第九章第四节相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验
相关性与最小二乘估计
02
最小二乘估计
最小二乘法的起源与原理
起源
最小二乘法最早由法国数学家勒让德于1805年提出，作为解决误差分析问题的数学工具。
原理
最小二乘法基于最小化预测值与实际观测值之间的平方误差和，通过求解线性方程组来找到最佳参数 估计值。
最小二乘估计的步骤
构建模型
根据问题背景和数据特征，选 择合适的数学模型，通常为线 性模型。
对异常值敏感
最小二乘法对异常值比较敏感，异常值可能会对参数估计造成较大影 响。
无法处理非线性关系
最小二乘法只适用于线性回归模型，对于非线性关系的数据无法给出 准确的参数估计。
无法处理分类变量
最小二乘法无法直接处理分类变量，需要将其转化为虚拟变量或哑变 量才能使用。
05
相关性与最小二乘估计的实际应用
相关性系数
计算方法
相关性系数通过计算两个变量之间的皮尔逊积矩相关系数、斯皮尔曼秩相关系数等来获得。
解释
相关性系数的大小和方向可以用来判断两个变量之间的关联程度和方向。
相关性检验
方法
相关性检验通常采用皮尔逊相关系数 检验、斯皮尔曼秩相关检验等统计方 法。
目的
通过相关性检验可以判断两个变量之 间是否存在显著的相关性，以及这种 关系的强度和方向。
相关性与最小二乘估计
• 相关性概念 • 最小二乘估计 • 相关性与最小二乘估计的关系 • 最小二乘估计的优缺点 • 相关性与最小二乘估计的实际应用 • 案例分析
01
相关性概念
定义与性质
定义
相关性描述两个或多个变量之间关系 的强度和方向，通常用相关系数表示。
性质
相关性系数介于-1和1之间，其中1表 示完全正相关，-1表示完全负相关， 0表示无相关性。
变量的相关性、回归分析、独立性检验
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2 110 × （ 15 × 30 － 20 × 45 ） K2的观测值k＝ ≈2.829>2.706， 60×50×35×75
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学 成绩有差异．
n
.
通过求 Q＝ [yi－(b xi＋a )]2 的最小值而得出回
i＝1
归直线的方法， 即求回归直线， 使得样本数据的点到它 的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
－ x· y xiyi－n－
i ＝1
n
(5) 相关系数： r＝
n 2 2 －2 xi －n－ x y2 i －n y i＝1 i＝1
高频考点
课时小结
解析 (1)从甲校抽取 110× 1 000
1 200 1 200＋1 000
＝60(人)，
从乙校抽取 110× 故 x＝10，y＝7.
1 200＋1 000
＝50(人)，
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1学成绩的优秀率为50×100%＝40%. (3)表格填写如图，
甲校 优秀 非优秀 总计 乙校 总计
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
参考数据与公式：
2 n （ ad － bc ） 由列联表中数据计算K2＝ . （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
临界值表
P(K2≥k0) k0 0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
高中全程复习方略配套课件：103相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验
这份配套课件将帮助你全面复习103相关性、最小二乘估计、回归分析、独立 性检验，让你更好地准备高中考试。
103相关性
什么是103相关性？
103相关性是指两个变量X和Y之 间的关系如何。它可以告诉我们 它们之间是否存在某种趋势。
如何计算1Байду номын сангаас3相关系数？
用计算器或Excel可以轻松地计算 103相关系数。输入数据并使用 相应的公式即可。
4 独立性检验
用于确定两个或多个变量之间的关系是否独 立。
学习策略分享
抽时间学习
安排好自己的时间表，将学习 时间分配到每天不同的时间段 中。
集中学习
要集中注意力，避免干扰。可 以选择一个相对安静的地方来 学习。
自我监督
设立目标，并及时反馈自己的 学习情况，让自己的学习更加 高效。
相关系数的取值范围及含义
相关系数的范围从-1到1。如果它 是正的，意味着当一个变量增加 时，另一个变量也会增加。负相 关的情况就相反。
最小二乘估计
什么是最小二乘估计？
最小二乘估计可以用来找到最优拟合曲线，也就是使误差的平方最小的曲线。
如何进行最小二乘估计？
我们可以使用线性回归模型来进行最小二乘估计，通过寻找最小误差的平方和来获得拟合线。
独立性检验通常需要使用图表或 计算机程序进行。您可以使用 SPSS等软件来执行这些操作。
独立性检验的应用场景
独立性检验通常用于问卷调查、 流行病学和财务分析中。
总结
1 104相关性
2 最小二乘估计
两个变量的关系可以通过103相关性来描述。
通过寻找最优拟合曲线来找到最小误差平方 和。
3 回归分析
通过建立训练数据模型来分析两个或多个变 量之间的关系。
第九章 第四节 相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验
分析与独立性检验
9/30/2013
9/30/2013
1.相关性 （1）散点图：在考虑两个量的关系时，为了对_____之间的关 变量 系有一个大致的了解，人们通常将___________的点描出来， 变量所对应 这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间 的散点图.
