2020-2021学年八年级数学下学期《第17章 勾股定理》测试题及答案解析
人教新版八年级下册数学《第17章 勾股定理》单元测试卷和答案详解(PDF可打印)
人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（1）一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）1．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（）A．3B．4C．5D．2．（3分）下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若两个数互为相反数，他们的奇次幂也互为相反数；③面积相等的长方形周长也一定相等；④若a＝b，则a2＝b2．A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（）A．13B．169C．12D．54．（3分）下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（）A．62、82、102B．6、8、9C．2、、D．、、5．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（）A．如果a＞b，那么a﹣b＞0B．如果a+b＝0，那么a2＝b2C．等边对等角D．如果△ABC是直角三角形（两直角边为a，b，斜边为c），那么a2+b2＝c26．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A．8，10，12B．3，4，5C．5，12，13D．7，24，25 7．（3分）在下列各组数中能组成直角三角形的有（）；（1）9、80、81（2）10、24、25（3）15、20、25（4）8、15、17．A．1组B．2组C．3组D．4组二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）8．（3分）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是cm．9．（3分）如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝15，则S2＝．10．（3分）如图，一根旗杆于离地面3m处断裂，倒向地面，旗杆顶落于离旗杆底部4m处，旗杆断裂之前高米．11．（3分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米．12．（3分）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成个直角三角形．13．（3分）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了米．14．（3分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是．三、解答题（本题共计7小题，共计78分，）15．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯足向外移0.8米，那么梯子的顶端沿墙下滑多少米？16．我校有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一组的速度为30米/分钟，第二组的速度为40米/分钟，且两组行走的路线为直线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1500米．（1）请你判断一下两组同学行走的夹角是否为直角？并说明理由．（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，那么经过多长时间后才能相遇？17．已知图中的每个方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上，称为格点三角形，请按要求完成下列各题（1）填空：AB＝，BC＝，AC＝；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．18．如图，台风过后，一颗白杨树在高地某处断裂，白杨树的顶部落在离白杨树根部8米处，已知白杨树高16米，你能求出白杨树在离根部多少米的位置断裂吗？19．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN 的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音声的影响，试问该校受影响的时间为多少秒？21．为了加强农村“疫情防控”知识，某镇政府采用了移动宣传的形式进行宣传：如图，笔直公路l的一侧有一村庄P，P到公路l的距离为1200米，宣传车M匀速在l上行驶，在车周围1300米以内能听到广播宣传，若至少连续宣传5分钟才有效果，宣传车最高时速是多少？人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）1．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（）A．3B．4C．5D．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理计算得出答案．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，∴斜边的长为：＝．故选：D．2．（3分）下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若两个数互为相反数，他们的奇次幂也互为相反数；③面积相等的长方形周长也一定相等；④若a＝b，则a2＝b2．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】分别写出各个命题的逆命题，逐项判断即可．【解答】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两边相等，正确，有逆定理；②有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是若两个数的奇次幂互为相反数，这两个数互为相反数，正确，有逆定理；③面积相等的长方形周长也一定相等的逆命题是周长相等的长方形面积也相等，为假命题，无逆定理；④若a＝b，则a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，则a＝b，为假命题，无逆定理；故有逆定理的个数是2个，故选：B．3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（）A．13B．169C．12D．5【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：AB＝＝13，故选：A．4．（3分）下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（）A．62、82、102B．6、8、9C．2、、D．、、【考点】勾股定理的逆定理．【分析】先找出两小边，求出两小边的平方和，求出大边的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A、（62）2+（82）2≠（102）2，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；B、62+82≠92，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+（）2≠（）2，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、（）2+（）2＝（）2，即组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；故选：D．5．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（）A．如果a＞b，那么a﹣b＞0B．如果a+b＝0，那么a2＝b2C．等边对等角D．如果△ABC是直角三角形（两直角边为a，b，斜边为c），那么a2+b2＝c2【考点】命题与定理．【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．【解答】解：A、逆命题为：如果a﹣b＞0，那么a＞b，逆命题成立；B、逆命题为：如果a2＝b2，那么a+b＝0，逆命题不成立；C、逆命题为：等角对等边，逆命题成立；D、逆命题为：如果三角形三边满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形，逆命题成立；故选：B．6．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A．8，10，12B．3，4，5C．5，12，13D．7，24，25【考点】勾股定理的逆定理．【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【解答】解：A、∵82+102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；B、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项不符合题意；D、∵72+242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．7．（3分）在下列各组数中能组成直角三角形的有（）；（1）9、80、81（2）10、24、25（3）15、20、25（4）8、15、17．A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：（1）92+802≠812，根据勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；（2）102+242≠252，根据勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；（3）152+202＝252，根据勾股定理的逆定理，故是直角三角形；（4）82+152＝172，根据勾股定理的逆定理，故是直角三角形．故选：B．二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）8．（3分）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是5cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】由题意可知长方体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，利用勾股定理求解即可．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为＝10cm，盒子的对角线长：＝20cm，细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20＝5cm．故答案为：5．9．（3分）如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝15，则S2＝10．【考点】勾股定理．【分析】由勾股定理得AB2＝BC2+AC2，再结合正方形面积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S3＝15，S1＝5，∴BC2＝5，AB2＝15，S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣5＝10，故答案为：10．10．（3分）如图，一根旗杆于离地面3m处断裂，倒向地面，旗杆顶落于离旗杆底部4m处，旗杆断裂之前高8米．【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，根据勾股定理求出AB即可解决问题．【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3米，BC＝4米，AB＝＝＝5（米），∴旗杆折断之前的高度高度＝AC+AB＝3+5＝8（米），故答案为：8．11．（3分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了9米．【考点】勾股定理的应用．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．12．（3分）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成2个直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．【解答】解：由勾股定理得：AD2＝BD2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝CD2＝25，∵AD2+BD2＝AB2，AC2+AB2＝BC2，∴能够组成2个直角三角形．故答案为：2．13．（3分）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了 2.5米．【考点】勾股定理的应用．【分析】要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设CD＝x，AB＝DE＝y，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求BC的长度，在直角△ABC中，根据BC，AC即可求AB．【解答】解：已知AE＝1.3米，AC＝0.7米，BD＝0.9米，设CD＝x，AB＝DE＝y，则BC＝0.9+x则在直角△ABC中，y2＝（0.9+x）2+0.72，在直角△CDE中，y2＝x2+（1.3+0.7）2，解方程组得：x＝1.5米，y＝2.5米，故答案为 2.5．14．（3分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是．【考点】勾股定理．【分析】在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2＝c2，在等式两边同时乘以，变形后得到S2+S3＝S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．【解答】解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，变形为：（）2π+（）2π＝（）2π，即S2+S3＝S1，又S1＝，S2＝2π，则S3＝S1﹣S2＝﹣2π＝．故答案为：三、解答题（本题共计7小题，共计78分，）15．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯足向外移0.8米，那么梯子的顶端沿墙下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据EC ＝EB+BC即可求得EC的长度，在直角三角形DEC中，已知DE，EC即可求得DC的长度，根据AD＝AC﹣DC即可求得AD的长度．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝＝2.4（m），∴EC＝BC+BE＝1.5m在直角△DEC中，DC＝＝＝2（m），∴AD＝AC﹣DC＝0.4（m），答：梯子的顶端沿墙下滑0.4m．16．我校有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一组的速度为30米/分钟，第二组的速度为40米/分钟，且两组行走的路线为直线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1500米．（1）请你判断一下两组同学行走的夹角是否为直角？并说明理由．（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，那么经过多长时间后才能相遇？【考点】勾股定理的逆定理．【分析】（1）先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（2）根据路程和÷速度和＝相遇的时间，列式计算即可求解．【解答】解：（1）第一组的路程：30×30＝900（米），第二组的路程：40×30＝1200（米），∵9002+12002＝15002，∴两组同学行走的夹角是直角；（2）1500÷（30+40）＝1500÷70＝21（分钟）．答：经过21分钟后才能相遇．17．已知图中的每个方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点在格点上，称为格点三角形，请按要求完成下列各题（1）填空：AB＝3，BC＝2，AC＝；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长；（2）由勾股定理的逆定理即可作出判断．【解答】解：（1）根据勾股定理即可得到：AB2＝62+32＝45，BC2＝42+22＝20，AC2＝72+42＝65，则AB＝3，BC＝2，AC＝．故答案为3，2，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2＝45，BC2＝20，AC2＝65，AB2+BC2＝45+20＝65，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．18．如图，台风过后，一颗白杨树在高地某处断裂，白杨树的顶部落在离白杨树根部8米处，已知白杨树高16米，你能求出白杨树在离根部多少米的位置断裂吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意结合勾股定理求出答案．【解答】解：设白杨树在离根部x米的位置断裂，根据题意可得：x2+82＝（16﹣x）2，解得：x＝6．答：白杨树在离根部6米的位置断裂．19．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．【解答】解：连接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝×3×4＝6，在△ACD中，∵AD＝13，AC＝5，CD＝12，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，＝AC•CD＝×5×12＝30．∴S△ACD+S△ACD＝6+30＝36．∴四边形ABCD的面积＝S△ABC20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN 的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音声的影响，试问该校受影响的时间为多少秒？【考点】勾股定理的应用．【分析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．【解答】解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，，∴CD＝2CB＝120m，∵18km/h＝18000m/3600s＝5m/s，∴该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．21．为了加强农村“疫情防控”知识，某镇政府采用了移动宣传的形式进行宣传：如图，笔直公路l的一侧有一村庄P，P到公路l的距离为1200米，宣传车M匀速在l上行驶，在车周围1300米以内能听到广播宣传，若至少连续宣传5分钟才有效果，宣传车最高时速是多少？【考点】勾股定理；一元一次不等式的应用．【分析】作PH⊥l，垂足为H，由勾股定理求出MH＝500，则MM'＝1000，由题意可得5x≤1000，解不等式可得出答案．【解答】解：作PH⊥l，垂足为H，∵PM＝1300米，PH＝1200米，∠PHM＝90°，∴MH＝＝＝500（米），根据对称性可知，M'H＝MH，∴MM'＝1000米，即宣传车能够让P点有效听到的距离为1000米，设宣传车时速是x米/分钟，由题意可得5x≤1000，∴x≤200，200米/分钟＝12km/h．答：宣传车最高时速是12km/h．。
八年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）
⼋年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）⼋年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）⼀、选择题(共10⼩题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三⾓形为()A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.纯⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形3.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形⽹格中，点A、B都是格点(即⽹格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.44.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成.记图中正⽅形ABCD，正⽅形EFGH，正⽅形MNKT的⾯积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.75.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直⾓三⾓形，四边形ABCD和EFGH都是正⽅形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.156.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有⼀题：“今有开门去阃(kǔn)⼀尺，不合⼆⼨，问门⼴⼏何.”⼤意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10⼨)，双门间的缝隙CD为2⼨，那么门的宽度(两扇门的和)AB 为()A.100⼨B.101⼨C.102⼨D.103⼨7.2019年10⽉1⽇，中华⼈民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举⾏了简朴⽽降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，⽬送着五星红旗级缓升起，不禁⼼潮澎湃，爱国之情油然⽽⽣.爱动脑筋的王梓涵设计了⼀个⽅案来测量学校旗杆的⾼度.将升旗的绳⼦拉直到末端刚好接触地⾯，测得此时绳⼦末端距旗杆底端2⽶，然后将绳⼦末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳⼦末端距离地⾯⾼度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的⾼度为()A.10mB.11mC.12mD.13m8.如图，笑笑将⼀张A4纸(A4纸的尺⼨为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了⼀个⾓，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240⽶.如果⽕车⾏驶时，周围200⽶以内会受到噪⾳的影响.那么⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶时，A处受噪⾳影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒10.如图，⼩明(视为⼩⿊点)站在⼀个⾼为10⽶的⾼台A上，利⽤旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与⾼台A⽔平距离为17⽶，⾼为3⽶的矮台B.那么⼩明在荡绳索的过程中离地⾯的最低点的⾼度MN是()A.2⽶B.2.2⽶C.2.5⽶D.2.7⽶⼆、填空题(共8⼩题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝.12.直⾓三⾓形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝.14.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了⼀幅“勾股弦⽅图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦⽅图”中，以弦为边长得到的正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，这⼀图形被称作“赵爽弦图”张天同学要⽤细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，则所⽤细塑料棒的长度为.15.已知三⾓形三边长分别为5，12，13，则此三⾓形的最⼤边上的⾼等于.16.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，则∠PAB+∠PBA＝°(点A，B，P是⽹格线交点).17.勘测队按实际需要构建了平⾯直⾓坐标系，并标⽰了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为km；(2)计划修⼀条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建⼀个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.18.如图，在离⽔⾯⾼度为8⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，开始时绳⼦BC的长为17⽶，此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了⽶.(假设绳⼦是直的)三、解答题(共4⼩题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.20.如图，将直⾓三⾓形分割成⼀个正⽅形和两对全等的直⾓三⾓形，直⾓三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正⽅形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)⼩明发明了求正⽅形边长的⽅法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)⼩亮也发现了另⼀种求正⽅形边长的⽅法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据⼩亮的思路完成他的求利⽤S△ABC解过程：(3)请结合⼩明和⼩亮得到的结论验证勾股定理.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采⽤了移动宣讲的形式进⾏宣传动员.如图，笔直公路MN的⼀侧点A处有⼀村庄，村庄A到公路MN的距离为600⽶，假使宣讲车P周围1000⽶以内能听到⼴播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN⽅向⾏驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200⽶/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？22.有⼀架秋千，当它静⽌时，踏板离地的垂直⾼度DE＝1m，将它往前推送6m(⽔平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直⾼度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.参考答案⼀、选择题(共10⼩题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满⾜两⼩边的平⽅和等于最长边的平⽅.【解答】解：A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误.故选：A.2.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三⾓形为()A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.纯⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直⾓三⾓形，故选：B.3.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形⽹格中，点A、B都是格点(即⽹格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.4【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B.4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成.记图中正⽅形ABCD，正⽅形EFGH，正⽅形MNKT的⾯积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.7【分析】根据正⽅形的⾯积和勾股定理即可求解.【解答】解：设全等的直⾓三⾓形的两条直⾓边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝(a+b)2，S2＝a2+b2，S3＝(a﹣b)2，因为S1+S2+S3＝21，即(a+b)2+a2+b2+(a﹣b)2＝213(a2+b2)＝21，所以3S2＝21，S2的值是7.故选：D.5.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直⾓三⾓形，四边形ABCD和EFGH都是正⽅形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.15【分析】在直⾓三⾓形AHB中，利⽤勾股定理进⾏解答即可.【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正⽅形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直⾓三⾓形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20.故选：C.6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有⼀题：“今有开门去阃(kǔn)⼀尺，不合⼆⼨，问门⼴⼏何.”⼤意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10⼨)，双门间的缝隙CD为2⼨，那么门的宽度(两扇门的和)AB 为()A.100⼨B.101⼨C.102⼨D.103⼨【分析】画出直⾓三⾓形，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1.在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即(r﹣1)2+102＝r2，解得2r＝101.故门的宽度(两扇门的和)AB为101⼨.故选：B.7.2019年10⽉1⽇，中华⼈民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举⾏了简朴⽽降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，⽬送着五星红旗级缓升起，不禁⼼潮澎湃，爱国之情油然⽽⽣.爱动脑筋的王梓涵设计了⼀个⽅案来测量学校旗杆的⾼度.将升旗的绳⼦拉直到末端刚好接触地⾯，测得此时绳⼦末端距旗杆底端2⽶，然后将绳⼦末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳⼦末端距离地⾯⾼度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的⾼度为()A.10mB.11mC.12mD.13m【分析】根据题意画出⽰意图，设旗杆⾼度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m，在Rt△ABC中利⽤勾股定理可求出x.【解答】解：设旗杆⾼度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平⽅＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平⽅＝(x﹣1)2+52，∴x2+22＝(x﹣1)2+52，解得x＝11.故选：B.8.如图，笑笑将⼀张A4纸(A4纸的尺⼨为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了⼀个⾓，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直⾓三⾓形解答.【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直⾓三⾓形，运⽤勾股定理得：EF2＝(210﹣90)2+(297﹣137)2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200.则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为200mm.故选：D.9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240⽶.如果⽕车⾏驶时，周围200⽶以内会受到噪⾳的影响.那么⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶时，A处受噪⾳影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒【分析】过点A作AC⊥ON，利⽤锐⾓三⾓函数的定义求出AC的长与200m相⽐较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪⾳影响的时间.【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200⽶，∵∠QON＝30°，OA＝240⽶，∴AC＝120⽶，当⽕车到B点时对A处产⽣噪⾳影响，此时AB＝200⽶，∵AB＝200⽶，AC＝120⽶，∴由勾股定理得：BC＝160⽶，CD＝160⽶，即BD＝320⽶，∵⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶，∴影响时间应是：320÷10＝32秒.故选：A.10.如图，⼩明(视为⼩⿊点)站在⼀个⾼为10⽶的⾼台A上，利⽤旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与⾼台A⽔平距离为17⽶，⾼为3⽶的矮台B.那么⼩明在荡绳索的过程中离地⾯的最低点的⾼度MN是()A.2⽶B.2.2⽶C.2.5⽶D.2.7⽶【分析】⾸先得出△AOE≌△OBF(AAS)，得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF ＝CD＝17⽶，得出EF＝EM﹣FM ＝AC﹣BD＝7⽶，求出BF＝OE＝5⽶，OF＝12⽶，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12⽶，OM＝OF+FM＝15⽶，由勾股定理求出ON＝OA＝13⽶，进⽽求出MN的长即可.