测度的概念和相关
测度论简要介绍
测度论简要介绍测度论是数学中的一个重要分支，主要研究测度空间及其上的可测集合和测度函数。
测度论在实分析、概率论、数学物理等领域有着广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础理论之一。
本文将简要介绍测度论的基本概念、性质和应用。
一、测度的基本概念1.1 测度空间在测度论中，我们首先要定义测度空间。
测度空间是一个三元组$(X, \Sigma, \mu)$，其中$X$是一个集合，$\Sigma$是$X$上的一个$\sigma$代数，$\mu$是定义在$\Sigma$上的测度。
测度通常用来度量集合的大小，类似于长度、面积和体积等概念。
1.2 可测集合在测度空间中，$\Sigma$中的元素称为可测集合。
对于一个给定的测度空间，我们可以定义一个测度函数$\mu$，用来度量可测集合的大小。
常见的测度包括勒贝格测度、勒贝格-史蒂尔捷斯测度等。
1.3 测度的性质测度函数$\mu$通常具有以下性质：（1）非负性：对于任意可测集合$E$，$\mu(E) \geq 0$；（2）空集的测度为零：$\mu(\emptyset) = 0$；（3）可数可加性：对于任意可数个两两不相交的可测集合$\{E_n\}$，有$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$。
二、测度论的应用2.1 实分析中的应用在实分析中，测度论被广泛应用于研究函数的性质、积分的定义和性质等问题。
勒贝格积分就是建立在测度论的基础上，通过对可测函数的积分来定义积分运算，为实分析提供了坚实的理论基础。
2.2 概率论中的应用在概率论中，测度论也扮演着重要角色。
概率空间可以看作是一个测度空间，样本空间是全集，事件是可测集合，概率测度则是定义在事件上的测度函数。
通过测度论的方法，我们可以建立概率论的基本理论，研究随机变量、随机过程等概率模型。
2.3 数学物理中的应用在数学物理领域，测度论也有着重要的应用。
测度与外测度的区别
测度与外测度的区别在数学中，测度和外测度是两个重要的概念，它们在测度论、实分析等领域有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到度量空间中集合的大小或长度，但它们之间存在着一些明显的区别。
本文将从定义、性质和应用等方面对测度和外测度进行详细的比较，以便更好地理解它们之间的异同。
### 1. 测度的定义与性质**测度**是一种函数，它将集合系统映射到实数集合，用来度量集合的大小。
设X是一个非空集合，Σ是X的幂集（即X的所有子集构成的集合），如果定义在Σ上的函数μ满足以下三个性质，则称μ为X上的一个测度：1. 非负性：对于任意E∈Σ，有μ(E)≥0；2. 空集的测度为0：μ(∅)=0；3. 可数可加性：对于任意可数个两两不相交的集合{Ei}，有μ(∪Ei)=Σμ(Ei)。
测度的定义主要用于度量集合的大小，常见的测度有勒贝格测度、勒贝格-史蒂尔捷斯测度等。
### 2. 外测度的定义与性质**外测度**是一种更一般的测度概念，它可以应用于任意集合，不仅限于幂集。
给定一个集合X，对X的任意子集E，定义一个函数m*，称为E的外测度，如果m*满足以下性质：1. 非负性：对于任意E⊆X，有m*(E)≥0；2. 空集的外测度为0：m*(∅)=0；3. 单调性：若A⊆B，则m*(A)≤m*(B)；4. 可数次可加性：对于任意可数个集合{Ei}，有m*(∪Ei)≤Σm*(Ei)。
外测度的定义更加一般化，适用范围更广，但也更加复杂。
### 3. 测度与外测度的区别1. **定义范围不同**：测度是定义在集合的幂集上的函数，而外测度是定义在任意集合的子集上的函数，因此外测度的适用范围更广。
2. **性质要求不同**：测度要求可数可加性，而外测度只要求可数次可加性，这导致了外测度的性质相对于测度来说更弱一些。
3. **应用领域不同**：测度常用于度量空间中的集合大小，如勒贝格测度用于测量实数集合中的长度，而外测度则更广泛地应用于测度论、拓扑学等领域。
测度的意思是什么
测度的意思是什么本文是关于测度的意思是什么，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。
测度的意思[释义](动)推测。
[构成]并列式：测+度[例句]根据风向测度;今天不会下雨。
(作谓语)揣测、推测、估计、推断、揣摸测度详细解释◎测度 cèduó[conjecture;estimate;infer] 猜测揣度测度他今日不来猜测，料想。
南朝宋谢灵运《入华子冈是麻源第三谷》诗：“险逕无测度，天路非术阡。
”宋王禹偁《答张扶书》：“天地毕矣，何难测度哉!”冰心《寄小读者》六：“大人的思想，竟是极高深奥妙的，不是我们所能测度的。
”测度造句(1) 嗟乎!凡夫例登补处，奇倡极谈，不可测度。
华严所禀，却在此经。
而天下古今，信少疑多，辞繁义蚀，余唯有剖心沥血而已!(2) 从政处理实际事务的时候，揣摩测度，刻意的让事情的处理归复于大道，然而这其中有很多事情没有得到妥善的处理，在仓促匆忙、造次颠沛的时候也是这样的。
(3) 而运用标准差和平均差极大化方法构造一种综合评价测度指标，并吸取述上述五个指标的长处，可对基金绩效作出唯一和合理的评价。
(4) 作者在对方向信息测度研究的基础上，认为从方向信息测度中可以得到更多的信息，因此对其定义进行了改进。
(5) 根据所建立的测度模型,用回归、德尔菲法等数学统计方法对综合信息竞争力进行了权重计算.(6) 在局部紧空间上的测度论中，正则性是一个比较重要的概念。
(7) 同时，利用对称性测度法对定位的车辆进行确认。
(8) 利用比较定理、矩阵范数和矩阵测度的有关性质，提出了简单不确定时滞系统及对称组合不确定时滞系统的稳定条件。
(9) 摘要本文测度各省四部门乘数及其差异.(10) 讨论一类可数离散半群上概率测度卷积幂的弱收敛性，主要结果是利用局部群化的观点给出了概率测度卷积幂弱收敛的一个充分条件。
(11) 本文提出了一种基于置信测度的自适应模型适配算法用于音乐分割。
(12) 以未确知测度为隶属函数抽象出论域上的未确知集合概念，定义未确知集合的运算。
第三章测度
第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。
在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。
测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。
对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。
主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。
基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。
二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。
2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。
两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。
3、合列极限定义的思想与方法。
4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。
5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。
三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。
用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。
先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。
研究测度论的相关概念和方法
研究测度论的相关概念和方法测度论是数学和统计学中的一个分支，研究如何测量和比较不同种类的事物。
测度论的核心是测度，而测度又是一个复杂的概念。
本文的目的是介绍测度论中的相关概念和方法，以便于更深入地研究该领域。
测度在数学中，测度指的是一种函数，它可以将集合映射到有序实数集合中。
自从勒贝格提出测度的概念以来，测度就扮演着极为重要的角色。
测度一般由以下三个性质确定：1. 非负性：对于任意一个集合，其测度值应该为非负实数。
2. 空集测度为0：空集的测度为0。
3. 可加性：对于两个不相交的集合，其测度的和等于集合的并的测度之和。
在实际问题中，测度论的应用非常广泛。
例如，在几何学中，勒贝格测度可以用于测量平面上的任意形状的面积。
在统计学中，概率测度可以用于测量概率分布的形式。
