2020年江苏省南京中考数学试卷(附答案与解析)

数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）
绝密★启用前
2020年江苏省南京市初中学业水平考试
数 学
注意事项：
1.本试卷共8页，全卷满分120分，考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.
3.答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字第写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.
4.作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题所给出的四
个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．
） 1.计算()32--的结果是 （ ） A .5- B .1- C .1
D .5 2.3的平方根是
（ ） A .9
B
C
. D
.
3.计算()
2
32
a
a ÷的结果是
（ ）
A .3a
B .4a
C .7a
D .8a
4.党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，2012~2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示.
根据图中提供的信息，下列说法错误．．
的是
（ ）
A .2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B .2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9 000万人
C .2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1 000万人以上
D .为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务
5.关于x 的方程()()212x x ρ-+=（ρ为常数）根的情况下，下列结论中正确的是
（ ）
A .两个正根
B .两个负根
C .一个正根，一个负根
D .无实数根
6.如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩
形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ，若P 的半径为5，点A 的坐标是()0,8，则
点D 的坐标是
（ ）
（第6题）
A .()9,2
B .()9,3
C .()10,2
D .()10,3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。

请把答案填写在答．
题卡相应位置．．．．．．
上） 7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于3：________．
8.若式子1
11
x -
-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________． 9.纳秒()ns 是非常小的时间单位，91ns 10s -=，北斗全球导航系统的授时精度优于
20ns ，用科学计数法表示20ns 是________．
10.
的结果是________．
11.已知x 、y 满足方程组31
23x y x y +=-⎧⎨+=⎩
，则x y +的值为________．
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）
12.方程
1
12
x x x x -=
-+的解是________． 13.将一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90︒，所得到的图像对应的函数
表达式是________．
14.如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF △的面积为________2cm ．
（第14题） （第15题）
15.如图，线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，若139=︒∠，则AOC =∠________°．
16.下列关于二次函数()2
2
1y x m m =--++（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函
数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点()0,1；③当0x ＞时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数2
1y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是________．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（7分）计算212111a a a a a +⎛
⎫-+÷
⎪++⎝⎭
．
18.（7分）解方程：2230x x --=．
19.（8分）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC =，B C =∠∠.求证：BD CE =．
（第19题）
20.（8分）已知反比例函数k
y x
=的图象经过点()2,1--． （1）求k 的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组21,1.x k
x -⎧⎪
⎨⎪⎩
＞①＞②
解：解不等式①，得________． 根据函数k
y x
=
的图象，得不等式②得解集________． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集________．
数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）
21.（8分）为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第________组内； （2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于
178
kW h 的大约有多少户．
22.（8分）甲、乙两人分别从A 、B 、C 这3个景点中随机选择2个景点游览． （1）求甲选择的2个景点是A 、B 的概率；
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是________．
23.（8分）如图，在港口A 处的正东方向有两个相距6km 的观测点B 、C ．一艘轮船从A 处出发，北偏东26︒方向航行至D 处，在B 、C 处分别测得45ABD =︒∠，37C =︒∠．求轮船航行的距离AD ．
（参考数据：sin260.44︒≈，cos260.90︒≈，tan260.49︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈．
）
（第23题）
24.（8分）如图，在ABC △中，AC BC =，D 是AB 上一点，O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作DF BC ∥，交O 于点F ． 求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形；（2）AF EF =．
（第24题）
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
数学试卷 第7页（共26页） 数学试卷 第8页（共26页）
25.（8分）小明和小丽先后从A 地出发同一直道去B 地，设小丽出发第min x 时，小丽、小明离地的距离分别为1m y 、2m y ，1y 与x 之间的数表达式11802250y x =-+，2y 与x 之间的函数表达式是22101002000y x x =--+． （1）小丽出发时，小明离A 地的距离为________m ．