【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所⽰：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17(⽶)∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(⽶)，∵OE+OF＝2EO+EF＝17⽶，∴2OE＝17﹣7＝10(⽶)，∴BF＝OE＝5⽶，OF＝12⽶，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12(⽶)，OM＝OF+FM＝12+3＝15(⽶)，由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13(⽶)，∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2(⽶).故选：A.⼆、填空题(共8⼩题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9.【分析】设BC＝3x，AC＝4x，⼜其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案.【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，⼜其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3(舍去)，∴BC＝3x＝9.故答案为：9.12.直⾓三⾓形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为5或.【分析】根据勾股定理分两种情况解答，⼀是把两边长都看作直⾓边，⼆是把4cm长边看作斜边，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)若把两边都看作是直⾓边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm，则：x2＝32+42＝25，∴x＝5；(2)若把4cm长的边看作斜边，设第三边长为xcm，则：x2+32＝42，x2＝42﹣32＝7，∴x＝.故答案为：5或.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝9.【分析】由三⾓形ABC为直⾓三⾓形，利⽤勾股定理列出关系式，结合正⽅形⾯积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值.【解答】解：∵△ABC为直⾓三⾓形，∴AB2＝AC2+BC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，∴S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，故答案为：914.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了⼀幅“勾股弦⽅图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦⽅图”中，以弦为边长得到的正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，这⼀图形被称作“赵爽弦图”张天同学要⽤细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，则所⽤细塑料棒的长度为100.【分析】根据正⽅形的⾯积可得两个正⽅形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直⾓三⾓形的两条直⾓边长，进⽽求解.【解答】解：∵正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+(AE﹣7)2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所⽤细塑料棒的长度为：4(AB+AE)＝4(13+12)＝100.故答案为100.15.已知三⾓形三边长分别为5，12，13，则此三⾓形的最⼤边上的⾼等于.【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直⾓三⾓形，利⽤它的⾯积：斜边×⾼÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的⾼.【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直⾓三⾓形，最长边是13，设斜边上的⾼为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为.16.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，则∠PAB+∠PBA＝45°(点A，B，P是⽹格线交点).【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三⾓形外⾓的性质即可得到结论.【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45.17.勘测队按实际需要构建了平⾯直⾓坐标系，并标⽰了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修⼀条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建⼀个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣(﹣8)＝20；(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由(1)可知：CE＝1﹣(﹣17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝(18﹣x)2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：(1)20；(2)13；18.如图，在离⽔⾯⾼度为8⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，开始时绳⼦BC的长为17⽶，此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了9⽶.(假设绳⼦是直的)【分析】在Rt△ABC中，利⽤勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利⽤勾股定理计算出AD长，再利⽤BD ＝AB﹣AD可得BD长.【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17⽶，AC＝8⽶，∴AB＝＝＝15(⽶)，∵此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10(⽶)，∴AD＝＝＝6(⽶)，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9(⽶)，答：船向岸边移动了9⽶.故答案为：9.三、解答题(共4⼩题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.【分析】(1)根据等腰直⾓三⾓形的性质解答；(2)作PF⊥AC于F，根据⾓平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；(2)作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝.20.如图，将直⾓三⾓形分割成⼀个正⽅形和两对全等的直⾓三⾓形，直⾓三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正⽅形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)⼩明发明了求正⽅形边长的⽅法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)⼩亮也发现了另⼀种求正⽅形边长的⽅法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据⼩亮的思路完成他的求利⽤S△ABC解过程：(3)请结合⼩明和⼩亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三⾓形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据⼤三⾓形的⾯积等于三个⼩三⾓形的⾯积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进⾏推导即可得结论.＝S△ABI+S△BIC+S△AIC【解答】解：(2)因为S△ABC＝cx+ax+bx所以x＝.答：x与a、b、c的关系为x＝.(3)根据(1)和(2)得：x＝＝.即2ab＝(a+b+c)(a+b﹣c)化简得a2+b2＝c2.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采⽤了移动宣讲的形式进⾏宣传动员.如图，笔直公路MN的⼀侧点A处有⼀村庄，村庄A到公路MN的距离为600⽶，假使宣讲车P周围1000⽶以内能听到⼴播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN⽅向⾏驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200⽶/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为600⽶＜1000⽶，于是得到结论；(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝800⽶，求得PQ＝1600⽶，于是得到结论.【解答】解：(1)村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600⽶＜1000⽶，∴村庄能听到宣传；(2)如图：假设当宣讲车⾏驶到P点开始影响村庄，⾏驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000⽶，AB＝600⽶，∴BP＝BQ＝⽶，∴PQ＝1600⽶，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传.22.有⼀架秋千，当它静⽌时，踏板离地的垂直⾼度DE＝1m，将它往前推送6m(⽔平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直⾼度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD。
第十七章 勾股定理(整理)
八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A． 4 B．8 C．10 D．12分析：利用勾股定理即可解答．解答：解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，根据勾股定理列出方程：62+（x﹣2）2=x2，解得x=10，故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力．2．（3分）小丰的妈妈买了一部29英寸（74cm）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（）A．小丰认为指的是屏幕的长度B．小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C．小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D．售货员认为指的是屏幕对角线的长度考点：勾股定理的应用．分析：根据电视机的习惯表示方法解答．解答：解：根据29英寸指的是荧屏对角线的长度可知售货员的说法是正确的．故选D．点评：本题考查了勾股定理的应用，解题时了解一个常识：通常所说的电视机的英寸指的是荧屏对角线的长度．3．（3分）如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A． 4 B．8 C．16 D．64考点：勾股定理．分析：根据勾股定理的几何意义解答．解答：解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289﹣225=64．故选D．点评：能够运用勾股定理发现并证明结论：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．运用结论可以迅速解题，节省时间．4．（3分）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：相似三角形的性质．分析：根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．解答：解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选C．点评：本题主要考查相似三角形的判定以及性质．5．（3分）一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm考点：勾股定理．分析：设另一条直角边是a，斜边是c．根据另一条直角边与斜边长的和是49cm，以及勾股定理就可以列出方程组，即可求解．解答：解：设另一条直角边是a，斜边是c．根据题意，得，联立解方程组，得．故选D．点评：注意根据已知条件结合勾股定理列方程求解．解方程组的方法可以把①方程代入②方程得到c﹣a=1，再联立解方程组．6．（3分）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2个B．3个 C．4个D．5个考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．分析：计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．解答：解：①，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选A．点评：本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7．（3分）在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形考点：勾股定理的逆定理；完全平方公式．分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．解答：解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选D．点评：本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．8．（3分）直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15°B．30°C．45° D．60°考点：勾股定理．分析：根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理可以列出两个关系式，直接解答即可．解答：解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°．故选C．点评：已知直角三角形的边长问题，不要忘记三边的长，满足勾股定理．9．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2 D．12cm2考点：勾股定理；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．解答：解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．10．（3分）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里考点：勾股定理的应用；方向角．分析：根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．解答：解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：=40（海里）．故选D．点评：熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）（2008•湖州）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理的结论其数学表达式是a2+b2=c2．考点：勾股定理的证明．专题：证明题．分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．解答：解：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．12．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为10．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．解答：解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB===10．点评：注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．13．（3分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为480m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．解答：解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB===480米．点评：考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．14．（3分）小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为15米．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意画出图形根据勾股定理解答．解答：解：如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，AO=9m，OB=12m，根据勾股定理得AB====15m．点评：本题很简单，只要根据题意画出图形即可解答，体现了数形结合的思想．15．（3分）一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．分析：化简等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．解答：解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，则这个三角形为直角三角形．故答案为：直角．点评：考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．16．（3分）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面合格（填”合格”或”不合格”）．考点：勾股定理的应用．分析：只要算出桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm是否符合勾股定理即可，根据勾股定理直接解答．解答：解：==68cm，故这个桌面合格．点评：本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际掌握勾股定理．17．（3分）直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为30 cm2．考点：勾股定理．分析：根据勾股定理求得其另一直角边的长，再根据面积公式即可求得其面积．解答：解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，∴另一直角边==5cm，∴面积=×5×12=30cm2．点评：解决本题的关键是根据勾股定理求得另一直角边的长．18．（3分）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25．考点：平面展开-最短路径问题．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解答：解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案为25．点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．三、解答题（共46分）19．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．解答：解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．20．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．考点：勾股定理．分析：∵AD⊥BC于D，∴可得到两个直角三角形△ABD和△ADC，可利用勾股定理求得AD长，进而求得AC2的值．解答：解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．点评：本题需注意最后求的是AC2，所以在计算过程中都保持线段的平方即可．21．（8分）小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？考点：勾股定理的应用；二元一次方程组的应用；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据矩形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可．解答：解：设矩形的长是a，宽是b，根据题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m．点评：注意根据题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．22．（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG 是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．四、创新探索题23．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．考点：平面展开-最短路径问题．分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．解答：解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．点评：此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．。
2020-2021学年人教版八年级下册 第17章 勾股定理 单元测试卷(解析版)
第17章勾股定理一．选择题1．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a4+b4的值为（）A．35B．43C．89D．972．若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4B．3：4：6C．4：6：7D．7：24：25 3．在一根长为30个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分成长为5个单位，12个单位和13个单位的三条线段．自己握绳子的两个端点（A点和D点交于一处），两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能组成三角形4．下列长度的3条线段能构成直角三角形的是（）①8，15，17；②4，5，6；③7.5，4，8.5；④24，25，7；⑤5，8，17．A．①②④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④5．如图，一个长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进此木箱中的木棒最长为（）A．19B．24C．13D．156．一艘轮船以16海里/时的速度离开O港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开O港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距（）A．25海里B．30海里C．40海里D．32海里7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（）A．6B．8C．10D．12二．填空题8．已知△ABC中，AB＝17cm，BC＝30cm，BC上的中线AD＝8cm，则△ABC为三角形．9．如图，半圆内数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是．10．一块等腰三角形钢板，腰长10m，底边长12m，则此钢板的面积是m2．11．写四组勾股数组．，，，．12．请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：，，．13．如果三角形的三边a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是，其中满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为．14．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：S梯形＝（上底+下底）•高＝（a+b）•（a+b），即S梯形＝（）①S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积）＝++，即S梯形＝（）②由①、②，得a2+b2＝c2．15．一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有米．三．解答题16．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．试判断△ACD的形状，并说明理由．17．如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．18．如图，一轮船以16n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n mi1e/h 的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？19．如图是一个塑料大棚，它的宽a＝4.8m，高b＝3.6m，棚总长d＝10m．（1）求大棚的占地面积．（2）覆盖在顶上的塑料布需要多少平方米？20．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，，2．21．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a、b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．参考答案与试题解析一．选择题1．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a4+b4的值为（）A．35B．43C．89D．97【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得a4+b4的值．【解答】解：依题意有：a2+b2＝大正方形的面积＝13，2ab＝四个直角三角形的面积和＝13﹣1＝12，ab＝6，则a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝（a2+b2）2﹣2（ab）2＝132﹣2×62＝169﹣72＝97．故选：D．2．若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4B．3：4：6C．4：6：7D．7：24：25【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；B、因为32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误；D、因为72+242＝252，所以能组成直角三角形，故选项正确；故选：D．3．在一根长为30个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分成长为5个单位，12个单位和13个单位的三条线段．自己握绳子的两个端点（A点和D点交于一处），两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能组成三角形【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依此即可求解．【解答】解：∵52+122＝132，∴自己握绳子的两个端点（A点和D点交于一处），两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到直角三角形．故选：A．4．下列长度的3条线段能构成直角三角形的是（）①8，15，17；②4，5，6；③7.5，4，8.5；④24，25，7；⑤5，8，17．A．①②④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：①152+82＝172，故能构成直角三角形；②42+52≠62，故不能构成直角三角形；③7.52+42＝8.52，故能构成直角三角形；④242+72＝252，故能构成直角三角形；⑤52+82≠172，故不能构成直角三角形；故选：D．5．如图，一个长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进此木箱中的木棒最长为（）A．19B．24C．13D．15【分析】首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．【解答】解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，∴CB＝5m，∵AC＝12m，∴AB＝＝13（m），∴空木箱能放的最大长度为13m，故选：C．6．一艘轮船以16海里/时的速度离开O港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开O港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距（）A．25海里B．30海里C．40海里D．32海里【分析】画出平面直角坐标系，标出2艘轮船的准确位置，根据夹角计算距离．【解答】解：OA为第2艘轮船的行驶路线，OB为第一艘轮船的行驶路线，则OA＝12×1.5＝18海里，OB＝16×1.5＝24海里，且∠AOB为90°，∴AB＝＝30海里．故选：B．7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（）A．6B．8C．10D．12【分析】设这三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理可得出（x+2）2＝（x+1）2+x2，解方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可．【解答】解：设这三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理得：（x+2）2＝（x+1）2+x2解得：x＝﹣1（不合题意舍去），或x＝3，∴x+1＝4，x+2＝5，则三边长是3，4，5，∴三角形的面积＝××4＝6；故选：A．二．填空题8．已知△ABC中，AB＝17cm，BC＝30cm，BC上的中线AD＝8cm，则△ABC为等腰三角形．【分析】由于AD是中线，易知BD＝15，根据勾股定理逆定理可判断△ABD是直角三角形，可知AD⊥BC，即AD是BC的中垂线，于是AB＝AC，可判断△ABC是等腰三角形，又知AB2+AC2≠BC2，故△ABC不是直角三角形．【解答】解：如右图所示，AD是中线，∵AD是中线，∴BD＝15，在△ABD中，AD2+BD2＝289＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，∴AD是△ABC的中垂线，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．故答案为：等腰．9．如图，半圆内数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是100．【分析】由于正方形的面积等于边长的平方，根据勾股定理求出面积是A的半圆的直径的平方，进而即可求得半圆的面积A．【解答】解：∵以EG为直径的半圆的面积等于400，即π（）2＝400，∴EG2＝，∵以FG为直径的半圆的面积为300，∴π（）2＝300，∴FG2＝，又∵△EFG为直角三角形，根据勾股定理得：EG2＝EF2+FG2，∴EF2＝EG2﹣FG2＝，则半圆的面积为：A＝π（）2＝πוEF2＝100．故答案为100．10．一块等腰三角形钢板，腰长10m，底边长12m，则此钢板的面积是48m2．【分析】作等腰三角形底边的高，可将其转化为两个全等的直角三角形，根据勾股定理可将高求出，代入三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作等腰三角形底边的高，在直角三角形中，斜边长＝10m，一直角边长＝12×＝6m，则高长＝＝8，故钢板面积＝×12×8＝48m2．11．写四组勾股数组．3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41（答案不唯一）．【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，写出即可．【解答】解：四组勾股数组可以是：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41．故答案为：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41（答案不唯一）．12．请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：3，4，5，6，8，10，5，12，13．【分析】以整数为边长的直角三角形的三边长即为一组勾股数，如3，4，5；6，8，10；5，12，13等，本题答案不唯一．【解答】解：三组以整数为边长的直角三角形的三边长可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13．故答案为：3，4，5；6，8，10；5，12，13．13．如果三角形的三边a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．【分析】勾股定理逆定理，三角形中两边的平方和等于第三边的平方，三角形即为直角三角形，满足这样的正整数，即为勾股数．【解答】解：∵a2+b2＝c2，由勾股定理逆定理可得其为直角三角形，三个正整数即为勾股数．14．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：S梯形＝（上底+下底）•高＝（a+b）•（a+b），即S梯形＝（a2+2ab+b2）①S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积）＝ab+c2+ab，即S梯形＝（2ab+c2）②由①、②，得a2+b2＝c2．【分析】此直角梯形的面积有三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．【解答】解：因为，又因为S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ＝ab+c2+ab＝，所以＝，得c2＝a2+b2．故答案为：a2+2ab+b2，ab，c2，ab，2ab+c2．15．一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有25米．【分析】根据题意，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长．【解答】解：∵52+122＝169，∴＝13（m），∴13+12＝25（米）．∴旗杆折断之前有25米．故答案为：25．三．解答题16．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．试判断△ACD的形状，并说明理由．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．【解答】解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝9+16＝25，∴AC＝5，又∵AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．17．如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．【分析】由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．【解答】解：由图可得，×（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，整理得，＝，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．18．如图，一轮船以16n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n mi1e/h 的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？【分析】首先根据方向角得出∠BAC＝90°，再利用勾股定理得出BC的长．【解答】解：∵一轮船以16n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，∴∠BAC＝90°，离开港口A2h后，AB＝32n mi1e，AC＝24n mi1e，∴BC＝＝40（n mi1e）．答：离开港口A2h后，两船相距40n mi1e．19．如图是一个塑料大棚，它的宽a＝4.8m，高b＝3.6m，棚总长d＝10m．（1）求大棚的占地面积．（2）覆盖在顶上的塑料布需要多少平方米？【分析】（1）利用图形得出占地面积为ad，进而得出答案；（2）首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即是矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）大棚的占地面积为：ad＝4.8×10＝48（m2）；（2）根据勾股定理，得直角三角形的斜边为＝6（m），由矩形的面积公式，得覆盖在顶上的塑料布为：6×10＝60（m2）．20．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，，2．【分析】（1）利用勾股定理得出AB，BC，AC的长，进而得出答案；（2）直接利用各边长结合勾股定理得出答案．【解答】解：（1）如图①所示：AB＝4，AC＝＝3，BC＝＝，所以AB的长度是有理数，AC和BC的长度是无理数；（2）如图②所示：21．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a、b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：正确．理由：∵m表示大于1的整数，∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，即a、b、c为勾股数．当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．。