在经济学中，福利经济学中的测度可以用于度量社会利益、效用或资源分配标准。
因此，了解测度的概念和性质是研究测度论的前提。
度量空间度量空间也是测度论中的一个重要概念。
度量空间指的是一个集合，其中每个元素都需要定义一个度量，以便于测量两个元素间的距离。
度量有以下三个性质：1. 正定性：对于任意两个元素x和y，其度量d(x,y)必须为非负实数，且当且仅当x=y时，d(x,y)等于0。
2. 对称性：对于任意两个元素x和y，其度量d(x,y)必须等于d(y,x)。
3. 三角不等式：对于任意三个元素x、y和z，在任意度量d下，d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)。
度量空间的概念与测度的概念有着紧密的联系，可以说度量空间是测度论的一种具体应用。
常见的例子包括欧氏空间、闵可夫斯基空间等。
拓扑空间拓扑空间也是测度论中的一个概念。
拓扑空间指的是一个集合和该集合上定义的一组特殊性质，以便于描述该集合中元素的“接近程度”。
拓扑空间的本质是非度量性质，但这并不妨碍它在测度论中的重要性。
拓扑空间的概念与度量空间类似，也有着确定的性质。
在拓扑空间中，开集合、闭集合、连通性等概念都是非常重要的。
§2.1 测度与测度的性质
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
由 于 An ↑ ,
容 易 知 道 有
Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ), 并且 An = ∪ Bi ,
i =1
∞
∪ Ai = ∪ Bi . .
i =1 i =1
n
∞
∞
由测度的可数可加性, 我们
µ ( ∪ An ) = ∑ µ ( Bn ) = lim ∑ µ ( Bi )
n =1 n =1 n →∞ i =1
例 3 设 F 是非空集 X 上的 σ − 代数. 对任意 A ∈ F , 另外令 µ (∅) = 0, 则 µ 是 F 上的测度. 例 4 设 X = {a1 , a 2 ,
若 A ≠ ∅, 则令 µ ( A) = +∞ .
} 是可数集, P ( X ) 是 X 的全体子集所成的 σ − 代数 . 又设
n =1
∞
µ ( ∪ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
(5) 上连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↓ 并且 ∩ An ∈ R , µ ( A1 ) < +∞, 则
n =1
∞
µ ( ∩ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
证明 (1). 由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ ( B − A). 由于 A ∩ ( B − A) = ∅, 由测度的有限可 加性得到
现代概率论03：测度空间（1）
现代概率论03：测度空间（1）⽬录第三讲 测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质，在此之前需要引⼊⼏个概念：⾮负集函数：给定空间 X 上的集合系 E ，将定义在 E 上，取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数，常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。
可列可加性：如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ，均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。
有限可加性：如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ，均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。
可减性：如果对 ∀A ,B ∈E ，满⾜ A ⊂B ，且有 B −A ∈E ，只要 µ(A )<∞ ，就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。
本节的核⼼是测度的公理化定义，具体如下：测度的公理化定义：指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。
设 E 是 X 上的集合系，且 ∅∈E 。
若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜：(1) µ(∅)=0 ；(2) 可列可加性，则称 µ 为 E 上的测度。
若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ，则称测度 µ 为有限测度。
()()若 ∀A ∈E ，存在 {A n ∈E,n ≥1} ，使得 ∞⋃n =1An⊃A ，则称测度 µ 为 σ 有限测度。
命题 2.1.1：测度具有有限可加性和可减性。
命题 2.1.2：设 X ⊂R, E =Q R ，F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。
第三章_测度论
趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。
↓
外测度和内测度相等→可测
§1 外测度
1、勒贝格外测度 设E为 R n 中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 Ii E ，
| 做出它的体积总和 | I i （ 可以等于
i 1 i 1
S 也可测。
i i 1
n
（5）设 S1 , S2 可测，则 S1 S2 也可测。 （6）设{Si } 是一列互不相交的可测集，则 Si 也是可测集，且
i 1
m Si mSi i 1 i 1
i 1
推广：设 {Si }是一列可测集，则 Si ， Si 也是可测集。
ðS 可测。
（3）设S1 , S2可测，则 S1 S2 也可测，并且当S1 S2 ,对于任 意集合T总有 m T S1 S 2 m (T S1 ) m (T S 2 )
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则 Si也可测，并且当 Si S j ,
i 1 n
3、勒贝格测度性质 （1） m() 0 （2）非负性：m E 0 （3）单调性：设A, B 可测，且 A B ，则 mA mB
（4）可列可加性：设 {Ei } 是一列互不相交的可测集 m Ei mEi i 1 i 1
为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。
测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可 少的工具。
实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要
的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
长度公理： 设有实数直线上的一些点集所构成的集合族 ，若对于每
测度的概念和相关
数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。
传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现。
目录[隐藏]• 1 定义• 2 性质o 2.1 单调性o 2.2 可数个可测集的并集的测度o 2.3 可数个可测集的交集的测度• 3 σ有限测度• 4 完备性• 5 例子• 6 自相似分形测度的分维微积分基础引论•7 相关条目•8 参考文献[编辑]定义形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。
设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质：•空集的测度为零：。
•可数可加性，或称σ可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和：。
这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
[编辑]性质下面的一些性质可从测度的定义导出：[编辑]单调性测度的单调性：若和为可测集，而且，则。
