全主元高斯消去法求矩阵的

确定乘数 m32

a32 a22
1.5 2.5
0.6 ，有
2x1 x2 x3 4 0 2.5x2 1.5x3 4 (3) m32 (2) 0 0 0.6x3 0.6
回代
x3 1, x2 1, x1 1
系数行列式的计算：
例
消元过程
a(k) kk
(k
1, 2,
, n 1)
ai(jk 1)

a(k) ij

mik
a(k kj
)
(i, j k 1, k 2, , n)
bi( k `)

b(k ) i
mikbk(k)

回代过程
上三角形方程组 A(n) x b(n) 求解过程

xn
顺序高斯消去法消元过程: 依从左到右、自上而下的次序将主对角元下方的元素化为零。
1 不作行交换。 2 用不等于零的数乘某行，加至另一行。
用高斯消去法解下列线性方程组
2x1 x2 x3 4

x1

3x2

2x3

6
x1 2x2 2x3 5
解 对 线 性 方 程 组 第 1 次 消 元 ， a11 2 0 ， 确 定 乘 数
为什么列选主：数值不稳定
当高斯消去法的主元
a(k) kk

0
时
,
尽管“当
A
非奇异时，
det A≠0，方程组有唯一解”，也不能实现高斯消去法求
解。 例
0 A 1
1 1
，
A
非奇异，det
A≠0，方程组有
唯一解，但
a (1) 11

0
，不能实现高斯消去法求解。
高斯消去法的主元
a(k) kk
解
3 5 [A,b] 5 7
4 4
4 -1 3 2 2 2
选主元
5 7 3 5 4 4
3 2 4 -1 2 2
5 7 3 2
0 0.8
2.2
-2.2

0 -1.6 -0.4 0.4
选主元
消元过程完成，得到上三角形方程组 再作回代可求得
m21

a21 a11

1 2
0.5 ， m31

a31 a11

1 2
0.5 ，则有
2x1 x2 x3 4 (2) m21 (1) 0x1 2.5x2 1.5x3 4 ，第 2 次消元，a22 2.5 0 ， (3) m31 (1) 0x1 1.5x2 1.5x3 3
即方程组能用顺序高斯消去法求解的充要条件 是系数行列式的顺序主子式非零。
高斯消去法能按顺序进行到底的充要条件是
在原方程组的系数矩阵中如何反映出这个条件呢? A的k阶顺序主子矩阵Ak的行列式
使用条件之二
n阶矩阵A为严格对角占优矩阵是指其每个主对 角元的绝对值大于同一行其他元素绝对值之和，即
一阶严格对角占优矩阵指一个非零数。

u22 x2 u2n xn y2

unn xn yn
2 x1 x2 x3 y1

3x2 5x3 y2

12x3 y3
x1 1 / 2 x2 1 / 2 x3 3 / 2
下三角形方程组
7
7
2 3
行列式的计算：
m为消元过程中交换行的次数。
列主元法的消元 过程
计算过程有2次行交换，故m=2，主元为5，-1.6，2 det A=(-1)2×5×(-1.6)×2=16
定理 系数矩阵为对称严格对角占优，则全是主元。
定理 方程组系数矩阵A为严格对角占优矩阵则可实现用 顺序高斯消去法求解。
顺序高斯消去法的计算量
消元中各步需乘除法次数
第i 步
乘法次数
1
(n 1)2
2
(n 2)2
n 1
合计
1
n (n 1)(2 n 1) 6
除法次数
n 1 n 2
1
n (n 1) 2
3.1.2 列主元高斯消去法
2
4 5 6 10
顺代可求得
y1
1
2 y1 y2
7
3 y1 2 y2 y3 3
y1 1 y2 9 y3 18
上二对角方程组 回代求解，得
4 5

2

0 4
3
3
7 7
下二对角方程组 顺代可求得
7 4 6 0 2
迭代解法: 构造适当的向量序列，用某种极限 过程去逐步逼近精确解。例如：雅可比迭代法、高 斯-赛德尔迭代法等。
上三 角形方程组
4x1 5x2 6x3 10

2 x2
3x3

3

7x3 7
回代求解，得
4 5

2

6 10
3
3
7 7
u11 x1 u12 x2 u1n xn y1
，




a(k) kn
a(k) nn



b(k ) n

(k 1, 2, , n)
矩阵形式
A(k ) x b(k ) ， (k 1, 2, , n)
消元过程
设
主元
a (1) 11

0,
a(2 22
)

0,
,
a(n) nn

0
消元过程
mik

a(k) ik
0
，但绝对值很小时，用绝对值
小的数做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入
误差的扩大。
列选主元高斯消去法 ：避免用绝对值小的元素，作除数。每次 消元前选取一列中绝对值最大的元素作为主元素。用这个主元素 作除数，这样便可以减少舍入误差。
列选主元高斯消去法的优越性，不增加求解过程的运算量，而 大大减小误差。
第3章 线性代数方程组的数值解法
3.1 高斯消去法 3.2 矩阵三角分解法 3.3 平方根法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 迭代法 3.6 迭代法的收敛性 3.7 方程组的形态和误差分析
n个未知量n个方程的线性代数方程组 矩阵形式 Ax=b,其中
或写成
n
aij x j bi
j 1
i 1, 2, , n
例如 n 20 ，乘法次数为1021 。计算量很大！
两类数值解法：
直接解法:假定计算过程没有舍入误差的情况下， 经过有限步算术运算后能求得线性方程组精确解的 方法。经过有限步运算就能求得精确解的方法，但 实际计算中由于舍入误差的影响，这类方法也只能 求得近似解；例如：高斯消去法、三角分解法等。
主元为 2，2.5，0.6 det A = 2×2.5×0.6 = 3
引进记号

a (1) 11

a (1) 12
a(2) 22
a (1) 1n
a(2) 2n




b(1) 1
b(2) 2


A(k )

a(k) kk

a(k kn
)

，

b(k)

bk (k )
经过 k 1次消元后得到增广矩阵 ( A(k) | b(k) ) ，在此增广
矩阵的第
k
列的元素
a , a (k ) (k ) kk k 1,k
,
a(k nk
)
中选取
绝
对值最大的
一个，记为
a(k) rk
，然后交换
(
A(k
)
|
b(k)
)
中的第
k
行与第
r
行后，
再进行第 k 次消元。
例 用列主元高斯消去法求解方程组(用三位有效数字计算)

b(n) n
a(n) nn

b(i) i

n
，（i n 1, n 2,
a(i) ij
x
j

xi

j i 1
a(i) ii
,1 ）
顺序高斯消去法的使用条件 使用条件之一
定理 线性方程组系数矩阵A的顺序主子矩
阵Ak (k=1,2,…,n)非奇异 ，则顺序高斯消去法能
实现方程组的求解。
若矩阵 A 非奇异，方程组有惟一解，可用克莱姆（Cramer）
法则求解
xk
Baidu Nhomakorabea
Dk D
，（ k
1, 2,
,n）
其中 D det A ， Dk 是用向量 b 代替 A 的第 k 列后所得矩阵的行
列式。
克莱姆法则解线性方程组的计算量（乘法次数）
Sn (n 1) n! (n 1) (n 1)!(n 1)
7
0
4

3 3
3.1 高斯消去法
3.1.1 顺序高斯消去法
(按方程和未知量的自然顺序进行)
基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为 上三角形方程组进行求解 。 求解 分成两步：
1.消元过程：用初等行变换将原方程组的系数矩阵 化为上三角形矩阵（简称上三角阵）。
2.回代过程：对上三角形方程组的最后一个方程求 解，将求得的解逐步往上一个方程代入求解。