1.利用统计量χ 2来判断“两个变量X,Y有关系”计算公式为：
2
（A）ad-bc越小，说明X与Y关系越弱
（B）ad-bc越大，说明X与Y关系越强 （C）(ad-bc)2越大，说明X与Y关系越强 （D）(ad-bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
a b c d a c b d
1 2
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【拓展提升】线性相关关系与函数关系的区别 （1）函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如，正 方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．
（2）相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变
量与随机变量之间的关系．例如，商品的销售额与广告费是相
关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
50 13 20－10 7） （ 4.844， 23 27 20 30
2
因为χ 2≥3.841，所以有
答案：95%
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考向 1
相关关系的判断
【典例1】（1）对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，
10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui,vi)(i＝1,
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3.独立性检验
（1）2×2列联表
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：
回归分析与独立性检验
建构数学
• 1.计算公式
相关系数
r=
(x
i=1 n i=1
n
i
- x)(yi - y)
n
x y
i1
n
i i
nxy
_ _
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
_ 2 n _ 2 n 2 2 xi n x yi n y i1 i1
y a bx
其中a+bx是确定性函数， 是随机误差
注： 产生的主要原因：
(1)所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。
正相关
负相关
散点图只是形象地描述点的分布情况，它的“线性”是否 明显只能通过观察，要想把握其特征，必须进行定量的研究
问题：有时散点图的各点并不集中在一条 直线的附近，仍然可以按照求回归直线方 程的步骤求回归直线，显然这样的回归直 线没有实际意义。在怎样的情况下求得的 回归直线方程才有实际意义？ 即建立的线性回归模型是否合理？ 如何对一组数据之间的线性相关程 度作出定量分析？
1
1 5.54 5.54 1
2
2 7.52 15.04 4
3
3 10.02 30.06 9
4
4 11.73 46.92 16
5
5 15.69 78.45 25
6
6 16.12 96.72 36
7
7 16.98 118.9 49
8
8 4.50 21.06 13.08 168.5 64 560.1 204
2
K2 即在 H 0 成立的情况下， 大于6.635概率非常小， 近似为0.010 K2 现在的 =56.632的观测值远大于6.635，
相关性最小二乘估计回归分析与独立性检验
相关性最小二乘估计回归分析与独立性检验一、相关性相关性是指两个变量之间的相互关系程度。
在统计学中，常用的衡量相关性的指标是相关系数。
相关系数可以分为皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
1. 皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）：用于测量两个连续变量之间的线性相关性。
其取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关性。
2. 斯皮尔曼相关系数（Spearman correlation coefficient）：用于测量两个变量之间的单调相关性，适用于变量类型是有序或等级的情况。
与皮尔逊相关系数类似，斯皮尔曼相关系数的取值范围也是[-1,1]。
二、最小二乘估计最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，主要用于线性回归模型。
其思想是通过最小化残差平方和来寻找最优的模型参数。
在回归分析中，最小二乘估计可以帮助我们找到最佳拟合线，使得观测值与预测值之间的差异最小化。
具体而言，最小二乘估计的步骤如下：1.指定一个线性回归模型，并假设模型中的参数。
2.根据观测值和估计的参数计算预测值。
3.计算观测值与预测值之间的差异，即残差。
4.最小化残差平方和，得到最优的模型参数。
最小二乘估计的优点是计算简单，容易理解。
然而，最小二乘估计也有一些局限性，如对异常值敏感等。
三、回归分析回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
在回归分析中，自变量用于预测因变量的取值。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相互作用，并可以用于预测未来值。
回归分析主要有两种类型：线性回归和非线性回归。
线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，而非线性回归假设关系可以是任意的。
回归分析的步骤如下：1.选择回归模型：确定自变量和因变量之间的关系类型。
2.收集数据：收集自变量和因变量的观测值。
3.估计参数：使用最小二乘估计等方法估计回归方程中的参数。
4.检验拟合优度：通过计算残差平方和等指标来评估回归模型的拟合优度。
方法技巧专题25回归分析与独立性检验
方法技巧专题25回归分析与独立性检验回归分析与独立性检验是统计学中常用的两种方法技巧。
本文将从基本概念、执行步骤、解析方法和实际应用等方面详细介绍回归分析与独立性检验。
一、回归分析回归分析是一种用来描述和解释变量之间相互关系的统计方法。
在回归分析中，一个或多个自变量被用来预测或解释一个或多个因变量。
基本概念包括以下几点：1. 自变量（independent variable）：研究者控制和操作的变量，用来预测因变量。
2. 因变量（dependent variable）：研究者感兴趣的变量，也是我们希望预测或解释的变量。
3. 简单线性回归（simple linear regression）：只有一个自变量和一个因变量之间的关系。
4. 多元回归（multiple regression）：有两个或两个以上自变量和一个因变量之间的关系。
执行步骤如下：1.收集数据：收集自变量和因变量的数据。
2.绘制散点图：绘制自变量和因变量之间的散点图，观察两个变量之间的关系。
3.拟合回归线：通过回归线拟合数据，找到自变量和因变量之间的最佳关系。
4.计算回归方程：根据回归线的拟合情况，计算出回归方程，用来预测或解释因变量。
常用解析方法有以下几种：1.最小二乘法：通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的误差平方和，来确定回归方程的参数。
2. 相关系数（correlation coefficient）：用来衡量自变量和因变量之间的线性相关性强弱，常用Pearson相关系数进行计算。
3.回归方程显著性检验：用来判断回归方程是否显著，即自变量是否对因变量有显著影响。
二、独立性检验独立性检验是用来检验两个或多个分类变量之间是否存在相关性的统计方法。
基本概念包括以下几点：1. 分类变量（categorical variable）：变量的取值只能是一些有限的标称级别，而不能用具体的数值表示。
2. 单变量独立性检验（univariate independence test）：只包括一个分类变量和一个因变量的关系。
教学设计2：相关关系、回归分析与独立性检验