[编辑]可数个可测集的并集的测度若为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，⊆，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：以及如下极限：[编辑]可数个可测集的交集的测度若为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。
进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。
例如对于每一个，令这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
[编辑]σ有限测度详见σ有限测度如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。
如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。
数学中的测度论
数学中的测度论测度论是数学中的一个重要分支，它研究了如何对集合进行度量和测量。
在数学中，我们常常需要衡量集合的大小、长度、面积或体积，而测度论提供了一套严谨而精确的方法来解决这些问题。
一、引言测度是度量集合大小的一种数学概念。
在测度论中，我们关注的是如何定义并研究一种满足一定条件的测度。
测度通常具有以下性质：非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
二、基本概念在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。
常见的测度包括长度测度、面积测度和体积测度等。
对于一维空间，我们可以使用实数轴上的长度来度量集合的大小；对于二维空间，我们可以使用平面上的面积；对于三维空间，我们可以使用立体的体积。
测度可以是有限的，也可以是无限的。
三、测度的性质在测度论中，我们希望测度具有一些良好的性质。
常见的性质包括非负性、空集的测度为0、单调性、可数可加性等。
这些性质使得测度在数学中有着广泛的应用。
四、测度的构造方法在实际问题中，我们常常需要构造满足一定条件的测度。
测度的构造方法有很多种，常见的方法包括外测度、内测度、Lebesgue测度等。
这些方法可以帮助我们精确地计算出集合的测度。
五、测度的应用测度论在数学中有着广泛的应用。
在几何学中，测度论可以帮助我们计算图形的面积和体积；在概率论中，测度论可以帮助我们定义概率测度；在函数分析中，测度论可以帮助我们研究函数的积分等。
测度论在数学的许多分支中都起到了重要的作用。
六、总结测度论作为数学中的一个重要分支，研究了如何对集合进行度量和测量。
通过定义测度并研究其性质，我们可以精确地计算集合的大小、长度、面积或体积等。
测度论在数学中有着广泛的应用，对数学的发展起到了重要的推动作用。
这就是关于数学中的测度论的文章内容。
通过测度论，我们可以对集合进行精确的度量和测量，解决了许多实际问题。
希望本文对您对测度论有了更深入的了解。
0到1有理数的测度
0到1有理数的测度
0到1之间的有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为0。
换句话说，这些数可以写成分数的形式，例如1/2, 3/4, 5/6等等。
有理数的测度是指这些有理数所占据的长度或大小。
在数学上，我们可以使用数轴来表示有理数，0到1之间的有理数
可以在这个数轴上以分数的形式表示。
测度可以理解为这些有理数
所占据的长度，即在数轴上的距离。
从数轴的角度来看，0到1之
间的有理数所占据的长度是有限的，因为它们都可以用分数表示，
并且在数轴上占据有限的空间。
另一方面，从集合的角度来看，0
到1之间的有理数构成了一个密集的集合，即任意两个有理数之间
都存在着无穷多的其他有理数，因此在这个意义下，有理数的测度
是无限的。
综上所述，0到1之间的有理数的测度可以从数轴的长
度和集合的密集程度两个角度来理解，分别对应着有限和无限的概念。
陶哲轩的测度论引论
陶哲轩的测度论引论
陶哲轩是一位著名的数学家，他的测度论引论是一本专门讨论测度的数学著作。
在数学中，测度是指对于某个集合的大小或者大小关系的度量。
例如，我们可以用长度来度量一条线段的大小，用面积来度量一个平面图形的大小。
在测度论中，我们首先需要定义什么是可测集合。
可测集合是指具有良好测度性质的集合，即可以用某种测度对其进行度量。
通常，可测集合需要满足一些性质，比如它们必须是有限个开集和闭集的并集或交集。
接下来，我们需要定义什么是测度。
在测度论中，测度是指对于某个集合的大小或者大小关系的度量函数。
一个测度必须满足一些性质，比如对于空集合的测度为0，对于相离的集合的测度可以进行加和等等。
在陶哲轩的测度论引论中，他主要讨论了外测度和Lebesgue测度两个概念。
外测度是指对于任意一个集合，我们可以定义一个最小的测度函数，使得这个测度函数满足外测度的定义。
而Lebesgue测度是指对于一个可测集合，我们可以定义一个测度函数，使得这个测度函数满足Lebesgue测度的定义。
除了讨论测度的定义和性质外，陶哲轩的测度论引论还涉及了一些重要的测度论定理，比如Carathéodory测度延拓定理和Lebesgue积分定理。
这些定理为测度论的发展提供了重要的数学基础，并在实际应用中发挥了重要作用。
总之，陶哲轩的测度论引论是一本涉及到测度的重要数学著作，对于深入了解测度论、Lebesgue积分和实际应用都具有重要的意义。
测度论的知识要点与复习自测
测度论的知识要点与复习自测测度论（Measure theory）是数学分析中的一个重要分支，它研究的是如何用一种衡量的方法来度量集合的大小。
测度论的基本概念是测度（Measure），它是一个函数，将一些集合映射到实数，并满足一定的性质，可以用来度量集合的大小或者说容量。
1.集合理论基础：测度论的起点是集合理论的基础知识，包括集合的包含关系、交、并、补、差等运算。
此外，还需要了解基本的记号和符号，如A∪B代表集合A和集合B的并集，A∩B代表集合A和集合B的交集，A\B代表集合A和集合B的差集等。
2.可测集与测度：在测度论中，我们关注的是可测集。
可测集的定义是指它满足一定的性质，使得我们可以为其赋予一个测度值。
测度是一个函数，将一些集合映射到实数，并满足一定的性质。
常见的测度有长度、面积、体积等。
3.测度的性质与运算：测度具有一些基本的性质和运算规则。
比如，互不相交的可测集的并的测度等于它们各自测度的和；任意一个可测集可以表示为一个有限个或可列个互不相交的可测集的并。
此外，测度还满足可列可加性、单调性等性质。
4.测度空间与可测函数：通过引入测度的概念，我们可以定义测度空间。
测度空间是一个包含一个可测集类的集合，其中的每个可测集都与一个测度相对应。
可测函数是一个定义在测度空间上的函数，它可以在其中一种意义上保持测度的性质。
5. Lebesgue测度与Lebesgue积分：Lebesgue测度是测度论中的一个重要概念，它扩展了传统的长度、面积、体积等概念，并能够应用于更广泛的情况。
Lebesgue积分是一种基于Lebesgue测度的积分方法，相较于传统的黎曼积分，Lebesgue积分具有更广泛的适用性和更强的理论基础。
除了以上的知识要点，复习时还可以通过做一些相关的习题来深化理解和掌握测度论的知识。
以下是一些复习自测题目，供参考：1.证明测度的次可列可加性。
（提示：可以通过构造互不相交的可测集序列来证明次可列可加性。
测度的概念
测度的概念测度是指通过定量手段对某一现象进行测量和评估的过程。
这个过程通常通过收集数据和计算来获得客观的结果。
测度在很多领域都有应用，包括科学、工程、社会科学和医学等。
在这些领域，测度被广泛用于研究、探索和解决问题。
测度可分为两种，即质性测度和量化测度。
质性测度是指将某个现象分为不同的类别，然后用文字或符号来表示这些类别。
例如，性别、颜色和品牌等都是质性测度。
量化测度是指将某个现象标准化，并将其转换为数字进行分析。
例如，长度、重量和温度等都是量化测度。
在测度中，准确度是一个非常重要的概念。
准确度是指测量结果与真实值之间的接近程度。
当测量结果非常接近真实值时，测量具有高准确性。
但是，很多因素会影响测量的准确度，如测量工具的精度、实验环境的条件以及受试者的个体差异等。
除了准确度，可靠度也是测量中关键的概念。
可靠度是指测量结果的稳定性和一致性。
如果测量结果的重复性非常高，即如果多次测量获得的结果非常相似，那么这个测量具有高可靠度。
可靠度是测量结果是否可信的重要指标，因为测量结果的错误和偏差不能仅仅通过数值信息的准确性来解决。
另外，测量还有灵敏度的概念。
灵敏度是指测量工具是否足以检测到研究对象的小变化或微小变化。
例如，在医疗研究中，我们需要使用灵敏度高的测量工具来检测某个疾病的存在或程度。
在其他领域中，灵敏度也很重要，以便我们获得足够的信息来支持评估和决策。
