号09024624[解析]如图，连接OA ，OB ．由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC ．由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB ． 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 33即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2017·山东文，18)由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1－B 1CD 1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD ．导学号09024625(1)证明：A 1O ∥平面B 1CD 1；(2)设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1． [解析](1)证明：取B 1D 1的中点O 1，连接CO 1，A 1O 1 由于ABCD －A 1B 1C 1D 1是四棱柱 所以A 1O 1∥OC ，A 1O 1＝OC因此四边形A 1OCO 1为平行四边形，所以A 1O ∥O 1C 又O 1C ⊂平面B 1CD 1，A 1O ⊄平面B 1CD 1所以A 1O ∥平面B 1CD 1．(2)证明：因为AC ⊥BD ，E ，M 分别为AD 和OD 的中点 所以EM ⊥BD ．又A 1E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 所以A 1E ⊥BD 因为B 1D 1∥BD所以EM ⊥B 1D 1，A 1E ⊥B 1D 1．又A 1E ，EM ⊂平面A 1EM ，A 1E ∩EM ＝E 所以B 1D 1⊥平面A 1EM ． 又B 1D 1⊂平面B 1CD 1所以平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1．18．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅲ文，19)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点.导学号09025214(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． [解析](1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ． MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．19．(本小题满分12分)(2017·北京文，18)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.导学号09024627(1)求证：P A ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面P AC ；(3)当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积．[解析](1)证明：因为P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，所以P A ⊥平面ABC ． 又因为BD ⊂平面ABC 所以P A ⊥BD ．(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ． 由(1)知，P A ⊥BD 所以BD ⊥平面P AC 所以平面BDE ⊥平面P AC ．(3)解：因为P A ∥平面BDE ，平面P AC ∩平面BDE ＝DE 所以P A ∥DE ． 因为D 为AC 的中点所以DE ＝12P A ＝1，BD ＝DC ＝2．由(1)知，P A ⊥平面ABC 所以DE ⊥平面ABC所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13．20．(本小题满分12分)(2018·天津文，17)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.导学号09025215(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．[解析](1)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1 可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326．(3)连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4．在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34． 21．(本小题满分12分)(2017·天津文，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.导学号09024629(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．[解析](1)解：如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ． 在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝ 5 故cos ∠DAP ＝AD AP ＝55．所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55． (2)证明：由(1)知AD ⊥PD ．又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ． 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B 所以PD ⊥平面PBC ．(3)解：过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角． 由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1． 由已知，得CF ＝BC －BF ＝2． 又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC ．在Rt △DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝2 5 在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝55．所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55． 22．(本小题满分12分)(2018·集宁一中高一检测)如图，四面体ABCD 中，O ，E 分别为BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.导学号09025167(1)求证：AO ⊥平面BCD ； (2)求点E 到平面ACD 的距离．[解析](1)连结OC ．因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD ．因为BO ＝DO ，CB ＝CD ，所以CO ⊥BD ．在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝ 3.而AC ＝2，所以AO 2＋CO 2＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ．因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD ．(2)设点E 到平面ACD 的距离为h .因为V E －ACD ＝V A －CDE ，所以13h ·S △ACD ＝13·AO ·S △CDE ． 在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2，所以S △ACD ＝12×2×22－(22)2＝72． 而AO ＝1，S △CDE ＝12×34×22＝32，所以h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝1×3272＝217． 所以点E 到平面ACD 的距离为217．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 2.12.1.2
A级基础巩固
一、选择题
1．异面直线是指导学号09024286( D )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异