2020--2021学年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元同步检测试题(含答案)
第十七章《勾股定理》单元检测题题号一二三总分17 18 19 20 21 22 23分数一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组数中，不是勾股数的为（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．5，7，102．若△ABC满足下列条件，则能判断其为直角三角形的选项有（）个．（1）∠A＝∠B﹣∠C．（2）∠A：∠B：∠C＝1：1：2．（3）a：b：c＝1：1：2．（4）b2＝a2﹣c2A．1 B．2 C．3 D．43．下列三角形一定不是直角三角形的是（）A．三角形的三边长分别为5，12，13 B．三角形的三个内角比为1：2：3 C．三角形的三边长之比为1：2：3 D．三角形的两内角互余4．直角三角形的一直角边长是7 cm，另一直角边与斜边长的和是49 cm，则斜边的长为( )A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．25 cm5．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM ＝5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．1256．若ABC的三边长a、b、c满足222681050a b c a b c++=++-，那么ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（）A ．3B ．3C ．5D ．3或58．已知，等边三角形ΔABC 中，边长为2，则面积为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．39．如图，四边形ABCD 中，AB=4cm ，BC=3cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．30cm 2C ．24cm 2D ．36cm 210． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( ) A ．32a B ．a C ．12a D ．12a 或32a 二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段PC 的最小值是 ．12．如图，D 为△ABC 外一点，BD ⊥AD ，BD 平分△ABC 的一个外角，∠C ＝∠CAD ，若AB ＝5，BC ＝3，则BD 的长为 ．13．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边18cm AC =，24cm BC =，点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则BD的长是______cm．14．如图所示，为测得池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长50m，BC长40m，则A，B两点间的距离是m．15．在如图所示的方格中，连接格点AB、AC，则∠1+∠2＝度．16．已知 Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB﹣BC＝2，AC＝4，以三边分别向外作三个正方形，连接DE，FG，HI，得到六边形DEFGHI，则六边形DEFGHI的面积为．三、解答题(共66分)17．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD 的周长为14cm，求BC的长．18．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=12，BC=9，CD=8，AD=17，求四边形ABCD 的面积.19. 求如图所示的RtΔABC的面积。
2020-2021学年八年级数学人教版下册 17.1 勾股定理 练习(带答案)
勾股定理练习一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为()A. 5B. 6C. 7D. 82.已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为()A. 9B. 12C. 15D. 183.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB=()A. 7B. 8C. 9D. 104.如下图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了()A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是()A. a2+b2=c2B. b2+c2=a2C. a2+c2=b2D. c2−a2=b26.直角三角形中一直角边的长为18，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为()．A. 242B. 240C. 180D. 不能确定7.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为()A. 4B. √34C. 4或√34D. 78.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，则2AB2+AC2+BC2=()．A. 100B. 200C. 300D. 4009.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，∠A=60°，CD=√3，AB=()．A. 2B. √3C. 2√3D. 410.已知一等腰三角形的底边长是6，底边上的高是4.则这个三角形的腰长为()A. 5B. 6C. 7D. 811.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A. 48B. 60C. 76D. 8012.已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为()A. √10B. 2.5C. 7.5D. 3√10二、填空题13.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4.则折痕EF的长度为．14.如下图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为．15.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为．16.在△ABC中，若∠B=45°，AB=10√2，AC=5√5，则△ABC的面积是．∠B，则17.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=25BC=_____________．18.已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为______．三、解答题19.设直角三角形的两条直角边长分别是a和b，斜边长为c．(1)已知a=3，b=4，求c；(2)已知a=12，c=13，求b；(3)已知b=7，c=25，求a．20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间t s．(1)求BC边的长．(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．21.已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=4√3，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长．答案和解析1.【答案】A【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为√32+42=5．故选A．2.【答案】B【解析】解：过点A作AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD=12BC=12×18=9，∴AD=√AC2−CD2=√152−92=12，∴它底边上的高为12；3.【答案】D【解答】在△ABC中，∵∠C=90°，∴AB为斜边，则BC2+AC2=AB2，又∵AC=6，BC=8，则AB=√AC2+BC2=10．4.【答案】A【解析】在Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm，根据勾股定理得AD=√AC2+CD2=5cm，∴AD+BD−AB=2AD−AB=10−8=2cm．故橡皮筋被拉长了2cm．5.【答案】C【解答】解：∵∠B=90°，∴a2+c2=b2．故选C．6.【答案】C【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，根据三角形中一直角边的长为18，则斜边为(x+2)，根据勾股定理得：(x+2)2−x2=182，解得x=80，∴x+2=82，∴周长为：80+82+18=180．7.【答案】C【解答】解：5cm是直角边时，第三边=√32+52=√34cm，5cm是斜边时，第三边=√52−32=4cm，所以，第三边长为√34或4，8.【答案】C【解答】解：如图所示，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，∵AB=10，∴BC2+AC2=100，∴2AB2+AC2+BC2=2×102+100=300．9.【答案】D【解答】解：如图，∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∴∠BCD=∠A=60°，∴∠B=∠ACD=30°，∴2AD=CA，又AC2=AD2+CD2，即AC2=14AC2+CD2，解得AC=2，∴AB=2AC=4．10.【答案】A【解答】解：如图：∵AD=4，AD⊥BC，BC=6，∴BD=CD=3，∴AB=√BD2+AD2=√9+16=5．故选A．11.【答案】C【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴由勾股定理得：AB=√AE2+BE2=10，∴正方形的面积是10×10=100，∵△AEB的面积是12AE×BE=12×6×8=24，∴阴影部分的面积是100−24=76．12.【答案】D【解答】解：设较短的直角边长为x，则较长的直角边为3x，∵直角三角形斜边长是10，∴根据勾股定理得：x2+(3x)2=102，∴x=√10，则直角三角形中较长的直角边长为3√10．13.【答案】2√514.【答案】2【解析】∵BC⊥AB，CD⊥AC，AD⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90∘．∵AB=BC=CD=DE=1，∴由勾股定理得AC=√12+12=√2，AD=√(√2)2+12=√3，AE=√(√3)2+12=2．15.【答案】√34cm或4cm【解答】解：当3和5都是直角边时，则第三边是√32+52=√34；5是斜边时，则第三边是√52−32=4．故答案为√34cm或4cm．16.【答案】75或2517.【答案】4(√6−√2)【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如下图．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∠B，∠A+∠B+∠ACB=180°，∵∠A=25∴2∠B+∠B+∠B=180°，5∴∠B=75°，∴∠ACB=75°，∴∠A=30°．在Rt△ACD中，AC=8，∴CD=4，∴AD=√AC2−CD2=√82−42=4√3，∴BD=8−4√3，∴BC=√BD2+CD2=√(8−4√3)2+42=4(√6−√2)．故答案为：4(√6−√2)．18.【答案】21或9【解答】解：(1)如图，锐角△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上高AD=8，在Rt△ABD中AB=17，AD=8，由勾股定理得：BD2=AB2−AD2=172−82=225，∴BD=15，在Rt△ACD中AC=10，AD=8，由勾股定理得CD2=AC2−AD2=102−82=36，∴CD=6，∴BC的长为BD+DC=15+6=21；(2)钝角△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上高AD=8，在Rt△ABD中AB=17，AD=8，由勾股定理得：BD2=AB2−AD2=172−82=225，∴BD=15，在Rt△ACD中AC=10，AD=8，由勾股定理得：CD2=AC2−AD2=102−82=36，∴CD=6，∴BC的长为DC−BD=15−6=9．故答案为21或9．19.【答案】解：(1)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a=3，b=4，∴c=√a2+b2=√32+42=5；(2)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a=12，c=13，∴b=√c2−a2=√132−122=5；(3)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，b=7，c=25，∴a=√c2−b2=√252−72=24．20.【答案】解：(1)BC=4cm．(2)t=4或254．21.【答案】解：∵∠C=60°，AD是BC边上的高，∴∠CAD=90°−60°=30°，∴CD=12AC=12×4=2，在Rt△ACD中，AD=√AC2−CD2=√42−22=2√3，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√(4√3)2−(2√3)2=6．∴BC=CD+BD=2+6=8．第11页，共11页。
2020--2021学年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元同步检测试题(含答案)
第十七章《勾股定理》单元检测题题号一二三总分17 18 19 20 21分数一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18 B．36 C．65 D．722．如图，线段AB＝、CD＝，那么，线段EF的长度为（）A．B．C．D．3．下列说法：①若a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．ED是BC的垂直平分线，BD平分∠ABC，AD＝3．则CD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM ＝5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．1256．若ABC的三边长a、b、c满足222681050++=++-，那么ABC是a b c a b c（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（）A．3 B．3C．5D．3或58．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（）A．①②B．②C．①②③D．①③9．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）A．40 B．44 C．84 D．8810．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2018 C．2019 D．2020二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，点D是AC边的中点，点P是BC边上一点，若△BDP为等腰三角形，则线段BP的长度等于．12．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC的面积是__________．13．若一个三角形的三边长a，b，c满足(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形的形状是________.14．如图，已知OA=OB，数轴上点A对应的数是______.14题图 15题图15．如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．16．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．三、解答题(共66分)17．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．18．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13, 求证：△ACD是直角三角形．19．（10分）如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB＝AC＝13，BD＝1。
2021-2022学年八年级数学下册第17章《勾股定理》单元测试卷附答案解析
2021-2022学年八年级数学下册第17章《勾股定理》单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）三角形的三边a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：4：3B．a2＝b2＝c2C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．a：b：c＝13：5：122．（3分）下列各比值中，是直角三角形的三边之比的是（）A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：6D．1：√3：23．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．104．（3分）已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣5）2+√b−12+|c﹣13|＝0，则三角形为（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形5．（3分）如图，△ABC的三边BC，CA，AB分别用a，b，c表示，下列说法错误的是（）A．若a2+b2＝c2，则∠C＝90°B．若a2﹣b2＝c2，则∠A＝90°C．若c2+a2＝b2，则∠B＝90°D．若a2﹣b2+c2＝0，则∠A＝90°6．（3分）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）A．AB=2√5B．∠BAC＝90°C．S△ABC＝10D．点A到直线BC的距离是27．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DE＝3，BD＝2CD，则BE＝（）A．6B．7C．3√3D．2√68．（3分）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．√3B．√5C．√6D．√79．（3分）直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15度B．30度C．60度D．45度10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S9的值为（）A．(12)6B．(12)7C．(12)8D．(12)9二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2”的逆命题是．12．（3分）如图，三个正方形中的两个的面积分别为S1＝25cm2，S2＝144cm2，则第三个正方形的面积S3＝cm2．13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．若AD＝4，CE＝3，则DE的长为．14．（3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝2√10，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于．15．（3分）如图所示的一段楼梯，BC＝2m，AB＝4m，每层楼梯的宽均为√3m，若在楼梯上铺地毯，则至少要用地毯m2．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）如图，已知某山的高度AC为800米，在山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC＝1500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？17．（9分）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．18．（9分）一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积．19．（9分）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）20．（9分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．21．（10分）如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，P A＝1，PD＝2，PC＝3．现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合）．求：（1）线段PG的长；（2）∠APD的度数．22．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD=12AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？23．（11分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（本题可根据需要，自己画图并解答）2021-2022学年八年级数学下册第17章《勾股定理》单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）三角形的三边a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：4：3B．a2＝b2＝c2C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．a：b：c＝13：5：12【解答】解：A、∵32+42＝25＝52，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；B、∵a2＝b2＝c2，∴不符合勾股定理的逆定理，故本选项错误；C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，即a2+c2﹣＝b2，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；D、∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确．故选：B．2．（3分）下列各比值中，是直角三角形的三边之比的是（）A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：6D．1：√3：2【解答】解：A、∵x+2x＝3x，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故A 选项错误；B、∵（2x）2+（3x）2≠（4x）2，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵（3x）2+（4x）2≠（6x）2，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵x2+（√3x）2＝（2x）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；故选：D．3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AB＝5，AD＝3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC＝2BD＝8，故选：C．4．（3分）已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣5）2+√b−12+|c﹣13|＝0，则三角形为（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵（a﹣5）2+√b−12+|c﹣13|＝0，∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13，∵52+122＝132，即a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形．故选：A．5．（3分）如图，△ABC的三边BC，CA，AB分别用a，b，c表示，下列说法错误的是（）A．若a2+b2＝c2，则∠C＝90°B．若a2﹣b2＝c2，则∠A＝90°C．若c2+a2＝b2，则∠B＝90°D．若a2﹣b2+c2＝0，则∠A＝90°【解答】解：A、若a2+b2＝c2，则∠C＝90°，故选项A不合题意；B、若a2﹣b2＝c2，所以a2＝b2+c2，则∠A＝90°，故选项B不合题意；C、若c2+a2＝b2，则∠B＝90°，故选项C不合题意；D、若a2﹣b2+c2＝0，所以c2+a2＝b2，则∠B＝90°，故选项D符合题意；故选：D．6．（3分）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）A ．AB =2√5 B ．∠BAC ＝90°C ．S △ABC ＝10D ．点A 到直线BC 的距离是2【解答】解：由题意可得，AB =√22+42=2√5，故选项A 正确； AC =√12+22=√5， BC =√32+42=5， ∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，故选项B 正确； ∴S △ABC =AB⋅AC 2=2√5×√52=5，故选项C 错误； 作AD ⊥BC 于点D ， 则BC⋅AD 2=5， 即5×AD 2=5，解得，AD ＝2，即点A 到直线BC 的距离是2，故选项D 正确； 故选：C ．7．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DE ＝3，BD ＝2CD ，则BE ＝（ ）A．6B．7C．3√3D．2√6【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝3，∴BD＝2CD＝2×3＝6，∴BE=√BD2−DE2=3√3．故选：C．8．（3分）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．√3B．√5C．√6D．√7【解答】解：如图所示：连接OC，由题意可得：OB＝2，BC＝1，则OC=√22+12=√5，故点M对应的数是：√5．故选：B．9．（3分）直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15度B．30度C．60度D．45度【解答】解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab ＝c 2，根据勾股定理得到：a 2+b 2＝c 2，因而a 2+b 2＝2ab ，即：a 2+b 2﹣2ab ＝0，（a ﹣b ）2＝0，所以a ＝b ，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°．故选：D ．10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 9的值为（ ）A ．(12)6B ．(12)7C ．(12)8D ．(12)9 【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，∴DE 2+CE 2＝CD 2，DE ＝CE ，∴S 2+S 2＝S 1．观察，发现规律：S 1＝22＝4，S 2=12S 1＝2，S 3=12S 2＝1，S 4=12S 3=12，…，∴S n ＝（12）n ﹣3． 当n ＝9时，S 9＝（12）9﹣3＝（12）6， 故选：A ．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2”的逆命题是如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．【解答】解：根据逆命题的定义得：命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2”的逆命题是：如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；故答案为：如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．12．（3分）如图，三个正方形中的两个的面积分别为S1＝25cm2，S2＝144cm2，则第三个正方形的面积S3＝119cm2．【解答】解：根据图形及勾股定理得：S2＝S1+S3，∵S1＝25cm2，S2＝144cm2，∴S3＝S2﹣S1＝144﹣25＝119（cm2），故答案为：119．13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．若AD＝4，CE＝3，则DE的长为1．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC＝90°，在△ABD和△ECB中，{∠A =∠BEC ∠ADB =∠EBC BD =CB，∴△ABD ≌△ECB （AAS ），∴AD ＝BE ＝4，AB ＝CE ＝3，BD ＝BC ，由勾股定理可得：BC =√BE 2+CE 2=√42+32=5，∴DE ＝BD ﹣BE ＝5﹣4＝1，故答案为：1．14．（3分）在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2√10，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于 10或6 ．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB ＝10，AC ＝2√10，AD ＝6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD =√AB 2−AD 2=8，CD =√AC 2−AD 2=2，此时BC ＝BD +CD ＝8+2＝10；如图2所示，AB ＝10，AC ＝2√10，AD ＝6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD =√AB 2−AD 2=8，CD =√AC 2−AD 2=2，此时BC ＝BD ﹣CD ＝8﹣2＝6，则BC 的长为6或10．故答案为：10或6．15．（3分）如图所示的一段楼梯，BC ＝2m ，AB ＝4m ，每层楼梯的宽均为√3m ，若在楼梯上铺地毯，则至少要用地毯 （6+2√3） m 2．