全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第43讲圆的方程优选学案2018050836

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高中数学高三一轮第八章平面解析几何 8.3 圆的方程【教案】

高三一轮第八章平面解析几何
8.3 圆的方程
【教学目标】
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程．
2。

初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

【重点难点】
1。

教学重点:掌握确定圆的几何要素及圆的标准方程
与一般方程；
2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
｜
错误!—-错误!
考点三: 与圆有关的最值问题1。

已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0。

求：
(1）错误!的最大值和最小值；(2）y－x的最小值；
(3）x2＋y2的最大值和最小值．【解】(1）如图,方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点（2,0）为圆心，以3为半径的圆．
设错误!＝k，即y＝kx，则圆心(2,0）到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．。

高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案含解析理

第三节圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用结论]1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b为定值，r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r为定值，a，b是参数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4A [AB 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.]3．点(m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点在圆外 B ．点在圆内 C ．点在圆上D ．不能确定A [将点(m 2,5)代入圆方程，得m 4＋25>24.故点在圆外，故选A.] 4．若x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)B [由方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0可得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－5k ，此方程表示圆，则5－5k >0，解得k <1.故实数k 的取值范围是(－∞，1)．故选B.]5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1A [由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切，∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A.]1. 过点A (1，－1)( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C [AB 的中垂线方程为y ＝x ，所以由y ＝x ，x ＋y －2＝0的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，故选C.]2．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________．(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 [过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝－2＋－2＋2＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.]3．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．x 2＋y 2－2x ＝0 [法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.]直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程待定系数法①若已知条件与圆心a ，和半径②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于►考法1 【例1】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx的最大值为________，最小值为________．3 －3 [原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.(如图所示)所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. ►考法2 截距型最值问题【例2】已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. ►考法3 距离型最值问题【例3】已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．求|MQ |的最大值和最小值；[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝＋2＋－2＝42，∴|MQ |m ax ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.形如形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题形如形如x －2＋y －2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(1)如果实数x ，y 满足圆(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________． (2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (2)7 [(1)(x ，y )在圆上，y ＋3x －1表示的是圆上的点(x ，y )与点(1，－3)连线的斜率，结合图象(图略)，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k ，切线方程为kx －y －3－k ＝0，圆心到直线的距离等于半径，即|k －3|1＋k2＝1，k ＝43，故取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.(2)切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.]【例4】 P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解定义法：根据圆的定义列方程求解几何法：利用圆的几何性质得出方程求解代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，已知点A (－1,0)，点B (2,0)，动点C 满足|AC |＝|AB |，求点C 与点P (1,4)所连线段的中点M 的轨迹方程．[解] 由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9.设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9，化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.1．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． [解] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝y 1y 224＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝m 2＋2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

高三数学一轮复习第八章解析几何第3课时圆的方程课件

√ √
跟进训练3 (2024·山东潍坊高三模拟)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
【教师备用】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
位置关系
几何法
判断方法代数法
点M(x0，y0)在圆A内 |MA|<r
<
<
点M(x0，y0)在圆A上 |MA|＝r
＝
＝
点M(x0，y0)在圆A外 |MA|>r
>
>
点拨求圆的方程的两种方法
跟进训练1 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC， AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
提示：对于求点的轨迹或轨迹方程的问题，在求出轨迹方程后，应判断一下题目中的条件有没有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊点．本题中容易忽略掉O，M，P三点共线时的情况，因此得到轨迹为整个圆的错误结论．
【教师备用】拓展视野1 阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|. 则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
第八章解析几何第3课时圆的方程
考点一圆的方程 1．圆的定义及方程
定义标准方程
平面定上点到____的距离等于_定___长的点的集合(轨迹)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第三节圆的方程课件理

4．若方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取值范围是________．解析：方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 可化为x＋a22＋ (y＋a)2＝－34a2－a＋1，因为该方程表示圆，所以－34a2－a＋ 1>0，即 3a2＋4a－4<0，所以－2<a<23. 答案：－2，23
当 m＝－12时，直线 l 的方程为 2x＋y－4＝0，圆心 M 的坐标为 94，－12，圆 M 的半径为 485，圆 M 的方程为x－942＋y＋122 ＝8156. 法二：由(1)可得 y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圆心 M 的坐标为(m2＋2，m)．又圆 M 过坐标原点 O 和点 P(4，－2)， ∴|MO|＝|MP|，即(m2＋2)2＋m2＝(m2－2)2＋(m＋2)2，整理得 2m2－m－1＝0，解得 m＝1 或 m＝－12.
5．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，所以(1 －a)2＋(1＋a)2＜4. 即 a2＜1，故－1＜a＜1. 答案：(－1,1)
课堂考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
所以圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离 d＝|a＋a24＋－11|＝1，解
得 a＝－43.
答案：A
3．(教材习题改编)圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1,2)， B(1,4)，则圆 C 的标准方程为________．解析：设圆心 C 的坐标为(a，b)，则 a＝－12＋1＝0，b＝2＋2 4＝3，故圆心 C(0,3)．半径 r＝12|AB|＝12 [1－－1]2＋4－22＝ 2. ∴圆 C 的标准方程为 x2＋(y－3)2＝2. 答案：x2＋(y－3)2＝2

