线性代数 同济版 5-7 正定二次型

例3 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2
0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
这是n元非退化线性变换， f ( x1 , x2 ,, xn )经过 这个线性变换化成
f ( x1 , x2 ,, xn ) z z z
2 1 2 2
2 n1
b z .
2 nn n
最后证 bnn 0. f ( x1 , x 2 , , x n )经 过 非 退 化 线 性
则
1 , ,1, dr
,1)
f ( x ) z T ( DTC T ACD) z
2 z1 2 z2 z p p 1
zr2
称之为实二次型 f ( x ) 的规范形.
惯性定理另一种描述：任一实二次型可经
过适当的非退化线性替换化成规范形，且规
范形是唯一.
二、正(负)定二次型的概念
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例4 判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
使得 f n1 ( x1 , x2 ,, xn1 ) y y y
2 1 2 2 2 n 1
.
作线性变换 x1 g 11 y1 g 12 y 2 g 1,n -1 y n 1 , x 2 g 21 y1 g 22 y2 g 2,n -1 yn 1 , x g n 1 n -1,1 y1 g n -1,2 y 2 g n -1, n -1 y n 1， x n yn .
2 a a 0. f ( x ) a x n＝1时，11 11 i 11 1 正定. 结论成立.
假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.
令 f n1 ( x1 , x2 ,, xn1 ) aij xi x j ,
i 1 j 1
n-1 n1
它的矩阵是 a12 a1,n1 a11 a21 a22 a2,n1 . a n 1 ,1 a n 1 , 2 a n 1 , n 1
f x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型 f x 3x
2 1 2 2
为负定二次型
定义2： 设 A, B F nn , 若存在可逆矩阵
C F nn , 使 B C T AC ，则称A与B合同.
注: 1）合同具有 反身性: A E T AE 对称性： B C T AC ,| C | 0 A (C 1 )T B(C 1 )
证:必要性.设 f ( x1 , x2 ,
k (1 k n), 令
, xn ) 正定，对每一个k
f k ( x1 , x2 ,
, xk ) aij xi x j
i 1 j 1
k
k
x1 x2 ( x1 , x 2 , , x k ) Ak x k
2 2 2 2 变 换 化 成z 1 z2 zn b z A 1 nn n . 因 此 矩 阵
与对角矩阵 diag(1, ,1,bnn )合 同 。 故 有 可 逆 矩 阵 C， 使 得 C ' AC diag(1, ,1,bnn ).两 边 取 行 列 式 ， 即得
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的 n个系数全为正. 证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
n
充分性 设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0, 则 y C -1 x 0, 故
传递性:
T B C1T AC 1, D C2 BC 2,| C 1 | 0,| C 2 | 0 T 2 T 1
T ( C 1 C 2 ) A(C 1C 2) D C (C AC 1)C 2
| C 1C 2 || C 1 || C 2 | 0, 即C1C2可逆.
2）合同矩阵具有相同的秩.
1 A 即， 与单位矩阵E合同. 1 A 故， 正定.
n T X R , X 0, X （2）由于A 正定，对 都有 AX 0,
因此有 X T ( kA) X kX T AX 0. 故， kA 正定.
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A C TC ，于是
A C C C 0
2 2 （y 1 b1n yn） （y 2 b2 n yn） 2 2 （y n 1 bn1,n yn） bnn yn .
再令
y1 b1n yn z 1 , y2 b 2n yn z 2 , y b n 1 n 1, n y n z n 1， yn zn .
B C T AC , C可逆 秩( B ) 秩( A)
3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.
AT A, B C T AC , C可逆 BT (C T AC )T C T ATC C T AC B
性质：经过非退化线性变换，新二次型矩阵 与原二次型矩阵是合同的.
三、正(负)定二次型的判别
2 f x k i yi 0. i 1 n
i 1
必要性
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量) 时,
f Ces k s 0.
. 显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾
故
ki 0i 1,, n.
推论1 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
bnn | C'AC || C |2 | A | 0.
于是 f ( x1 , x2 ,, xn )的正惯性指数等于 n. 从而 f ( x1 , x2 ,, xn ) 是正定的 .