10.4 变量间的相关关系考纲传真1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1．两个变量的线性相关(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1（x i－x ）（y i－y ）∑n i ＝1（x i－x ）2＝∑ni ＝1x i y i －n xy ∑ni ＝1x 2i－nx 2，a ^＝y －b ^x .其中(x ，y )称为样本点的中心．3．残差分析(1)残差：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n .e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差．(2)残差平方和为∑ni ＝1 (y i－y ^i )2. (3)相关指数：R 2＝1－错误!． 4．独立性检验(1)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d构造一个随机变量K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．1．(人教A 版教材习题改编)某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200【解析】 由题意回归方程斜率应为负，故排除B ，D ，又销售量应为正值，故C 不正确，故选A.【答案】 A2．(2013·枣庄模拟)下面是2×2列联表：y 1 y 2 合计 x 1 a 21 73 x 2 22 25 47 合计b46120则表中a ，b 的值分别为( ) A ．94，72 B ．52，50 C ．52，74 D ．74，52【解析】 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又a ＋22＝b ，∴b ＝74. 【答案】 C3．(2012·课标全国卷)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1 【解析】 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即y i ＝y ^i ，代入相关系数公式r ＝错误!＝1.【答案】 D4．(2013·济南模拟)考古学家通过研究始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度为________cm.【解析】 根据线性回归方程y ^＝1.197x －3.660， 将x ＝50代入， 得y ＝56.19，则肱骨长度为56.19 cm. 【答案】 56.195．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填有关或无关)．【解析】∵k＝27.63＞6.635，∴有99%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”．【答案】有关相关关系的判断下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？【思路点拨】分析观测数据、制图，分析散点图，做出判断．【尝试解答】(1)散点图如下：(2)①从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．②不会，水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长．,1．利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．2．在散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区域，称为正相关；若散布在从左上角到右下角的区域称为负相关．(2013·九江调研)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1【解析】 对于变量Y 与X ，Y 随着X 的增大而增大， ∴Y 与X 正相关，即r 1＞0.对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小， 故V 与U 负相关，即r 2＜0， 因此r 2＜0＜r 1. 【答案】 C线性回归分析(2013·合肥模拟)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．【思路点拨】 (1)为了方便计算，可将数据适当处理，再列对应表格，求回归系数；(2)根据回归方程进行预测分析．【尝试解答】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257－21－111929对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ^＝（－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5，∴a ^＝y －b ^x ＝3.2，由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 006)＋a ^＝6.5(x －2 006)＋3.2 即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6．5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．,1．解答本题将年份－2006，需求量－257，有利于计算，进而由回归直线方程进行有效地预测分析．2．正确运用计算b ^、a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4(1)试求小李这5天的平均投篮命中率；(2)请你用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率． 【解】 (1)由图表知，5天的平均投篮命中率 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，(2)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴b ^＝－2×（－0.1）＋（－3）×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×（－0.1）（1－3）2＋（2－3）2＋（4－3）2＋（5－3）2＝0.01，a ^＝y －b ^x ＝0.5－0.01×3＝0.47， 故回归直线方程为y ^＝0.47＋0.01x 将x ＝6代入，得y ^＝0.53，∴6号打6小时篮球命中率约为0.53.独立性检验(2012·辽宁高考改编)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图9－4－1将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．已知“体育迷”中有10名女性．(1)试求“体育迷”中的男性观众人数； (2)据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 附：P (K 2≥k ) 0.05 0.01 k3.8416.635K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.【思路点拨】 (1)根据频率分布直方图求“体育迷”人数，进而确定其中男性观众人数．(2)列出2×2列联表，计算K 2的观测值k ，依据独立性检验思想作出判断．【尝试解答】 (1)由频率分布直方图，“体育迷”的频率为(0.005＋0.020)×10＝0.25.∴“体育迷”观众共有100×0.25＝25(名)， 因此，男“体育迷”共有25－10＝15(名)． (2)由(1)列2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k ＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100（30×10－45×15）275×25×45×55＝10033≈3.030. ∵3.030＜3.841.∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．,1．独立性检验的关键是准确的计算K 2，在计算时，要充分利用2×2列联表． 2．独立性检验的步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表． (2)根据公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）计算K 2的观测值k .(3)比较k 与临界值的大小关系作统计推断．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者 男女 需要4030不需要 160 270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）【解】 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)k ＝500×（40×270－30×160）2200×300×70×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．两条规律1.函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，相关关系是非随机变量与随机变量的关系．2．当K 2≥3.841时，则有95%的把握说事件A 与B 有关；当K 2≤2.706时，认为两个分类变量无关．三点注意1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义．