5.2 Gauss列主元消去法

一般 k ik
k ik 时
I ik ,k I
表示不换行
因此,Gauss列主元消去法的消元过程为 :
Ln1 Iin1 ,n1 L2 I i2 , 2 L1 I i1 ,1 ( A( 1) , b( 1) ) ( A( n ) , b( n ) )
显然
三 、
开始
输入A, b, n, EPS
1 k
(一) 流程图
Gauss
列 主 元 消 去 法 的 算 法 设 计
选取主元素P
|P| EPS
换行
消元
k 1 k
F
F
kn
T
输出无解信息
T T
| A(n, n)| EPS
F
停机
输出解 x
回代求解
(二) 自然语言
1. 输入方程组的维数 n
2. 对于k 1,2,n 1
用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算)
主元
0.000100 A ( A, b) 1
1 1 1 2

l21 10000
1 1 0.000100 4 4 0 1 . 00 10 1 . 00 10
U A 为上三角矩阵
( n)
1 1 1 2
1 n1
即
1 1 l21 l l32 31 L l ln 1, 2 n 1,1 l ln , 2 n ,1
( 1) a11
1 ln 1, 2 ln , 3 1
2 r1 r3 1 108
l21 0.5 l31 0.5108
1.072 5.643 3 3.712 4.623 2 2 3 1
( A( 1) , b( 1) )
绝对值最大 不需换行
2 1.072 5.643 3 0 0.3176 10 0.18015 10 0.5 0 0 . 2 10 0 . 3 10 0 . 1 10
在定理中,可能注意到 可能存在
Dn det An 0
( n) 即ann 0
这对A的LU分解并不影响
但对方程组Ax b用Gauss消去法的回代能否进行起决定作用.
2.Gauss列主元消去法消元过程的矩阵描述 由于Gauss列主元消去法每一步都要选取列主元,因 此不可避免要进行行交换
设第k步消元时, 要将( A( k ) , b( k ) )的第k行与ik 行交换后再消元
Ln1 Iin1 ,n1 L2 I i2 , 2 L1 I i1 ,1 A A( n ) U
上三 角阵
( 4) A L3 I i3 , 3 L2 I i2 , 2 L1 I i1 ,1 A U
例如,当n 4时, 消元过程为
第二章 解线性方程组的直接法
§ 5.2
列主元Gauss消去法
Gauss列主元消去法 一、Gauss列主元消去法的引入
例1.
用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮 点数计算）
0.0001x1 x2 1 x1 x2 2
解: 本方程组的精度较高的解为
x* (1.00010001 ,0.99989999 )T
令 则
推广到一般情形
~ ~ 1 ~ L ( Ln 1 L n2 L2 L1 )
PA LU
仍然为单位 下三角矩阵
单位下三角阵与上三角阵的乘积
上述过程称为矩阵 PA的LU分解
综合以上讨论,有 定理2. 若n阶方阵A为非奇异矩阵 ,即det A 0, 则必存在一个排列矩阵 P、一个单位下三角矩阵 L 和一个非奇异上三角矩 阵U , 使得 PA LU
即
Lk I ik ,k ( A , b ) ( A
(k ) (k )
( k 1 )
,b
( k 1)
)
1 第k行 0 1 I ik ,k 第ik 行 1 0 初等矩阵 1
2.1 A(k , k ) P
控制条件转移精度 EPS
增广矩阵 ( A, b)的元素aij , i 1,2,, n, j 1,2,, n 1
2.2 对于i k , k 1,, n 如果| A(i , k )| |P| 则 A(i , k ) P, i I 0
解: 这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有 小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免
108 A ( A, b) 1 2 2 3 1 3.712 4.623 2 1.072 5.643 3
108 很小, 绝对值最大 的列元素为a13 2 , 因此1,3行交换
L
U
k
Ak LkU k
(i ) det Ak detU k aii i 1
Gauss消去法 可以执行
(i ) aii 0 i 1,2 , , n
det Ak 0 k 1, 2 , , n
定理1. 若n阶方阵A的顺序主子式 Dk det Ak 0,
k 1,2 , , n 1, 则A的LU分解结果A LU存在且唯一
ln ,n 1
1
U A( n )
( 1) ( 1) a12 a1 n (2) (2) a22 a2 n (n) ann