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√42−22=2√3（m），∴AC+BC＝（2√3+2）m，∴地毯的面积至少要（2√3+2）×√3=（6+2√3）（m2）．故答案为：（6+2√3）．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）如图，已知某山的高度AC为800米，在山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC＝1500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？【解答】解：∵AC⊥BC，AC＝800米，BC＝1500米，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√8002+15002=1700（米），∵缆车每分钟走50米，∴欢欢达到山顶的时间＝1700÷50＝34（分钟）．答：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶．17．（9分）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4，∴EF=√DF2−DE2=√42−22=2√3．18．（9分）一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积．【解答】解：（1）∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，∴AB2+AD2＝BD2，BD2+BC2＝DC2，∴△ABD、△BDC是直角三角形，∴∠A＝90°，∠DBC＝90°，故这个零件符合要求．（2）这个零件的面积＝△ABD的面积+△BDC的面积＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36．故这个零件的面积是36．19．（9分）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝13m，AC＝5m，则AB=√BC2−AC2=12m，6秒后，BC＝10，则AB=√BC2−AC2=5√3（m），则船向岸边移动距离为（12﹣5√3）m．20．（9分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形；（2）∵△ABC≌△DBE，∴BE＝BC，AC＝ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．21．（10分）如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，P A＝1，PD＝2，PC＝3．现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合）．求：（1）线段PG的长；（2）∠APD的度数．【解答】解：四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∵P A＝1，PD＝2，PC＝3，将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），∴PD＝GD＝2，∠CDP＝∠ADG，AG＝PC＝3，∴∠PDG＝∠ADC＝90°，∴△PDG是等腰直角三角形，∴∠GPD＝45°，PG=√2PD＝2√2，（2）由（1）知∠GPD＝45°，PG=√2PD＝2√2，∵AG＝PC＝3，AP＝1，∴12+（2√2）2＝32，∴AP2+PG2＝AG2，∴∠GP A＝90°，∴∠APD＝90°+45°＝135°．22．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD=12AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，在Rt△ABD中，∵AD=12AB∴∠ABD＝30°，AB＝240千米，∴AD=12AB＝120千米，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200千米．∵120＜200，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝200．∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2√2002−1202=320．∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．（3）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）＝7.2≈8（级）．23．（11分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动的时间为t 秒，（1）当△ABP 为直角三角形时，求t 的值：（2）当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值．（本题可根据需要，自己画图并解答）【解答】解：（1）∵∠C ＝90°，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，∴BC ＝4 cm ．①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，∴t ＝4÷2＝2s ．②当∠BAP 为直角时，BP ＝2tcm ，CP ＝（2t ﹣4）cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP 2＝32+（2t ﹣4）2，在Rt △BAP 中，AB 2+AP 2＝BP 2，∴52+[32+（2t ﹣4）2]＝（2t ）2，解得t =258s ．综上，当t ＝2s 或258s 时，△ABP 为直角三角形．（2）①当BP ＝BA ＝5时，∴t ＝2.5s ．②当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8cm ，∴t ＝4s ．③当PB ＝P A 时，PB ＝P A ＝2t cm ，CP ＝（4﹣2t ）cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，∴（2t ）2＝32+（4﹣2t ）2，解得t =2516s ． 综上，当△ABP 为等腰三角形时，t ＝2.5s 或4s 或2516s ．。
2020-2021学年八年级数学下《第17章 勾股定理》测试卷及答案解析
12．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是．
13．在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是．
A．3B．5C．4.2D．4
28．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（ ）
A．7，24，25B．32，42，52C．1.5，2，2.5D．
五．勾股定理的应用（共5小题）
27．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，AD ，BD＝2，∠ABC+∠ADC＝180°，CD ．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求BC的长．
25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a+b＝4，ab＝1，c ，求证△ABC为直角三角形．
四．勾股数（共1小题）
26．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
2020-2021学年八年级数学下《第17章勾股定理》测试卷
一．勾股定理（共14小题）
1．若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ）
A．10B． C．10或 D．14
人教新版八年级下册《第17章 勾股定理》1含解析答案
人教新版八年级下册第17章勾股定理一、选择题（共9小题）1．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，63．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2＝c2，那么下列结论正确的是（）A．c sin A＝a B．b cos B＝c C．a tan A＝b D．c tan B＝b4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 5．a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝1：：，则cos B的值为（）A．B．C．D．6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m7．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，48．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a 且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（）A．6 B．8 C．10 D．129．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题（共8小题）10．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的方向．11．太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，则点A到地面的距离是cm．12．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B 向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．13．如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C 地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．15．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度＝米．16．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.41，＝1.73）．17．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．三、解答题（共8小题）18．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．19．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）20．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）21．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′＝1米时，求BB′的长．22．小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）23．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD ＝800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）24．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据＝4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）25．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为三角形．（2）猜想，当a2+b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．人教新版八年级下册第17章勾股定理参考答案与试题解析一、选择题（共9小题）1．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝10m，故选：B．2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵302+402＝502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选：A．3．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2＝c2，那么下列结论正确的是（）A．c sin A＝a B．b cos B＝c C．a tan A＝b D．c tan B＝b【分析】由于a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．【解答】解：∵a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°．A、sin A＝，则c sin A＝a．故本选项正确；B、cos B＝，则cos Bc＝a．故本选项错误；C、tan A＝，则＝b．故本选项错误；D、tan B＝，则a tan B＝b．故本选项错误．故选：A．4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．故选：B．5．a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝1：：，则cos B的值为（）A．B．C．D．【分析】先由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用余弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵a：b：c＝1：：，∴b＝a，c＝a，∴a2+b2＝a2+（a）2＝3a2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴cos B＝＝＝．故选：B．6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC ＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．故选：D．7．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，4【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．8．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a 且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b 的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．【解答】解：过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图．∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB＝，∴BE＝＝，∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B＝＝8所以AM+NB的最小值为8．故选：B．9．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1＝2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选：C．二、填空题（共8小题）10．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是 5 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．【分析】根据勾股定理来求AB的长度．由于∠C＝90°，A地在C地的正东方向，则B 地在C地的正北方向．【解答】解：∵∠C＝90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，∴AB＝＝＝5（km）．又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．故答案是：5；正北．11．太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，则点A到地面的距离是cm．【分析】分别过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，∵AD＝24cm，则NC＝24cm，∴BN＝＝＝7（cm），∵∠AMB＝∠CNB＝90°，∠ABM＝∠CBN，∴△BNC∽△BMA，∴＝，∴＝，则：AM＝＝，故点A到地面的距离是：+4＝（m）．故答案为：．12．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B 向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是（400，800）．【分析】根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．【解答】解：连接AC，由题意可得：AB＝300m，BC＝400m，在△AOD和△ACB中∵，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB＝∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC＝AO＝500m，则CD＝AC+AD＝800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．13．如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C 地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．【分析】根据题意利用锐角三角函数得出BD，AD的长，再利用勾股定理得出AC的长．【解答】解：如图所示，由题意可得：AB＝2，∠B＝60°，则BD＝AB cos60°＝1（km），AD＝AB sin60°＝（km），故DC＝2km，则AC＝＝＝（km）．故答案为：．14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10 米．【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB＝12m，小树高为CD＝6m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝6m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6（m），在Rt△AEC中，AC＝＝10（m）．故小鸟至少飞行10m．故答案为：10．15．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度＝ 4.7 米．【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．【解答】解：由题意，易知∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，AD＝3，CE⊥BE，DE＝AB＝1.7米，∴tan∠CAD＝，∴CD＝×3＝3，∴CE＝3+1.7＝4.7（米）．即这棵树的高度为4.7米．故答案为：4.7．16．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.41，＝1.73）．【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM＝AM＝4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2＝（2MC）2，代入数可得答案．【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，∴DM＝4m，∵AM＝4米，AB＝8米，∴MB＝12米，∵∠MBC＝30°，∴BC＝2MC，∴MC2+MB2＝（2MC）2，MC2+122＝（2MC）2，∴MC＝4，则DC＝4﹣4≈2.9（米），故答案为：2.9．17．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝135 度．【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E ＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，∴EC2＝E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠AEB＝135°．故答案为：135．三、解答题（共8小题）18．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB＝50m，AD⊥BC，且BD＝CD，∠AOD＝30°，OA＝80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM＝30°，AO＝80m，∴AD＝40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，OA＝80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB＝30°，∴AD＝OA＝×80＝40m，在Rt△ABD中，AB＝50，AD＝40，由勾股定理得：BD＝＝＝30m，故BC＝2×30＝60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即＝300米/分钟，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300＝0.2（分钟）＝12（秒）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．19．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．【解答】解：此车没有超速．理由：过C作CH⊥MN，∵∠CBN＝60°，BC＝200米，∴CH＝BC•sin60°＝200×＝100（米），BH＝BC•cos60°＝100（米），∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100米，∴AB＝100﹣100≈73（m），∵60千米/小时＝m/s，∴＝14.6（m/s）＜≈16.7（m/s），∴此车没有超速．20．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，证明△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，计算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，继而可判断是否超速．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠CDB＝75°，∴∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，∵，∴△CBD≌△EBD，∴CD＝DE，在Rt△ADE中，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，AD＝40米，则AE＝AD＝20米，∴DE＝＝20米，∴AC＝AD+CD＝AD+DE＝（40+20）米，在Rt△ABC中，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝80+40，∴BC＝＝（40+60）米，则速度＝＝4+6≈12.92米/秒，∵12.92米/秒＝46.512千米/小时，∴该车没有超速．21．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′＝1米时，求BB′的长．【分析】（1）由已知数据解直角三角形AOB即可；（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长即可．【解答】解：（1）根据题意可知：AB＝6，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，∵cos∠ABO＝，∴OB＝AB cos∠ABO＝6cos60°＝3米，∴OB的长为3米；（2）根据题意可知A′B′＝AB＝6米，在Rt△AOB中，∵sin∠ABO＝，∴OA＝AB sin∠ABO＝6sin60°＝9米，∵OA′＝OA﹣AA′，AA′＝1米，∴OA′＝8米，在Rt△A′OB′中，OB′＝2米，∴BB′＝OB′﹣OB＝（2﹣3）米．22．小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）【分析】（1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD 的值，然后根据AC+CD+BD＝150，求出x的值即可；（2）根据（1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．【解答】解：（1）设楼高为x米，则CF＝DE＝x米，∵∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，∴AC＝x米，BD＝x米，∴x+x＝150﹣10，解得x＝＝70（﹣1）（米），∴楼高70（﹣1）米．（2）x＝70（﹣1）≈70（1.73﹣1）＝70×0.73＝51.1米＜3×20米，∴我支持小华的观点，这楼不到20层．23．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD ＝800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米进行计算即可．【解答】解：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵∠ABD＝135°，∴∠DBC＝45°，∴∠D＝45°，∴CB＝CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，2CD2＝8002，CD＝400≈566（米），答：直线L上距离D点566米的C处开挖．24．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据＝4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）【分析】（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；（2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案．【解答】解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，在△ACE中，∵AC2＝8100+300，∴；（2）乘客车需时间（小时）；乘列车需时间（小时）；∴选择城际列车．25．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形．（2）猜想，当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．【分析】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据（1）中的计算作出判断即可；（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边＝＝10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：＞；＜；（3）∵c为最长边，2+4＝6，∴4≤c＜6，a2+b2＝22+42＝20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2＝c2，即c2＝20，c＝2，∴当c＝2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．。
人教版八年级下册 第17章《勾股定理》综合考试测试卷(附答案)
2020年春季八年级下册第17章《勾股定理》综合测试卷时间100分钟，满分120分班级____________姓名____________学号____________成绩____________一．选择题（共12小题，满分36分）1．下列各组数是勾股数的是（）A．1，2，3B．0.3，0.4，0.5C．6，8，10D．5，11，122．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A﹣∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c＝D．（b+c）（b﹣c）＝a23．如图，一个梯形分成一个正方形（阴影部分）和一个三角形（空白部分），已知三角形的两条边分别是12cm和13cm，那么阴影部分的面积是（）cm2．A．16B．25C．36D．494．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．B．+2C．﹣2D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝15，△ABD的面积为90，则CD的长是（）A．6B．9C．12D．6．如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段P A、PB、PC、PD、PE，其中长度是有理数的有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，连接BE，若∠ABE＝∠BAE═∠BAC，则DE的长为（）A．cm B．cm C．cm D．1cm8．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（）km．A．4B．5C．6D．9．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．19610．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12，AB＝5．分别以A，C为圆心，以大于线段AC长度的一半为半径作弧，两弧相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AC于点D，连结BD，则△ABD的周长为（）A．13B．17C．18D．2511．某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是（）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）A．1B．2C．3D．412．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2，…按此规律继续下去，则S5的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分24分）13．直角三角形的直角边长分别为8，15，斜边长为x，则x2＝．14．如果点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则AB＝．15．已知一个等腰三角形的一边长为4，一边长为6，则这个三角形底边上的高的长为．16．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈．依木于垣，上于垣齐．引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙髙一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长尺（1丈＝10尺）．17．如图，分别以直角△ABC的三边为直径作半圆，若两直角边分别为6，8，则阴影部分的面积是．18．已知三角形三边长分别为、、（a＞0，b＞0），请借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为（用含a、b的代数式表示）．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4cm，动点P从点B出发沿射线BC方向以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，则当t＝秒时，△ABP 为直角三角形．20．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2为直角边作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3为直角边作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，…，按此规律进行下去，则A2020的坐标是．三．解答题（共8小题，满分60分）21．某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量AB＝12，BC＝9，CD＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．22．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．23．如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．24．某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的題离为50m，这辆小汽车超速了吗？25．利用如图4×4方格，每个小正方形的边长都为1．（1）请求出图1中阴影正方形的面积与边长；（2）请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长；（3）把分别表示图1与图2中的正方形的边长的实数在数轴上表示出来．26．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB＝13m，梯子底端离墙角的距离BO＝5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD ＝4m吗？为什么？27．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm．（1）设点P在AB上，若∠P AC＝∠PCA．求AP的长；（2）设点M在AC上．若△MBC为等腰三角形，求AM的长．28．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理．证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝∴＝c2∴．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，（3）如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线证明结论a2+b2＝c2．参考答案一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C、∵62+82＝102，∴这组数是勾股数；D、∵52+112≠122，∴这组数不是勾股数．