2．线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差．3．独立性检验的随机变量K 2的观测值k ＝3.841是判断是否有关系的临界值，K 2的观测值k ≤3.841应判断为没有充分证据显示事件A 与B 有关系，而不能作为小于95%的量化值来判断．从近两年高考看，以考查独立性检验，回归分析为主，多为选择题、填空题，也可能以解答题形式考查，主要以实际问题为背景，考查阅读理解、分析问题、解决问题的能力，在解决一些简单实际问题的过程中考查基本的统计思想．思想方法之十八 利用回归分析思想进行科学预测(2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a (其中b ^＝－20，a ^＝y －b ^x )；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【规范解答】 (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80. 又b ^＝－20.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250， 从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．易错提示：(1)在求回归直线方程时，易因为数据较多，公式结构复杂，计算b ^及a ^的值时容易出错．(2)把回归直线中的b ^和a ^弄颠倒，把回归直线写为y ＝a ^x ＋b ^，导致结果错误． 防范措施：(1)把计算b ^及a ^的公式结构把握好，代入数据，谨慎运算．(2)注意回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^和通常的一次函数y ＝kx ＋b 在系数上的表达习惯不一样，不要把两系数弄颠倒．1．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg【解析】 由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本中心点(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．【答案】 D2．(2013·烟台模拟)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，k ＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】 由相关系数K 2的意义，附表所对应的概率为“爱好该运动与性别有关”， ∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 【答案】 C。
高考数学总复习课时提升作业9.4相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验
高考数学总复习课时提升作业9.4相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y=0.01x+0.5,则加工600个零件大约需要的时间为( )A.6.5hB.5.5hC.3.5hD.0.5h【解析】选A.将x=600代入线性回归方程即得A.2.下列关于χ2的说法中正确的是( )A.χ2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B.χ2的值越大,两个事件的相关性就越大C.χ2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合D.χ2的计算公式为χ2=【解析】选C.χ2值是用来判断两个分类变量是否有关系的一个随机变量,并不是适用于任何独立问题的相关性检验.3.某卫生机构对366人进行健康体检,阳性家族史者糖尿病发病的有16人,不发病的有93人;阴性家族史者糖尿病发病的有17人,不发病的有240人,则有的把握认为糖尿病患者与遗传有关系. ( )A.0.1%B.0.5%C.99%D.95%【解析】选D.可以先作出如下列联表(单位:人):糖尿病患者与遗传列联表糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史16 93 109阴性家族史17 240 257总计33 333 366根据列联表中的数据,得χ2=≈6.067>3.841.故有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系.4.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系,调查结果如表所示:杂质高杂质低旧设备37 121新设备22 202根据以上数据,则( )A.含杂质的高低与设备是否改造有关B.含杂质的高低与设备是否改造无关C.设备是否改造不能决定含杂质的高低D.以上答案都不对【解析】选A.由已知数据得到如下2×2列联表:杂质高杂质低总计旧设备37 121 158新设备22 202 224总计59 323 382由公式得χ2=≈13.11,由于13.11>6.635,故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造有关. 5.某著名纺织集团为了减轻生产成本继续走高的压力,计划提高某种产品的价格,为此销售部在10月1日至10月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查,其中该产品的价格x(元)与销售量y(万件)之间的数据如下表所示:日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日价格x(元) 9 9.5 10 10.5 11销售量11 10 8 6 5y(万件)已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系,其回归直线方程为:=-3.2x+,若该集团提高价格后该批发市场的日销售量为7.36万件,则该产品的价格约为( ) A.14.2元 B.10.8元C.14.8元D.10.2元【解析】选D.依题意=10,=8.因为线性回归直线必过样本点的中心(,),所以8=-3.2×10+,解得=40.所以回归直线方程为=-3.2x+40.令y=7.36,则7.36=-3.2x+40,解得x=10.2.所以该产品的价格约为10.2元.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算得χ2≈3.918,P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中,正确结论的序号是.①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;②若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒;③这种血清预防感冒的有效率为95%;④这种血清预防感冒的有效率为5%.【解析】χ2≈3.918>3.841,而P(χ2≥3.841)≈0.05,所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;但检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆,正确序号为①.答案:①7.考古学家通过始祖鸟化石标本发现:其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为y=1.197x-3.660,由此估计,当股骨长度为50cm时,肱骨长度的估计值为cm.【解析】根据线性回归方程y=1.197x-3.660,将x=50代入得y=56.19,则肱骨长度的估计值为56.19cm.答案:56.198.(2015·咸阳模拟)某产品在某零售摊位上的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:由上表,可得线性回归方程y=bx+a中的b=-4,据此模型预计零售价定为15元时,每天的销售量为.【解析】=17.5,=39,因为b=-4,=b+a,所以a=39+4×17.5=109,所以线性回归方程为y=-4x+109,所以当x=15时,y=-4×15+109=49(件).答案:49三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·重庆模拟)假设关于某市的房屋面积x(平方米)与购房费用y(万元),有如下的统计数据:x(平方米) 80 90 100 110y(万元) 42 46 53 59(1)用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a.(假设已知y对x呈线性相关)(2)若在该市购买120平方米的房屋,估计购房费用是多少?【解析】(1)=95,=50,代入公式求得b=0.58,a=-5.1.所以线性回归方程为y=0.58x-5.1.