最后，我们需要注意到，测度不仅是为了获得数值结果或诊断结果，而是为了更好地理解和解释世界。
测量工具和技术是帮助我们解决问题和获得知识的媒介。
例如，我们可以使用测量来检测某种疾病的存在，然后通过进一步的研究来了解该疾病的病因和治疗方法。
在科学、社会科学和医学等领域中，测度对于探索和构建知识是非常重要的。
综上所述，测度是一种重要的工具，可以帮助我们了解和解释世界。
通过使用测量工具和技术，我们可以收集和分析数据，获得客观的数值结果和诊断结果。
在测量中，准确度、可靠度和灵敏度是三个关键的概念。
无理数集合测度-概述说明以及解释
无理数集合测度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述无理数集合测度是数学中一个重要的概念，它与无理数的性质密切相关。
无理数是指不能用两个整数的比值来表示的实数，包括无限不循环小数和无限循环小数。
在数学中，我们常常将实数划分为有理数和无理数两大类。
有理数是可以用两个整数的比值来表示的实数，包括整数、分数以及有限不循环小数。
而无理数则是一类特殊的实数，它们具有无穷的小数位数，且没有循环。
无理数集合包括像π，√2和e等著名的无理数。
无理数集合测度是对无理数集合进行度量的一种方法。
它允许我们衡量无理数集合的大小、稠密程度等性质。
通过测度，我们可以比较不同无理数集合之间的大小关系，进一步深入了解无理数的分布规律。
本文将首先介绍无理数集合的定义和特点，包括无理数的基本概念及其在数学中的重要性。
然后，我们将探讨无理数集合测度的方法，包括测度的定义和计算方法。
最后，我们将总结无理数集合的测度，并探讨无理数集合测度在实际应用中的意义和作用。
通过对无理数集合测度的研究，我们可以更深入地理解无理数的特性和性质。
同时，无理数集合测度也为我们提供了一种衡量无理数集合大小和密度的工具，有助于在数学和其他领域中的实际应用中发挥重要的作用。
在接下来的章节中，我们将逐步展开对无理数集合的测度进行深入的研究和探讨。
1.2文章结构文章结构部分的内容应包括对整篇文章的结构进行简要介绍，提供读者一个整体的把握。
可以按照以下内容进行编写：文章结构部分将对本篇长文的整体结构进行介绍，让读者对文章的组织框架有一个清晰的认识。
本文主要包含引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对文章的背景和研究的问题进行概述，说明无理数集合测度的重要性以及相关研究的现状。
在正文部分，我们将首先介绍无理数集合的定义和特点，探讨无理数集合与有理数集合的关系，以及无理数集合的性质和特征。
其次，我们将详细介绍无理数集合的测度方法，包括传统的长度测度和更一般的Lebesgue测度方法。
测度 数学术语
测度数学术语
测度（Measurement）是数学的一个重要概念，它可以分为两个类别：绝对测量和相对测量。
绝对测量是指测量的量值与固定的基础、参考基准完全一致，而相对测量则是指测量量值与固定参考基准存在一定的差异。
绝对测度可以进一步细分为三类：计算术测度，几何学测度和代数学测度。
计算术测度是指对数字进行测量，比如对容积、长度、宽度、重量等量度进行计算和衡量；几何学测度则是指对一定的几何图形进行测量，比如对三角形、圆形等测量所需的数据；代数学测度则是指对一定的代数公式、比如一元二次方程测量所需的数据。
此外，还有一类特殊的测度叫做统计学测度，它是指对统计数据进行测量。
对于统计学测度，常见的有平均值、方差、标准差、中位数、极差、众数、最大值和最小值等。
最后，还有一类数学术语，叫做概率，它是指某一个事件发生的可能性大小，它是一种数学概念，可以用数字、百分比或是概率的比例表示出来，比如发生某个事件的概率是0.5，表示这个事件发生的概率是50%，可以把这个数字表示成概率比例1:2。
以上就是测度和数学术语之间的主要内容，它们均具有独特的数学特征，并且在数学上具有重要意义，可以用来解决各种各样的实际问题。
通过学习和理解这些概念，可以更好地应用数学，总结性地分析和理解实际问题，从而更好地利用数学技术解决实际问题。
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测度论中的核心理论与公式
测度论中的核心理论与公式在数学领域中，测度论是一个重要的研究领域。
它主要关注的是如何对一般的集合进行度量，即测度。
测度理论不仅在数学领域中有广泛的应用，而且在实际问题中也有着重要的意义。
一、测度及其基本性质在测度理论中，测度是一个基本概念，表示用来度量集合大小的一种数学工具。
在一些实用领域中，测度通常指的是长度、面积、体积等。
关于测度，有几个基本性质需要了解。
首先，测度应该是非负的，即对于任何一个集合，它的测度都应该是大于等于0的。
其次，对于空集合，它的测度应该为0。
最后，对于一个可列的集合序列，它们的并集的测度应该等于它们各自的测度之和。
二、重要的核心理论在测度论中，有几个重要的核心理论：容度公理、可测度理论、标准可测度理论、测度扩张理论等。
其中，容度公理是测度论的基础，是其它测度理论的基础。
1.容度公理容度公理是指，任何一个集合的测度应该等于其所有完全覆盖该集合的区间（或者直方图）的测度之和。
这个公理有几个重要的应用。
首先，它可以用来证明一些简单的定理，例如对于任何一个区间或直方图，它们的测度都可以求出来。
其次，在更复杂的应用中，它可以用来计算出集合的某些属性，例如面积、体积等。
2.可测度理论可测度理论是测度论的第一个扩展理论。
在这个理论中，我们定义了一个可测集合的概念，并给出了可测集合的一些基本性质。
具体地，一个集合被称作可测集合，当且仅当它能够被一个区间或直方图所覆盖。
这个定义非常的宽泛，因此在可测度理论中，我们还需要给出一些更具体的条件，以便更好地限制可测集合的范围。
3.标准可测度理论标准可测度理论是在可测度理论的基础之上发展起来的一种理论。
在标准可测度理论中，我们对可测集合的概念作出了细化，使得可测集合更具有可操作性。
具体来说，一个集合被称为标准可测集合，当且仅当它满足一些严格的数学条件。
4.测度扩张理论测度扩张理论是测度论中的最后一个扩展理论。
它主要用于解决一些非常复杂的数学问题，例如导数和柯西黎曼方程等。
数学及物理中的测度理论
数学及物理中的测度理论测度理论是研究如何给集合分配大小的一种数学理论。
在数学和物理学中，我们经常需要对对象进行大小或者数量的描述，而测度理论就是提供了一种系统的方式去描述这些概念。
本文将主要从测度的概念、应用和测度扩张这三个方面来探讨数学及物理中的测度理论。
一、测度的概念在测度理论中，测度指的是一种函数，它将某个集合映射到一个实数或者扩充实数。
在测度理论中，可以将一个集合称为可测集，如果我们可以对该集合进行测度运算。
测度函数遵循的基本规则是：对于任意可测集A、B以及实数C，它们满足以下性质：1. 非负性：对于任意集合A，测度函数返回的结果不会是负数。
2. 集合可数加性：对于可数的A1、A2、...、An，它们满足两两不交，测度函数返回的结果等于它们分别测度的和，即m(A1∪A2∪...∪An)=m(A1)+m(A2)+...+m(An)。
3. 单调性：如果A包含在B中，则m(A)≤m(B)。
4. 正则性：对于任意可测集A，以及任意实数C>0，都存在紧致子集K，使得m(A-K)<C。
5. 完全性：每一个空集的测度是0。
通过这些性质，测度理论可以挖掘出集合的性质以及其内部的规律，奠定数学及物理学的基础。
二、测度的应用测度理论的应用非常广泛，尤其在数学和物理学中。
下面分别从测度在概率统计、物理学和几何学的应用进行介绍。
1. 概率统计在概率统计中，无论是离散分布还是连续分布，都需要对它们进行测度。
例如在连续分布中，我们需要对其进行积分才能获得概率密度函数的大小；而对于离散分布，则可以通过求和来得到测度。
因此，测度在概率统计中起着重要的作用，为我们提供了一种量化概率大小的手段。
2. 物理学在物理学中，例如量子力学和相对论中，测度理论也是重要的基础。
例如，物理学中的波函数如果符合某些基本要求，则被称为可测函数。
此时，我们可以对它进行测度运算，得到物理系统在不同状态下的概率分布。
这为我们提供了处理物理系统概率分布的一种数学工具。
测度概念的理解和认识教案
测度概念的理解和认识教案教案标题：测度概念的理解和认识教案目标：1. 帮助学生理解测度概念的含义和重要性。
2. 培养学生正确运用测度单位进行测量的能力。
3. 培养学生对测度概念在实际生活中的应用意识。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾他们在日常生活中使用测度单位的经验，例如测量长度、重量、时间等。
2. 提出问题，激发学生思考：为什么我们需要测量？测量有什么作用？知识讲解：1. 讲解测度概念的定义：测度是通过比较物体或事件与已知单位的属性来确定其大小、数量或程度的过程。
2. 介绍常见的测度单位，如长度的厘米、重量的克、时间的秒等，并解释它们的定义和用途。