顺序主元
且
(i ) a det A det U ii i 1
n
定义1. 不带行交换的Gauss 消去法的消元过程,产生 一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U,即
因此 从而
Ln 1 L2 L1 ( A( 1) , b( 1) ) ( A( n ) , b( n ) ) Ln 1 L2 L1 A A( n )
1 1 1 ( n) A L LU L L A 1 2 n1
故
L L L L 为单位下三角矩阵
经过回代后可得
(3) b3 0.186 555 41 10 0.367 257 39 x3 ( 3 ) a 33 0.685 138 54
x2
b
(2) 2
a x 0.5 0.18015 10 x3 0.05088607 0.3176 10 a
(2) 23 3 (2) 22
l21 0.0001
回代后得到
x1 1.00 , x2 1.00
这是一个相当不错的结果!
例2.
解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算)
108 1 2 2 3 x1 1 3.712 4.623 x2 2 x 3 1.072 5.643 3
A(i , k ) / A(k , k ) m(i , k ) 对于j k 1,, n 1,
消元
A(i , j ) m(i , k ) * A(k , j ) A(i , j )
3. 如果| A(n, n)| EPS, 则转到7(无解).
4. A(n, n 1) / A(n, n) x(n)
二、Gauss消元过程与系数矩阵的分解
1.Gauss消去法消元过程的矩阵描述
( 1) a11 ( 1) a21 ( 1) ( 1) (A ,b ) a( 1) n1 ( 1) ( 1) a12 a1 n ( 1) ( 1) a22 a2 n ( 1) ( 1) an 2 ann ( 1) b1 ( 1) b2 ( 1) bn
(2)

l32 0.629 722 92
(A ,b )
(2)
2 1.072 5.643 3 0.18015 10 0.5 0 0.3176 10 0 0 0 . 186 555 41 10 0 . 685 138 54
( A( 3 ) , b( 3 ) )
L3 I i3 , 3 L2 I i3 , 3 I i3 , 3 I i2 , 2 L1 I i2 , 2 I i3 , 3 I i3 , 3 I i2 , 2 I i1 ,1 A U
~ 设 L2 I i3 , 3 L2 I i3 , 3 ~ L1 I i3 , 3 I i2 , 2 L1 I i2 , 2 I i3 , 3
选主元
, 否则转2.5
2.3 如果|P| EPS, 则转到 7(输出无解信息 ).
2.4 对于j k , k 1,, n 1
A( k , j ) w
换行
w A( I 0 , j )
A( I 0 , j ) A(k , j )
2.5 如果|P| EPS, 则转到 7(输出无解信息 ). 2.6 对于i k 1,, n,
x1 0.00 , x2 1.00
回代后得到
与精确解相比,该结果相当糟糕 究其原因,在求乘数时用了很小的数0.0001作除数
如果在求解时将1,2行交换,即
1 1 2 A ( A, b) 0.000100 1 1
1 2 1 0 1.00 1.00
行变换相 当于左乘 初等矩阵
由于
a li1 a
(1) i1 (1) 11
i 2,3,, n
令
1 l21 1 L1 l 1 n1
则
L1 ( A , b ) ( A , b )
( 1) ( 1) (2) (2)
仍然为单位 下三角矩阵
P I i3 , 3 I i2 , 2 I i1 ,1
则
初等矩阵的乘积,称为排列阵源自文库
~ ~ P A U L3 L 2 L1 ~ ~ P A U ~ Ln1 L L 2 L1 n 2 ~ ~ 1 ~ PA ( Ln 1 L n2 L2 L1 ) U
( 1) ( 1) ( 1) b1 a12 x2 a13 x3 0.49105820 x1 ( 1) a11
事实上,方程组的准确解为
x* (0.491058227 ,0.050886075 ,0.367257384 )T
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
5. 对于k n 1,,2,1
S 0
xi
bn xn ( n ) ann
b
(i ) i
a
j i 1 (i ) ii
A LU
该过程称之为 矩阵A的LU分解. 由上述分析不难得到
a11 A ak 1 a n1
k阶顺序主子式
A
a1 k k akk ank
1 a( 1) a( 1) a( 1) a1 n 11 1k 1n (k ) (k ) akn lk 1 1 k kakk a kn l l (n) ann 1 a nk n1 nn
显然若令
1 1 Lk lk 1,k ln , k
1 1
则有
Lk ( A( k ) , b( k ) ) ( A( k 1) , b( k 1) )
k 1,2 ,3, , n 1