[配套K12]2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何听课学案理

第八单元解析几何第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课前双击巩固1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,直线l 的倾斜角为.(2)范围:倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .若x1=x2,则直线的斜率,此时直线的倾斜角为90°.3.直线方程的五种形式常用结论直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:题组一常识题1.[教材改编]已知直线经过点A(4,-2),B(1,1),则直线AB的斜率为,倾斜角α为.2.[教材改编]一条直线经过点M(-2,3),且它的斜率是直线y=2x的斜率的3倍,则该直线的方程为.3.[教材改编]若直线l在两坐标轴上的截距互为负倒数,且绝对值相等,则直线l的方程为.题组二常错题◆索引:忽略直线斜率不存在的情况;对倾斜角的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.4.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是.5.已知A(2,2),B(-1,3),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是.6.过点(-2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是.课堂考点探究探究点一直线的倾斜角和斜率1 (1)设直线l的倾斜角为α,且≤α≤,则直线l的斜率k的取值范围是.(2)[2017·湖北部分重点中学联考]直线l:x-y sin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.B.∪C.D.∪[总结反思] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助图像或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,直线垂直于x轴.式题 (1)平面上有相异两点A(cos θ,sin2θ),B(0,1),则直线AB的倾斜角α的取值范围是.(2)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则k的取值范围是.探究点二直线的方程2 求适合下列条件的直线l的方程:(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.[总结反思] (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.式题 (1)直线l1:x-y+-1=0绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,则旋转后得到的直线l2的方程为()A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.3x-y-1=0(2)若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点()A.B.C.D.探究点三直线方程的综合应用3 (1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O 为坐标原点,△AOB的面积为S,则当S取得最小值时直线l的方程为.(2)[2018·江西师大附中月考]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y-1=0和x+ay+2=0上,且线段AB的中点为P0,,则线段AB的长为.[总结反思] (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值;(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y 的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.式题 (1)已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是.(2)[2017·遵义四中月考]已知直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是()A.2B.4C.6D.2第47讲两直线的位置关系、距离公式课前双击巩固1.两条直线的位置关系直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:2.两直线的交点设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组的解.(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.3.距离公式常用结论1.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0平行,则方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0垂直,则方程为:B(x-x0)-A(y-y0)=0.3.过两直线交点的直线系方程若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.4.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).5.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).6.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).7.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).8.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).9.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).题组一常识题1.[教材改编]已知过A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线2x-y+1=0平行,则a的值为.2.[教材改编]过点(3,1)且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是.3.[教材改编]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.4.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=2x+3的距离为.题组二常错题◆索引:判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况.5.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a= .6.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是.7.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a= .课堂考点探究探究点一两条直线的位置关系1 (1)[2017·咸阳二模]已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·广州二模]已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()A.B.C.D.[总结反思] (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在;(2)“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”.式题 (1)[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考]“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·沈阳二中一模]已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos-2α的值为()A. B.-C.2 D.-探究点二距离问题2 (1)[2017·河北武邑中学月考]已知两平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c= ()A.-12B.48C.36D.-12或48(2)若(a≠b),则坐标原点O(0,0)到经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的距离为.[总结反思] (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等.式题 (1)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离的最小值是()A.B.C.D.(2)[2017·辽宁锦州中学期中]若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为 ()A.3B.2C.3D.4探究点三对称问题考向1点关于点的对称3 (1)点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()A.m=-3,n=10B.m=3,n=10C.m=-3,n=5D.m=3,n=5(2)直线2x-y+3=0关于定点M(-1,2)对称的直线方程是()A.2x-y+1=0B.2x-y+5=0C.2x-y-1=0D.2x-y-5=0[总结反思] 中心对称问题主要有两类:(1)点关于点的对称:点P(x,y)关于O(a,b)对称的点P'(x',y')满足(2)直线关于点的对称:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.