示范和练习：1. 展示不同物体的长度，并引导学生使用正确的测度单位进行测量。
2. 提供一些练习题，要求学生在给定的场景中选择合适的测度单位进行测量。
应用拓展：1. 鼓励学生思考测度概念在实际生活中的应用，如建筑工程、医学、科学实验等领域。
2. 分组讨论，让学生分享他们在日常生活中使用测度概念的经验和观察。
总结反思：1. 总结测度概念的重要性和应用。
2. 引导学生思考如何更好地运用测度概念解决实际问题。
教学资源：1. 长度、重量、时间等物体或事件的示例。
2. 测量工具，如尺子、天平、秒表等。
3. 练习题和讨论题。
评估方法：1. 观察学生在示范和练习中的表现。
2. 结合小组讨论和个人反馈，评估学生对测度概念的理解和应用能力。
拓展活动：1. 鼓励学生设计自己的测量实验，并记录结果。
2. 带领学生参观实际应用测度概念的场所，如实验室、工厂或医院。
教案注意事项：1. 根据学生的年龄和学习水平，适当调整教学内容和难度。
2. 引导学生通过实际操作和讨论来加深对测度概念的理解。
3. 鼓励学生提出问题和分享观点，促进互动和思考。
理解数学中的测度和积分
数学是一门高度抽象的学科，其中一些概念对于大多数人来说可能非常抽象和难以理解。
测度和积分是数学中一对重要的概念，它们在数学中的应用非常广泛。
在这篇文章中，我们将探讨测度和积分的含义以及它们在数学中的作用。
首先，我们来理解一下测度的概念。
测度是一种度量的概念，用来衡量集合的大小。
直观来说，我们可以将测度理解为一个集合所占据的空间大小。
这个概念可以用来描述物体的体积、区域的大小等等。
测度的数学定义通常构建在一个数学空间上，并且满足一些基本的性质，比如非负性、有限可加性等等。
然后，我们来谈谈积分的概念。
积分是一种计算的方法，用来计算函数在一定区域上的总和。
直观来说，我们可以将积分理解为一种“求和”的操作。
在数学中，积分可以看作是函数的反导数，它描述了函数在某个区域上的累积效果。
积分可以用来计算曲线下的面积、物体的体积等等。
测度和积分的关系非常密切，因为积分可以看作是对测度的应用。
在积分中，我们将函数沿着某个方向进行“分割”，然后对每个小片段进行测量，最后将这些小片段的测量结果进行累加，以得到整个区域的测量结果。
这个过程可以形象地理解为将一个物体切割成许多小块，在计算每个小块的体积后求和，最终得到整个物体的体积。
测度和积分在数学中的应用非常广泛。
在实际生活中，我们经常会遇到一些需要测量和积分的问题，比如物体的体积、曲线的长度、区域的面积等等。
测度和积分提供了一种有效的数学方法，可以帮助我们解决这些问题。
此外，测度和积分也在统计学、概率论等领域中扮演着重要的角色，可以帮助我们理解和分析一些复杂的现象。
总之，测度和积分是数学中非常重要的概念，它们在数学中的应用广泛且多样。
通过理解测度和积分的概念，我们可以更好地理解和应用数学知识。
此外，测度和积分也为解决实际问题提供了有力的工具。
因此，对于学习数学的人来说，掌握测度和积分的概念是非常重要的。
通过不断地学习和实践，我们可以更加深入地理解和应用测度和积分这两个概念，从而在数学中取得更好的成绩。
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数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。
传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现。
目录[隐藏]• 1 定义• 2 性质o 2.1 单调性o 2.2 可数个可测集的并集的测度o 2.3 可数个可测集的交集的测度• 3 σ有限测度• 4 完备性• 5 例子• 6 自相似分形测度的分维微积分基础引论•7 相关条目•8 参考文献[编辑]定义形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。
设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质：•空集的测度为零：。
•可数可加性，或称σ可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和：。
这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
[编辑]性质下面的一些性质可从测度的定义导出：[编辑]单调性测度的单调性：若和为可测集，而且，则。
[编辑]可数个可测集的并集的测度若为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，⊆，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：以及如下极限：[编辑]可数个可测集的交集的测度若为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。
进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。
例如对于每一个，令这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
[编辑]σ有限测度详见σ有限测度如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。
如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。
称测度空间中的一个集合具有σ有限测度，如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。
作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的，但不是有限的。
为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k 取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。
作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为。
这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。
σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。
[编辑]完备性一个可测集称为零测集，如果。
零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。
如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑的所有这样的子集，它与某个可测集仅差一个可去集，也就是说与的对称差包含于一个零测集中。
由这些子集生成的σ代数，并定义的值就等于。
[编辑]例子下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。
•计数测度定义为的“元素个数”。
•一维勒贝格测度是定义在的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足的唯一测度。
•Circular angle 测度是旋转不变的。
•局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
•恒零测度定义为，对任意的。
•每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。
这就是所谓概率测度。
见概率论公理。
其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、约当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
[编辑]自相似分形测度的分维微积分基础引论分维微积分在理论基础上主要依据分维导数相对邻近规整导数的位置假设，目前此方法尚不能给出一般函数分维导数的具体解析形式。
分维微积分与分数阶微积分有所不同，分数阶微积分的基础主要依据规整积分变换对分数阶的默认外推，能给出一般函数分数阶微积分的具体形式。
上述这二个研究方向在理论基础上都依赖于规整微积分的表述，但也都缺少严格的证明。
可能的情况是这些表述皆是趋向一个较为基本理论的过渡性近似形式。
而未来可能建立的这个较为基本的理论，将包含更为深刻普适的核心概念定义及基础假设，Newton 微积分将成为其导出结论。
下面的分维微积分主线脉络内容旨在为未来的分维数学解析体系提供前期探讨途径及框架参照。
自相似分形测度的分维微积分计算方法主要是依据上述分维微积分的表述形式，可给出能够直接进行测度计算的方程。