故选：C．2．【解答】解：A、由题意：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，本选项符合题意．B、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．C、∵a＝1，b＝2，c＝，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．故选：A．3．【解答】解：如图所示：Rt△CDE中，DE＝12，CE＝13，∴CD＝＝5，∴阴影部分的面积＝5×5＝25cm2；故选：B．4．【解答】解：由题意可得，AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，∴AC＝＝＝，∴AD＝．∴点D表示数为﹣2．故选：C．5．【解答】解：∵∠C＝90，DA＝15，∴S△DAB＝DA•BC＝90，∴BC＝12在Rt△BCD中，CD2+BC2＝BD2，即CD2+122＝152，解得：CD＝9（负值舍去）．故选：B．6．【解答】解：观察图形可知P A＝4，由勾股定理得：PB＝＝，PC＝＝5，PD＝＝2，PE＝＝，故其中长度是有理数的有2条．故选：B．7．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE═∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，BD＝BC＝6，∵AB＝10，∴AD＝＝8，∵∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，设DE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，BE2＝DE2+BD2，∴（8﹣x）2＝x2+62，解得：x＝，即DE＝cm，故选：C．8．【解答】解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4km．所以，EB的长是4km．故选：A．9．【解答】解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，∴直角三角形斜边长＝13，∴大正方形的边长是13，∴大正方形的面积是13×13＝169．故选：C．10．【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝12，AB＝5，∴AC＝＝13，根据题意可得EF是AC的垂直平分线，∴D是AC的中点，∴AD＝AC＝6.5，BD＝AC＝6.5，∴△ABD的周长为6.5+6.5+5＝18．故选：C．11．【解答】解：∵车宽2米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝≈1.73（米），CH＝CD+DH＝1.73+1.6＝3.33，∴两辆卡车都能通过此门，故选：B．12．【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2+S2＝S1．观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…，∴S n＝（）n﹣1．当n＝5时，S5＝（）5﹣1＝（）4，故选：A．二．填空题（共8小题）13．【解答】解：∵直角三角形的直角边长分别为8，15，∴由勾股定理得，x2＝82+152＝64+225＝289，故答案为：289．14．【解答】解：由两点间的距离公式可得AB＝＝5．故答案为：5．15．【解答】解：①若等腰三角形的腰长为4，底边为6，如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，AD⊥BC，则AD为BC边上的中线，即D为BC中点，∴BD＝DC＝3，在直角△ABD中AD＝＝．②若等腰三角形的腰长为6，底边为4，如图2，AB＝AC＝6，AD⊥BC，BC＝4，同理可得AD＝＝4．∴AD的长为或4．故答案为：或4．16．【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣4）2＝x2，解得，x＝14.5故答案为：14.5．17．【解答】解：S阴＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝+＝＝24故答案为：24．18．【解答】解：如图所示，AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∴S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△ABE﹣S△ADC﹣S△BFC＝20ab﹣﹣＝．故答案为：．19．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4cm，∠B＝30°，∴AC＝2cm，BC＝6cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝6 cm，∴t＝6÷2＝3s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣6）cm，AC＝2cm，在Rt△ACP中，AP2＝（2）2+（2t﹣6）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴（4）2+[（2）2+（2t﹣6）2]＝（2t）2，解得t＝4s．综上，当t＝3s或4s时，△ABP为直角三角形．故答案为：3或4．20．【解答】解：∵∠A1Ox＝30°，∠A1OA2＝60°，∴∠A2Ox＝90°，∴A2在y轴上，Rt△A1A2O中，OA1＝2，∴OA2＝2OA1＝4，A1A2＝2，∴A2的纵坐标为：4＝+1，∴A2（0，4），Rt△A1A2A3中，∠A2A1A3＝60°，∴∠A1A3A2＝30°，∴A1A3＝2A1A2＝4，∵∠BA1O＝∠A1Ox＝30°，∴A1B∥x轴，∴A1B⊥A2O，∵∠A1A2B＝30°，∴A1B＝A1A2＝，A1B＝3，∴A3B＝4﹣＝3，OB＝4﹣3＝1，∴A3的横坐标为：﹣3＝﹣，∴A3（﹣3，1），Rt△A2BA3中，A2A3＝2A2B＝6，Rt△A2A3A4中，A2A4＝2A2A3＝12，∴OA4＝12﹣4＝8，∴A4的纵坐标为：﹣[﹣1]，A4（0，﹣8），由此发现：点A1，A2，A3，A4，…，A n，每四次一循环，2020÷4＝505，∴点A2020在y轴的负半轴上，纵坐标是：﹣[﹣1]＝1﹣31010．则A2020的坐标是（0，1﹣31010）；故答案为：（0，1﹣31010）．三．解答题（共8小题）21．【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，∴AC2＝AB2+BC2＝144+81＝225，∴AC＝15，又∵AC2+CD2＝225+64＝289，AD2＝289，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．22．【解答】解：设AD＝x∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x＝，∴AD＝．23．【解答】解：连接AC．由勾股定理可知：AC＝＝＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24（米2）．24．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：BC＝＝＝40（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．25．【解答】解（1）面积为4×4﹣4××1×3＝10，边长为；（2）如图所示，正方形的边长为均可．（答案不唯一，合理即可．）（3）表示或或的点如图所示．（答案不唯一，画出表示的点亦可）26．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO＝，＝，＝12m，∴梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，∵AC＝4m，∴OC＝AO﹣AC＝8m，∴OD＝，＝，∴BD＝OD﹣OB＝，∴滑动不等于4m．27．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm，∴AB＝＝20cm，∵∠P AC＝∠PCA，∴AP＝PC，设AP＝BP＝x，∴PB＝20﹣x，∴（20﹣x）2+152＝x2，解得：x＝，∴AP＝；（2）当CM＝BC＝15时，△MBC为等腰三角形，∴AM＝AC﹣CM＝10；当BM＝BC＝15，时，△MBC为等腰三角形，过B作BH⊥AC于H，∴BH＝＝＝12，∴CH＝＝9，∴AM＝AC﹣2CH＝7；当BM＝CM时，△MBC为等腰三角形，连接BM，设AM＝x，则BM＝CM＝25﹣x，∴（25﹣x）2＝122+（25﹣x﹣9）2，解得：x＝，∴AM＝，综上所述，若△MBC为等腰三角形，AM的长为10，7，．28．【解答】（1）证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×ab+（b﹣a）2，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2．∴2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：4×ab+（b﹣a）2，4×ab+（b﹣a）2，a2+b2＝c2；（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，即a2+b2＝c2；（3）解：如图3，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形，∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，S矩形ABDF＝b（a+b）＝2×ab+c2+（b﹣a）（a+b），∴a2+b2＝c2．。
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元测试卷 (word版,含解析)
人教版八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷满分120分一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．下列各组数中,是勾股数的一组是( )A ．6,7,8B ．5,12,13C ．0.6,0.8,1D ．2,4,52．下列线段a ,b ,c 能组成直角三角形的是( )A ．2a =,3b =,4c =B ．4a =,5b =,6c =C ．1a =,2b =,3c = D ．7a =,3b =,6c =3．如图,在四边形ABCD 中,90DAB BCD ∠=∠=︒,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若14135S S +=,349S =,则2(S = )A ．184B ．86C ．119D ．814．如图,在22⨯的网格中,有一个格点ABC ∆,若每个小正方形的边长为1,则ABC ∆的边AB 上的高为( )A ．22B ．55C ．510D ．15．如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少要( )A ．4米B ．5米C ．6米D ．7米6．若直角三角形的两边长分别是5和12,则它的斜边长是( )A ．13B ．13或119C ．119D ．12或137．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10尺）,中部一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面( )尺．A ．4B ．3.6C ．4.5D ．4.558．如图,一轮船以12海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后两船相距( )A ．13海里B ．16海里C ．20海里D ．26海里 9．如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条长16cm 的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A ．45aB ．34aC ．23aD ．12a10．如图,在DEF ∆中,90D ∠=︒,:1:3DG GE =,GE GF =,Q 是EF 上一动点,过点Q 作QM DE ⊥于M ,QN GF ⊥于N ,43EF =,则QM QN +的长是( )A ．43B ．32C ．4D ．23二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）11．在Rt ABC ∆中,斜边2AB =,则222AB BC AC ++= ．12．直角坐标平面内的两点(4,5)P -、(2,3)Q 的距离为 ．13．周长为24,斜边长为10的直角三角形面积为 ．14．一架云梯长2.5米,如图斜靠在一面墙上,梯子的底端离墙0.7米,如果梯子的顶端下滑了0.4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了 米．15．将一根长为30cm 的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、6cm 和24cm 的长方体有盖盒子中,在M 处是盒子的开口处,设细木棒露在杯子外面的长度是为h cm ,则h 的取值范围是 ．16．如图,1OP =,过点P 作1PP OP ⊥,且11PP =,得12OP；再过点1P 作121PP OP ⊥且121PP =,得23OP =；又过点2P 作232P P OP ⊥且231P P =,得32OP =⋯,依此法继续作下去,得2022OP = ．三．解答题（共9小题,满分66分）17．（6分）在ABC ∆中,90C ∠=︒,AB c =,BC a =,AC b =．（1）6a =,8b =,求c ；（2）8a =,17c =,求b ．18．（6分）如图所示的一块地,90ADC ∠=︒,16AD m =,12CD m =,52AB m =,48BC m =,求这块地的面积．19．（6分）小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m ,当他把绳子的下端拉开5m 后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高．20．（6分）如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90B D ∠=∠=︒,3AD =,2BC =．求AB 的长．21．（8分）如图,在ABC ∆中,点D 是BC 边上一点,连接AD ．若10AB =,17AC =,6BD =,8AD =．（1）求ADB ∠的度数；（2）求BC 的长．22．（8分）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处,过了2秒后,小汽车行驶至B 处,若小汽车与观测点间的距离AB 为50米,请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？23．（8分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2,410因为22224202(10)+==⨯,所以这个三角形是奇异三角形．（1）若ABC ∆三边长分别是2,22和6,判断此三角形是否奇异三角形,说明理由；（2）若Rt ABC ∆是奇异三角形,直角边为a 、()b a b <,斜边为c ,求::a b c 的值．（比值从小到大排列）24．（9分）某游乐场部分平面图如图所示,点C 、E 、A 在同一直线上,点D 、E 、B 在同一直线上,DB AB ⊥．测得A 处与E 处的距离为80m ,C 处与E 处的距离为40m ,90C ∠=︒,30BAE ∠=︒．（1）请求出旋转木马E 处到出口B 处的距离；（2）请求出海洋球D 处到出口B 处的距离；（3）判断入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离是否相等？若相等,请证明；若不相等,请说明理由．25．（9分）已知ABC ∆中,90B ∠=︒,8AB cm =,6BC cm =,P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 开始沿B C A→→方向运动,在BC边上的运动速度是每秒2cm,在AC边上的运动速度是每秒1.5cm,它们同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止,设运动时间为t秒．（1）出发2秒后,求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时,t为何值时,ACQ∆的面积是ABC∆面积的13；（3）当点Q在边CA上运动时,t为何值时,PQ将ABC∆周长分为23:25两部分．参考答案一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．【解答】解：A 、222678+≠,6∴,7,8不是一组勾股数,本选项不符合题意；B 、22251213+=,5∴,12,13是一组勾股数,本选项符合题意；C 、0.6,0.8,1不都是正整数,0.6∴,0.8,1不是一组勾股数,本选项不符合题意； D 、222245+≠,2∴,4,5不是一组勾股数,本选项不符合题意；故选：B ．2．【解答】解：A 、222234+≠,不能组成直角三角形,不符合题意； B 、222456+≠,不能组成直角三角形,不符合题意；C 、2221+=,能组成直角三角形,符合题意；D 、222+≠,不能组成直角三角形,不符合题意； 故选：C ．3．【解答】解：由题意可知：21S AB =,22S BC =,23S CD =,24S AD =,连接BD ,在直角ABD ∆和BCD ∆中,22222BD AD AB CD BC =+=+,即1432S S S S +=+,因此21354986S =-=,故选：B ．4．【解答】解：如图,过点C 作CD AB ⊥于D ,在直角ABE ∆中,90AEB ∠=︒,1AE =,2BE =,则由勾股定理知,AB ==由1122AE BC AB CD ⋅=⋅知,AE BCCD AB ⋅===．故选：B ．5．【解答】解：在Rt ABC ∆中,224AC AB BC =-=米, 故可得地毯长度7AC BC =+=米,故选：D ．6．【解答】解：当12是斜边时,它的斜边长是12； 当12是直角边时,它的斜边长2212513=+=； 故它的斜边长是：12或13．故选：D ．7．【解答】解：如图,由题意得：90ACB ∠=︒,3BC =尺,10AC AB +=尺, 设折断处离地面x 尺,则(10)AB x =-尺,在Rt ABC ∆中,由勾股定理得：2223(10)x x +=-, 解得： 4.55x =,即折断处离地面4.55尺．故选：D ．8．【解答】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向, 90BAC ∴∠=︒,两小时后,两艘船分别行驶了12224⨯=（海里）,5210⨯=（海里）, 22241026+=（海里）．答：离开港口2小时后两船相距26海里,故选：D ．9．【解答】解：如图,当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b 最短, 此时b 就是圆柱形的高,即12b cm =；16124()a cm ∴=-=,当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b 最长, 2212513()b cm =+=,∴此时3a =,所以34a ．故选：B ．10．【解答】解：连接QG ．:1:3DG GE =,∴可以假设DG k =,3EG k =,GF EG =,90D ∠=︒,3FG k ∴=,2222DF FG DG k =-=, 43EF =,222EF DE DF =+,2248168k k ∴=+,2k ∴或2,4DF ∴=,111222EFG S EG DF EG QM GF QN ∆=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, 4QM QN DF ∴+==,故选：C ．二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）11．【解答】解：222AB BC AC =+,2AB =,2228AB BC AC ∴++=．故答案为：8．12．【解答】解：根据题意得PQ =故答案为：．13．【解答】解：设直角三角形两直角边长为a ,b ,该直角三角形的周长为24,其斜边长为10,24()10a b ∴-+=,即14a b +=,由勾股定理得：22210100a b +==,22()14a b +=,222196a b ab ∴++=,即1002196ab +=,48ab ∴=,∴直角三角形的面积1242ab ==, 故答案为：24．14．【解答】解：设子的底端在水平方向滑动了x 米,根据勾股定理得：2.4=； 又梯子下滑了2米,即梯子距离地面的高度为(2.40.4)2-=,根据勾股定理：2222.52(0.7)x=++,解得：0.8x=或 2.2-（舍去）．即梯子的底端在水平方向滑动了0.8米,故答案为：0.8．15．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为226810()cm+=,盒子的对角线长：22102426()cm+=,细木棒长30cm,故细木棒露在盒外面的最短长度是：30264()cm-=．所以细木棒露在外面的最短长度是4厘米．当细木棒竖直放置时,细木棒露在盒外面的最长长度是30246()cm-=, 所以细木棒露在外面的最长长度是6厘米．所以h的取值范围是46h,故答案为：46h．16．【解答】解：1OP=,12OP=,23OP=,34OP=,20222023OP∴=．故答案为：2023．三．解答题（共9小题,满分66分）17．【解答】解：（1）在Rt ABC∆中,90C∠=︒,6BC a==,8AC b==, 22226810c AB a b∴==+=+=；（2）在Rt ABC∆中,90C∠=︒,8BC a==,17AB c==,222217815b ACc a∴==-=-=．18．【解答】解：连接AC,在Rt ACD∆中,12CD m=,16AD m=,由222AD CD AC +=,解得20AC m =,在ABC ∆中,52AB m =,20AC m =,222220482704AC CB +=+=,22522704AB ==,222AC CB AB ∴+=,ABC ∴∆为直角三角形,要求这块地的面积,求ABC ∆和ACD ∆的面积之差即可,ABC ACD S S S ∆∆=-1122AC BC CD AD =⨯-⨯ 112048121622=⨯⨯-⨯⨯ 48096=-2384m =,答：这块地的面积为2384m ．19．【解答】解：设旗杆的高AB 为xm ,则绳子AC 的长为(1)x m + 在Rt ABC ∆中,222AB BC AC +=2225(1)x x ∴+=+解得12x =12AB ∴=∴旗杆的高12m ．20．【解答】解：延长DC 交AB 的延长线于点E ,90B D ∠=∠=︒,60A ∠=︒,3AD =,2BC =,30E ∴∠=︒,26AE AD ∴==,24CE BC ==,BE ∴===6AB AE BE ∴=-=-21．【解答】解：（1）2222226810BD AD AB +=+==,ABD ∴∆是直角三角形,90ADB ∴∠=︒；（2）在Rt ACD ∆中,2215CD AC AD =-=,61521BC BD CD ∴=+=+=,答：BC 的长是21．22．【解答】解：90ACB ∠=︒∴由勾股定理可得：2222503040BC AB AC =--=,40米0.04=千米,2秒11800=小时． 10.0472701800÷=>． 所以超速了．23．【解答】解：（1）2222(22)122(6)+==⨯,ABC ∴∆是奇异三角形,（2）Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,222a b c ∴+=,c b a >>,2222c b a ∴>+,2222a b c <+,Rt ABC ∆是奇异三角形,2222b a c ∴=+,22222b a a b ∴=++,222b a ∴=,2b a ∴=,222a b c +=,223c a ∴=,c ∴,::a b c ∴=24．【解答】解：（1）在Rt ABE ∆中,30BAE ∠=︒,118040()22BE AE m ∴==⨯=, ∴旋转木马E 处到出口B 处的距离为40m ；（2）30BAE ∠=︒,CED AEB ∠=∠,90C ABE ∠=∠=︒30D BAE ∴∠=∠=︒,280()DE CE m ∴==,8040120()DE BE m ∴+=+=,∴海洋球D 处到出口B 处的距离为：120m ；（3）在Rt CDE ∆与Rt ABE ∆中,由勾股定理得：)AB m ==,)CD m ==,AB CD ∴=,∴入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离相等．25．【解答】解：（1）当2t s =时,点Q 在边BC 上运动,则2AP cm =,24()BQ t cm ==,8AB cm =,826()BP AB AP cm ∴=-=-=,在Rt BPQ ∆中,由勾股定理可得)PQ cm =,PQ ∴的长为；（2）12ACQ S CQ AB ∆=⋅,12ABC S BC AB ∆=⋅,点Q 在边BC 上运动时,ACQ ∆的面积是ABC ∆面积的13,1162()33CQ BC cm ∴==⨯=,624()BQ BC CQ cm ∴=-=-=,422t ∴==,∴当点Q 在边BC 上运动时,t 为2时,ACQ ∆的面积是ABC ∆面积的13；（3）在Rt ABC ∆中,由勾股定理得：10()AC cm =, 当点P 达到点B 时,881t ==,当点Q 达到点A 时,610292 1.53t =+=,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止, 08t ∴,AP t =cm ,(8)BP t cm ∴=-,点Q 在CA 上运动时,61.5()(1.5 4.5)()2CQ t t cm =⨯-=-,10(1.5 4.5)( 1.514.5)()AQ t t cm ∴=--=-+,86 1.5 4.5(0.59.5)()BP BC CQ t t t cm ∴++=-++-=+,( 1.514.5)(0.514.5)()AP AQ t t t cm +=+-+=-+, 分两种情况： ①2325BP BC CQAP AQ ++=+, 即0.59.5230.514.525t t +=-+,解得：4t =,经检验,4t =是原方程的解,4t ∴=； ②2523BP BC CQAP AQ ++=+, 即0.59.5250.514.523t t +=-+,解得：6t =,经检验,6t =是原方程的解,6t ∴=；综上所述,当点Q 在边CA 上运动时,t 为4或6时,PQ 将ABC ∆周长分为23:25两部分．。
2021年八年级数学下册第十七章《勾股定理》习题(答案解析)
一、选择题1．ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．ABC =+∠∠∠B ．::1:1:2A BC ∠∠∠= C ．222b a c =+D ．::1:1:2a b c = D 解析：D【分析】根据三角形内角和定理可判断A 和B ，根据勾股定理可判断C 和D ．【详解】A.A B C ∠=∠+∠，180A B C ∠+∠+∠=︒，2180A ∴∠=︒，∴90A ∠=︒，ABC ∴为直角三角形，不符合题意，故A 错误；B.::1:1:2A B C ∠∠∠=，A B ∴∠=∠，2C A ∠=∠，又∵180A B C ∠+∠+∠=︒，2180A A A ∴∠+∠+∠=︒，45A ∠=︒，290C A ∴∠=∠=︒，ABC ∴为直角三角形，不符合题意，故B 错误；C.222b a c =+，ABC ∴是直角三角形，不符合题意，故C 错误；D.::1:1:2a b c =，b a ∴=，2c a =，222a b c ∴+≠，ABC ∴不是直角三角形，符合题意，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中．2．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．40C解析：C【分析】根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求得CD ＝3x ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝23x ，根据△ABC 的面积为120，即11202AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，CD ＝()222223BC BD x x x -=-=，∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2BC ＝23x ，∵△ABC 的面积为120，∴1122312022ABC S AC BC x x =⨯⨯=⨯⨯=， 解得：2=203x ，∵211333=203=302222BCD S BD CD x x x =⨯⨯=⨯⨯=⨯， 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．3．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC 沿直线BC 向右平移，得到△EDF ，连接AD ，若四边形ACFD 为菱形，EC=4，则平移的距离为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8C解析：C【分析】 根据平移的性质可得8,,AB DE AC DF BC EF ====，设AC DF CF AD x ====，求得BC=4x +，再由勾股定理理出方程求解即可．【详解】解：由平移的性质可得：8,,AB DE AC DF BC EF ====又∵四边形ACFD 是菱形∴设AC DF CF AD x ====又∵4EC =∴4BC EF CF CE x ==+=+又∵∠90BAC ︒=∴222AB AC BC +=∴2228(4)x x +=+解得，6x =即6AD DF CF AC ====故平移的距离为：6AD =故选：C ．【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的基本性质是解答此题的关键．4．如图，在等腰ABC ∆中，,AB AC =点E 为AC 的中点，且CD CE =．若60,4A EF cm ∠=︒=，则DF 的长为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cm A解析：A【分析】 由已知可得DF ⊥AB ，∠D=∠AEF=30°,所以根据含30°角的直角三角形性质可以算得DF 的值．【详解】解：∵AB=AC,∠A=60°，∴ΔABC 为等边三角形，∴∠ACB=60°,∵CD=CE ，∴∠CED=∠D=12∠ACB=30°， ∴∠AEF=30°， ∴∠AFE=180°-∠A-∠AEF=90°，∵EF=4cm ，∴设AF=x ，则AE=2x ，∴由勾股定理得：22244x x +=，∴3∴48,33AF AE ==， ∴164233BF AB AF AE AF =-=-=-， ∵∠D=30°， ∴328233BD BF ==-， ∴22223DF BD BF BF =-=，∴DF=164331641233BF ⎛⎫⨯=-⨯=-=⎪⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查等边三角形与直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形与直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用是解题关键．5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（ ）A ．4.2尺B ．4.3尺C ．4.4尺D ．4.5尺A解析：A【分析】 设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，∴2224(10)x x +=-，解得：x=4.2，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 6．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定C解析：C【分析】 由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：,AD BC ⊥222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-1713AC AB ==，，22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，,AD BC ⊥222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=故选：.C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．7．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（ ）A ．13.5尺B ．14尺C ．14.5尺D ．15尺C解析：C【分析】 设绳索有x 尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x 尺长，则102+（x+1-5）2=x 2，解得：x=14.5．故绳索长14.5尺．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．8．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，点D ，E 为BC 上两点．DAE 45∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论： ①CE BF =；②222BD CE DE +=；③ADE 1S AD EF 4=⋅△；④222CE BE 2AE +=，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③A解析：A【分析】 ①利用全等三角形的判定得AFB ≌AEC ，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得FD DE =，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得AD EF EF 2EG ⊥=，，再利用三角形的面积计算 结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．【详解】解：如图：对于①，因为BAC 90FA AE DAE 45∠∠=︒⊥=︒，，，所以CAE 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，FAB 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，因此CAE FAB ∠∠=．又因为BAC 90AB AC ∠=︒=，，所以ABC ACB 45∠∠==︒．又因为FB BC ⊥，所以FBA ACB 45∠∠==︒．因此AFB ≌()AEC ASA △，所以CE BF =．故①正确．对于②，由①知AFB ≌AEC ，所以AF AE =．又因为DAE 45FA AE ∠=︒⊥，，所以FAD DAE 45∠∠==︒，连接FD ， 因此AFD ≌()AED SAS △．