考向2点关于线对称4 (1)已知直线l的方程为2x-y-3=0,点A(1,4)与点B关于直线l对称,则点B的坐标为.(2)点M(3,-4)和点N(m,n)关于直线y=x对称,则()A.m=-4,n=-3B.m=4,n=-3C.m=-4,n=3D.m=4,n=3[总结反思] 若点A(a,b)与点B(m,n)关于直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)对称,则直线Ax+By+C=0垂直平分线段AB,即有考向3线关于线对称5 (1)直线l1:2x+y-4=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线l2的方程为.(2)直线l1:3x-y+1=0与直线l2:3x-y+7=0关于直线l对称,则直线l的方程为.[总结反思] 求直线l1关于直线l对称的直线l2,有两种处理方法:(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点,再用两点式写出直线l2的方程.(2)设点P(x,y)是直线l2上任意一点,其关于直线l的对称点为P1(x1,y1)(P1在直线l1上),若直线l的方程为Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),则有从中解出x1,y1,再代入直线l1的方程,即得直线l2的方程.考向4对称问题的应用6 (1)一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为.(2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(3,-2)与点(-1,2)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则mn= .[总结反思] 在对称关系的两类问题中,中心对称的本质是“中点”,体现在中点坐标公式的运用上;轴对称的本质是“垂直、平分”,即“对称点连线与对称轴垂直,对称点构成的线段的中点在对称轴上”.强化演练1.【考向3】与直线x+3y-2=0关于x轴对称的直线方程为()A.x-3y-2=0B.x-3y+2=0C.x+3y+2=0D.3x+y-2=02.【考向2】两点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称,则()A.a=-4,b=2B.a=4,b=-2C.a=4,b=2D.a=2,b=43.【考向3】若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)4.【考向1】直线y=3x+3关于点M(3,2)对称的直线l的方程是.5.【考向4】[2017·西安一中一模]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为点(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是.6.【考向4】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.第48讲圆的方程课前双击巩固1.圆的定义及方程圆心为-半径为2.点与圆的位置关系点M (x 0,y 0)与圆(x-a )2+(y-b )2=r 2的位置关系:(1)若M (x 0,y 0)在圆外,则 . (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则 . (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则 . 常用结论常见圆的方程的设法:+y2+Dx+Ey+题组一常识题1.[教材改编]若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是.2.[教材改编]已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是.3.[教材改编]已知圆C经过点A(1,1)和B(4,-2),且圆心C在直线l:x+y+1=0上,则圆C的标准方程为.4.[教材改编]与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0对称的圆的一般方程是.题组二常错题◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.5.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是.6.半径为2,且与两坐标轴都相切的圆的方程为.7.已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x2+4y2的最大值为.课堂考点探究探究点一圆的方程1 (1)[2017·包头一模]圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为()A.+y2=B.+y2=C.+y2=D.+y2=(2)[2017·广西名校一模]过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4[总结反思] 求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.式题 (1)若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x-y-2=0的距离为2,则圆C的标准方程为.(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为.探究点二与圆有关的最值问题考向1斜率型最值问题2 (1) 若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为()A.B.C.D.(2)[2017·抚州临川一中二模]点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是()A.∪B.∪∪C.∪D.[总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.求形如k=的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a,b)和(x,y)的直线斜率的最值问题.考向2截距型最值问题3 (1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是,最小值是.(2)已知P(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,当2x+ay(a>0)取得最大值8时,其最小值为.[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.考向3距离型最值问题4 (1)[2017·嘉兴一中联考]已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是.(2)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()A.4B.6C.3+1D.1+[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.考向4利用对称性求最值5 [2017·赤峰期末]一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径的长是()A.4B.5C.3-1D.2[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.强化演练1.【考向1】设实数x,y满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是()A.B.∪C.D.(-∞,-]∪[,+∞)2.【考向3】若直线l:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.B.5C.2D.103.【考向4】已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5 -4B.-1C.6-2D.4.【考向3】[2017·合肥一中三模]若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则的最小值为.5.【考向2】[2017·广东华南师大附中月考]已知实数x,y满足(x+2)2+(y-3)2=1,则|3x+4y-26|的最小值为.6.【考向3】已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥,则的最小值是.探究点三与圆有关的轨迹问题6 (1)动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.y=(2)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1[总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点A(1,0)和圆C:x2+y2=4上一点P,动点Q满足=2,则点Q的轨迹方程为()A.+y2=1B.x2+=1C.x2+=1D.+y2=1第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数. 2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出x M+x N和x M·x N,则|MN|=·.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= .6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.7.