这种方法的分析过程及得到的自相似分形测度与目前普遍采用Hausdorff测度方法（覆盖方法）得到的结果不同，覆盖方法分析过程较为复杂，得到的测度一般依赖于所使用的覆盖方式及迭代技巧，计算方法的普适性较弱。
[1] [编辑]相关条目•外测度(Outer measure)•几乎处处(Almost everywhere)•勒贝格测度(Lebesgue measure)[编辑]参考文献1.^/papers/paper-pdf/celestialand maths-pdf.pdf/spires/find/hep/www?j=005 45,22,451/abs/2007PrGeo..22..451Y•R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability.Cambridge University Press.• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin. •Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.•M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.•Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.Emphasizes the Daniell integral.•阎坤. 天体运行轨道的背景介质理论导引与自相似分形测度计算的分维微积分基础[J]. 地球物理学进展，2007，22(2)：451～462. YAN Kun. Introduction on background medium theory about celestial body motion orbit and foundation of fractional-dimension calculus about self-similar fractalmeasure calculation[J]. Progress in Geophysics(inChinese with abstract in English)，2007，22(2)：451～462. 取自"/wiki/%E6%B5%8B%E5%BA%A6" 2个分类: 测度论| 数学结构MeasureIn mathematics, more specifically measure theory, a measure is intuitively a certain association between subsets of a given set X and the (extended set) of non-negative real numbers. Often, some subsets of a given set X are not required to be associated to a non-negative real number; the subsets which are required to be associated to a non-negative real number are known as the measurable subsets of X. The collection of all measurable subsets of X is required to form what is known as a sigma algebra; namely, a sigma algebra is a subcollection of the collection of all subsets of X that in addition, satisfies certain axioms.Measures can be thought of as a generalization of the notions: 'length,' 'area' and 'volume.' The Lebesgue measure defines this for subsets of a Euclidean space, and an arbitrary measuregeneralizes this notion to subsets of any set. The original intent for measure was to define the Lebesgue integral, which increases the set of integrable functions considerably. It has since found numerous applications in probability theory, in addition to several other areas of academia, particularly in mathematical analysis. There is a related notion of volume form used in differential topology.Contents[hide]• 1 Definition• 2 Propertieso 2.1 Monotonicityo 2.2 Measures of infinite unions of measurable setso 2.3 Measures of infinite intersections of measurable sets• 3 Sigma-finite measures• 4 Completeness• 5 Examples• 6 Non-measurable sets•7 Generalizations•8 See also•9 References•10 External links[edit] DefinitionFormally, a measure μ is a function (usually denoted by a Greek letter such as μ) defined on a σ-algebra Σ over a set X and taking values in the extended interval [0,∞] such that the following properties are satisfied:•The empty set has measure zero:•Countable additivity or σ-additivity: if E1, E2, E3, … is a countable sequence of pairwise disjoint sets in Σ, themeasure of the union of all the E i is equal to the sum of the measures of each E i:The triple (X, Σ, μ) is then called a measure space, and the members of Σ are called measurable sets.A probability measure is a measure with total measure one (i.e., μ(X) = 1); a probability space is a measure space with a probability measure.For measure spaces that are also topological spaces various compatibility conditions can be placed for the measure and the topology. Most measures met in practice in analysis (and in many cases also in probability theory) are Radon measures. Radon measures have an alternative definition in terms of linear functionals on the locally convex space of continuous functions with compact support. This approach is taken by Bourbaki (2004) and a number of other authors. For more details see Radon measure.