所以FD DE =．在Rt FBD △中，因为CE BF =，所以222222BD CE BD BF FD DE +=+==．故②正确．对于③，设EF 与AD 交于G ．因为FAD DAE 45AF AE ∠∠==︒=，，所以AD EF EF 2EG ⊥=，． 因此ΔADE 11S AD EG AD EF 24=⨯⨯=⨯⨯． 故③正确．对于④，因为CE BF =， 又在Rt FBE △中，22222CE BE BF BE FE +=+= 又AEF △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，所以22EF 2AE =因此，222CE BE 2AE +=．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积．9．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：B【分析】 根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．【详解】根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．在Rt ABE △中，22221068AEBE AB ． ∵//AD BC ，∴AEB CBF ∠=∠，∴()ABE FCB AAS ≅，∴BF=AE=8，∴EF=BE-BF=10-8=2．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．10．如图，设每个小方格的边长都为1，则图中以小方格顶点为端点且长度为13的线段有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条D解析：D【分析】 13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为13的线段．【详解】解：∵2232+=13， ∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB ，CD ，BE ，DF 的长都等于13；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．二、填空题11．在直角坐标系中，点A (2，－2)与点B （－2，1)之间的距离AB =__________．【分析】直接运用两点间的距离公式求解即可【详解】解：∵(2－2)（－21)∴AB=故答案为5【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式牢记两点间的距离公式是解答本题的关键解析：【分析】直接运用两点间的距离公式求解即可．【详解】解：∵A (2，－2)、B （－2，1)∴()()()22222221435--+--=+-=⎡⎤⎣⎦． 故答案为5．【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，牢记两点间的距离公式是解答本题的关键． 12．如图，数轴上点A 表示的数是__________．【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长利用数轴上两点间的距离公式即可求解【详解】解：根据题意可得：圆的半径为则点A表示的数是故答案为：【点睛】本题考查勾股定理数轴上两点间的距离利用勾股定理求出半径长是解析：12-【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长，利用数轴上两点间的距离公式即可求解．【详解】解：根据题意可得：圆的半径为22+=，112则点A表示的数是12-，故答案为：12-．【点睛】本题考查勾股定理、数轴上两点间的距离，利用勾股定理求出半径长是解题的关键．13．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E都是格点，则BAC CDE∠+∠=_______．；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°∠2+∠CDE=45°再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°再证明∠ADC=90°进而得到∠ACD=45°从而得到∠1+∠2=45°解析：45︒；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°,再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°,再证明∠ADC=90°,进而得到∠ACD=45°,从而得到∠1+∠2=45°,继而得到∠BAC+∠CDE=45°.【详解】解：∵BF=CF,CK=EK，∴∠FBC=CEK=45°，∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°，连接AD、BE，∵BC²=2²+2²=8，CE²=1²+1²=2,BE²=3²+1²=10，∴BC²+CE²=BE²，∴∠BCE=90°，∵AD²=3²+1²=10,CD²=3²+1²=10,AC²=4²+2²=20，∴AD²+CD²=AC²，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，∴∠1+∠2=45°，∴∠BAC+∠CDE=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形．14．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为__________．7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°∠GFJ+∠FGJ=90解析：7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF，从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积．【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°，∠GFJ+∠FGJ =90°∴∠BGC =∠GFJ∵∠BCG =∠GJF ，BG =GF∴△BCG ≌△GJF∴CG =FJ ，BC =GJ ，∴BG 2=BC 2+CG 2=BC 2+FJ 2∴正方形DEFG 的面积=正方形ABCD 的面积+正方形FHIJ 的面积=4+3=7．【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．15．如图，已知点A ，点B 分别为y 轴和x 轴正半轴上两点，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点A ，点B ，点C 按顺时针方向排列，若4,AB AOB =∆的面积为3，则点C 的坐标为_________．或【分析】过点C 作交x 轴于点N 延长NC至点M 使根据勾股定理解得ACBC 的长再证明由全等三角形对应边相等解得再根据设用加减消元法解得x 的值最终得到点C 的坐标【详解】解：过点C 作交x 轴于点N 延长NC 至点解析：()1,1-或()1,1-【分析】过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，根据勾股定理解得AC 、BC 的长，再证明()NAC BCM AAS ≅，由全等三角形对应边相等解得NC BM =，再根据3AOB S =△，设=,NC BM x ON AN CM y ====，用加减消元法解得x 的值，最终得到点C 的坐标．【详解】解：过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，Rt ABC 为等腰直角三角形，222AC BC AB ∴+=22AC BC ∴==90NAC ACN ∠+∠=︒90BCM ACN ∠+∠=︒NAC MCB ∴∠=∠()NAC MCB AAS ∴≅NC BM ∴=设=,NC BM x ON AN CM y ====AO y x ∴=-在t R CMB 中，2228x y BC +==① 3AOB S =1()()32x y y x ∴+-= 226y x -=②①-②得，21x =1x ∴=±(1,1)C ∴-或(1,1)C -故答案为：()1,1-或()1,1-．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，其中涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6 ∴2222=6+8=10AB BC AC +∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．17．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3．以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是_____．1﹣2【分析】先求出AC的长度再根据勾股定理求出AB的长度然后根据数轴的特点从点A向左AB个单位即可得到点B1【详解】解：根据题意AC＝3﹣1＝2∵∠ACB＝90°AC＝BC∴AB＝∴点B1表示的数解析：1﹣2【分析】先求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB的长度，然后根据数轴的特点，从点A向左AB个单位即可得到点B1．【详解】解：根据题意，AC＝3﹣1＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AB2222+=+=2222AC BC∴点B1表示的数是1﹣22故答案为：1﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理求出AB．18．已知直角坐标平面内的Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，2）、C （3，-4），则直角顶点是_________．B【分析】先根据两点间的距离公式得到AB2BC2AC2的值然后根据勾股定理的逆定理即可解答【详解】解：∵A（43）B （12）C（3-4）∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10AC2=（3-4）2解析：B【分析】先根据两点间的距离公式得到AB2、BC2、AC2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．【详解】解：∵A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10，AC2=（3-4）2+（-4-3）2=50，BC2=（3-1）2+（-4-2）2=40，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC为直角三角形，∴∠B=90°，即该直角三角形的直角顶点为B．故答案为B．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，正确的运用相关的定理、公式成为解答本题的关键．19．如图，以Rt ABC △的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为1S 、2S ， Rt ABC △的面积3S ．若14S =， 28S =，则 3S 的值为 ________ ．12【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值【详解】解：设Rt △ABC 的三边分别为abc 则观察图形可得：即∵∴=∴=4+8=12故答案为：12【点睛】本题考查了勾股定理圆的面积熟记圆的面积公式解析：12【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得3S 的值．【详解】解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，则222+=a b c ，观察图形可得：222312111111()()()222222a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅， 即222312111888a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅，∵222+=a b c ， ∴221188a b ππ⋅+⋅=218c π⋅， ∴312S S S =+=4+8=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．20．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD ，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH ，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB ＝13，AE ＝12，则正方形EFGH 的面积为___________．49【分析】根据正方形EFGH 的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH 的面积【详解】直角三角形直角边的较短边为=5正方形EFGH 的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49故解析：49【分析】根据正方形EFGH 的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH 的面积．【详解】 直角三角形直角边的较短边为221312-=5，正方形EFGH 的面积＝13×13﹣4×5122⨯＝169﹣120＝49． 故答案为：49．【点睛】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键． 三、解答题21．在ABC 中，AB c =，BC a =，AC b =．如图1，若90C ∠=︒时，根据勾股定理有222+=a b c ．（1）如图2，当ABC 为锐角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；（2）如图3，当ABC 为钝角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD ，已知90B ∠=︒，80AB =米，60BC =米，90CD =米，110AD =米，求这块试验田的面积．解析：（1）猜想：222a b c +> ，证明见解析；（2）猜想：222+b a c <，证明见解析；（3）四边形ABCD 的面积是(240030002+米2．【分析】（1）先作高线如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，构造两个直角三角形，设CD x =，则BD a x =-，由勾股定理和AD 构造等式2222()b x c a x -=-- ，利用放缩法可得 222b a c +>（2）先作高线如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，构造两个直角三角形设CD y =，则BD a y =+，利用勾股定得2222()b y c a y -=-+，整理得，2222b a c ay +=-利用放缩法222b a c +<（3）如图4，连接AC ．过点D 作DE AC ⊥于点E ，由勾股定理求出100AC = 设AE x =，则EC=100-x ，由勾股定理构造方程222211090(100)x x -=--，解方程的70x =，再求出DE ，利用分割法求面即可【详解】解：（1）猜想：222a b c +> ，证明：如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，设CD x =，则BD a x =-，在Rt ACD △中，有222b x AD -=,在Rt ABD △中，有222()c a x AD --= ，∴2222()b x c a x -=-- ，解之：2222b a c ax +=+，∵a b c x ，，，均为正数，∴222b a c +> ；（2）猜想：222b a c +<证明：如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，设CD y =，则BD a y =+，在Rt ACD △中，有222b y AD -=，在Rt ABD △中，有222()c a y AD -+= ， ∴2222()b y c a y -=-+，解之：2222b a c ay +=-，∵a b c y ，，，均为正数，∴222b a c +< ；（3）如图4，连接AC ．在Rt ABC 中，有222AC AB BC =+，∴222806010000AC =+=，∵0AC >，∴100AC = ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，设AE x =，则EC=100-x ，在Rt ADE 中，有222AD AE DE -=，即222110x DE -=，在Rt CDE △中，有222CD CE DE -=，即22290(100)x DE --= ，∴222211090(100)x x -=--，解之：70x =，在Rt ADE 中，有2222211070DE AD AE =-=-，∴DE=602±∴DE=602， ∴1122ABC ADC ABCD S SS AB BC AC DE =+=⨯⨯+⨯⨯四边形， =11608010060222=⨯⨯+⨯⨯ =240030002+2），∴四边形ABCD 的面积是(240030002+米2．【点睛】本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键．22．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a 2+b 2＝c 2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a +b ）2的值．解析：（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．【详解】解：（1）∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为（b ﹣a ）2， ∴c 2＝4×12ab +（a ﹣b ）2＝2ab +a 2﹣2ab +b 2即c 2＝a 2+b 2； （2）由图可知：（b ﹣a ）2＝3，4×12ab ＝13﹣3＝10， ∴2ab ＝10，∴（a +b ）2＝（b ﹣a ）2+4ab ＝3+2×10＝23．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．23．已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点,,B D E 在同一条直线上，且BA BD =，.BAE D ∠=∠（问题初探）（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．（变式再探）（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．（拓展运用）（3）如图3，在()2的条件下．若,1AB BC CD ⊥=，求EC 的长度．解析：（1）见解析 （2）BEC BCE ∠=∠；理由见解析 （3）12+【分析】（1）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得BEC BCE ∠=∠，进一步可得结论；（2）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得ABE BCE ∠=∠；（3）连结AD ，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD ，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC ，由EC=EA+AC 可得结论．【详解】解：（1）证明BE 平分ABC ∠，,ABE DBC ∴∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=,BEC BCE ∴∠=∠180AEB BCE AEB BEC ∴∠+∠=∠+∠=︒；()2BEC BCE =∠∠．理由：BE 平分ABF ∠，,ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=BEC BCE ∴∠=∠．()3连结AD ，AB BC ⊥，45ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠=︒，ABE DBC ∆≅∆，,BAE BDC ∴∠=∠且E E ∠=∠，45,ABE ACD ∴∠=∠=︒由()2得BE BC =，22.5BCD BCE BEC ∴∠=∠=∠=︒，,AB BD =22.5,BAD BDA ∴∠=∠=︒,BEC BDA ∴∠=∠,45,AE AD DAC ACD ∴=∠=︒=∠1,CD =221,112AD AE AC ∴===+=12EC ∴=+【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD 是解答此题的关键．24．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A 、B 、C 都是格点．（1）小明发现ABC ∠是直角，请补全他的思路；小明的思路 先利用勾股定理求出ABC 的三条边长，可得10AB ，BC =_______，AC =_______．从而可得AB 、BC 、AC 之间的数量关系是_____________________，根据____________________________，可得ABC ∠是直角．解析：（110，25222AB BC AC +=，勾股定理逆定理；（2）见解析．【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理逆定理即可填空．（2）作如图所示的图，根据图易证()ADB BEC SAS ≅，推出ABD BCE ∠=∠．继而推出90ABD EBC ∠+∠=︒，即可得出结论90ABC ∠=︒．【详解】（1）先利用勾股定理求出ABC 的三条边长，可得10AB ，10BC =25AC =AB 、BC 、AC 之间的数量关系是222AB BC AC +=，根据勾股定理逆定理，可得ABC ∠是直角．（2）作图如图，由图可得：AD BE =，BD CE =，90ADB BEC ∠=∠=°．在ADB △和BEC △中，AD BE ADB BEC BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB BEC SAS ∴≅，ABD BCE ∴∠=∠．在BEC △中，18090BCE EBC BEC ∠+∠=︒-∠=︒，90ABD EBC ∠∴+=∠︒．∵D 、B 、E 三点共线，180ABD EBC ABC ∴∠+∠+∠=︒，180()90∴∠=︒-∠+∠=︒．ABC ABD EBC【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练利用勾股定理和勾股定理逆定理，三角形全等的判定和性质等知识是解答本题的关键．25．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？解析：水深12尺，芦苇长13尺【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，如下图，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，解得：x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．26．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．解析：5m【分析】设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到222AB BC AC +=，即()22214x x -+=，解方程即可． 【详解】解：设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，由题意得：090ABC ∠=，在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，∴()22214x x -+= 解得8.5x =，∴8.5AC m =．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．27．已知：如图，ABC 中，90C ∠=︒，BC AC >，点D 是AB 的中点，点P 是直线BC 上的一个动点，连接DP ，过点D 作DQ DP ⊥交直线AC 于点Q ．（1）如图，当点P 、Q 分别在线段BC 、AC 上时（点Q 与点A 、C 不重合），过点B 作AC 的平行线交QD 的延长线于点G ，连接PG 、PQ ．①求证：PG PQ =；②若12BC =，9AC =，设BP x =，CQ y =，求y 关于x 的函数表达式．（2）当点P 在线段CB 的延长线上时，依据题意补全下图，用等式表示线段BP 、PQ 、AQ 之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）①见解析；②4732y x =-；（2）图见解析，222BP AQ PQ +=，理由见解析【分析】 （1）①先通过证ADQ BDG △≌△得到GD=DQ ，又因为PD ⊥DQ 便可证得PG=PQ ； ②由ADQ BDG △≌△证得AQ=BG ，因为CQ=y ，则AQ=BG=9-y ，BP=x ，则PC=12-x ，由PG=PQ ，根据勾股定理可列方程：()()2222912y x x y -+=-+，化简后不能得出y 与x 的函数关系；（2）依据题意画出图形，过点B 作//AC BE 交QD 的延长线于点E ，连接PE ，先证ADQ BDE △≌△，得出EB=AQ ，ED=DQ ，因为PD DQ ⊥，所以EP PQ =，再根据勾股定理得出222EB PB EP +=，不难推出线段BP 、PQ 、AQ 之间的数量关系【详解】解：（1）①//BG AC ，A GBA ∴∠=∠， AD=DB GDB=ADQ ∠∠，，()ASA ADQ BDG ∴△≌△，GD=QD ∴，又PD GQ ⊥，PG=PQ ∴； ②ADQ BDG △≌△∴AQ=BG ，12BC =，9AC =， BP x =，CQ y =，∴ AQ=BG=9-y ，PC=12-x ，在Rt GBP △中，222B PB =GP G + ，在PCQ Rt △中， 222P QC =PQ C + GP PQ =，∴ 2222B PB =P QC G C ++，∴ ()()22229x =12y y x -+-+， 整理，得4732y x =-； （2）依据题意画出图形，当点P 在线段CB 的延长线上时，222AQ PB PQ += ，理由如下：过点B 作//AC BE 交QD 的延长线于点E ，连接PE ，//EB AC ，EBD A ∴∠=∠ ，又EDB ADQ AD DB ∠=∠=， ，∴ ()ASA ADQ BDE △≌△，∴ EB=AQ ，ED=DQ ，PD DQ ⊥，∴ EP PQ =，在EBP Rt △中，222EB PB EP +=，222A Q PB PQ ∴+=．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，构造全等三角形是解决本题的关键．28．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知ABC 为勾股高三角形，其中C 为勾股顶点，CD 是AB 边上的高．若BD =1AD =，试求线段CD 的长度．（2）深入探究如图2，已知ABC 为勾股高三角形，其中C 为勾股顶点且CA CB >，CD 是AB 边上试探究线段AD 与CB 的数量关系，并给予证明；解析：（1）①是；②2CD =；（2）证明见解析．【分析】（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a ，由)222,a a -=结合勾股高三角形的定义可得答案； ②根据勾股定理得到22225,1,CB CD CA CD =+=+根据勾股高三角形的定义得到222CD BC AC =-，再列方程，解方程可得答案；（2）由△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点且CA ＞CB ，CD 是AB 边上的高，可得：222,CA CD CB -= 再由勾股定理可得：222CA CD AD -=，从而可得结论．【详解】解：（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长==，∵)222,a a -=等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案为：是；②,CD AB ⊥ BD =，1AD =，由勾股定理可得：222222225,1,CB CD BD CD CA CD AD CD =+=+=+=+∵△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点，CD 是AB 边上的高，∴222CD BC AC =-，∴()()22251CD CD CD =+-+，24CD ∴=，解得，2CD =（负根舍去）；（2）AD=CB ，证明如下：∵△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点且CA ＞CB ，CD 是AB 边上的高， ∴222CD CA CB =-， 222,CA CD CB ∴-=,CD AB ⊥∴222CA CD AD -=∴22CB AD =，,CB AD 都为线段，．∴AD CB【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股高三角形的定义，利用平方根的含义解方程，等腰直角三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．。
2020-2021学年八年级数学人教版下册 第十七章勾股定理 综合能力检测卷(含答案)
第十七章勾股定理综合能力检测卷时间:60分钟满分:100分一、选择题(每题3分,共30分)1.下列各组线段的长,不能构成直角三角形的是()A.1,√2,3B.5,12,13C.6,8,10D.8,15,172.如图所示的各直角三角形中,其中边长x=5的个数是()A.1B.2C.3D.43.如图,以点D为圆心、DB的长为半径画弧与数轴交于点A,若点A表示的数为a,则a的值为()A.-1-√5B.1-√5C.-√5D.-1+√54.下列命题的逆命题成立的是()A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等C.两直线平行,同位角相等D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),若线段AD的长为正整数,则符合条件的点D共有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个第5题图第6题图第7题图第8题图6.如图,梯子AB靠在墙上,底端A到墙根O的距离为2 m,顶端B到地面的距离为7 m,现将梯子的底端A向外移动到A',使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3 m,同时梯子的顶端B下降至B',那么BB'()A.小于1 mB.大于1 mC.等于1 mD.小于或等于1 m7.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若正方形a,c的面积分别为7和9,则正方形b的面积为()A.15B.16C.20D.328.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个完全相同的直角三角形围成的.在直角三角形ABC 中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是()A.12B.36C.66D.769.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计),要求木条不能露出木箱,则能放入细木条的最大长度是()A.√41 cmB.√34 cmC.5√2 cmD.5√3 cm第9题图 第10题图10.如图,正方形ABCD 的边长为2,其面积标为S 1,以CD 为斜边向外作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为S 2……按照此规律继续下去,则S 2 020的值为 ( )A.(√22)2 017B.(√22)2 018C.(12)2 017D.(12)2 018二、填空题(每题3分,共18分)11.如图,已知正方形ABCD 的面积为8,则对角线BD 的长为 .第11题图 第12题图12.如图,在四边形ABCD 中,AB=2,BC=2,CD=3,AD=1,且∠ABC=90°,则∠BAD 的度数为 . 13.已知m ,n ,d 为一个直角三角形的三边长,且√m-5=8n-n 2-16,则此三角形的面积为 .14.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm ,AC=8 cm ,按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的C'处,那么△ADC'的面积是 .第14题图 第15题图 第16题图15.如图,已知Rt △ABC 的面积为20 cm 2,在斜边AB 的同侧,分别以AB ,BC ,AC 为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 .16.如图,圆柱形容器的高为18 cm ,底面周长为24 cm ,在容器内壁离下底面4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,离容器上底面2 cm 的A 处,则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为 cm .三、解答题(共52分)17.(6分)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要求画出图形.(1)从点A 出发作一条线段AB ,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为2 √2; (2)以(1)中的AB 为边作一个等腰三角形ABC ,使点C 落在格点上,且另两边的长都是无理数..18.(8分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,DB=95(1)求CD,AD的值;(2)判断△ABC的形状,并说明理由.19.(8分)如图,小明所在学校的旗杆BD高为13 m,距离旗杆20 m处刚好有一棵高为3 m的香樟树AE,活动课上,小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步,发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等,请你求出该位置与旗杆之间的距离.20.(8分)清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,西安发现了他的数学专著,其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长分别为3,4,5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述:“若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍,设其面积为S,则第一步,S=m;第二步,√m=k;第三步,分别用63,4,5乘k,得三边长”.