若直线过点P-3,-且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)[2017·海南中学模拟]直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)[2017·渭南二模]直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思] 判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x2+2y2=1与直线x sin θ+y-1=0θ∈R,θ≠+kπ,k∈Z的位置关系是(横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)[2017·长沙长郡中学三模]过定点P(-2,0)的直线l与曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)交于不同的两点,则直线l的斜率的取值范围是.探究点二圆的切线与弦长问题2 (1)[2017·淄博二模]过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,当=4时,直线l的方程为.(2)[2017·南充三模]已知圆的方程是x2+y2=1,则经过上一点M,的切线方程是.[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.式题 (1)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+m=0相切,则实数m的值为.(2)[2017·重庆巴蜀中学三诊]设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B 关于直线l:x+y=0对称,则= .(3)已知点M在直线x+y+a=0上,过点M引圆O:x2+y2=2的切线,若切线长的最小值为 2,则实数a的值为()A.±2B.±3C.±4D.±2探究点三圆与圆的位置关系3 (1)[2017·银川二模]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1和圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思] (1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题 (1)[2017·绵阳二诊]已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第50讲椭圆课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质+=1(a>b>0) +=1(a>b>0),常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:①当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b2tan =c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min=.(4)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则①弦长l==|y1-y2|;②直线AB的斜率k AB=-.题组一常识题1.[教材改编]椭圆36x2+81y2=324的短轴长为,焦点为,离心率为.2.[教材改编]已知动点P(x,y)的坐标满足+=16,则动点P的轨迹方程为.3.[教材改编]若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-,0),则椭圆的标准方程为.4.[教材改编]椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角,则Rt△PF1F2的面积为.题组二常错题◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是.6.短轴长等于6,离心率等于的椭圆的标准方程为.7.设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则5x2+y2-6x的最大值为.课堂考点探究探究点一椭圆的定义1 (1)过椭圆+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为()A.8B.4C.4D.2(2)[2017·西宁一模]在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则+的最大值为()A.5B.4C.3D.2[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.式题 (1)[2017·汕头三模]若椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()A.36B.16C.20D.24(2)已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b= .探究点二椭圆的标准方程2 (1) 椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为 ()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1(2)[2017·马鞍山三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E 于A,B两点.若线段AB的中点的坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.式题 (1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1(2) 过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1探究点三椭圆的几何性质3 (1)[2017·西宁二模]设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的☉F2交椭圆于点E,且点E恰好是直线EF1与☉F2的切点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.(2)椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△FAB外接圆的圆心P(m,n)在直线y=-x的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为()A.B.C.D.[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法:(1)求出a,c,代入公式e=.(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.式题 (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且=2.若·=0,则e2= ()A.-1B.2-C.2-D.-2(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.探究点四直线与椭圆的位置关系4[2018·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]已知点M是圆E:(x+)2+y2=16上的动点,点F(,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.[总结反思] (1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==(k为直线斜率).(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:式题 [2017·咸阳三模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q 两点,N为线段PQ的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点M0,,且MN⊥PQ,求线段MN所在的直线方程.第51讲双曲线课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质-=1(a>0,b-=1(a>0,b>0)常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为-=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|,则①-=1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.②-=1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.题组一常识题1.[教材改编]若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=4,则|PF2|= .2.[教材改编]已知双曲线经过点P(3,-2)和点Q(6,-7),则该双曲线的标准方程为.3.[教材改编]双曲线C:12x2-3y2=24的离心率是,渐近线方程是.题组二常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F1F2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.5.平面内到点F1(6,0),F2(-6,0)距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是.6.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是.7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为.8.P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是它的左、右焦点,且|PF1|=9,则|PF2|= .探究点一双曲线的定义及标准方程1 (1)F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且=8,则△PF1F2的周长为()A.15B.16C.17D.18(2)[2017·山西孝义一模]已知双曲线C的中点为原点O,左焦点为F(-2,0),点A为左支上一点,满足=且=4,则双曲线C的方程为()。

