北师大版必修第一册1-2-3全称量词与存在量词课件(31张)
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作“对任意的” 全称量 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命 词命题 题叫作全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
存在 量词
“有些”“有一个”“存在”都有表示__个__别______或 ___一__部__分___的含义，这样的词叫作存在量词．用符号
“∃”表示，读作“存在”
存在量 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫
(1)解：①0 是有理数，但是 0 没有倒数，所以此命题是假命题． ②负数没有平方根，所以此命题是假命题． ③对于任意的 x∈R，x2＋x＋1＝x＋122＋34>0 恒成立，所以此命题是真命题． ④凸多边形的外角和等于 360°是真命题． (2)解：①方程 x2－2＝0 无有理数根，所以该命题是假命题． ②因为不存在 x∈R，使x－1 1＝0 成立，所以该命题是假命题． ③x＝0 是方程 2x－x3＝0 的一个有理数根，所以该命题是真命题． ④由于 3x＋4＝5 成立时，x＝13∉Z，因而不存在 x∈Z，使 3x＋4＝5，所以该命题是假 命题．
[练习 2](1)判断全称量词命题真假时，真命题容易判断还是假命题容易判断？存在量 词命题呢？
(2)下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题？并判断真假． ①在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； ②存在一个实数，它的绝对值不是正数； ③∃x，y∈Z，使 3x－4y＝20； ④任何数的 0 次方都等于 1.
第一章 预备知识
§2 常用逻辑用语
第3课时 全称量词与存在量词
课前篇·自主梳理知识
【主题】 全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词与全称量词命题
“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是 全称 在_指__定__范__围___内表示___整__体_____或____全__部____的含 量词 义，这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
[练习 1](1)通常什么情况下会省略量词？ (2)判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． ①对任意的 n∈Z,2n＋1 是奇数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的实数是无限不循环小数； ④所有的正方形都是矩形．
(1)解：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． (2)解：①含有全称量词“任意”，故为全称量词命题． ②含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． ③含有存在量词“有的”，故为存在量词命题． ④含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．
解：(1)∀x∈R，x2－x＋14≥0 恒成立． x2－x＋14＝x－122≥0，故该命题为真命题． (2)∃x∈R，使得x2－21x＋3＝34. 因为 x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， 所以x2－21x＋3≤12<34.故该命题为假命题．
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (1)全称量词命题的真假判断．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M 中的 一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)存在量词命题的真假判断．要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x，使 p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[解题探究] 在与全称量词命题与存在量词命题的应用有关的问题中，经常利用核心
素养中的逻辑推理，通过研究全称量词命题和存在量词命题的意义，推理得到参数的取值
范围．
[延伸探究] 将本例(1)的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数 m 的取值范围．
解：依题意，方程 x2＋2x＋2－m＝0 有实数解， 所以 Δ＝4－4(2－m)≥0，解得 m≥1. 则实数 m 的取值范围为[1，＋∞)．
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如 x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根 的判别式等知识解决．
[练习 3]已知命题 p：“∀x≥3，使得 2x－1≥m”是真命题，则实数 m 的取值范围是 _(_－__∞__，__5_] _．
2．下列命题中是存在量词命题的是( B ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( C ) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在实数 x，平方为 8 C．所有菱形的四条边都相等 D．存在一个实数 x 使不等式 x2－3x＋6<0 成立
是实数吗_存__在__量__词__命__题____(填“全称量词命题”或
“存在量词命题”)，用符号表示为___∃__x_，__y_∈__R_，__x_＋__y_>_1___．
5．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假． (1)不等式 x2－x＋14≥0 对一切实数 x 都成立； (2)存在实数 x，使得x2－21x＋3＝34.
