新初中数学方程与不等式之无理方程真题汇编附答案

新初中数学方程与不等式之无理方程真题汇编附答案
一、选择题
1．x =-的解是_____．
【答案】x ＝﹣1．
【解析】
【分析】
把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
把方程两边平方得x +2＝x 2，
整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，
解得：x ＝2或﹣1，
经检验，x ＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x ＝﹣1．
【点睛】
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
2．方程(x 30-=的解是______．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
求出x 0=，求出即可．
【详解】
解：(x 30-=Q ，
2x 0∴-≥，
x 2∴≤，
x 30∴-≠，
0=Q ，
x 2=，
故答案为：x 2=．
【点睛】
0=是解此题的关键．
3．0的根是____．
【答案】x=1
【解析】
【分析】
将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．
【详解】
原方程变形为x （x-1）=0，
∴x=0或x-1=0，
∴x=0或x=1，
∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，
∴x=0不符合题意，舍去，
∴方程的根为x=1，
故答案为x=1．
【点睛】
本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．
4．的根是____．
【答案】x ＝．
【解析】
【分析】
二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．
【详解】
1=Q
211x ∴-=
22x ∴=
x ∴=经检验 x ＝是原方程的根，
∴x ＝．
故答案为x ＝．
【点睛】
此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．方程21x +
=___________。

【答案】x=1
【解析】
【分析】
将原式移项合并同类型后得210x -=,再对一元二次方程求解即可.
【详解】
因为该方程变形为210x -=，所以121,1x x ==-，检验知x=1为该方程的实数根.
【点睛】
本题考查了无理方程,利用移项、合并同类项的方法把无理方程转化成一元二次方程，在解
题过程中要注意检验.
6．k =有实数根，则k 的取值范围为___________
【答案】
【解析】
【分析】
方程两边同时平方，再移项，根据x 2≥0求解即可.
【详解】
k =，
∴222x k +=，即222x k =-，
∵x 2≥0，
∴220k -≥，
∴k 或k≤
k =有实数根，
∴k ＞0，
∴k .
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
7．请将方程的解写在后面的横线上：______
【答案】x=7
【解析】
【分析】
先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0，求出x 的值，再进行检验即可．
【详解】
解：，
x-3=0或x-7=0，
x=3或x=7，
检验：当x=3x=3不是原方程的解；
x=7是原方程的解，
故答案为：x=7．
【点睛】
本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．
8．无理方程(0x -=的根是____.
【答案】x=2.
【解析】
【分析】
根据0乘任何数都得零，可得方程的解，根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】
解：由(0x -=，
∴x-5=0或2-x=0，
解得：x=5，x=2，
∵20x -≥，
∴2x ≤，
当x=5时，被开方数无意义；
故方程的解为：x=2，
故答案为：x=2．
【点睛】
本题考查了无理方程，利用0乘任何数都得零是解题关键，注意被开方数是非负数．
9．2的根是 ．
【答案】x=
53． 【解析】
2=，∴3x ﹣1=4，∴x=
53，经检验x=53是原方程组的解，故答案为x=53
． 考点：无理方程．
10．3=的解的是x =__________________．
【答案】8x =
【解析】
【分析】
把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求出x 的值，然后进行检验.
【详解】
两边平方得：x+1=9，
解得：x=8．
检验：x=8是方程的解．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根的定义，解题的关键是熟练的掌握平方根.
11．3=的解是______．
【答案】4x =
【解析】
【分析】
把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】
3=，
∴2x+1=9，
∴2x=8，
∴x=4，
经检验x=4是原方程的解．
故答案为：x=4．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
12．0=的解是________；
【答案】4x =
【解析】
【分析】
0=得30x -=或40x -=，解出x 的值并检验即可．
【详解】
0=
∴30x -=或40x -=
123,4x x ==
经检验，3x =为原方程的增根，应舍去
所以，原方程的根是4x =．
故答案为：4x =．
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解法，并注意检验．
13．方程(0x +=的解是___________________．
【解析】
试题解析：()120,x x +-=
10x ∴+=或20.x -=
解得：1x =-或 2.x =
当1x =-时，2x -不成立，故舍去.
故答案为 2.x =
14．如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．
【答案】423±．
【解析】
【分析】
根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．
【详解】
解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，
所以22(35)(4)4a -+-=，
即2
4(4)16a +-=， 2(4)12a -=，
423a -=±，
423a =±．
故答案为：423±．
【点睛】
本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．
15．如图，ABC ∆中，AB AC =, 点D 在线段BC 的延长线上， 连接AD ，CD=1，BC=12，∠DAB=30°， 则 AC =__________．
【答案】39
【解析】
【分析】
过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．根据AE+DE=AD ，分别利用勾股定理求出AE ，DE ，AD ，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．
在Rt △ABE 中，
∵∠BAE=30°，AB=x ，
∴BE=12AB=12x ，33， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ，
∴CH=BH=6，
在Rt △AHB 中，AH 2=x 2-62，
在Rt △DBE 中，22221134BD BE x -=-
， 在Rt △ADH 中，2222267AH DH x +-+ ∵AE+DE=AD ， 222223113674
x x x +-=-+ 整理得：x 4-13×51x-(12×13)2=0，
解得x 2=13×48或13×3（舍去），
∵x ＞0，
∴39，
经检验：39是无理方程的解，
∴39
故答案为39．
【点睛】
本题考查勾股定理，解直角三角形，无理方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．若方程4m +
=无实数根，则m 的取值范围是_________． 【答案】m>4
【解析】
【分析】
4m =-，由非负数的算术平方根不是负数求得答案．
【详解】
解：因为：4m =
4m =-，
因为原方程无实根，所以：4m -＜0
解得：m ＞4．
故答案为：m ＞4．
【点睛】
本题考查无理方程的实数根的情况，掌握算数平方根不是非负数的性质是解题的关键．
17．如果关于x x =的一个根为3，那么a =_______
【答案】3
【解析】
【分析】
把3x =代入原方程即可得到答案．
【详解】
解：把3x =3=，
两边平方得：69a +=，
所以：3a =，经检验：3a =符合题意，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查方程的解的含义以及解无理方程，掌握方程的解及解无理方程的方法是关键．
18．0=的根是__________________． 【答案】x=2
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可．
【详解】
∵x+1≥0，x-2≥0，
∴x ≥2．
0=，
∴x+1=0或x-2=0，
∴x 1=-1（舍去），x 2=2．
故答案为：x=2．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点．
19．3x m =
+有一个根是x=3，那么m=__________________． 【答案】2
【解析】
【分析】
3x m =
+有一个根是x=3,代入后即可求解关于m 的无理方程. 【详解】
3
x m =
+有一个根是x=3，
1m =+，
两边平方得：15-3m=1+2m+m²,
解得：m=-7或2，
当m=-7时，1+m=-6<0,不合题意，舍去，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握用平方法解无理方程.
20．1=的解为_____．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
1=两边同时乘方，即可解答.
【详解】
方程两边平方得：x ﹣1＝1，
解得：x ＝2，
经检验x ＝2是原方程的解，
故答案为：x ＝2
【点睛】
本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.。