2019高考数学(理)一轮复习全套学案

2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12，﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。

2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件文共60页

当 t＝4 2时，取等号．故选 D.
2．已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y －4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 2－4 B. 17－1 C．6－2 2 D. 17
解析圆 C1，C2 的图象如图所示．
解设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上，所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|＝|CB|，即 2a＋3－22＋a＋32＝
2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2，所以圆心 C 的坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10.
解析设|PO|＝t，向量P→A与P→B的夹角为 θ，则|P→A|＝|P→B |＝ t2－1，sinθ2＝1t ，cosθ＝1－2sin2θ2＝1－t22，∴P→A·P→B＝ |P→A||P→B|cosθ＝(t2－1)1－t22(t＞1)，∴P→A·P→B＝t2＋t22－3(t＞ 1)，利用基本不等式可得P→A·P→B的最小值为 2 2－3，当且仅
题型 2 与圆有关的最值问题角度 1 与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)
典例 (2018·抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋
y2
－
4x
＋
1
＝
0
，
则
y x
的
最
大
值
为
____3____
，
最
小
值
为
__－___3___．
求 k＝yx－－00的最值转化为直线 y＝kx 与圆
相切．
解析原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．

2019-2020学年高考数学一轮复习-圆的标准方程导学案

2019-2020学年高考数学一轮复习圆的标准方程导学案一、学习目标1．掌握圆的标准方程及一般方程，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化；2．能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程．二、课前预习1．圆的定义(1)在平面内，到的距离等于的点的轨迹叫圆． (2)确定一个圆基本要素是和 .2．圆的标准方程是，圆心，半径为 .3．圆的一般方程是，圆心坐标为，半径为．4．若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 .5．圆心在直线y x =上，半径为22且与x 轴相切的圆的方程 .三、课堂研讨例题1 根据下列条件分别求圆的方程：（1）圆222690x y x y ++++=关于直线50x y -+=对称的圆的方程；（2）经过65A （，），1B （0，）两点，并且圆心C 在直线3490x y ++=上的圆的方程；（3）直线2,==x x y 和0=y 围成的三角形内切圆的方程．备注例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱22A P 的高度(精确到0.01米)(825≈28.72)．例题３在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈来的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C ．（１）求实数b 的取值范围；（２）求圆C 的方程．四、学后反思检测案——圆的标准方程和一般方程姓名：1．圆222670x y x y +-++=的标准方程为2．圆1)1(22=++y x 关于直线x y -=对称的圆方程为．3．若圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则b = ．4．过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为________．课外作业——圆的标准方程和一般方程姓名：1．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是 .2．圆()2225x y ++=关于坐标原点对称的圆的方程是． 3．与x 轴、y 轴都相切，并且过点()1,8的圆的圆心坐标为 .4．过点()()1,1,1,1A B --，圆心在直线20x y ++=上的圆的方程是 .5．已知一圆过(4,2)P -，(1,3)Q -两点，且在y 轴上截得线段的长为43，则圆的方程为 .6．已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=，点(0,1)A -、(0,1)B ，P 是圆C 上的动点，当22PA PB +取最大值时，点P 的坐标是________．7．已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，则点M 的坐标满足的关系式是 .8．已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+t y t x t y x 表示一个圆，（1）求t 的范围；⑵ 求面积最大的圆方程；⑶ 若圆关于直线02=-+y x 对称，求圆的方程.。

全国通用近年高考数学大一轮复习第八章解析几何课时达标43圆的方程(2021年整理)

（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何课时达标43 圆的方程编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何课时达标43 圆的方程）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第43讲圆的方程［解密考纲］对圆的方程的考查以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．圆(x－1)2＋(y－2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（A）A．(x－2)2＋（y－1）2＝1 B．（x＋1)2＋(y－2）2＝1C．(x＋2)2＋(y－1）2＝1 D．(x－1）2＋（y＋2）2＝1解析设对称圆的方程为（x－a）2＋（y－b)2＝1，圆心(1,2）关于直线y＝x的对称点为(2,1),故对称圆的方程为(x－2）2＋（y－1）2＝1。

故选A．2．圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1，2）的圆的方程是（A)A．x2＋（y－2)2＝1 B．x2＋（y＋2）2＝1C．(x－1）2＋(y－3）2＝1 D．x2＋（y－3）2＝1解析设圆心坐标为(0，a)，则错误!＝1，∴a＝2，故圆的方程为x2＋（y－2）2＝1.3．以（1,0)为圆心,且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程为（C)A．x2＋错误!2＝错误!B．x2＋（y－1）2＝错误!C．（x－1)2＋y2＝错误!D．（x－2）2＋y2＝错误!解析由已知得圆的半径长等于点（1,0）到直线3x＋4y＝0的距离，即r＝错误!＝错误!,所以所求圆的方程为（x－1)2＋y2＝错误!。

高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程学案文北师大版

第三节圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第114页)[基础知识填充]1．圆的定义及方程2. 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [知识拓展]1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.2．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) [解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确． (2)中，当t ≠0时，表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆，不正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23D [由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．(2017·西安质检)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．x 2＋(y －1)2＝1 [两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.]5．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________.【导学号：00090274】(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即a ＋2＋1＝a －2＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)，半径|CA |＝＋2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.](对应学生用书第115页)(1)(，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53B ．213C ．253D ．43(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(1)B (2)(x －2)2＋y 2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213，故选B ．法二：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.所以△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233.因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.][规律方法] 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[变式训练1] (1)(2018·郑州模拟)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________.【导学号：00090275】(2)(2018·青岛模拟)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．(1)x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10) (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4 [(1)法一：∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．易知线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆的圆心为C (a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，b ＝－12a －，解得a ＝2，且b ＝1.因此圆心坐标C (2,1)，半径r ＝|AC |＝10. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.(2)设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]已知M (x Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝＋2＋－2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. [母题探究1] (变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值． [解] 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋－2＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.[母题探究2] (变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] ∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22，∴|MQ |的最小值为7－2 2.[规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求解．根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、基本不等式求最值是比较常用的． [变式训练2] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.图1 图2 图3(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中， |PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． [变式训练3] (2018·武威模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．[解] 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．。