(2)将x=120代入线性回归方程得y=64.5(万元).所以购买120平方米的房屋时,估计购房费用是64.5万元.【加固训练】假定小麦基本苗数x(千棵)与成熟期有效穗数y(千棵)之间存在相关关系,今测得5组数据如下:x(千棵) 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4y(千棵) 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2(1)以x为解释变量,y为预报变量,作出散点图.(2)求y与x之间的线性回归方程.【解析】(1)散点图如图所示:(2)由散点图可以看出x与y之间具有线性相关关系,设线性回归方程为y=bx+a. 计算可得b≈0.291,a≈34.664.故所求线性回归方程为y=0.291x+34.664.10.(2015·宜春模拟)“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目.选手面对1-4号4扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段:20～30;30～40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.(1)写出2×2列联表:判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关?说明你的理由.(2)现计划在这次场外调查中按年龄段选取6名选手,并抽取3名幸运奖项,求至少有一人年龄在20～30岁之间的概率.【解析】(1)2×2列联表如下正确错误合计20～30(岁) 10 30 4030～40(岁) 10 70 80合计20 100 120根据列联表所给的数据可得χ2==3,因为3>2.706,所以有90%的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关.(2)按照分层抽样方法可知:20～30(岁)抽取:6×=2(人);30～40(岁)抽取:6×=4(人),在上述抽取的6名选手中,年龄在20～30(岁)有2人,年龄在30～40(岁)有4人. 年龄在20～30(岁)记为(A,B);年龄在30～40(岁)记为(a,b,c,d),则从6名选手中任取3名的所有情况为:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)共20种情况.其中至少有一人年龄在20～30情况有:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),共16种情况.记至少有一人年龄在20～30岁为事件C,则P(C)==.所以至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为.(20分钟40分)1.(5分)(2013·福建高考改编)已知x与y之间的几组数据如下表:x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为y′=b′x+a′,则以下结论正确的是( ) A.b>b′,a>a′ B.b>b′,a<a′C.b<b′,a>a′D.b<b′,a<a′【解题提示】审题时,要注意“直线方程”和“回归方程”的区别.【解析】选C.过(1,0)和(2,2)的直线方程为y=2x-2,画出六点的散点图,回归直线的大概位置如图所示,显然b′>b,a>a′.2.(5分)(2015·吉林模拟)某社区医院为了了解社区老人与儿童每月感冒的人数y(人)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月患病(感冒)人数与当月平均气温,其数据如下表:月平均气温x(℃) 17 13 8 2月患病y(人) 24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=-2,气象部门预测下个月的平均气温约为6℃,据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为( )A.38B.40C.46D.58【解析】选C.由表格得(,)为(10,38),因为y=bx+a中的b=-2,所以38=10×(-2)+a,解得:a=58,所以y=-2x+58,当x=6时,y=-2×6+58=46.故选C.【加固训练】某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/吨)的线性回归方程为y=105.492+42.569x.当成本控制在176.5元/吨时,可以预计生产1 000吨钢中,约有吨钢是废品.【解析】因为176.5=105.492+42.569x,所以x≈1.668,即成本控制在176.5元/吨时,废品率约为1.668%.所以生产1 000吨钢中,约有1 000×1.668%=16.68(吨)钢是废品.答案:16.683.(5分)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生,将他们的身高和体重制成2×2的列联表,根据列联表的数据,判断该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系的把握为.【解析】由表可得a+b=5,c+d=15,a+c=7,b+d=13,ad=48,bc=3,n=20,所以χ2==≈5.934,由于5.934>3.841,所以有95%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.答案:95%4.(12分)(2015·大庆模拟)2014年春晚过后,为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系,某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计,得到如下数据:上春晚次数x(单位:次) 2 4 6 8 10粉丝数量y(单位:万人) 10 20 40 80 100(1)若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程,试求回归方程y=bx+a,并就此分析,该演员上春晚12次时的粉丝数.(2)若用(i=1,2,3,4,5)表示统计数据时粉丝的“即时均值”(精确到整数),①求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差;②从“即时均值”中任选3组,求这三组数据之和不超过20的概率.【解析】(1)由题意可知,x i y i=1 980,=220,=(2+4+6+8+10)=6,=(10+20+40+80+100)=50,所以b==12,所以a=-b=50-12×6=-22,所以y=12x-22.当x=12时,y=12×12-22=122.即该演员上春晚12次时的粉丝数约为122万人.(2)经计算可知,这五组数据对应的“即时均值”分别为:5,5,7,10,10.①这五组“即时均值”的平均数为:7.4,则方差为:s2=[2(5-7.4)2+(7-7.4)2+2(10-7.4)2]=5.04.②这五组“即时均值”可以记为A1,A2,B,C1,C2.从“即时均值”中任选3组,选法共有(A1,A2,B),(A1,A2,C1),(A1,A2,C2),(A1,B,C1),(A2,B,C1),(A2,B,C2),(A1,B,C2),(A1,C1,C2) ,(A2,C1,C2),(B,C1,C2)共10种情况,其中和不超过20的情况有(A1,A2,B),(A1,A2,C1),(A1,A2,C2)共3种情况.故所求概率为:P=.5.(13分)(能力挑战题)为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部介于13秒到18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[13,14),第二组[14,15)…第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)设m,n表示样本中两个学生的百米测试成绩,已知m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m-n|>2”的概率.(2)根据有关规定,成绩小于16秒为达标,如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如附表:性别男女总计是否达标达标a=24 b=____ ____不达标c=____ d=12 ____总计____ ____ n=50根据表中数据,能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”?若有,你能否提出一个更好的解决方法来?【解析】(1)成绩在[13,14)的人数有:50×0.04=2人,设为a,b,成绩在[17,18]的人数有:50×0.06=3人,设为A,B,C,m,n∈[13,14)时有ab一种情况.m,n∈[17,18]时有AB,AC,BC三种情况.m,n分别在[13,14)和[17,18]时有aA,aB,aC,bA,bB,bC六种情况.A B Ca aA aB aCb bA bB bC基本事件总数为10,事件“|m-n|>2”由6个基本事件组成.所以P(|m-n|>2)==.(2)依据题意得相关的2×2列联表如下:性别男女总计是否达标达标a=24 b=6 30不达标c=8 d=12 20总计32 18 n=50 χ2=≈8.333>6.635,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”.故可以根据男女生性别划分达标的标准.。