面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有导学号09024287( C )
A．3条B．4条
C．6条D．8条
[解析]与AC
异面的棱有：A1D1，A1B1，DD1，CD，BC，BB1共6条．
1
3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则导学号09024288( D )
A．a∥c B．a、c是异面直线
C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面
[解析]例如在正方体ABCD－A
B1C1D1中，取AB，CD所在直线分别为a，c，B1C1所在直线为b，满
1
足条件要求，此时a∥c；又取AB，BC所在直线分别为a，c，DD1，所在直线为b，也满足题设要求，此时a与c相交；又取AB，CC1所在直线分别为a，c，A1D1所在直线为b，则此时，a与c异面．故选D．4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为导学号09024289( D )
A．1条B．2条
C．3条D．0条或1条
[解析]以如图所示的正方体ABCD－A
B1C1D1为例．
1
令A 1B 1所在直线为直线l ，过l 外的两点A 、B 可以作一条直线与l 平行，过l 外的两点B 、C 不能作直线与l 平行，故选D ．
5
．
空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 中点，若CD ＝2AB ，EF
⊥
AB ，则EF 与CD 所成的角为导学号09024290( A )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[解析]取AD 的中点H ，连FH 、EH ，在△EFH 中∠EFH ＝90°
HE ＝2HF ，从而∠FEH ＝30° 故选A ．
6．下列命题中，正确的结论有导学号09024291( B )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
[解析]②④是正确的． 二、填空题
7．已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AE AB ＝AH AD
＝1
2，CF
CB ＝
CG
CD ＝1
3
，则四边形EFGH 形状为__梯形__.导学号09024292
[解析]如右图
在△ABD 中，∵AE AB ＝AH AD ＝1
2
∴EH ∥BD 且EH ＝1
2BD ．
在△BCD 中，∵CF
CB ＝CG CD ＝1
3
∴FG ∥BD 且FG ＝1
3BD ，∴EH ∥FG 且EH >FG
∴四边形EFGH 为梯形．
8．已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 、N 分别为CD 、AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是__平行__.导学号09024293
[解析]如图所示，MN 綊1
2AC
又∵AC 綊A ′C ′ ∴MN 綊1
2A ′C ′．
三、解答题
9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 导学号09024294
求证：∠NMP ＝∠BA 1D ．
[解析]如图，连接CB 1、CD 1，∵CD 綊A 1B 1
∴四边形A1B1CD是平行四边形
∴A1D∥B1C．
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D．
∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形
∴A1B∥CD1．
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1
∴MP∥A1B
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反
∴∠NMP＝∠BA1D．
B级素养提升
一、选择题
1．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是导学号09024295( D )
A．异面B．平行
C．相交D．三种关系都有可能
[解析]以正方体ABCD－A
B1C1D1为例．
1
A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D．
2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是导学号09024296( D )
A．梯形B．矩形
C．平行四边形D．正方形
[解析]
∵E 、F 、G 、H 分别为中点，如图． ∴FG 綊EH 綊1
2BD
HG 綊EF 綊1
2AC
又∵BD ⊥AC 且BD ＝AC
∴FG ⊥HG 且FG ＝HG ，∴四边形EFGH 为正方形．
3．点E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，AB ＝6，PC ＝8，EF ＝5，则异面直线AB 与PC 所成的角为导学号09024297( D )
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．90°
[解析]如图，取PB 的中点G ，连结EG 、FG ，则
EG 綊12AB ，GF 綊12PC ，则∠EGF (或其补角)即为AB 与PC 所成的角，在△EFG 中，EG ＝1
2AB ＝3，
FG ＝1
2
PC ＝4，EF ＝5，所以∠EGF ＝90°．
4．如图所示，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 等于导学号09024298( A )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
[解析]如图，取AD 的中点P ，连接PM 、PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD
所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝1
2
BD ＝3，∴MN ＝5．
二、填空题
5．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面且与AD 1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有__1__条.导学号09024299
[解析]与AD 1异面的面对角线分别为：A 1C 1、B 1C 、BD 、BA 1、C 1D ，其中只有B 1C 和AD 1所成的角为90°．
6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：导学号09024300 ①AB ∥CM ；
②EF 与MN 是异面直线； ③MN ∥CD ．
以上结论中正确结论的序号为__①②__．
[解析]把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①②正确．
C 级能力拔高
1
．
已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是
△
ABC 的边BC 上的高，DF 是
△
BCD 的边BC 上的中线，求证：AE 与DF 是异面直线.导学号09024301
[解析]由已知，得E 、F 不重合． 设△BCD 所在平面为α 则DF ⊂α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ∴AE 与DF 异面．
2．梯形ABCD 中，AB ∥
CD ，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，将平面DCEF 沿EF 翻折起来，使CD 到C ′D ′的位置，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形.导学号09024302
[解析]∵梯形ABCD 中，AB ∥CD E 、F 分别为BC 、AD 的中点 ∴EF ∥AB 且EF ＝1
2
(AB ＋CD )
又C ′D ′∥EF ，EF ∥AB ，∴C ′D ′∥AB ． ∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点
∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝1
2(AB ＋CD )
∴GH 綊EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．。