高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程学案理北师大版

第三节圆的方程[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第134页)[基础知识填充]1．圆的定义及方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )[解析]由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D[由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1D [由(2a )2＋(a －2)2＜5得－15＜a ＜1.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.](对应学生用书第135页)(1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10(1)D (2)C [(1)设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C ．]直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程待定系数法：①若已知条件与圆心a ，和半径b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的标准方程为( )【导学号：79140274】A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(1)C (2)(x －2)2＋y 2＝9 [(1)到两直线3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，所以圆M 的圆心坐标为(－3，－1)，又两平行线之间的距离为1032＋42＝2，所以圆M的半径为1，所以圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1，故选C ． (2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.]已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.1．(变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．[解] 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.2．(变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] ∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴|MQ |的最小值为7－2 2.形如形如形如x －2＋y －2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题[跟踪训练(1)(2018·陕西质检(一))的距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2(2)(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4D.163(1)A (2)D [(1)由已知得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为|1－1－2|2＝2，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋2，故选A ．(2)由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.]已知A (2,0) 为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.【导学号：79140275】(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解定义法：根据圆的定义列方程求解几何法：利用圆的几何性质得出方程求解代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，[跟踪训练] 已知点－1,0)连线段的中点M 的轨迹方程．[解] 由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9.设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9，化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.。

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题43圆的方程(教学案)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)圆心C (a ，b ) 半径为r一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＝0充要条件：D 2＋E 2－4F ＞0圆心坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2半径r ＝12D 2＋E 2－4F2. 点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)d ＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外；(2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)d ＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内．高频考点一求圆的方程例1、(1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________.(2)抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为 (x －1)2＋y 2＝4.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(x －1)2＋y 2＝4【举一反三】(1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. (2)根据下列条件，求圆的方程．①经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； ②圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．②方法一如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，3－x 02＋－2－y02＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.【感悟提升】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．【变式探究】(1)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________． (2)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________．答案 (1)x 2＋(y －1)2＝1 (2)(x －3)2＋y 2＝2高频考点二与圆有关的最值问题例2、已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆. (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1).所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.【感悟提升】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．【变式探究】(1)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为 ( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 |PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.(2)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． ①求|MQ |的最大值和最小值； ②若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．②可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 变式探究三与圆有关的轨迹问题例3、设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．【举一反三】已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.【感悟提升】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【变式探究】已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN . 在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1.【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程. 【答案】（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）3630x -=，或3630x -=. 【解析】（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =， 2p a =， 12a c -=，解得1a =， 12c =， 2p =，于是22234b ac =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.所以，直线AP 的方程为3630x +-=，或3630x -=.1.【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34- （C 3（D ）2 【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．1.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±，所以46MN =C ．2.【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）53-或35-（B）32-或23-（C）54-或45-（D）43-或34-【答案】D整理：21225120k k++=，解得：43k=-，或34k=- ,故选D．3.【2015高考陕西，理15】设曲线xy e=在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y xx=>上点P处的切线垂直，则P的坐标为．【答案】()1,1【解析】因为xy e=，所以xy e'=，所以曲线xy e=在点()0,1处的切线的斜率0101xk y e='===，设P的坐标为()00,x y（x>），则1yx=，因为1yx=，所以21yx'=-，所以曲线1yx=在点P处的切线的斜率0221x xk yx='==-，因为121k k⋅=-，所以211x-=-，即21x=，解得1x=±，因为x>，所以1x=，所以1y=，即P的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．4.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l与圆221:650C x y x+-+=相交于不同的两点A，B．（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线:(4)L y k x=-与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x⎛⎫⎛⎫-+=<≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）332525,44k⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U．【解析】（1）由22650x y x+-+=得()2234x y-+=，∴ 圆1C的圆心坐标为()3,0；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5253E ⎛ ⎝⎭，525,3F ⎛ ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆C 223402321k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±，又25025543DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点． 1．（2014·福建卷）设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2LDxyOC EFC ．7＋ 2D ．6 2 【答案】D2．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|. 【解析】解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187.3．（2013·重庆卷）如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)．又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈[－4，4])．设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取得最小值．又因x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取得最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.因为PQ⊥P′Q，且P′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP →′＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0，解得x 1＝±4 63，x 0＝x 12＝±2 63，从而|QP|2＝8－x 20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2 632＋y 2＝163.4．(2013年高考江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y ＝1相切，则圆C 的方程是________．解析：由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254。