例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明
（1） A1 是正定矩阵； （2） kA( k 0)是正定矩阵； （3）A* 是正定矩阵； （4） Am 是正定矩阵（m为任意整数）； （5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵；
m A 即， 与正定矩阵A合同，而 A与单位矩阵E合同， m m A A 所以 与E合同，即 正定.
（5）由于A、B正定，对 X Rn , X 0, 都有
X AX 0,
T
X BX 0
T
因此有X T ( A B) X X T AX X T BX 0.
故，A＋B 正定.
定义1 设有实二次型 f ( x ) x T Ax, 如果对任何 x 0, 都有f x 0显然 f 0 0 , 则称f为正定二 次型, 并称对称矩阵A是正定的;如果对任何x 0 都有f ( x ) 0, 则称 f为负定二次型, 并称对称矩阵 A是负定的.
例如
例2 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
2 4 5 1 2 , 解 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4 2 5 它的顺序主子式 2 4 5 5 2 1 2 1 0, 5 0, 1 0, 2 2 1 4 2 5 故上述二次型是正定的.
An-1
An-1的 顺 序 主 子 式 就 是 A的 前n 1个 顺 序 主 子 式 。 现 在A的 顺 序 主 子 式 全 大 于 ， 零所 以 An-1的 顺 序 主子式全大于零。
由归纳法假设知 f n1 ( x1 , x2 ,, xn1 )正定，因此 有可逆线性变换
x1 g11 y1 g12 y2 g1,n-1 yn1 , x 2 g 21 y1 g 22 y2 g 2,n-1 yn1 , x g n -1,1 y1 g n -1,2 y 2 g n -1, n -1 y n 1， n 1
则 k 1 ,, k r 中正数的个数与 1 ,, r 中正数的个数
二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化
线性替换有关. 设实二次型
f ( x ) x T Ax, AT A R nn 经过
非退化线性替换 x Cy, C R nn 可逆，得标准形
f ( x ) yT (C T AC ) y
推论2 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 与单位矩阵合同．
推论3
正定矩阵的行列式大于零．
定理3 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶顺序主子式为正，即 a11 a1n a11 a12 0; a11 0, 0, , a21 a22 an1 ann 这个定理称为霍尔维茨定理．
（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 证：
P AP E , 于是有，
T
( P T AP )1 P 1 A1 ( P 1 )T (( P 1 )T )T A1 ( P 1 )T E
T 1 Q 令Q ( P ) , 则Q可逆，且 A Q E , 1 T
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 使 及 相等.
2 1
及
2 2
x Pz
2 r
f k1 y k 2 y k r y
2 2 f 1 z 1 2 z2 r z r2
k i 0 , i 0 ,
T
1 ，由（ 1）（2）即得 A* 正定. 又A* A A
2
m A （4）由于 A 正定，知 为 n 阶可逆对称矩阵 ，
m 2k k k k T k A A A A ( A ) EA , 当 m＝2k 时，
m m A A 即， 与单位矩阵E合同，所以 正定.
当 m＝2k＋1 时， Am A2k 1 Ak AAk ( Ak ) AAk ,
对任意一不全为零的ຫໍສະໝຸດ c1 , c2 ,, ck , 有
f k (c1 , c2 ,
f k ( x1 , x2 ,
, ck ) f (c1 , c2 ,
, ck ,0,
,0) 0
, xn ) 是正定的，从而 Ak 正定.
| Ak | 0 (k 1,2,, n).
充分性： 对n作数学归纳法.
这 是n元非退化线性变换，而 且 f ( x1 , x2 ,, xn ) 经过这个线性变换化成
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j 2 ain xi xn ann x
i 1 j 1 i 1
n 1 i 1
n-1 n1
n 1
2 n
2 2 y1 y2 2 b y y a y in i n nn n n 1
2 d1 y1 2 d p y2 d y p p 1 p 1
d r yr2 ,
其中，d i 0, i 1 , 2
再作非退化线性替换
r , r = 秩 f 秩( A).
1 y1 d z1 1 1 zr , 或 Y=DZ, yr dr yr 1 zr 1 1 D diag( , y z n n d1