2018学年高中数学选修2-2课件：1.5.1+1.5.2 定积分 精品

0，1n，1n，2n，…，i－n 1，ni ，…，n－n 1，nn， 简写作i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)． 每个小区间的长度为 Δx＝ni －i－n 1＝1n.过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分 成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间i－n 1，ni 上任取一点 ξi(i＝ 1,2，…，n)，为了计算方便，取 ξi 为小区间的左端点，用 f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－ i－n 1i－n 1－1为其一边长，以小区间长度 Δx＝1n为另一边长的小矩形对应的面积 近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为 ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－i－n 1i－n 1－1·1n(i＝1,2，…，n)．
(4)逼近 当分割无限变细，即 Δx→0 时，n→∞， 此时－16n12－1→16.从而有 S＝16. 所以由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图形面积为16.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤 (1)分割．在区间[a，b]中等间隔地插入 n－1 个分点，将其等分成 n 个小区间 [xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间的长度 Δxi＝xi－xi－1. (2)以直代曲．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求 出小曲边梯形面积的近似值． (3)作和．将 n 个小矩形的面积进行求和得 Sn. (4)逼近．当 n→∞时，Sn→S，S 即为所求．
【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．
设此面积为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx.
0
0
(1)
(2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．
设面积为 S，则 S＝A1＋A2.
因为 A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成，
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成，
所以 A1＝1[ x－(－ x)]dx＝12 xdx，
0
0
A2＝4[ x－(x－2)]dx＝4( x－x＋2)dx.
1
1
故 S＝12 x dx＋4( x－x＋2)dx.
0
1
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积
分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)bf(x)dx＝bf(t)dt.( )
a
a
(2)bf(x)dx 的值一定是一个正数．( ) a
(3)b(x2＋2x)dx＝bx2dx＋b2xdx.(
)
a
a
a
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
xi，…，xn.作和 Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx. 如果当 Δx→ 0 (亦即 n→ ＋∞ )时，Sn→S(常数)，那么称 常数S 为函数 f(x)
bf(x)dx
在区间[a，b]上的定积分．记为
S＝
a
.
其中， f(x) 称为被积函数，[a，b]称为积分区间， a 称为积分下限， b 称为积
[小组合作型] 利用定积分的定义求曲边梯形的面积
求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图形面积． 【精彩点拨】 按分割、以值代曲、作和、逼近四个步骤进行求解．
【自主解答】 (1)分割 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形，用分点1n，2n，…，n－n 1把区间[0,1]等分成 n 个小区间：
[再练一题]
1．求由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成的图形的面积 S.
【解】 (1)分割
【导学号：01580023】
在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它等分成 n 个小区间：1，n＋n 1， n＋n 1，n＋n 2，…，n＋nn－1，2，
记第 i 个区间为n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝n＋n i－n＋ni－1
(2)若偶函数 y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则 a f(x)dx＝2af(x)dx.
－a
0
2．上例(1)中变为 9－x2dx，如何求解？ 【解】 由 y＝ 9－x2，知 x2＋y2＝9(y≥0)，x∈－32，32， 其图象如图所示：
由定积分的几何意义，知 矩形 ABCD 的面积之和．
9－x2dx 等于圆心角为 60°的弓形 CED 的面积与
分上限．
2(x＋1)dx 的值与直线 x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1 围成的梯形的面积有什
1
么关系？
【解析】 由定积分的概念知：二者相等．
教材整理 3 定积分的几何意义 阅读教材 P48“例 2”以上部分，完成下列问题． 一般地，定积分的几何意义是在区间[a，b]上曲线与 x 轴所围图形面积的 代数和 (即 x轴上方 的面积减去 x轴下方 的面积．)
(3)作和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积 S 的近似值，即
n
n
S＝ ΔSi≈－ f(ξi)Δx
i＝1
i＝1
பைடு நூலகம்
n
＝
i＝1
－i－n 1i－n 1－1·1n
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·nn2－1＝－－n62n＋2 1＝－16n12－1.