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第43讲圆的方程1．圆的定义及方程(1)理论依据：！！！！__点__####与！！！！__圆心__####的距离与半径的大小关系．(2)三种情况圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，①(x0－a)2＋(y0－b)2！！！！__＝__####r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2！！！！__>__####r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2！！！！__<__####r2⇔点在圆内．3．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z 轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做！！！！__坐标原点__####，x轴、y轴、z轴统称！！！！__坐标轴__####，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指一定指向z 轴的！！！！__正方向__####.(3)空间一点M 的坐标为有序实数组(x ，y ，z )，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的！！！！__横坐标__####，y 叫做点M 的！！！！__纵坐标__####，z 叫做点M 的！！！！__竖坐标__####.(4)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝！！！！，AB 的中点P 的坐标为！！！！__⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22__####.1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( × ) (2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( × )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( √ )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20 ＋Dx 0 ＋Ey 0＋F >0.( √ ) (5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )解析 (1)错误．t ≠0时，方程表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆． (2)错误．a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即－2<a <23时，方程才表示圆．(3)正确．当A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0时，方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，反之也成立．(4)正确．因为点M (x 0，y 0)在圆外，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 22>D 2＋E 2－4F 4，即x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.(5)正确．设M (x ，y )是圆上异于直径端点A ，B 的点，由y －y 1x －x 1·y －y 2x －x 2＝－1，得(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.显然A ，B 也满足上式．所以以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2．已知点A (1，－1)，B ( －1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( A ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 ∵圆心为(0,0)，半径r ＝12(－1－1)2＋(1＋1)2＝2，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.3．方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( B ) A ．(－∞，－2)∪()2，＋∞ B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)解析 ∵方程表示圆，则m 2＋(－2)2－4×3>0， ∴m <－22或m >2 2.4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 满足的条件是( A ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±1解析 ∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，即－1<a <1.5．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，M 为AC 1与CA 1的交点，则点M 的坐标为！！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 ####.解析由长方体的几何性质，得M 为AC 1的中点，在所给的坐标系中，A (0,0,0)，C 1(2,3,2)，则中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，32，1.一求圆的方程求圆的方程的方法(1)方程选择的原则：求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．(2)求圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．【例1】根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．解析 (1)由题意知k AB ＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心C (a ，b )． ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36， ④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0 或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (3)如图，设圆心(x 0，－4x 0)．依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.二与圆有关的最值问题(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【例2】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值； (3)求yx的最大值和最小值．解析方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0变形为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，最小值是(2－3)2＝7－4 3.(3)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋(－1)2＝3，解得k ＝± 3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.三与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的方法求解与圆有关的轨迹问题应根据题设条件的不同采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解析(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，点P坐标为(2x－2,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.四空间直角坐标系中的对称问题解决空间直角坐标系中点的对称问题的关注点(1)看清所求问题是关于坐标轴对称还是坐标平面对称，明确哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化．(2)记清各类对称点坐标间的对称关系，是解决此类问题的关键．(3)可借助于坐标系中的长方体模型帮助记忆点P关于原点、坐标轴、坐标平面的对称的特点，以便解决其他问题．【例4】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心是坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析由题意得，点B与点A关于xOz平面对称，故点B的坐标为(－2,3，－1)；点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)．由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1), C1(2,3,1), D1(2，－3,1)．1．(2018·湖北长阳一中月考)已知点A (2，－1，－3)，点A 关于x 轴的对称点为点B ，则|AB |的值为( D )A ．4B ．6C ．14D ．210解析由题意可知点A 关于x 轴的对称点B 的坐标为(2,1,3)，所以|AB |＝0＋4＋36＝210.故选D ．2．(2018·河北邢台一中月考)已知圆的圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是( B )A ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0 C ．x 2＋y 2－4x －6y ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0解析由题意可设圆的直径两端点坐标为A (a,0)，B (0，b )，由圆心坐标可得a ＝4，b ＝－6，可求得2R ＝|AB |＝213，∴R ＝13，可得圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，即x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0.故选B ．3．已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( D )A ．3 5B ．6 5C ．4 5D ．215解析圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝2 5.∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2， ∴BD ＝2BE ＝25－2＝2 3. ∴S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ×EA ＋12BD ×EC ＝12BD ×(EA ＋EC )＝12BD ×AC ＝12×23×25＝215.