词命题 作存在量词命题
微提醒：有些命题虽然省去了全称量词，但是它仍然是全称量词命题．例如：“正方
形都是矩形”省去了全称量词“所有的”．
[自我检测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“ ”)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．( √ ) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．( √ ) (3)全称量词命题一定含有全称量词．( )
(1)解：判断全称量词命题为假比判断其为真容易，只需举出一个反例即可；判断存在 量词命题为真比判断其为假容易，只需找到一个特例即可．
(2)解：①全称量词命题，在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐 标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
②存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． ③存在量词命题，取 x＝0，y＝－5 时，3×0－4×(－5)＝20 成立，所以该命题是真 命题． ④全称量词命题，0 的 0 次方无意义，所以该命题是假命题．
课堂篇·重难要点突破
研习 1 全称量词命题与存在量词命题的判断 [典例 1] (1)下列命题中为全称量词命题的是( B ) A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．∃x∈R，x2＋x≤2 (2)下列命题中为存在量词命题的是( A ) A．存在实数 x>1，使 x2>1 B．全等的三角形必相似 C．相似三角形必全等 D．∀x∈N＋，(x－2)2>0
答案： (1)√ 解析：全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质， 无一例外，强调“整体、全部”． (2)√ 解析：存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、 部分”． (3) 解析：有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题
也是全称量词命题，如“正数大于 0”即“所有正数都大于 0”，故说法是错误的．
课后篇·演练提升方案
1．下列命题是全称量词命题的是( B ) A．有的三角形是等边三角形 B．所有 2 的倍数都是偶数 C．有一个实数，使|x|≤0 D．至少有一个 x∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数 2．下列命题中是真命题的是( B ) A．∃x∈R，x2＋1<0 B．∃x∈Z,3x＋1 是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z
(3)判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． ①有一个实数 x，x 不能取倒数； ②所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； ③圆内接四边形，其对角互补； ④若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
(3)解：①含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题． ②含有全称量词“所有”，故为全称量词命题． ③可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题． ④若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
3 ． 下 列 命 题 中 ， 是 全 称 量 词 命 题 的 有 __②__③______ ， 是 存 在 量 词 命 题 的 有 __①__④______．(填序号)
①有的集合的真子集个数为 0；②所有有两个角是 60°的三角形是等边三角形；③任
意一个集合与空集的交集都是空集；④至少有一个无理数的平方是有理数；⑤所有正数都
研习 3 全称量词命题与存在量词命题的应用
[典例 3] (1)已知命题 p：“∃x∈R，关于 x 的一元二次方程 x2－2 3x＋m＝0 有实数
根”是真命题，则实数 m 的取值范围是( C )
A．(－∞，3)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，3]
D．[3，＋∞)
(2)已知命题 p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数 m 的取值范围是__[_0_，__＋__∞__) ．
研习 2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [典例 2] (1)判断下列全称量词命题的真假： ①所有的有理数都有倒数； ②任何实数都有平方根； ③∀x∈R，使 x2＋x＋1>0； ④凸多边形的外角和等于 360°.
(2)判断下列存在量词命题的真假： ①存在有理数 x，使 x2－2＝0； ②存在一个 x∈R，使x－1 1＝0； ③存在 x∈Q，使 2x－x3＝0； ④∃x∈Z，使 3x＋4＝5.
2.存在量词与存在量词命题
存在 量词
“有些”“有一个”“存在”都有表示__个__别______或 ___一__部__分___的含义，这样的词叫作存在量词．用符号
“∃”表示，读作“存在”
存在量 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫
(1)解：①0 是有理数，但是 0 没有倒数，所以此命题是假命题． ②负数没有平方根，所以此命题是假命题． ③对于任意的 x∈R，x2＋x＋1＝x＋122＋34>0 恒成立，所以此命题是真命题． ④凸多边形的外角和等于 360°是真命题． (2)解：①方程 x2－2＝0 无有理数根，所以该命题是假命题． ②因为不存在 x∈R，使x－1 1＝0 成立，所以该命题是假命题． ③x＝0 是方程 2x－x3＝0 的一个有理数根，所以该命题是真命题． ④由于 3x＋4＝5 成立时，x＝13∉Z，因而不存在 x∈Z，使 3x＋4＝5，所以该命题是假 命题．
[练习 2](1)判断全称量词命题真假时，真命题容易判断还是假命题容易判断？存在量 词命题呢？
(2)下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题？并判断真假． ①在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； ②存在一个实数，它的绝对值不是正数； ③∃x，y∈Z，使 3x－4y＝20； ④任何数的 0 次方都等于 1.