2．求曲边梯形的面积的步骤
图 1-5-1
求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：
分割→以直代曲→作和→逼近
由直线 x＝1，y＝0，x＝0 和曲线 y＝x3 所围成的曲边梯形，将区间 4 等分， 则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．
【解析】 将区间[0,1]四等分，得到 4 个小区间：0，14，14，12，12，34，34，1， 以每个小区间右端点的函数值为高，4 个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近 似值
S 弓形＝12×π3×32－12×3×323＝6π－49 3， S 矩形＝|AB|×|BC|＝2×32× 9－322＝923，
6π－9 3 9 3 6π＋9 3 ∴ 9－x2dx＝ 4 ＋ 2 ＝ 4 .
[探究共研型]
定积分性质的应用
探究 1 怎样求分段函数的定积分？ 【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
＝1n.
分别过上述 n－1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(如图)，
n
它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为 S＝ΔSi，
i＝1
(2)以值代曲 记 f(x)＝x12.当 n 很大，即 Δx 很小时，在区间n＋ni－1，n＋n i上，可以认为 f(x) ＝x12的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于 f n＋ni－1·n＋n i. 从图形上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这 样，在区间n＋ni－1，n＋n i上，用小矩形面积 ΔSi′近似地代替 ΔSi，即在局部小范 围内“以直代曲”，则有 ΔSi
a
＝a，x＝b 及 y＝0 所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、 矩形、圆等可求面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面 积，要注意分割点要确定准确．
2．奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
(1)若奇函数 y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则 a f(x)dx＝0. －a
阶 段
1.5 定积分
阶 段
一
三
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 定积分
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解定积分的概念及“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法， 求定积分． 2．理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积．
[基础·初探] 教材整理 1 曲边梯形的面积 阅读教材 P41～P45“例 2”以上部分，完成下列问题． 1．曲边梯形的面积 将已知区间[a，b]等分成 n 个小区间，当分点非常多(n 很大)时，可以认为 f(x) 在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内 任意一点xi 对应 的函数值 f(xi) 作为小矩形一边的长．于是，可用 f(xi)Δx 来近似表示小曲边梯形 的面积，这样，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx 表示了曲边梯形面积的近似值．
0
(3)∵y＝x3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称， ∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与 x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意 义知1 (x3＋3x)dx＝0.
-1
1．定积分几何意义的应用 (1)利用定积分的几何意义求bf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y＝f(x)，直线 x
(4)逼近 当分割无限变细，即 Δx→0 时，Sn→12 所以由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成的图形的面积 S 为12.
利用定积分的几何意义求定积分
利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)3 9－x2dx；(2)3(2x＋1)dx；
－3
0
(3)1 (x3＋3x)dx. －1
≈ΔSi′＝f n＋ni－1·n＋n iΔx＝ n＋i－n12n＋i·1n＝n＋i－n1n＋i (i＝1,2，…，n)．
(3)作和
小曲边梯形的面积和
n
n
n
Sn＝ ΔSi≈ ΔSi′＝
i＝1
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝
n nn＋1
＋
n＋1nn＋2＋…＋n＋n－n1n＋n ＝n1n－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n ＝n1n－21n＝12. 从而得到 S 的近似值 S≈Sn＝12.
S＝143×14＋123×14＋343×14＋13×14＝2654.
【答案】
25 64
教材整理 2 定积分 阅读教材 P47“例 1”以上部分，完成下列问题． 一般地，设函数 f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，
每个小区间长度为 ΔxΔx＝
，在每个小区间上取一点，依次为 x1，x2，…，
由定积分的几何意义知3
9－x2dx＝92π.
－3
(2)曲线 f(x)＝2x＋1 为一条直线.3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 0
围成的直角梯形 OABC 的面积，如图(2)． 其面积为 S＝12(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义知3(2x＋1)dx＝12.
【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形， 然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇 偶性求解．
【自主解答】 (1)曲线 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径
的上半圆如图(1)所示．
其面积为 S＝12·π·32＝92π.
探究 2 怎样求奇(偶)函数在区间[a，b]上的定积分？ 【提示】 ①若奇函数 y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，
则a
－af(x)dx＝0；
-a
②若偶函数 y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续，
则a
g(x)dx＝2ag(x)dx.
-a
0
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2. 【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．