[edit] PropertiesSeveral further properties can be derived from the definition of a countably additive measure.[edit] MonotonicityA measure μ is monotonic: If E1 and E2 are measurable sets with E1⊆ E2 then[edit] Measures of infinite unions of measurable setsA measure μ is countably subadditive: If E1, E2, E3, … is a countable sequence of sets in Σ, not ne cessarily disjoint, thenA measure μ is continuous from below: If E1, E2, E3, … are measurable sets and E n is a subset of E n + 1 for all n, then the union of the sets E n is measurable, and[edit] Measures of infinite intersections of measurable setsA measure μ is cont inuous from above: If E1, E2, E3, … are measurable sets and E n + 1 is a subset of E n for all n, then the intersection of the sets E n is measurable; furthermore, if at least one of the E n has finite measure, thenThis property is false without the assumption that at least one of the E n has finite measure. For instance, for each n∈ N, letwhich all have infinite measure, but the intersection is empty. [edit] Sigma-finite measuresMain article: Sigma-finite measureA measure space (X, Σ, μ) is called finite if μ(X) is a finite real number (rather than ∞). It is called σ-finite if X can be decomposed into a countable union of measurable sets of finite measure. A set in a measure space has σ-finite measure if it is a countable union of sets with finite measure.For example, the real numbers with the standard Lebesgue measure are σ-finite but not finite. Consider the closed intervals [k,k+1] for all integers k; there are countably many such intervals, each has measure 1, and their union is the entire real line. Alternatively, consider the real numbers with the counting measure, which assigns to each finite set of reals the number of points in the set. This measure space is not σ-finite, because every set with finite measure contains only finitely many points, and it would take uncountably many such sets to cover the entire real line. The σ-finite measure spaces have some very convenient properties; σ-finiteness can be compared in this respect to the Lindelöf property of topological spaces. They canbe also thought of as a vague generalization of the idea that a measure space may have 'uncountable measure'.[edit] CompletenessA measurable set X is called a null set if μ(X)=0. A subset of a null set is called a negligible set. A negligible set need not be measurable, but every measurable negligible set is automatically a null set. A measure is called complete if every negligible set is measurable.A measure can be extended to a complete one by considering the σ-algebra of subsets Y which differ by a negligible set from a measurable set X, that is, such that the symmetric difference of X and Y is contained in a null set. One defines μ(Y) to equal μ(X). [edit] ExamplesSome important measures are listed here.•The counting measure is defined by μ(S) = number of elements in S.•The Lebesgue measure on R is a completetranslation-invariant measure on a σ-algebra containingthe intervals in R such that μ([0,1]) = 1; and every othermeasure with these properties extends Lebesgue measure.•Circular angle measure is invariant under rotation.•The Haar measure for a locally compact topological group is a generalization of the Lebesgue measure (and also ofcounting measure and circular angle measure) and hassimilar uniqueness properties.•The Hausdorff measure which is a refinement of the Lebesgue measure to some fractal sets.•Every probability space gives rise to a measure which takes the value 1 on the whole space (and therefore takes all its values in the unit interval [0,1]). Such a measure is calleda probability measure. See probability axioms.