（2）小丽出发至小明达到B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
26.（9分）如图，在ABC △和A B C '''△中，D 、
D '分别是AB 、A B ''上一点，AD A D AB A B ''
=''
．
（第26题）
（1）当CD AC AB
C D A C A B
==
''''''时，求证：ABC A B C '''△∽△． 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格．
（2）当CD AC BC
C D A C B C
==
''''''时，判断ABC △与A B C '''△是否相似，并说明理由．
27.（9分）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A 关于l 的ACB 对称点A '，线A B '与直线l 的交点C 的位置即
为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线是最短的．
为了让明点C 的位置即为所求，不妨在l 直线上另外任取一点C '，连接AC '，
BC '，证明AC CB AC C B ''++＜，请完成这个证明．
（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请
分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
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江苏省南京市2020年初中学业水平考试
数学答案解析
一、 1.【答案】D
【解析】利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可． 解：()32325--=+=． 故选D ．
【考点】有理数的减法 2.【答案】D
【解析】直接根据平方根的概念即可求解．
(2
3=∵，3∴
的平方根是．故选：D ． 【考点】平方根的概念 3.【答案】B
【解析】先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，从而可得答案．
解：()
2
3
2624a
a a a a ÷=÷=．
故选B ．
【考点】幂的乘方，同底数幂的除法 4.【答案】A
【解析】用2018年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即
可判断A ；
用2012年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断B ； 根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，通过计算即可判断C ； 根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，即可判断D ．
A 、166055111093-=，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，故本选
项推断不合理，符合题意；
B 、2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少：98995519348-=，所以超过9
000万人，故本选项推断合理，不符合题意；
C 、989982491650-=，824970171232-=，701755751442-=，
557543351240-=，433530461289-=，304616601386-=，
166********-=，所以连续7年每年农村贫困人口减少1 000万人以上，故本选
项推理合理，不符合题意；
D 、根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，知：2019年末，还有551万
农村人口的脱贫任务，故本选项推理合理，不符合题意； 故选：A ．
【考点】条形统计图的运用 5.【答案】C
【解析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，
然后又根与系数的关系判断根的正负即可． 解：()()2
12x x ρ-+=，
整理得：22
30x x ρ+--=，
()2221434130ρρ=---=+∴△＞，
∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为1x 、2x ，
121x x +=-∵，2123x x p =--
∴两个异号，而且负根的绝对值大． 故选：C ．
【考点】一元二次方程根与系数的关系 6.【答案】A
【解析】在Rt CPF △中根据勾股定理求出PF
长，再根据垂径定理求出DF 的长，进
而求出OB ，BD 的长，从而求出点D 的坐标．
设切点分别为G ，E ，连接PG ，PE ，PC ，PD ，并延长EP 交BC 与F ，则
5PG PE PC ===，四边形OBFE 是矩形． 8OA =∵， 853CF =-=∴，
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4PF =∴，
549OB EF ==+=∴．
PF ∵过圆心， 3DF CF ==∴， 8332BD =--=∴，
()92D ∴，．
故选A ．
【考点】矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理 二、
7.【答案】1-
【解析】根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可． 解：11-=∵，13＜， ∴这个负数可以是1-． 故答案为：1-（答案不唯一）． 8.【答案】1x ≠
【解析】由分式有意义的条件可得答案． 解：由题意得：10x -≠，
1x ≠∴，
故答案为：1x ≠
【考点】分式有意义的条件
9.【答案】82s 10-⨯
【解析】根据科学记数法的表示形式进行表示即可．
91ns 10s -=∵，
∴9
2020ns s 10-=⨯∴，
用科学记数法表示得8
2s 10-⨯， 故答案为：8
2s 10-⨯．
【考点】科学记数法 10.【答案】13
【解析】先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即
可．
=
=
13
=， 故答案为：1
3
．
【考点】二次根式的混合运算 11.【答案】1
【解析】先解方程组求解x ，y ，从而可得答案．
解：3123x y x y +=-⎧⎨
+=⎩
①
② 2⨯①得：262x y +=-③ ③-②得：55y =-，
1y =-∴，
把1y =-代入①：
31x -=-∴，
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2x =∴，
所以方程组的解是：2
1x y =⎧⎨=-⎩
，
1x y +=∴．
故答案为：1．
【考点】解二元一次方程组 12.【答案】14
x = 【解析】
去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 解：1
12
x x x x -=
-+∵
()()2
12x x x -=+∴，
22212x x x x -+=+∴， 41x =∴，
14
x =∴．
经检验：1
4x =
是原方程的根． 故答案为：1
4
x =．
【考点】分式方程的解法 13.【答案】1
22
y x =
+ 【解析】根据一次函数互相垂直时系数之积等于1-，进而得出答案； ∵一次函数的解析式为24y x =-+，
∴设与x 轴、y 轴的交点坐标为()2,0A 、()0,4B ， ∵一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为()10,2A 、()14,0B -， 令y ax b =+，代入点得1
2
a =
，2b =， ∴旋转后一次函数解析式为1
22
y x =+． 故答案为1
22
y x =
+． 【考点】一次函数图像与几何变换 14.