第9章第3节相关性最小二乘估计回归分析与独立性检验
第9章第3节相关性最小二乘估计回归分析与独立性检验首先来看相关性。
相关性是指两个或多个变量之间的关联程度。
相关性可以用相关系数来度量，最常用的是皮尔逊相关系数。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关性。
相关性分析可以帮助我们了解两个变量之间的关系，以及一个变量的变化如何影响另一个变量。
最小二乘估计是一种用于估计回归方程中参数的方法。
回归方程是用来描述一个因变量和一个或多个自变量之间关系的数学模型。
最小二乘估计通过最小化实际观测值和回归方程预测值之间的平方差来找到最佳拟合的回归模型。
最小二乘估计的结果是一组参数估计值，可以用来预测因变量的值。
回归分析是利用回归模型来分析因变量和自变量之间的关系。
回归分析可以用于预测因变量的值，检验自变量对因变量的影响，以及评估模型的拟合度等。
回归分析可以应用于各种领域，如经济学、医学、社会学等。
通过回归分析，我们可以找出自变量对因变量的贡献程度，并使用回归模型进行预测和决策。
独立性检验是用于判断两个或多个变量之间是否存在关联性的方法。
独立性检验通常用于分析分类变量之间的关系。
最常用的独立性检验方法是卡方检验。
卡方检验通过比较实际观测值和期望频数之间的差异来判断两个变量之间是否独立。
如果实际观测值和期望频数之间没有显著差异，可以认为两个变量是独立的；反之，如果有显著差异，则说明两个变量存在关联性。
总结起来，相关性、最小二乘估计、回归分析和独立性检验是统计学中常用的分析变量之间关系的方法。
它们可以帮助我们了解变量之间的关联程度，估计回归方程中的参数，预测因变量的值，判断变量之间是否独立等。
在实际应用中，我们可以根据具体研究问题选择适当的方法来进行分析。
(完整版)回归方程和独立性检验知识点讲解
回归分析和独立性检验一、回归分析1、回归直线方程 a x b yˆˆˆ+= （x 叫做解释变量，y 叫做预报变量） 其中∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb121)())((ˆ＝∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221（由最小二乘法得出，考试时给出此公式中的一个）x b y aˆˆ-= （ 此式说明：回归直线过样本的中心点)(y x ， ，也就是平均值点。
） 2、几条结论：（1）回归直线过样本的中心点)(y x ，。
（2）b>0时，y 与x 正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y 与x 负相关，散点图呈下降趋势。
（3）斜率b 的含义（举例）：如果回归方程为y=2.5x+2， 说明x 增加1个单位时，y 平均增加2.5个单位； 如果回归方程为y=－2.5x+2，说明x 增加1个单位时，y 平均减少2.5个单位。
（4）相关系数r 表示变量的相关程度。
范围：1≤r ，即 11≤≤-rr 越大．，相关性越强．。
0>r 时，y 与x 正相关；0<r 时，y 与x 负相关。
（5）相关指数2R 表示模型的拟合效果。
范围：]10[2，∈R 2R 越大．，拟合效果越好．，（这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布比较均匀， 带状区域宽度越窄，拟合精度越高）。
2R 表示解释变量x 对于预报变量y 变化的贡献率。
例如：64.02≈R ，表明“x 解释了64%的y 变化”，或者说“y 的差异有64%是由x 引起的”。
（6）线性回归模型 e a bx y ++=， 其中e 叫做随机误差。
（y 是由x 和e 共同确定的。
）二、独立性检验1、原理：假设性检验（类似反证法原理）。
一般情况下：假设分类变量X 和Y 之间没有关系，通过计算2K 值，然后查表对照相应的概率P ， 发现这种假设正确的概率P 很小，从而推翻假设，最后得出X 和Y 之间有关系的可能性为(1－P), 也就是“X 和Y 有关系”。
最小二乘法与回归分析
最小二乘法与回归分析最小二乘法是回归分析中最常用的方法之一、通过这种方法，可以找到最佳拟合曲线以描述自变量和因变量之间的关系。
最小二乘法通过最小化误差平方和来确定最佳拟合线。
本文将详细介绍最小二乘法和回归分析的概念、原理和应用。
回归分析是一种统计方法，用于确定两个或多个变量之间的关系。
在回归分析中，通常将一个变量定义为因变量，而其他变量则成为自变量，因为它们被认为是影响因变量的因素。
回归分析的目标是建立一个数学模型来描述因变量和自变量之间的关系。
回归模型通常采用线性方程的形式，可以通过拟合数据点来确定最佳拟合线。
最小二乘法是一种估计参数的方法，用于确定最佳拟合线。
最小二乘法的基本原理是通过最小化残差平方和来确定最佳拟合线。
残差是因变量与回归线之间的垂直距离。
残差平方和表示所有数据点与回归线之间的差异的平方和。
通过最小化残差平方和，可以找到最佳拟合线，使得残差达到最小。
在线性回归分析中，通过最小二乘法可以确定回归线的斜率和截距。
斜率表示因变量在自变量变化一个单位时的变化率，截距表示当自变量为零时的因变量的值。
通过求解最小二乘方程求出斜率和截距的估计值，从而得到回归线的方程。
最小二乘法还可以用于评估回归模型的拟合程度。
通过计算拟合优度和均方根误差，可以判断回归模型的预测能力。
拟合优度是一个介于0和1之间的值，表示因变量的变异程度中可以由自变量解释的比例。
均方根误差衡量了回归模型的预测误差的平均大小。
在实际应用中，最小二乘法和回归分析广泛应用于各个领域。
例如，在经济学中，最小二乘法可以用于分析消费者支出和收入之间的关系；在医学中，最小二乘法可以用于探索药物剂量和治疗效果之间的关系。
最小二乘法还可以用于时间序列分析、预测和趋势分析等领域。
总之，最小二乘法是回归分析中最常用的方法之一、通过最小化残差平方和，可以确定最佳拟合线并评估回归模型的拟合程度。
最小二乘法在实际应用中具有广泛的应用领域，可以帮助我们了解和解释变量之间的关系。
第九章_最小二乘法与回归分析
第九章_最小二乘法与回归分析最小二乘法与回归分析是统计学中一种重要的方法，可以用于分析变量之间的关系以及进行预测。
本文将详细介绍最小二乘法和回归分析的概念、原理以及应用。
最小二乘法是一种用于估计参数的方法，它通过最小化观测值与估计值之间的误差平方和来确定最优参数。
这种方法可以用来建立变量之间的线性关系模型，并通过拟合观测数据来估计模型的参数。
最小二乘法的核心思想是找到最接近观测值的模型，并使观测值与模型之间的误差最小化。
回归分析是一种使用最小二乘法的统计方法，用于研究变量之间的关系。
它基于一组特征变量（自变量）与一个或多个目标变量（因变量）之间的观测值，来预测目标变量的值。
回归分析可以用于探索和建立变量之间的线性关系，然后使用这个关系来预测未来的观测值。
在回归分析中，最常用的模型是线性回归模型。
线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量的值可以通过自变量的线性组合来表示。
该模型的形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn是各个自变量的系数，ε是随机误差。
使用最小二乘法进行回归分析的步骤如下：1.收集观测数据：收集自变量和因变量的观测数据，构建数据集。
2.建立回归模型：基于观测数据，选择合适的自变量，并建立回归模型。
3.估计参数：使用最小二乘法估计回归模型中的参数，使得观测值与估计值之间的误差最小化。
4.检验模型：通过检验回归模型的显著性和拟合优度等指标来评估模型的质量。
5.使用模型：基于建立的回归模型，进行因变量的预测和推断分析。
回归分析在实践中有着广泛的应用。
它可以用于预测销售额、房价、股票价格等经济指标，也可以用于分析医学数据、社会科学数据等领域的问题。
回归分析可以帮助研究者理解变量之间的关系，找出影响因变量的关键因素，并进行相关的决策和策略制定。
总之，最小二乘法与回归分析是一种重要的统计方法，可以用于研究变量之间的关系以及进行预测。
回归分析与独立性检验