•The D irac measure μa (cf. Dirac delta function) is given by μa(S) = χS(a) = [a∈ S], where χS is the characteristicfunction of S and the brackets signify the Iverson bracket.The measure of a set is 1 if it contains the point a and 0otherwise.Other 'named' measures include: Borel measure, Jordan measure, ergodic measure, Euler measure, Gauss measure, Baire measure, Radon measure.[edit] Non-measurable setsMain article: Non-measurable setIf the axiom of choice is assumed to be true, not all subsets of Euclidean space are Lebesgue measurable; examples of such sets include the Vitali set, and the non-measurable sets postulated by the Hausdorff paradox and the Banach–Tarski paradox.[edit] GeneralizationsFor certain purposes, it is useful to have a "measure" whose values are not restricted to the non-negative reals or infinity. For instance, a countably additive set function with values in the (signed) real numbers is called a signed measure, while such a function with values in the complex numbers is called a complex measure. Measures that take values in Banach spaces have been studied extensively. A measure that takes values in the set of self-adjoint projections on a Hilbert space is called a projection-valued measure; these are used mainly in functional analysis for the spectral theorem. When it is necessary to distinguish the usual measures which take non-negative values from generalizations, the term "positive measure" is used.Another generalization is the finitely additive measure. This is the same as a measure except that instead of requiring countable additivity we require only finite additivity. Historically, this definition was used first, but proved to be not so useful. It turns out that in general, finitely additive measures are connected with notions such as Banach limits, the dual of L∞ and theStone–Čech co mpactification. All these are linked in one way or another to the axiom of choice.The remarkable result in integral geometry known as Hadwiger's theorem states that the space of translation-invariant, finitely additive, not-necessarily-nonnegative set functions defined on finite unions of compact convex sets in R n consists (up to scalar multiples) of one "measure" that is "homogeneous of degree k" for each k = 0, 1, 2, ..., n, and linear combinations of those "measures". "Homogeneous of degree k" means that rescaling any set by any factor c > 0 multiplies the set's "measure" by c k. The one that is homogeneous of degree n is the ordinaryn-dimensional volume. The one that is homogeneous of degree n−1 is the "surface volume". The one that is homogeneous of degree 1 is a mysterious function called the "mean width", a misnomer. The one that is homogeneous of degree 0 is the Euler characteristic.A measure is a special kind of content.[edit] See alsoLook up measurable inWiktionary, the free dictionary.•Outer measure•Inner measure•Hausdorff measure•Product measure•Pushforward measure•Lebesgue measure•Vector measure•Almost everywhere•Lebesgue integration•Caratheodory extension theorem•Measurable function•Geometric measure theory•Volume form[edit] References•R. G. Bartle, 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience.•Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1 Chapter III.•R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability.Cambridge University Press.•Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons,ISBN 0-471-317160-0 Second edition.• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.•Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.•R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v.3, pp. 428-32.•M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.•Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.Emphasizes the Daniell integral.[edit] External links•Measure theory for dummies, pdf articleRetrieved from"/wiki/Measure_(mathematics)" Categories: Mathematical structures | Measure theory | Measures (measure theory)。