【答案】
【解析】如图，连接BF ，过A 作AG BF ⊥于G ，利用正六边形的性质求解BF 的长，
利用BF 与EF 上的高相等，从而可得答案． 解：如图，连接BF ，过A 作AG BF ⊥于G ， ∵正六边形ABCDEF ，
2AB AF FE ===∴，120A ABC AFE =︒==∠∠∠ 30ABF AFB ==︒∴∠∠，BG FG =
90CBF BFE ==︒∴∠∠，sin301AG AB =︒=
，cos30BG AB =︒= CB EF ∴∥
，BF =
1
22
PEF S =⨯⨯=△∴
故答案为：．
【考点】正多边形的性质，锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定 15.【答案】78︒
【解析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到
()232AOC A C =+=+∠∠∠∠∠，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到
51AOG A =︒-∠∠， 51COF C =︒-∠∠，利用平角的定义得到231180AOG COF ++++=︒∠∠∠∠∠，计算即可求解．
如图，连接BO 并延长，
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1l ∵、2l 分别是线段AB 、BC 的垂直平分线，
OA OB =∴，OB OC =，90ODG OEF ==︒∠∠， A ABO =∴∠∠，C CBO =∠∠，
22A =∴∠∠，32C =∠∠，903951OGD OFE ==︒-︒=︒∠∠，
()232AOC A C =+=+∴∠∠∠∠∠，
OGD A AOG =+∵∠∠∠，OFE C COF =+∠∠∠， 51AOG A =︒-∴∠∠， 51AOG C =︒-∠∠， 而231180AOG COF ++++=︒∠∠∠∠∠
， 51A 2A 2C 51C 39180-+++︒︒︒-+=︒∴∠∠∠∠， 39A C +=︒∴∠∠，
()278AOC A C =+=︒∴∠∠∠，
故答案为：78︒．
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义 16.【答案】①②④
【解析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②
求出当0x =时，y 的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函
数()2
21y x m m =--++的顶点坐标，再代入函数2
1y x =+进行验证即可得．
∵当0m ＞时，将二次函数2y x =-的图象先向右平移m 个单位长度，再向上平移21
m +个单位长度即可得到二次函数()2
21y x m m =--++的图象；当0m ＜时，将二次函数2y x =-的图象先向左平移m -个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数()2
21y x m m =--++的图象
∴该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同，结论①正确 对于22
()1y x m m =--++
当0x =时，()2
2011y m m =--++= 即该函数的图象一定经过点()0,1，结论②正确
由二次函数的性质可知，当x m ≤时，y 随x 的增大而增大；当x m ＞时，y 随x 的增大
而减小
则结论③错误
22()1y x m m =--++的顶点坐标为()2
,1m m +
对于二次函数21y x =+
当x m =时，2
1y m =+
即该函数的图象的顶点()
2,1m m +在函数2
1y x =+的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④ 故答案为：①②④．
【考点】二次函数的图象与性质 三、
17.【答案】解：212111a a a a a +⎛
⎫-+÷
⎪++⎝
⎭ ()()2111112a a a a a a -+++=
++ ()
2112a a a a a +=++ 2
a
a =
+． 【解析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可．具体解题过程参
照答案．
【考点】分式的混合运算
18.【答案】解：因式分解得：()()130x x +-=， 即10x +
=或30x -=， 解得：13x =，21x =-
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【解析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解，具体解题过程参照答案． 【考点】一元二次方程，因式分解法 19.【答案】在ABE △与ACD △中，
A A A
B A
C B C =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠， ()ACD ABE ASA ∴△≌△，