第一章 预备知识
§2 常用逻辑用语
第3课时 全称量词与存在量词
课前篇·自主梳理知识
【主题】 全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词与全称量词命题
“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是 全称 在_指__定__范__围___内表示___整__体_____或____全__部____的含 量词 义，这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
[练习 1](1)通常什么情况下会省略量词？ (2)判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． ①对任意的 n∈Z,2n＋1 是奇数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的实数是无限不循环小数； ④所有的正方形都是矩形．
(1)解：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． (2)解：①含有全称量词“任意”，故为全称量词命题． ②含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． ③含有存在量词“有的”，故为存在量词命题． ④含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．
解：(1)∀x∈R，x2－x＋14≥0 恒成立． x2－x＋14＝x－122≥0，故该命题为真命题． (2)∃x∈R，使得x2－21x＋3＝34. 因为 x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， 所以x2－21x＋3≤12<34.故该命题为假命题．
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (1)全称量词命题的真假判断．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M 中的 一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)存在量词命题的真假判断．要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x，使 p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[解题探究] 在与全称量词命题与存在量词命题的应用有关的问题中，经常利用核心
素养中的逻辑推理，通过研究全称量词命题和存在量词命题的意义，推理得到参数的取值
范围．
[延伸探究] 将本例(1)的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数 m 的取值范围．
解：依题意，方程 x2＋2x＋2－m＝0 有实数解， 所以 Δ＝4－4(2－m)≥0，解得 m≥1. 则实数 m 的取值范围为[1，＋∞)．
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如 x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根 的判别式等知识解决．
[练习 3]已知命题 p：“∀x≥3，使得 2x－1≥m”是真命题，则实数 m 的取值范围是 _(_－__∞__，__5_] _．
2．下列命题中是存在量词命题的是( B ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( C ) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在实数 x，平方为 8 C．所有菱形的四条边都相等 D．存在一个实数 x 使不等式 x2－3x＋6<0 成立
是实数吗_存__在__量__词__命__题____(填“全称量词命题”或
“存在量词命题”)，用符号表示为___∃__x_，__y_∈__R_，__x_＋__y_>_1___．
5．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假． (1)不等式 x2－x＋14≥0 对一切实数 x 都成立； (2)存在实数 x，使得x2－21x＋3＝34.
词命题 作存在量词命题
微提醒：有些命题虽然省去了全称量词，但是它仍然是全称量词命题．例如：“正方
形都是矩形”省去了全称量词“所有的”．
[自我检测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“ ”)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．( √ ) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．( √ ) (3)全称量词命题一定含有全称量词．( )
(1)解：判断全称量词命题为假比判断其为真容易，只需举出一个反例即可；判断存在 量词命题为真比判断其为假容易，只需找到一个特例即可．
(2)解：①全称量词命题，在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐 标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
②存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． ③存在量词命题，取 x＝0，y＝－5 时，3×0－4×(－5)＝20 成立，所以该命题是真 命题． ④全称量词命题，0 的 0 次方无意义，所以该命题是假命题．
课堂篇·重难要点突破
研习 1 全称量词命题与存在量词命题的判断 [典例 1] (1)下列命题中为全称量词命题的是( B ) A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．∃x∈R，x2＋x≤2 (2)下列命题中为存在量词命题的是( A ) A．存在实数 x>1，使 x2>1 B．全等的三角形必相似 C．相似三角形必全等 D．∀x∈N＋，(x－2)2>0
答案： (1)√ 解析：全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质， 无一例外，强调“整体、全部”． (2)√ 解析：存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、 部分”． (3) 解析：有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题
也是全称量词命题，如“正数大于 0”即“所有正数都大于 0”，故说法是错误的．
课后篇·演练提升方案
1．下列命题是全称量词命题的是( B ) A．有的三角形是等边三角形 B．所有 2 的倍数都是偶数 C．有一个实数，使|x|≤0 D．至少有一个 x∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数 2．下列命题中是真命题的是( B ) A．∃x∈R，x2＋1<0 B．∃x∈Z,3x＋1 是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z
(3)判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． ①有一个实数 x，x 不能取倒数； ②所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； ③圆内接四边形，其对角互补； ④若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
(3)解：①含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题． ②含有全称量词“所有”，故为全称量词命题． ③可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题． ④若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
3 ． 下 列 命 题 中 ， 是 全 称 量 词 命 题 的 有 __②__③______ ， 是 存 在 量 词 命 题 的 有 __①__④______．(填序号)
①有的集合的真子集个数为 0；②所有有两个角是 60°的三角形是等边三角形；③任
意一个集合与空集的交集都是空集；④至少有一个无理数的平方是有理数；⑤所有正数都
研习 3 全称量词命题与存在量词命题的应用
[典例 3] (1)已知命题 p：“∃x∈R，关于 x 的一元二次方程 x2－2 3x＋m＝0 有实数
根”是真命题，则实数 m 的取值范围是( C )
A．(－∞，3)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，3]
D．[3，＋∞)
(2)已知命题 p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数 m 的取值范围是__[_0_，__＋__∞__) ．
研习 2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [典例 2] (1)判断下列全称量词命题的真假： ①所有的有理数都有倒数； ②任何实数都有平方根； ③∀x∈R，使 x2＋x＋1>0； ④凸多边形的外角和等于 360°.
(2)判断下列存在量词命题的真假： ①存在有理数 x，使 x2－2＝0； ②存在一个 x∈R，使x－1 1＝0； ③存在 x∈Q，使 2x－x3＝0； ④∃x∈Z，使 3x＋4＝5.