回归分析与独立性检验知识要点及解析1.函数关系与相关关系的区别?函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.2.回归公式∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iix n xyx n y x x x y yx x b1221121)())((ˆ x b y a ˆˆ-= a x b yˆˆˆ+= 3.回归分析的步骤?回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法， 其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.4.回归直线的性质 a x by ˆˆ+= ⑴回归直线 过样本点的中心()y x ,其中解释变量x 的平均数为: ∑==n i i x n x 11 预报变量y 的平均数为： ∑==ni i y n y 11⑵回归直线的斜率的估计值bˆ的意义:解释变量x 每增加一个单位,预报变量y 就增加bˆ个单位. 5.求线性回归方程的五个步骤： ⑴计算y x x y x 、、、2⑵计算∑=ni ii yx 1⑶计算∑=ni ix12⑷代入系数公式求bˆ⑸代入公式计算a ˆ 例题1：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的能耗y (吨标准煤)的几组数据:⑴画出散点图;⑵求出线性回归方程a x b yˆˆˆ+= ⑶已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)问求出的线性回归方程预测(估计)生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?例题2：从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表所示:⑴画出散点图;⑵求出根据身高预报体重的回归方程a x b yˆˆˆ+= ⑶根据以上回归方程预测一名身高为172cm 的女大学生的体重.例题3：下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，由散点图可知：用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程为a x yˆ7.0ˆ+-=, 请你预测该厂5月份的用水量大约为多少百吨?6.线性回归模型y=bx+a+e 中随机误差e 产生的原因?⑴选用的函数模型不恰当引起的误差 ⑵忽略了某些因素的影响 ⑶存在观测误差 7.如何发现数据中的错误?先分别计算出残差a x b y y y e ii i i ˆˆˆˆ--=-=然后选取横坐标为编号或解释变量x 或预报变量y,纵坐标为残差,作出残差图;最后观察:如果样本点的残差较大(落在带状区域外),说明数据的采集有可能错误。
回归分析基本方法最小二乘法课件
最小二乘法的数学模型
最小二乘法的数学模型通常表示为线性方程组，其中包含自变量和因变量之间的 关系。
该方程组可以通过矩阵形式表示，以便于计算和分析。
最小二乘法的求解过程
数据准 备
01
02
数据收集
数据清洗
03 特征选择
模型建立
确定模型形式
拟合模型
模型诊断
模型评估
准确性评估
、 。
解释性评估
鲁棒性评估 预测性能评估
VS
在金融数据分析中，最小二乘法可以 通过对历史金融数据进行线性回归分 析，找到金融市场的变化规律和趋势， 从而进行投资决策和风险管理。这种 方法在股票、债券、期货等领域有广 泛应用。
生物统计学
总结
最小二乘法的原理 最小二乘法的应用 最小二乘法的优缺点
展望
01
最小二乘法的改进方向
02
与其他方法的比较与结合
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
无法处理非线性关系
无法处理分类自变量
时间序列预测
金融数据分析
金融数据分析是指利用统计学和数据 分析方法对金融数据进行处理和分析 的过程。最小二乘法可以用于拟合金 融数据，建立金融模型，从而进行风 险控制、投资决策等。
• 回归分析简介
• 最小二乘法的实现步骤 • 最小二乘法的优缺点 • 最小二乘法的应用案例 • 总结与展望
回归分析的定义 01 02
回归分析的分类
线性因果关系研究 数据解释
最小二乘法的定 义
它常用于回归分析中，通过最小化预 测值与实际观测值之间的误差平方和， 来估计最佳参数。
回归方程和独立性检验知识点
回归分析和独立性检验一、回归分析1、回归直线方程 a x b yˆˆˆ+= x 叫做解释变量,y 叫做预报变量其中∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb121)())((ˆ＝∑∑==--n i ini ii x n x yx n yx 1221由最小二乘法得出,考试时给出此公式中的一个x b y aˆˆ-= 此式说明：回归直线过样本的中心点)(y x ， ,也就是平均值点; 2、几条结论：1回归直线过样本的中心点)(y x ，;2b>0时,y 与x 正相关,散点图呈上升趋势；b<0时,y 与x 负相关,散点图呈下降趋势; 3斜率b 的含义举例：如果回归方程为y=+2, 说明x 增加1个单位时,y 平均增加个单位； 如果回归方程为y=－+2,说明x 增加1个单位时,y 平均减少个单位; 4相关系数r 表示变量的相关程度; 范围：1≤r ,即 11≤≤-rr 越大．,相关性越强．;0>r 时,y 与x 正相关；0<r 时,y 与x 负相关;5相关指数2R 表示模型的拟合效果; 范围：]10[2，∈R 2R 越大．,拟合效果越好．,这时：残差平方和越小,残差点在带状区域内的分布比较均匀,带状区域宽度越窄,拟合精度越高;2R 表示解释变量x 对于预报变量y 变化的贡献率;例如：64.02≈R ,表明“x 解释了64%的y 变化”,或者说“y 的差异有64%是由x 引起的”;6线性回归模型 e a bx y ++=, 其中e 叫做随机误差;y 是由x 和e 共同确定的;二、独立性检验1、原理：假设性检验类似反证法原理;一般情况下：假设分类变量X 和Y 之间没有关系,通过计算2K 值,然后查表对照相应的概率P, 发现这种假设正确的概率P 很小,从而推翻假设,最后得出X 和Y 之间有关系的可能性为1－P, 也就是“X 和Y 有关系”;表中的k 就是2K 的观测值,即2K k = 2、2⨯2列联表：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=考试给出部分对照表考试时会给出用到的一部分数据：3、范围：),0(2+∞∈K ； 性质：2K越大．,说明变量间越有关系．．．;三、典型例题123产7吨产品时,消耗的煤约为吨;例2、为了考察某药物预防疾病的效果,现对105人进行试验调查,得到2⨯2列联表;试判断：服用药物和患病之间是否有关系解：105=n ,10=a ,45=b ,20=c ,30=d≈> 提示：运算时尽量先约分化简,再计算所以,有1－＝%的把握认为服用药物和患病之间有关系;。
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课时提升作业(六十四)一、选择题1.下面是2×2列联表:y1y2总计x1 a 21 73x222 25 47总计 b 46 120则表中a,b的值分别为( )(A)94,72 (B)52,50 (C)52,74 (D)74,522.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是( )(A)都可以分析出两个变量的关系(B)都可以用一条直线近似地表示两者的关系(C)都可以作出散点图(D)都可以用确定的表达式表示两者的关系3.(2013·铜陵模拟)相关系数度量( )(A)两个变量之间线性关系的强度(B)散点图是否显示有意义的模型(C)两个变量之间是否存在因果关系(D)两个变量之间是否存在关系4.遗传学研究发现,子女的身高与父母的身高相关,且子女的身高向人类的平均身高靠近,这种现象称为“回归”.现用x(单位:米)表示父母的身高,y(单位:米)表示子女的身高,则在下列描述子女身高与父母身高关系的回归直线中,拟合比较好的是( )5.(2013·新余模拟)若回归方程中的回归系数b=0,则相关系数为( )(A)r=1 (B)r=-1 (C)r=0 (D)无法确定6.(2013·佛山模拟)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则( )(A)r2<r1<0 (B)0<r2<r1 (C)r2<0<r1(D)r2=r17.(2013·鞍山模拟)设(x 1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是( )(A)x和y的相关系数为直线l的斜率(B)x和y的相关系数在0到1之间(C)当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同(D)直线l过点(,)8.(2013·九江模拟)已知数组(x1,y1),(x2,y2),…,(x10,y10)满足线性回归方程y=a+bx,则“(x0,y0)满足线性回归方程y=bx+a”是“x0=,y0=”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)得到回归直线方程y=a+bx,那么下面正确说法的序号是( )①直线y=a+bx必经过点(,);②直线y=a+bx至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)中的一个点;③直线y=a+bx的斜率b=;④直线y=a+bx和各点(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)的偏差[y i-(bx i+a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的.