(1)当面积S等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长;(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程.21.(10分)在△ABC中,AB=2√5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.22.(12分)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点.特例感知①等腰直角三角形勾股高三角形;(填“是”或“不是”)②如图1,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高,若BD=2AD=2,试求线段CD的长度;深入探究如图2,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高,试探究线段AD与CB的数量关系,并给予证明;推广应用如图3,等腰三角形ABC为勾股高三角形,其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高,过点D作BC边的平行线与AC边交于点E,若CE=a,试求线段DE的长度.第十七章 综合能力检测卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C C A B D C C11.4 12.135° 13.6或10 14.6 cm 215.20 cm 216.201.A 【解析】 A 项,因为12+(√2)2≠32,所以不能构成直角三角形;B 项,因为52+122=132,所以能构成直角三角形;C项,因为62+82=102,所以能构成直角三角形;D 项,因为82+152=172,所以能构成直角三角形.故选A .2.B 【解析】 A 项,x=√32+42=5;B 项,x=√252-242=7;C 项,x=√172-152=8;D 项,x=√132-122=5.故选B .3.A 【解析】 由题图,可知DB=√22+12=√5,∴DA=DB=√5,∴a=-1-√5.故选A .4.C 【解析】 A 项,逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等,不成立;B 项,逆命题是绝对值相等的两个数相等,不成立;C 项,逆命题是同位角相等,两直线平行,成立;D 项,逆命题是相等的两个角都是45°,不成立.故选C.5.C 【解析】 过点A 作AE ⊥BC 于点E ,因为AB=AC ,所以BE=CE=4.在Rt △ABE 中,由勾股定理得AE=√AB 2-BE 2=√25−16=3,因为垂线段最短,所以AD 的取值范围是3≤AD<5,又线段AD 的长为正整数,所以AD=3或4.由对称性可知,使AD=4的点D 有2个,所以符合条件的点D 共有3个.故选C .6.A 【解析】 在Rt △AOB 中,∵OA=2 m ,OB=7 m ,∴AB=√OA 2+OB 2=√53 m .由题意可知A'B'=AB=√53 m ,又OA'=3 m ,∴OB'=√A'B'2-OA'2=2√11 m ,∴BB'=(7-2√11) m <1 m.故选A .对于实际问题,首先根据题意建立数学模型,然后利用直角三角形三边之间的关系和一些常识(如:墙与地面垂7.B 【解析】 如图,∵a ,b ,c 都是正方形,∴AC=CD ,∠ABG=∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DCE.在△ABC 和△CE 中,{∠BAC =∠DCE,∠ABC =∠DEC,AC =DC,∴△ACB ≌△CDE ,∴AB=CE ,BC=DE.在Rt △ABC 中,由勾股定理,得AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2=7+9=16,∴正方形b 的面积为16.故选B .8.D【解析】根据题意,得将边长为6的直角边分别向外延长一倍所得的四个直角三角形的斜边长都是√122+52=13,所以这个风车的外围周长为13×4+6×4=76.故选D.9.C【解析】如图,连接BC,BD,在Rt△ABC中,BC=√AC2+AB2=√42+52=√41(cm),在Rt△DCB中,DB=√DC2+CB2=√32+(√41)2=5√2(cm),所以能放入细木条的最大长度为5√2 cm.故选C.10.C【解析】利用等腰直角三角形的斜边与一直角边之间的数量关系可得到规律:从第二个正方形起每一个正方形的面积都是上一个正方形面积的12,即S2=12S1,S3=12S2=(12)2S1,…,S n=(12)n-1S1,∴S2 020=22×(12)2 020-1=(12)2 017.故选C.11.4【解析】因为正方形ABCD的面积为8,所以AB=AD=2√2,所以BD=√AB2+AD2=√(2√2)2+(2√2)2=4.12.135°【解析】连接AC,∵∠ABC=90°,AB=BC=2,∴∠BAC=45°,AC2=AB2+BC2=22+22=8,又CD=3,AD=1,∴AC2+AD2=CD2,∴∠CAD=90°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°.13.6或10【解析】∵√m-5=8n-n2-16,∴√m-5-8n+n2+16=0,∴√m-5+(n-4)2=0,∴m=5,n=4.(1)当m为直角三角形的斜边长时,d=√52-42=3,∴三角形的面积为12×3×4=6;(2)当d为直角三角形的斜边长时,三角形的面积为12×5×4=10.故此三角形的面积为6或10.14.6 cm2【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,由勾股定理得AB=√AC2+BC2=10 cm.由折叠的性知,DC=DC',DC'⊥AB,∵S△BCD=12BC·CD,S△ABD=12AB·DC',∴S△BCD∶S△ABD=BC∶AB=6∶10=3∶5,∵S△BCD+S△ABD=S△ABC=12×8×6=24(cm2),∴S△BDC'=S△BCD=9 cm2,S△ABD=15 cm2,∴S△ADC'=S△ABD-S△BDC'=15-9=6(cm2).本题主要考查勾股定理的应用,先利用比例关系求出△BCD与△ABD的面积,再利用面积之差求△ADC'的面15.20 cm2【解析】由题图可知,阴影部分的面积S=12π(AC2)2+12π(BC2)2+S△ABC-12π(AB2)2=π8(AC2+BC2-AB2)+S△ABC=S△ABC=20 cm2.16.20【解析】将圆柱形容器展开(过点A竖直剖开)后侧面是一个长24 cm、宽18 cm的长方形,如图,作点A 关于MN的对称点A',连接A'B交MN于点P,连接AP,过点B作BH⊥MA于点H.由轴对称的性质和三角形三边关系知A'B的长度为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.由题意知BH=12 cm,A'H=16 cm.在Rt△A'BH中,由勾股定理得A'B=√A'H2+BH2=20 cm.即蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20 cm.17.【解析】(1)线段AB如图所示.AB=√22+22=√8=2 √2.(2)△ABC如图所示.AC=BC=√12+32=√10.18.【解析】(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△BDC中,CD=√CB2-BD2=√32-(95)2=125,在Rt△ADC中,AD=√AC2-CD2=√42-(125)2=165.(2)△ABC为直角三角形.理由如下:∵AD=165,DB=95,∴AB=AD+DB=165+95=5.∵AC2+BC2=42+32=25,AB2=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形.19.【解析】如图,CE=CD,AE=3 m,AB=20 m,BD=13 m.设AC=x m,则BC=(20-x)m,在Rt△ACE中,CE=√AE2+AC2=√32+x2,在Rt△BCD中,CD=√BD2+BC2=√132+(20-x)2,∵CE=CD,∴32+x2=(20-x)2+132,解得x=14,∴CB=20-x=6(m).故该位置与旗杆之间的距离为6 m.20.【解析】(1)当S=150时,m=S6=1506=25,k=√m=√25=5,3×5=15,4×5=20,5×5=25.所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25.(2)能.证明如下:设直角三角形的三边长分别为3k,4k,5k(k>0),则S=12·3k·4k=6k2,所以k2=S6,所以k=√S6.21.【解析】∵AC=4,BC=2,AB=2√5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°.分三种情况讨论:如图1,AB=BD,∠ABD=90°,过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E,则∠ABC+∠DBE=90°,又∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DBE,∴△ACB≌△BED,∴BE=AC=4,DE=BC=2,∴CE=6.在Rt△CDE中,由勾股定理得CD=√CE2+DE2=2√10.如图2,AB=AD,∠BAD=90°,过点D作DF⊥CA,交CA的延长线于点F,同理可证△ACB≌△DFA,同理可得CD=2√13.如图3,AD=BD,∠ADB=90°,过点D作DG⊥CB,交CB的延长线于点G,过点A作AH⊥GD,交GD的延长线于点H,同理可证△AHD≌△DGB,∴AH=DG,DH=BG.设BG=x,则CG=2+x,AH=DG=4-x,易知CG=AH,∴2+x=4-x,解得x=1,∴CG=3,DG=3,在Rt△CGD中,由勾股定理,得CD=√CG2+DG2=3√2.因此,线段CD的长为2√10或2 √13或3√2.解答此题的关键是通过作图,画出三种可能情况,再逐一进行讨论求解.①是②根据勾股定理,得CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,∴CD2=CB2-CA2=(CD2+4)-(CD2+1)=3,∴CD=√3.深入探究AD=CB.证明如下:∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,CA>CB,∴CA2-CB2=CD2,∴CA2-CD2=CB2.∵CA2-CD2=AD2,∴AD2=CB2,∴AD=CB.推广应用如图,过点A作AG⊥DE于点G,∵等腰三角形ABC为勾股高三角形,且AB=AC>BC,∴AC2-BC2=CD2,由深入探究中的结论,可知AD=BC.∵ED∥BC,∴∠ADE=∠B.又∠AGD=∠CDB=90°,∴△AGD≌△CDB,∴DG=BD.易知△ADE为等腰三角形,∴ED=2DG=2BD.又AB=AC,AD=AE,∴BD=EC=a,∴ED=2a.。
2020-2021学年人教新版八年级下册数学《第17章 勾股定理》单元测试卷(有答案)
二．填空题
8．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，若三边关系为 a2+c2＝b2，则
是
直角．
9．在 Rt△ABC，∠C＝90°，如果 b＝8，a：c＝3：5，则 c＝
．
10．一座桥横跨一江，桥长 24m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达
南岸以后，发现已偏离桥南头 7m，则小船实际行驶
故答案为：（3 + ）cm．
14．解：∵AD 是中线，AB＝13m，BC＝10m，
∴BD＝ BC＝5m．
∵52+122＝132，即 BD2+AD2＝AB2， ∴△ABD 是直角三角形，则 AD⊥BC，
∴S△ABC＝ ×AD×BC＝ ×10×12＝60（m2），
∵种植每平方米花草需要 50 元， ∴种植这块三角形空地需要：50×60＝3000（元）． 故答案为：3000． 15．解：∵m2﹣n2＝p2， ∴n2+p2＝m2， ∴以这三条线段为边组成的三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 三．解答题 16．解：△ACD 是直角三角形．理由是： ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝9+16＝25，∴AC＝5， 又∵AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD 是直角三角形．
2020-2021 学年人教新版八年级下册数学《第 17 章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题 1．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角 形的较长直角边为 a，较短直角边为 b，则 a4+b4 的值为（ ）
2021-2022学年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题测试试题(含答案解析)
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD BC的长为（）A B C．D．2、如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm3、如果线段,,a b c 能构成直角三角形，则它的比可能是（ ）A ．1:2:4B ．5:12:13C ．1:3:5D ．3:4:74、梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（ ）A ．6米B ．7米C ．8米D ．9米5、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为（ ）A B ．2 C D ．36、小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．12mC ．15mD ．18m7、如图，在等腰1Rt OAA 中，190OAA ∠=︒，1OA =，以OA 1为直角边作等腰12Rt OA A ，以OA 2为直角边作等腰23Rt OA A ，则2n OA 的长度为（ ）A ．2nB ．C ．2nD ．28、在棱长为1的正方体中，顶点A ，B 的位置如图所示，则A 、B 两点间的距离为（ ）A．1 B C D9、以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7 B．5，12，14 C．2，2，4 D．6，8，1010、如图，数轴上点A所表示的数是（）A B C D 1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，一个圆柱形工艺品高为16厘米，底面周长12厘米，现在需要从下底的A处绕侧面一周，到上底B（A的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少____厘米．2、如图，Rt△ABC中，AB92，BC＝3，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 _____．3、如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，B（﹣6，0），则点A的坐标为_____．4、如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是______cm．5、如图，在等边ABC中，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得CD CE=，延长DE交AB于点F，则DEFE=______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒，M 是BC 的中点，MN AB ⊥，垂足为点N ，D 是BM 的中点，连接AD ，过点B 作BC 的垂线交AD 的延长线于点E ，若BE =BN 的长为________．2、如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．3、等腰Rt △ABC ，CA ＝CB ，D 在AB 上，CD ＝CE ，CD ⊥CE ．（1）如图1，连接BE ，求证：AD ＝BE ．（2）如图2，连接AE ，CF ⊥AE 交AB 于F ，T 为垂足，①求证：FD ＝FB ；②如图3，若AE 交BC 于N ，O 为AB 中点，连接OC ，交AN 于M ，连FM 、FN ，当FMN S =OF 2+BF 2的最小值．4、（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为()2a b +，也可表示为2142c ab +⨯，即()22142a b c ab +=+⨯=，所以222+=a b c ． （尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中BCA ADE △△≌，90C D ∠=∠=︒，根据拼图证明勾股定理．（定理应用）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：222244a c a b c b +=-．5、已知a，b，c是△ABC的三边长，如果2-+-，试判断△ABC的形状．c b(5)|12|0---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】根据∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD判断出DB＝DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．【详解】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠DAB，∴BD＝AD在Rt△ADC中，∠C＝90°，∴DC∴BC＝BD+DC故选：B．【点睛】本题考查了等角对等边，勾股定理，求得BD AD=是解题的关键．2、D【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．【详解】15(cm)=，则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：18−15=3(cm)；当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18−12=6（cm），即铅笔在笔筒外面最长不超过6cm，从而铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm，不超过6cm．所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意；故选：D【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．3、B【分析】根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方．【详解】解：A、12＋22＝5≠42，故不是直角三角形．故选项错误；B、52＋122＝169＝132，故是直角三角形，故选项正确；C 、12＋32＝10≠52，故不是直角三角形．故选项错误；D 、32＋42＝9＋16＝25≠72，故不是直角三角形．故选项错误．故选：B ．【点睛】考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形．4、C【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可．【详解】解：如图所示：AB =10米，BC =6米，由勾股定理得：AC 米．故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．5、B【分析】首先由勾股定理得AB ，AC ，BC 的三边长，从而有AB 2+AC 2＝BC 2，得∠BAC ＝90°，再根据S △ABC 1122AC AB BC AD =⋅=⋅，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=AC BC5=，∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC1122AC AB BC AD =⋅=⋅，5AD=⨯，∴AD＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．6、C【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC＝8m，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，故AB＝15m，即旗杆的高为15m．故选：C．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．7、C【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．【详解】解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA11；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1，OA21=2=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA32=3；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3OA4OA3=4=4，∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴A4A5=OA4=4，OA54=5．OA的长度为2n=2n，∴2n故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．8、C【分析】根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC=可得：AB=故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，得出正方体上A、B两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．9、D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、42+72≠82，故不为直角三角形；B、52+122≠142，故不为直角三角形；C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、62+82=102，能构成直角三角形；故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．10、D【分析】先根据勾股定理计算出BC BA＝BC AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，∴BC∴BA＝BC∴AD2，∴OA ＝21，∴点A 1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．二、填空题1、20【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个矩形，然后利用两点之间线段最短可得AB '的长即是金丝的最短路线长，然后由勾股定理求解即可．【详解】解：解：沿AB 剪开可得矩形，如图所示：∵圆柱的高为16厘米，底面圆的周长为12厘米，∴A B ''=AB =16厘米，AA '=12厘米，在Rt AA B ''△中，2222121620AB A A A B ''''=+=+=，即金丝的最短路线长是：20厘米．故答案为：20．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．2、2【分析】根据题意，设BN x =，由折叠92DN AN x ==-，在Rt BDN 利用勾股定理列方程解出x ，就求出BN 的长．【详解】∵D 是CB 中点，3BC =， ∴32BD =，设BN x =，则92DN AN x ==-，在Rt BDN 中，222BN BD DN +=，22239()()22x x +=-， 解得：2x =，∴2BN =．故答案是：2．【点睛】本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长．3、（﹣3，4）【分析】过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，根据AB ＝AO ，AC ⊥BO ，得OC ＝132OB =，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC ＝4，即可求出点A 的坐标．【详解】解：如图，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，∵B（﹣6，0），∴OB＝6，∵AB＝AO，AC⊥BO，∴OC＝132OB=，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC4=，∴A（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．4、45【分析】设水深h厘米，则AB h=，30AC h=+，60BC=，利用勾股定理计算即可．【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h厘米，由题意得：Rt ABC中，AB h=+，=，30AC hBC=，60由勾股定理得：222=+，AC AB BC即()222h h+=+，3060解得45h=．故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键．5、2【分析】由已知可得DF⊥AB，∠D＝∠AEF＝30°，设AF＝x，根据含30°角的直角三角形性质和勾股定理算出线段长即可．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠A＝60°，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠CED+∠D，∵CD＝CE，∴∠CED ＝∠D ＝12∠ACB ＝30°，∴∠AEF ＝∠CED ＝30°，∴∠AFE ＝180°﹣∠A ﹣∠AEF ＝90°，∴设AF ＝x ，则AE ＝2x ，∴EF =，∵点E 为AC 的中点，∴AB ＝AC ＝BC ＝4x ，∴BF ＝3x ，∵CD ＝CE ，∴BD ＝6x ，∴DF ==，∴ED ＝，∴2D E FE =． 故答案为：2．【点睛】本题考查等边三角形与直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形与直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用是解题关键．三、解答题1、【分析】连接AM ，由△BDE ≌△MDA ，可证AM=BE =ABM =∠ACM =30°，然后根据含30°角的三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：连接AM ，∵AB =AC ，M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ．∵MN AB ⊥，∴∠AMD =∠DBE =90°．∵D 是BM 的中点，∴BD =DM ．在△BDE 和△MDA 中BDE ADM BD DMDBE AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩， ∴△BDE ≌△MDA ，∴AM=BE =∵AB =AC ，120BAC ∠=︒，∴∠ABM =∠ACM =30°，∴AB =2AM=∴BM∵∠ABM =30°，∴MN∴BN【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解答本题的关键．2、3米【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x 米，则斜边为（8-x ）米．利用勾股定理解题即可．【详解】解：由题意知BC ＋AC ＝8，∠CBA ＝90°，∴设BC 长为x 米，则AC 长为（8x -）米，∴在Rt△CBA 中，有222BC AB AC +=，即：22)8(16x x -=+，解得：3x =，∴竹子折断处C 与根部的距离CB 为3米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．3、（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE ，从而利用全等三角形的性质即可得出结论；（2）①过点D 作DH ⊥CF 于H ，过点B 作BG ⊥CF ，交CF 的延长线于G ，首先证明△ACT ≌△BCG 及△DCH ≌△ECT ，得到CT ＝BG ，CT ＝DH ，通过等量代换得出DH ＝BG ，再证明△DHF ≌△BGF ，则可证明结论；②首先利用等腰三角形的性质和ASA 证明△AOM ≌△COF ，则有OM ＝OF ，然后利用等腰直角三角形的性质得出FKBF ，然后利用三角形的面积得出OF×BF ＝式求解即可．【详解】证明：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC ，∴∠ACB =90°，∵CD ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ；（2）①如图2，过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，∵CF⊥AE，∴∠ATC=∠ATF=90°，∴∠ACT+∠CAT＝90°，又∵∠ACT+∠BCG＝90°，∴∠CAT＝∠BCG，90CAT BCG ATC CGB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ACT ≌△CBG （AAS ），∴CT ＝BG ，同理可证△DCH ≌△ECT ，∴CT ＝DH ，∴DH ＝BG ，在△DHF 和△BGF 中，90DFH BFG DHF BGF DH BG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△DHF ≌△BGF （AAS ），∴DF ＝BF ；②如图3，过点F 作FK ⊥BC 于K ，∵等腰Rt △ABC ，CA ＝CB ，点O 是AB 的中点，∴AO ＝CO ＝BO ，CO ⊥AB ，∠ABC ＝45°，∴∠OCF +∠OFC ＝90°，∵AT ⊥CF ，∴∠ATF =90°，∴∠OFC +∠FAT ＝90°，∴∠FAT ＝∠OCF ，90MAO FCO OA OCAOM COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△AOM ≌△COF （ASA ），∴OM ＝OF ，又∵CO ⊥AO ，∴∠OFM ＝∠OMF ＝45°，222MF OF OM =+，∴∠OFM ＝∠ABC ，MFOF ，∴MF //BC ，∴∠MFK =∠BKF =90°，∵∠ABC ＝45°，FK ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠BFK ＝45°，∴FK ＝BK ，∵222BF FK BK =+，∴FK， ∵S △FMN ＝∴12×MF ×FK ＝BF ＝∴OF ×BF ＝，∵（BF ﹣OF ）2≥0，∴BF 2+OF 2﹣2BF ×OF ≥0，∴BF 2+OF 2∴BF 2+OF 2的最小值为．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形面积，完全平方公式等等，掌握等腰直角三角形的性质与判定和全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．4、尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析【分析】尝试探究：根据全等三角形性质，得BAC AED ∠=∠，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得90BAE ∠=︒；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明222+=a b c ；定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成222244a c a b c b +=-证明．【详解】尝试探究：∵BCA ADE △△≌，∴BAC AED ∠=∠．∵90D ∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒．∴90DAE BAC ∠+∠=︒．∵180BAC AED BAE ∠+∠+∠=︒．∴90BAE ∠=︒． ∵直角梯形的面积可以表示为()212a b +，也可以表示为211222ab c ⨯+， ∴()221112222a b ab c +=⨯+， 整理，得222+=a b c ．定理应用：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∴222+=a b c ；∵2222a c a b +()222a c b =+．44c b -()()()2222222c b c b a c b =+-=+∴222244a c a b c b +=-．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．5、直角三角形，理由见解析【分析】根据非负数的性质求得a 、b 、c 的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 的形状．【详解】解：△ABC 是直角三角形．理由：∵2(5)|12|0c b -+-=，∴2(5)|12|0c b -+-=，∴50c -=，120b -=，130a -=，∴5c =，12b =，13a =，∵22251216913+==，∴222c b a +=，∴ABC ∆是以a 为斜边的直角三角形；【点睛】本题考查了配方法的应用及非负数的性质和勾股定理的逆定理，解题的关键是利用非负数的性质确定三个未知数的值．。
第十七章 勾股定理 单元测试卷-2020-2021学年数学八年级下册-人教版(含答案)