AD AE =∴（全等三角形的对应边相等）
， AB AD AC AE -=-∴，
即：BD CE =．
【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理ASA 可以证得ACD ABE △≌△，然后由
“全等三角形的对应边相等”可得AD AE =，继而可得结论．具体解题过程参照答案．
20.【答案】解：（1）因为点()2,1--在反比例函数k
y x
=的图像上， 所以点()2,1--的坐标满足k
y x
=
， 即12
k
-=
-，解得2k =； （2）211x k x -⎧⎪⎨⎪⎩
＞①＞②，
解不等式①，得1x ＜
； 1y =∵时，2x =， ∴根据函数k
y x
=的图象，得不等式②得解集02x ＜＜．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为01x ＜＜
． 【解析】（1）利用待定系数法求解即可；具体解题过程参照答案． （2）根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式①
解集；根据反比例函数的图
像求出不等式②的解集，进而求出公共部分即可．具体解题过程参照答案． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式，利用反比例函数图象解不等式，不等式组
的解法 21.【答案】（1）2 （2）
50100
100007500200
+⨯=（户） 因此，估计该地1万户居民六月的用电量低于178kW h 的大约有7500户．
【解析】（1）将200个数据按大小顺序排列最中间两个数的平均数即为中位数，进而可
解决问题；
解：将200个数据按大小顺序排列最中间两个数即第100和101个数，它们的平均数
即为中位数，这两个数都落在第2组， 故答案为：2；
（2）求出用电量低于178kW h 的户数的百分比，根据总户数求出答案． 解：
50100
100007500200
+⨯=（户） 因此，估计该地1万户居民六月的用电量低于178kW h 的大约有7500户．
的
数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）
【考点】频数分布表
【考查能力】利用统计表获取信息，利用样本估计总体 22.【答案】（1）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中选择A 、B 的有2种，
()
29
A B P =、∴； （2）
13
【解析】（1）列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可；
（2）根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可． 解：共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，
()31
93P ==景点相同∴．
故答案为：1
3
．
【考点】列表法或树状图法求随机事件发生的概率 23.【答案】解：如图，过点D 作DH AC ⊥，垂足为H
在Rt DCH △中，37C =︒∠
tan37DH
CH
︒=
∵ tan37DH
CH =
︒
∴
Rt DBH △中，45DBH =︒∠
tan 45DH
BH ︒=∵ tan 45DH
BH =
︒
∴ BC CH BH =-∵
6tan37tan 45DH DH -=︒︒∴ 18DH ≈∴
在Rt DAH △中，26ADH =︒∠
cos26DH
AD ︒=
∵ ()20km cos26DH
AD =≈︒∴
因此，轮船航行的距离AD 约为20km ．
【解析】过点D 作DH AC ⊥，垂足为H ，通过解Rt DCH △和Rt DBH △得
tan37DH CH =
︒和tan 45DH
BH =︒
，根据BC CH BH =-求得DH ，再解Rt DAH △求得
AD 即可．具体解题过程参照答案．
【考点】直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数，勾股定理 24.【答案】（1）证明：AC BC =∵，
BAC B =∴∠∠， DF BC ∵∥，
ADF B =∴∠∠，
又BAC CFD =∠∠，
ADF CFD =∴∠∠， BD CF ∴∥，
∴四边形DBCF 是平行四边形． （2）如图，连接AE
ADF B =∵∠∠，ADF AEF =∠∠
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AEF B =∴∠∠
∵四边形AECF 是O 的内接四边形
180ECF EAF +=︒∴∠∠ BD CF ∵∥
180ECF B +=︒∴∠∠
EAF B =∴∠∠ AEF EAF =∴∠∠ AF EF =∴
【解析】（1）利用等腰三角形的性质证明BAC B =∠∠，利用平行线证明ADF B =∠∠，
利用圆的性质证明BAC CFD =∠∠，再证明BD CF ∥，即可得到结论；具体解题过程参照答案．
（2）如图，连接AE ，利用平行线的性质及圆的基本性质AEF B =∠∠，再利用圆内