(A)①②③(B)②③④(C)①③④(D)①②④10.(2013·安庆模拟)某著名纺织集团为了减轻生产成本继续走高的压力,计划提高某种产品的价格,为此销售部在10月1日至10月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查,其中该产品的价格x(元)与销售量y(万件)之间的数据如表所示:日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日价格x(元) 9 9.5 10 10.5 1111 10 8 6 5销售量y(万件)已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系,其回归直线方程为:y=a-3.2x,若该集团提高价格后该批发市场的日销售量为7.36万件,则该产品的价格约为( )(A)14.2元(B)10.8元(C)14.8元(D)10.2元二、填空题11.(2013·芜湖模拟)许多因素都会影响贫穷,教育也是其中之一,在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据,建立的回归直线方程为y=0.8x+4.6,斜率的估计值等于0.8说明,成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数(填“大于0”或“小于0”).12.(2013·南昌模拟)对一些城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查后知,y与x具有相关关系,满足回归方程y=1.562+0.66x.若某被调查城市的居民人均消费水平为7.675(千元),则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为%(结果保留两个有效数字). 13.在500人身上试验某种血清预防感冒的作用,把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较,结果如表所示.问:能否有99%的把握认为该种血清(填“能”或“不能”)起到预防感冒的作用.未感冒感冒总计258 242 500使用血清未使用血清216 284 500总计474 526 1 00014.(能力挑战题)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x 1 2 3 4 5命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小李这5天的平均投篮命中率为;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为.三、解答题15.某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造前的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件.根据所给数据:(1)写出2×2列联表;(2)判断产品是否合格与设备改造是否有关.答案解析1.【解析】选C.∵a+21=73,∴a=52,又a+22=b,∴b=74.2.【解析】选C.给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,但不一定能分析出两个变量的关系,更不一定符合线性相关或函数关系,故选C.3.【解析】选A.相关系数是度量两个变量之间线性关系强弱程度的.4.【思路点拨】描述子女身高与父母身高关系的回归直线中,拟合效果越好,则两条直线的倾斜角越接近,我们逐一分析四个图形,寻找四个答案中直线的倾斜角最接近的图象,即为答案.【解析】选B.回归直线拟合效果越好,则两条直线的倾斜角越接近,我们逐一分析四个图形,直线的倾斜角最接近的图象为B,故选B.5.【解析】选C.因为回归系数b的计算公式与相关系数r的计算公式中分子相同,故b=0时有r=0.6.【思路点拨】先根据数据作出X与Y及U与V的散点图,再根据散点图判断出变量之间的正负相关性. 【解析】选C.结合散点图可得:变量X与Y成正相关,变量V与U成负相关,故r1>0,r2<0.7.【思路点拨】根据最小二乘法的有关概念:样本点的中心、相关系数、线性回归方程的意义等进行判断. 【解析】选D.在A中,相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度,直线的斜率表示直线的倾斜程度,它们的计算公式也不相同,故A不正确;在B中,相关系数的值有正有负,还可以是0;当相关系数在0到1之间时,两个变量为正相关,在-1到0之间时,两个变量负相关,故B不正确;在C中,l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关,也不一定是平均分布,故C不正确;由回归直线方程的计算公式=-可知直线l必过点(,),故D正确.8.【解析】选B.x0,y0为这10组数据的平均值,又因为线性回归方程y=a+bx必过样本中心(,),因此(,)一定满足线性回归方程,但满足线性回归方程的除了(,)处,可能还有其他样本点.9.【解析】选C.回归直线y=a+bx经过样本中心点(,),可能不经过(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)中的任何一点,这些点分布在这条直线附近.10.【解析】选D.依题意=10,=8.因为线性回归直线必过样本中心点(,),所以8=-3.2×10+a,解得a=40.所以回归直线方程为y=40-3.2x.令y=7.36,则7.36=40-3.2x,解得x=10.2.所以该产品的价格约为10.2元.11.【解析】由回归方程知a=4.6,b=0.8,再由x,y表示的实际意义可知0.8的含义,相关系数r>0.答案:一个地区受9年或更少教育的百分比每增加1%,收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右大于012.【解析】依题意得,当y=7.675时,有0.66x+1.562=7.675,x≈9.262.因此,可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为≈83%.答案:8313.【思路点拨】在使用该种血清的人中,有=48.4%的人患过感冒;在没有使用该种血清的人中,有=56.8%的人患过感冒,使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大.从直观上来看,使用过血清的人与没有使用过血清的人患感冒的可能性存在差异.【解析】由列联表中的数据,求得χ2=≈7.075.∵7.075>6.635,因此有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用.答案:能【方法技巧】两个分类变量是否有关的直观判断在列联表中,可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比重,和满足条件X=x2的个体中具有Y=y1的个体所占的比重,若两个分类变量无关,则两个比重应差别不大,即≈,因此两个比重和相差越大,两个分类变量有关的可能性就越大.14.【解析】平均命中率=×(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5,而=3,(x i-)(y i-)=(-2)×(-0.1)+(-1)×0+0×0.1+1×0.1+2×(-0.1)=0.1,(x i-)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,于是b=0.01,a=-b=0.47,∴y=0.47+0.01x,令x=6,得y=0.53. 答案:0.5 0.5315.【思路点拨】列表后利用χ2的值进行检验.【解析】(1)由已知数据得合格品不合格品合计设备改造后65 30 95设备改造前36 49 85合计101 79 180(2)∵χ2=≈12.38.由于12.38>6.635,所以有99%以上的把握认为产品是否合格与设备改造有关.【变式备选】对某校学生进行心理障碍测试,得到如下列联表.焦虑说谎懒惰总计女生 5 10 15 30男生20 10 50 80总计25 20 65 110试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大?【解析】对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量,,.由表中数据可得=≈0.863<2.706,=≈6.366>3.841,=≈1.410<2.706所以没有充分的证据显示焦虑与性别有关,有95%的把握认为说谎与性别有关,没有充分的证据显示懒惰与性别有关.。