第十七章勾股定理单元测试卷-2020-2021学年数学八年级下册-人教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（）A.只有①②③B.只有①②④C.只有③④D.只有②③④2、如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（）A.11B.15C.10D.223、如图，将一根长25cm的细木棒放入长、宽、高分别为的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（）cmA.20B.15C.10D.54、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则的长为（）A. B. C. D.5、如图，一个无盖长方形盒子的长宽高分别是4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒项的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（）A.5cmB.8cmC.10cmD.26、如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P 的距离为（）A.60 n mileB.60 n mileC.30 n mileD.30n mile7、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的中，长为无理数的边有（）A.0条B.1条C.2条D.3条8、如图，在中，为边的中点，于点，，，，则（）A.60°B.75°C.90°D.105°9、在满足下列条件的中，不是直角三角形的是（）A. B. C.D.10、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则tan∠B＝（）A. B. C. D.11、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB²+BC²+AC²=（）A.2B.4C.6D.812、如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（）．A.1B.2C.4D.813、由下列条件不能判定为直角三角形的是（）A. B. C.D.14、已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A.②B.①②C.①③D.②③15、如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形Q的边长为13，正方形N的边长为12，则正方形M的面积为( )A.5B.17C.25D.18二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AB与⊙O相切于点B，连接AO并延长，交⊙O于点C，连接BC，若OA=2OC=2，则AB=________.17、在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝5，则AB的长为________.（结果保留根号）18、如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，，，，，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，…，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为________．（为正整数）19、如图，正方形ABCD的边长为3，点0是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为________．20、如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________．21、如图，长方体的底面边长分别为和，高为.若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径的长度是________ .22、如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=________cm．23、已知△ABC中，AB= ；BC=6；CA= .点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是________.24、有一棵米高的大树，树下有一个米高的小孩，如果大树在距地面米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树________米之外才是安全的．25、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝8，BC＝6，则线段MM′的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．28、如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）29、请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．30、如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为8m，宽AB为1m，该隧道内设双向行驶的车道(共有2条车道)，若现有一辆货运卡车高4m，宽2.3m。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理经典好题专题训练
2020-2021年度人教版八年级数学下册第17章勾股定理经典好题专题训练（附答案）1．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A．8，10，12B．3，4，5C．5，12，13D．7，24，252．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）A．S△ABC＝10B．∠BAC＝90°C．AB＝2D．点A到直线BC的距离是23．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50B．16C．25D．414．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14B．13C．14D．145．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形6．若△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12cm，则BC的长为（）A．14cm B．4cm C．14cm或4cm D．以上都不对7．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．58．等腰三角形的腰长为10cm，底边上的高是8cm，则该等腰三角形的周长是（）A．12cm B．22cm C．26cm D．32cm9．一等腰三角形底边长为8cm，腰长为5cm，则腰上的高为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm10．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．90B．100C．110D．12111．如图，在△ABC中，AO⊥BC，垂足为O，若AO＝3，∠B＝45°，△ABC的面积为6，则AC边长的平方的值是（）A．10B．8C．6D．1812．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝．13．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，点D在AC上连接BD，BD＝CD，BE为△DBC的角平分线，过AD的中点F作BE的垂线，点G为垂足，若∠BDC＝100°，EG＝2，则BC的长为．14．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，BC+AG＝20，AE＝2EF，则AF＝．15．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD ＝．17．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝°（点A、B、C、D、E 是网格线交点）．18．在直角坐标平面内的两点A（1，6）、B（﹣3，9），那么A、B两点的距离等于．19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，BC＝9，CD＝5，AD＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，△ABP是等腰三角形．20．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，BC＝2CD，AB＝8，CD＝2，AD＝2，则BD的长为．21．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．（1）求证：AB平分∠EAC；（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．22．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm．（1）直接写出AB的长度．（2）设点P在AB上，若∠P AC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上．若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．求：四边形ABDC的面积．24．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．25．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．参考答案1．解：A、∵82+102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；B、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项不符合题意；D、∵72+242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．2．解：A、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；C、∵AB2＝20，∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；D、设点A到直线BC的距离为h，则××2＝×5×h，解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意；故选：A．3．解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，∴CD2+BD2＝BC2＝25，∴阴影部分的面积＝25+25＝50，故选：A．4．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF＝＝14．5．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．6．解：如图（1），AB＝13cm，AC＝15cm，AD⊥BC，则BD＝＝5cm，CD＝＝9cm，则BC＝14cm；如图（2），由（1）得BD＝5cm，CD＝9cm，则BC＝4cm．则BC的长为14cm或4cm．故选：C．7．解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．8．解：如图所示：作AD⊥BC于D，则∠ADB＝90°，∵AB＝AC，BD＝CD，∴BD＝＝＝6（cm），∴BC＝2BD＝12cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+12+10＝32（cm）；故选：D．9．解：如图所示：作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，则∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝BC＝4cm，∴AD＝＝＝3（cm），∵△ABC的面积＝AB•CE＝BC•AD，∴AB•CE＝BC•AD，即5×CE＝8×3，解得：CE＝，即腰上的高为；故选：C．10．解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：则四边形OALP是矩形．∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC，∴PC＝AB，∴OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．故选：C．11．解：∵AO＝3，△ABC的面积为6，∴BC＝4，∵AO⊥BC，∠B＝45°，∴AO＝BO＝3，∴CO＝BC﹣BO＝1，∴AC2＝AO2+CO2＝32+12＝10，故选：A．12．解：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∵BC＝10，BD＝8，∴CD＝＝＝6，设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣6，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴（x﹣6）2+82＝x2，∴x＝，∴AC＝，∴S△ABC＝AC•BD＝××8＝，故答案为：．13．解：∵BD＝CD，∠BDC＝100°，∴∠C＝∠DBC＝40°，∴∠ABC＝2∠C＝80°，∴∠A＝60°，∵BE为△DBC的角平分线，∴∠DBE＝∠CBE＝∠DBC＝20°，∴∠DEB＝∠EBC+∠C＝60°，∴∠A＝∠DEB＝∠ABE＝60°∴△ABE为等边三角形，∴AE＝BE，在BC上截取BQ＝BD，BH＝BE，连接EQ、EH，在△BDE和△BQE中，，∴△BDE≌△BQE（SAS），∴DE＝QE，∠EQB＝∠BDE＝100°，∴∠EQH＝80°，∵BE＝BH，∴∠BEH＝∠BHE＝80°＝∠EQH，∵EQ＝EH＝ED，∠BHE＝∠C+∠HEC，∴∠C＝∠HEC＝40°，∴HE＝HC＝ED，∴BC＝BH+CH＝BE+ED，∵FG⊥BE，∴∠FGE＝90°，在Rt△EGF中，∠FEG＝60°，∴∠EFG＝30°，又∵EG＝2，∴EF＝2EG＝4．∴BE+ED＝AE+ED＝AD+ED+ED＝AD+2ED，∵F为AD中点，∴AD＝2FD，∴BE+ED＝2FD+2ED＝2EF＝8，∴BC＝8．故答案为：8．14．解：延长AF、BC，交于点H，如图：∵AF⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠BAH＝90°，∠AHB＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH＝AB，∵∠BAH＝90°，∠BAG＝45°，∠AHB＝45°，∴∠GAE＝∠BAG＝∠AHB＝45°，∵AC⊥BD，∴∠ABG+∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠HAC＝∠BAH＝90°，∴∠ABG＝∠HAC，在△ABG和△HAC中，，∴△ABG≌△HAC（ASA），∴AG＝HC，BH＝BC+CH＝BC+AG＝20，在等腰直角三角形△ABH中，AH＝AB，∠BAH＝90°，由勾股定理得：AB2+AH2＝BH2，∴AB＝AH＝20，∵AE＝2EF，∴设EF＝x，则AE＝2x，∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∴∠AEG＝∠HFC，∵∠AHB＝∠GAE＝45°，∴∠AGE＝135°﹣∠HFC＝∠FCH，在△AGE和△HCF中，，∴△AGE≌△HCF（AAS），∴FH＝AE＝2x，∴AH＝AE+EF+FH＝5x＝20，解得：x＝4，∴AF＝AE+EF＝3x＝12，故答案为：12．15．解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，∴∠CBG＝∠JGF，在△BCG和△GJF中，，∴△BCG≌△GJF（AAS），∴BC＝GJ，∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，∴BC2＝4，FJ2＝3，∴GJ2＝4，在Rt△GJF中，由勾股定理得：FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，∴正方形BEFG的面积为7．故答案为：7．16．解：在Rt△ACD中，CD＝＝＝3，在Rt△BCD中，BC＝＝，在Rt△ABC中，BC＝＝，∴＝，解得，BD＝9，故答案为：9．17．解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AG2+CG2＝AC2，∴∠CGA＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠CAG＝45°，∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA，在△AFG和△CDE中，，∴△AFG≌△CDE（SAS），∴∠F AG＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCE＝∠CAF﹣∠F AG＝∠CAG＝45°．故答案为：45．18．解：A、B两点的距离＝＝5，故答案为：5．19．解：①当点P在BC上时，如图1，AB＝BP＝4，∴t＝4÷1＝4（秒）；②当点P在CD上时，AP＝BP，过P作PE⊥AB于P，∴AE＝BE，∵∠DAB＝∠ABC＝∠AEP＝90°，∴AD∥EP∥BC，∴DP＝PC＝，∴t＝9+＝11.5（秒）；③当点P在AD上时，AB＝AP＝4，∴PD＝AD﹣AP＝6﹣4＝2，∴t＝9+5+2＝16（秒）；综上，t的值是4秒或11.5秒或16秒时，△ABP是等腰三角形．故答案为：4或11.5或16．20．解：如图，连接AC，过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝2，∵AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∵BC＝2CD＝4，AB＝8，又∵42+（4）2＝82，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBH＝30°，∴CH＝BC＝2，∴DH＝CD+CH＝4，在Rt△BHC中，BH＝＝＝6，在Rt△BHD中，BD＝＝＝2．故答案为：2．21．解：（1）证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠ABE，∴∠CBD＝∠ABE，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠EAB＝∠BAC，∴AB平分∠EAC；（2）∵AD＝1，CD＝3，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴AB＝BC＝＝2，∠C＝45°，过点B作BF⊥AC于点F，如图：则△BCF为等腰直角三角形，∴BF＝CF＝2，∴DF＝CD﹣CF＝1，在Rt△BFD中，由勾股定理得：BD＝＝＝．∴BD的长等于．22．解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm，∴AB＝＝＝20（cm），故答案为：20cm；（2）∵∠P AC＝∠PCA，∴AP＝PC，设AP＝PC＝x，∴PB＝20﹣x，∵∠B＝90°，∴BP2+BC2＝CP2，即（20﹣x）2+152＝x2，解得：x＝，∴AP＝；（3）AM的长为10cm，7cm，12.5cm．如图（1），当CB＝CM＝15时，AM＝AC﹣CM＝25﹣15＝10（cm）；如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CM＝AC＝12.5（cm）；如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H，则BH＝＝12（cm），CH ＝＝9（cm），∴CM＝2CH＝18（cm），∴AM＝AC﹣CM＝7（cm）；综上所述，AM的长为10cm，7cm，12.5cm．23．解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD＝×12×5+×3×4＝36．24．解：（1）a2+b2＞c2，理由如下：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝a﹣x，由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，整理得：a2+b2＝c2+2ax，∵2ax＞0，∴a2+b2＞c2；（2）a2+b2＜c2，理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，设CE＝x，则c2﹣（b+x）2＝BD2＝a2﹣x2，整理得：a2+b2＝c2﹣2bx，∵2bx＞0，∴a2+b2＜c2；（3）连接AC，作DF⊥AC于F，由勾股定理得，AC＝＝100，由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，解得，CF＝30，则DF＝＝60，∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米225．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图3，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得t＝；如图3，若∠ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得t＝．综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．26．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，在△CHB和△AEF中，∵，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2。
2020-2021学年八年级数学人教版下册 第17章勾股定理同步单元解答典型习题
人教版八年级数学下册勾股定理同步单元解答典型习题解答题1.已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形(1)a=1.5,b=2,c=2.5(2)a=11,b=26,c=20(3)a:b:c=25:7:24.2.如图，在水池中离岸边点D1.5m的点C处有一根垂直于水面的芦苇AB，它高出水面部分BC的长是0.5m，把芦苇拉向岸边，它的顶端B 恰好落到点D，求水的深度AC.3.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝3m，BC ＝4m，CD＝12m，AD＝13m，求这块草坪的面积．4.在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为2+2的△ABC，并求它的面积．5.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，如果CD＝12，AD＝16，BD＝9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由．6.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，交BC于D，AB于E.（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）求AE的长.7.如图，在三角形纸片ABC中，90513∠=︒==，，在AC上取ACB BC AB一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合．（1）AC的长=________．（2）求CE的长8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．9.已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有（a－3）2＋(b－2)2＝0，求该直角三角形的斜边长．10.已知正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F为AD上的一点，AD，试判断△EFC的形状.且AF=1411.已知：如图，在∠ABC中，AB=13，AC=20，AD=12，且AD∠BC，垂足为点D，求BC的长．12.如图，一架梯子长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了多少米？13.如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，A、B、C是三个格点(即小正方形的顶点)．判断AB与BC的关系，并说明理由．(利用勾股定理的相关知识解答)14.图①为一个上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图②.已知展开图中每个正方形的边长均为1.（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度的平方？这样的线段可画几条？（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？15.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF ＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c216.两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图1。
2020-2021学年人教版数学八年级下册期末复习第十七章勾股定理综合习题含答案
人教版八年级数学下册期末复习第十七章勾股定理的综合习题一．选择题（共6小题）1．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+BC2＝AB2B．AB2+BC2＝AC2C．AC2﹣BC2＝AB2D．AC2+AB2＝BC22．在下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5B．7，24，25C．4，5，6D．1，√2，23．下列命题中，逆命题不正确的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形对应角相等D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50B．16C．25D．415．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF=4√3，则QM+QN的长是（）A．4√3B．3√2C．4D．2√36．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B 位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（）A．（√2+√6）海里B．2√3海里C．（√3+1）海里D．2√2海里二．填空题（共6小题）7．在平面直角坐标系中，O为原点，点M（﹣4，3）到原点的距离是．8．已知三角形的两条较短边的长分别为6和8，当第三边的长为时，此三角形是直角三角形．9．已知命题“全等三角形的面积相等．”写出它的逆命题，该逆命题是命题（填“真”或“假”）．10．某人从A处出发沿北偏东30°方向走了100米到达B处，再沿北偏西60°方向走了100米到达C处，则他从C处回到A处至少要走米．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB，BC，AC为边在AB同侧作正方形ABMN，正方形ACDE和正方形BCFG，其中线段DE经过点N，CF与BM交于点P，CD与MN交于点Q，图中阴影部分的面积为．12．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为．三．解答题（共6小题）13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．（1）若a ＝5，b ＝10，求c 的值．（2）若c =54，b ＝1，求a 的值．14．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）如果a ＞b ，那么ac ＞bc ；（3）两个锐角的和是钝角．15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边BC 上的高，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，求AD 的长．16．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的13时，则梯子比较稳定，现有一长度为9m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5m 高的墙头吗？17．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，已知四边形ABCD 的周长为30．（1）求CD 的长；（2）求四边形ABCD 的面积．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝20，BC ＝15，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，设点D 运动的时间为t 秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t 的值．人教版八年级数学下册期末复习第十七章 勾股定理的综合习题参考答案一．选择题（共6小题）1．A ．2．B ．3．C ．4．A ．5．C ．6．A ．二．填空题（共6小题）7．5．8．10．9．面积相等的三角形是全等三角形；假．10．100√2．11．13．12．2√2．三．解答题（共6小题）13．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝10，求c 的值．（2）若c =54，b ＝1，求a 的值．【解答】解：（1）由勾股定理知：c 2＝a 2+b 2＝52+102＝125．则c ＝5√5．（2）由勾股定理知：a 2＝c 2﹣b 2＝（54）2﹣12=916．则a =34．14．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）如果a ＞b ，那么ac ＞bc ；（3）两个锐角的和是钝角．【解答】解：（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题，如：三角形三边可看作为两条直线被第三条直线所截，则同旁内角不互补；（2）如果a ＞b ，那么ac ＞bc 是假命题，如：当c ＝0，则ac ＝bc ；（3）两个锐角的和是钝角是假命题，如：20°和30°的和为锐角．15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边BC 上的高，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，求AD 的长．【解答】解：∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ，∴BD ＝CD ＝3cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD =√AB 2−BD 2=4cm ．16．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的13时，则梯子比较稳定，现有一长度为9m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5m 高的墙头吗？【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的13，且梯子的长度为9米， ∴梯子底端离墙约为梯子长度为9×13=3米， ∴梯子的顶端距离地面的高度为√92−32=√72=6√2，∵6√2＜8.5，∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．答：它的顶端不能到达8.5m 高的墙头．17．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，已知四边形ABCD的周长为30．（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）连接BD∵AB＝AD，∠A＝600，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝6，∠ADB＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠BDC＝90°，∵四边形ABCD周长为30，∴BC+CD＝18，设CD＝x，则BC＝18﹣x，在Rt△BCD中，62+x2＝（18﹣x）2，∴x＝8，∴CD＝8；（2）过点D作DE⊥AB于E，∵AB＝6，∴AE＝BE＝3，∴DE=3√3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD=12×6×3√3+12×6×8，＝9√3+24．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t 的值．【解答】解：（1）由勾股定理得：AC=2+AB2=√152+202=25，当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；（2）△CBD能为直角三角形，理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，∵S△ABC=12×BC×AB=12×AC×BD，∴BD=AB×BCAC=20×1525=12，由勾股定理得：CD=√BC2−BD2=√152−122=9，所以t=92=4.5，②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，t=252=12.5，∴t的值是4.5或12.5。
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2020-2021学年八年级数学下学期《第17章 勾股定理》测试题
一．选择题（共18小题）
1．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A ．2，4，3
B ．2，5，4
C ．5，8，10
D ．6，3.6，4.8
2．如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，已知AB ＝15，AD ＝12，AC ＝13，CD ＝5，则BC
的长为（ ）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．9
3．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，下列条件中，不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）
A ．∠A ＝∠
B +∠C
B ．a ：b ：c ＝1：1：√2
C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5
D ．b 2＝a 2+c 2
4．已知直角三角形ABC 的三条角平分线交于点I ，且此三角形的三边长分别为6、8、10，
则点I 到AB 的距离为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 边上，AD ＝AC ，AE
⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）
A ．1.5
B ．2.5
C ．83
D ．3
6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，
以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）。