接四边形的性质证明EAF B =∠∠，从而可得结论．具体解题过程参照答案． 【考点】平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性
质，圆内接四边形的性质 25.【答案】（1）250
（2）解：设小丽出发第 min x 时，两人相距m S ，
则()
2
1802250101002000S x x x =-+---+
即2
1080250S x x =-+ 其中010x ≤≤ 因此，当80
42210
b x a -=-
=-=⨯时 S 有最小值，22
4410250(80)904410
ac b a -⨯⨯--==⨯
也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m ． 【解析】（1）由0x =时，根据21y y -求得结果即可； 解：当0x =时，12250y =，22000y =
()1222502000250m y y -=-=∴
故答案为：250
（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可． 【考点】二次函数的性质的应用 26.【答案】（1）AD A D AB A B ''
=''
∵
， AB
AD
A B A D =''''∴
， CD AC AB
C D A C A B ==''''''∵， CD AC AD
C D A C A D ==''''''
∴， ADC A D C '''∴△∽△，
A A '=∴∠∠， AC A
B A
C A B =''''
∵， ABC A B C '''∴△∽△，
故答案为：
CD AC AD
C D A C A D ==''''''
，A A '=∠∠； （2）如图，过点D 、D 分别作DE BC ∥，C D B E ''''∥，
DE 交AC 于点E ，D E ''交A C ''于点E '，
DE BC ∵∥， ADE ABC ∴△∽△，
数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）
AD DE AE
AB BC AC
==∴
， 同理：A D D E A E A B B C A C ''
==''''''''''， 又AD A D AB A B ''
=''， D D E BC B C
E ''=''∴，
B DE
C
D
E B C =''''∴，
同理：AE A E AC A C ''
=''
， AC AE A C A E AC A C ''''--'='∴，
即EC E C AC A C ''
=''， EC AC E C A C =''''∴， 又CD AC BC
C D A C B C ==''''''， CD DE EC C D D E E C ==''''''
∴， DCE D C E '''∴△∽△， CED C E D '''=∴∠∠， DE BC ∵∥，
180CED ACB +=︒∴∠∠，
同理：180CED A CB '''+=︒∠∠，
ACB A C B '''=∴∠∠，
又AC BC
A C
B
C =''''
， ABC A B C '''∴△∽△．
【解析】（1）根据CD AC AB AD
C D A C A B A D ===''''''''
证得ADC A D C '''△∽△，推出A A '=∠∠，再证明结论；具体解题过程参照答案．
（2）作DE BC ∥，D E B C ''''∥，利用三边对应成比例证得DCE D C E '''△∽△，再推
出ACB A C B '''=∠∠，证得
AC BC
A C
B
C =''''
，即可证明ABC A B C '''∴△∽△．具体解题过程参照答案．
【考点】相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质 27.【答案】（1）证明：如图，连接A C '
∵点A 、A '关于l 对称，点C 在l 上
A C CA '=∴，
CA CB A C CB A B ''+=+=∴，
同理AC C B A C C B '''''+=+， 在A C B ''△中，有A B A C C B ''''+＜
AC CB AC C B ''++∴＜；
（2）解：①在点C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC CD DB ++（如图，其中
D 是正方形的顶点）
．
②在点C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC CD DE EB +++（如图，其中CD 、
BE 都与圆相切）
．
'=，利用三角形的三边关
【解析】（1）连接A C'，利用垂直平分线的性质，得到A C CA
系，即可得到答案；具体解题过程参照答案．
（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路
进行设计分析，即可求出最短的路线图．具体解题过程参照答案．
【考点】切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质
数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。