新北师大九年级数学上册相似三角形判定定理的证明
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例2:若: BC ，C试D说明 : （1）∠ABCA＝C∠CDCBB
（2）AC·BD=BC·AB
证明（1）∵
BC CD AC CB
∠ACB＝∠BCD
∴△ABC∽△BDC ∴∠ABC＝∠CDB
(两边分别对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似)
（2）∵△ABC∽△BDC
AC AB BC BD
D
B
C(E)
“共角共边” 型
“蝴蝶”型
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定理 两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，∠ B = ∠ B'. 求证： △ABC ∽△A'B'C'．
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
A•
C •E
•
•D B•
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A• B•
•D C
•E
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知识技能 1．如图，在等边三角形 ABC 中，D，E，F 分别是三边上的点，AE = BF = CD， 那么△ABC 与△DEF 相似吗？请证明你的结论．
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知识技能
2．已知：如图， AD DE AE ． AC AB BC
∵ AB A'B'
AC A'C'
，AD = A'B'，AE = A'C'，
∴ AB AC 而 ∠ BAC =∠ DAE， AD AE
B′
C′
∴ △ABC ∽△ADE.∴ AB BC
A
AD DE
又
AB A'B'
BC B'C'
，AD = A'B'，
D
E
∴
AB AD
BC B'C'
∴ BC DE
BC B'C'
求证：AB = AE.
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知识技能 3．已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点，∠ CBD 的平分线交 AC 于点E， 且 AE = AB．求证：AE2 = AD ·AC．
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问题解决 4．如图，在△ABC 中，AB = 8 cm，BC = 16 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运 动，速度为 2 cm/s；动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为 4 cm/s．如果 P， Q 两动点同时运动，那么何时△PBQ 与△ABC 相似？
∴AC·BD=BC·AB
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课堂小结 相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
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有一池塘, 周围都是空地. 如果要
测量池塘两端A、B间的距离, 你能利
用本节所学的知识解决这个问题吗?
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应用
1.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
求AD的长.
71 2
解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD=
7 1，
2
AB BC
CD AC
又∠B=∠ACD，
△ABC∽△DCA，
BC AC ，
AC AD
AD= 25 . 4
∠ 1 = ∠ B，∠ 2= ∠ C， AD AE AB AC
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，
1 D
则 AD CF ∴ AE CF
AB CB
AC CB
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
B
F
A′
∴ AE DE AC CB
∴ AD AE DE AB AC BC
∴ DE =
B'C'.
B
C
∴ △ADE ≌ △A'B'C' . ∴ △ABC ∽△A'B'C' .
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应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，
AB AC A'B' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 A′
AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于
点 E，则∠ B = ∠ 1， ∠ C = ∠ 2，
∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AB AC
B′
C′
AD AE
A
∵
AB A'B'
AC A'C'
，AD =
A'B'，
∴ AB AC ∴ AC AC
AD A 'C'
AE A 'C'
∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A'，
1 D
B
∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
2E C
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定理 三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
AB BC AC A'B' B'C' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
证明：在△ABC 的边 AB，AC（或它们的延长线） A′ 上分别截取 AD = A'B'，AE = A'C' ，连接 DE.
回顾与复习
全等判定： (对应)边角
(6组量)
三角分别相 等, 三边成比 例
判定方法
角边角 角角边 边边边 边角边
1.两角分别相等 2.三边成比例 3.两边成比例且 夹角相等
4.两边形的常见类型
A
D
E
E
D
A
B
C
“A”型
B
C
“x”型
A
A
D
E
B
C
“共角”型
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， B ′ ∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A'B'C'． ∴ △ABC ∽△A'B'C'.
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2
E
C
C′
定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
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例2:若: BC ，C试D说明 : （1）∠ABCA＝C∠CDCBB
（2）AC·BD=BC·AB
证明（1）∵
BC CD AC CB
∠ACB＝∠BCD
∴△ABC∽△BDC ∴∠ABC＝∠CDB
(两边分别对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似)
（2）∵△ABC∽△BDC
AC AB BC BD
D
B
C(E)
“共角共边” 型
“蝴蝶”型
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定理 两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，∠ B = ∠ B'. 求证： △ABC ∽△A'B'C'．
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
A•
C •E
•
•D B•
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A• B•
•D C
•E
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知识技能 1．如图，在等边三角形 ABC 中，D，E，F 分别是三边上的点，AE = BF = CD， 那么△ABC 与△DEF 相似吗？请证明你的结论．
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知识技能
2．已知：如图， AD DE AE ． AC AB BC
∵ AB A'B'
AC A'C'
，AD = A'B'，AE = A'C'，
∴ AB AC 而 ∠ BAC =∠ DAE， AD AE
B′
C′
∴ △ABC ∽△ADE.∴ AB BC
A
AD DE
又
AB A'B'
BC B'C'
，AD = A'B'，
D
E
∴
AB AD
BC B'C'
∴ BC DE
BC B'C'
求证：AB = AE.
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知识技能 3．已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点，∠ CBD 的平分线交 AC 于点E， 且 AE = AB．求证：AE2 = AD ·AC．
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问题解决 4．如图，在△ABC 中，AB = 8 cm，BC = 16 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运 动，速度为 2 cm/s；动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为 4 cm/s．如果 P， Q 两动点同时运动，那么何时△PBQ 与△ABC 相似？
∴AC·BD=BC·AB
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课堂小结 相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
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有一池塘, 周围都是空地. 如果要
测量池塘两端A、B间的距离, 你能利
用本节所学的知识解决这个问题吗?
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应用
1.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
求AD的长.
71 2
解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD=
7 1，
2
AB BC
CD AC
又∠B=∠ACD，
△ABC∽△DCA，
BC AC ，
AC AD
AD= 25 . 4
∠ 1 = ∠ B，∠ 2= ∠ C， AD AE AB AC
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，
1 D
则 AD CF ∴ AE CF
AB CB
AC CB
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
B
F
A′
∴ AE DE AC CB
∴ AD AE DE AB AC BC
∴ DE =
B'C'.
B
C
∴ △ADE ≌ △A'B'C' . ∴ △ABC ∽△A'B'C' .
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应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，
AB AC A'B' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 A′
AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于
点 E，则∠ B = ∠ 1， ∠ C = ∠ 2，
∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AB AC
B′
C′
AD AE
A
∵
AB A'B'
AC A'C'
，AD =
A'B'，
∴ AB AC ∴ AC AC
AD A 'C'
AE A 'C'
∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A'，
1 D
B
∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
2E C
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定理 三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
AB BC AC A'B' B'C' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
证明：在△ABC 的边 AB，AC（或它们的延长线） A′ 上分别截取 AD = A'B'，AE = A'C' ，连接 DE.
回顾与复习
全等判定： (对应)边角
(6组量)
三角分别相 等, 三边成比 例
判定方法
角边角 角角边 边边边 边角边
1.两角分别相等 2.三边成比例 3.两边成比例且 夹角相等
4.两边形的常见类型
A
D
E
E
D
A
B
C
“A”型
B
C
“x”型
A
A
D
E
B
C
“共角”型
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， B ′ ∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A'B'C'． ∴ △ABC ∽△A'B'C'.
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E
C
C′
定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.