故选D ．4．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解析 (1)由已知得，圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)由题意可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)⎝⎛⎭⎪⎫其中x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，将y ＝tx 代入圆C 1的方程，整理得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0，则有x 1＋x 2＝61＋t2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t 2.因为x 20＋y 20＝9(1＋t 2)2＋9t 2(1＋t 2)2＝9(1＋t 2)(1＋t 2)2＝91＋t2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 又因为方程(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝36－20(1＋t 2)>0，解得t 2<45，且t 2≥0，所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.易错点忽视圆的方程中的隐含条件致误错因分析：忽视圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的隐含条件D 2＋E 2－4F ＞0而导致错误．【例1】若过点(0,0)作圆x 2＋y 2＋kx ＋2ky ＋2k 2＋k －1＝0的切线有两条，则k 的取值范围是！！！！______####.解析因为方程表示圆，所以k 2＋(2k )2－4(2k 2＋k －1)＞0，即3k 2＋4k －4＜0，解得－2＜k ＜23.①由题意，得点(0,0)在圆外，所以2k 2＋k －1＞0，解得k ＞12或k ＜－1.②由①②，得－2＜k ＜－1或12＜k ＜23，故k 的取值范围是(－2，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23.答案 (－2，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 【跟踪训练1】 (2016·浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是！！！！__(－2，－4)__####，半径是！！！！__5__####.解析方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则a 2＝a ＋2，故a ＝－1或a ＝2.当a ＝2时，方程4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，亦即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不成立，故舍去；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.课时达标第43讲[解密考纲]对圆的方程的考查以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( A ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析设对称圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，圆心(1,2)关于直线y ＝x 的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A ．2．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( A ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析设圆心坐标为(0，a )，则(1－0)2＋(2－a )2＝1，∴a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．以(1,0)为圆心，且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程为( C ) A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1162＝125B ．x 2＋(y －1)2＝1625C ．(x －1)2＋y 2＝925D ．(x －2)2＋y 2＝3625解析由已知得圆的半径长等于点(1,0)到直线3x ＋4y ＝0的距离，即r ＝|3×1|32＋42＝35，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝925.4．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( A )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D ．3－22解析圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋2|2＝322，则点C 到直线AB 的最短距离为322－1.又因为|AB |＝22，所以△ABC 面积的最小值为12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2.5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为( B ) A ． 5B ．10C ．9D ．5＋2 5解析原方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．设x －2y ＝b ，则x －2y 可看作直线x －2y ＝b 在x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值，此时|1＋4－b |5＝5，∴b ＝10或b ＝0，∴x －2y 的最大值是10.6．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，右焦点F (c,0)，方程ax 2－bx －c＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝8的位置关系为( C )A ．点P 在圆外B ．点P 在圆上C ．点P 在圆内D ．不确定解析 ∵e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1，∴b a＝1，∴a ＝b ，c ＝2a ，∴方程ax 2－bx －c ＝0 可化为x 2－x －2＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－ 2.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1＋22<8，∴点P 在圆内．故选C ．二、填空题7．圆心在直线2x －y ＝3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是！！！！__(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1__####.解析依题意设圆心为(a,2a －3)，因为圆与两坐标轴均相切，所以|a |＝|2a －3|，解得a ＝1或a ＝3，即r ＝1或3，故圆的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.8．若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆C 的方程是！！！！__x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0__####.解析设C (a ，b )，因为已知圆的圆心为A (－1,0)，由点A ，C 关于直线x ＋y －1＝0对称，得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＋1×(－1)＝－1，a －12＋b2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.又因为圆的半径是1，所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0.9．若过点P (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是！！！！ (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 ####.解析圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a .因为过点P (a ，a )能作圆的两条切线，所以点P 在圆的外部，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，3－2a >0，解得a <－3或1<a <32.故a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 三、解答题10．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (4,3)，M 是BC 的中点．(1)求AB 边所在直线的方程；(2)求以线段AM 为直径的圆的方程．解析 (1)因为A (－1,5)，B (－2，－1)，所以由两点式得AB 的方程为y －5－1－5＝x －(－1)－2－(－1)，整理得6x －y ＋11＝0. (2)因为M 是BC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋42，－1＋32，即M (1,1)，所以|AM |＝(－1－1)2＋(5－1)2＝25，所以圆的半径为 5.所以AM 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12，5＋12，即中点为(0,3)，所以以线段AM 为直径的圆的方程为x 2＋(y －3)2＝5.11．一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解析设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E .由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0.①又因为圆过点A ，B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若点P 到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解析 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3. ②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.。