传热学第3章非稳态导热

5、热量变化 Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
（1）两个阶段的过程是有区别的；
（2）与热流方向向垂直的截面上热流量处处不等。
◆对于非稳态导热一般不能用热阻的方法来做问题的定量分析。
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
6、非稳态导热问题的求解 (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t
tf
tf
h
h
0
x
t
tf
h
0
x
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
(3) 第三类边界条件下Bi数对平板内温度分布的影响
Bi r h
rh
1h
无量纲数
无量纲数的简要介绍：
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉
及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物 理过程的主要特征，并且没有量纲。
Bi r h
rh 1 h
当 Bi 时， 当 Bi 时0，
，r因此，r可h 以忽略对流换热热阻 ，r因 此，可rh以忽略导热热阻
0 Bi
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
§3-2 零维问题的分析法——集中参数法
3.2.1 集中参数法温度场分布的解析解
]
J
s
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
即与 1/
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时，
e1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 Vcp /(hA) 时，物体的过余温度已经达到 了初始过余温度的36.8％。称 Vc/(hA) 为时间常数：
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
cp
t
1 r2
r
r
2
2t r
t(r,0) t0 ( 0)
rt|r0rt |r
0
R
h(t
t0
)
cp
1 r2
r
r
2
2 r
(r,0) 0 ( 0)
r
|r0 r
|r
0
R
h
(,
0
)
Cn
n1
exp( n2 F o)
1 n
s in( n )
Cn
2
sin n n sin
5 . 集中参数法的应用条件
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
BiV
h(V /
A)
0.1M
是与物体几何形状有关的无量纲常数
对厚度为 2 的无限大平板
M
1；
V A
A A
； BiV
Bi
对半径为 R 的无限长圆柱
M
1 2
；
V A
R 2 2R
R 2 ； BiV
Bi 2
对半径为 R 的球
M
1 3
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
无量纲热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲时间
Fo ——表征非稳态过程进行深度的无量纲时间
Fo 越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点 地温度就越接近周围介质的温度。
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
J12 (n
)
n
J1(n ) J0(n )
Bi
(n 1,2,3, )
Fo
a R2
,
Bi hR ,
r R
t(, ) t f (Fo, Bi,)
0
t0 t
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第3章 非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解
3. 球 半径为R的球，初始温度为t0，在初始瞬间将其置于温度为t∞的流体中
t f (x, y, z, ) ; Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
控制方程：
c p
t
(t)
cp
t
( t ) ( t ) ( t )
x x y y z z
定解条件： 初始条件 边界条件
(3) 求解方法：
解析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集中参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、控制容积法、有限元法
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
7、毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析
如图所示，存在两个换热环节：
a 流体与物体表面的对流换热环节
rh 1 h
b 物体内部的导热
r
(2) 毕渥数的定义：
Bi r h rh 1 h
n n
cosn cosn
1 n cosn Bi (n 1,2,3, )
Fo
a R2
,
Bi hR ,
r R
t(, ) t f (Fo, Bi,)
0
t0 t
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第3章 非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解
3.3.2 非稳态导热的正规状况 1. 解析解的简化表达式
；
V A
4 R3 3 4R 2
R 3
；
BiV
Bi 3
BiV
hlc
0.1
对厚度为 2 的无限大平板 对半径为 R 的无限长圆柱 对半径为 R 的球
lc lc R lc R
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第3章 非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1. 无限大的平板
引入变量－－过余温度 (x, ) t(x, ) t
上式化为：
Hale Waihona Puke a2x 2
( x,0) 0
x
x0
0
x
x
h
用分离变量法可得其分析解为：
(, 0
)
n1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
Cn
n
2sin n sin n cosn
tan
n
Bi n
(n 1,2,3, )
Fo
a 2
,
Bi h ,
d hA d cV
积分
ln
hA
cV
C1
初始条件
C1 ln 0
ln
hA
cV
ln 0
ln hA 0 cV
t t exp( hA )
0 t0 t
cV
过余温度比
其中的指数：
hA
cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A)
a
(V A)2
BiV
FoV
h(V A)
BiV
a
h hA(t t )
h hA(t t )
V
V
c dt hA(t t )
d
V
令： t t — 过余温，度则有
d
d
hA
cV
控制方程
( 0) t0 t 0
初始条件
方程式改写为： d hA d
cV
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
Bi 0 t f ( )
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0时，t t0
t 将其突然置于温度恒为 的流体中。
t a2t
c p
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
t a2t
cp
t f(τ)
t
cp
当物体被冷却时（t >t）, 把界面上的对流换热量折算成整个物体的体积热源
λ =const；a=const；h=const 因两边对称，只研究半块平壁
此半块平板的数学描写：
导热微分方程：
t a 2 t (0 x , 0) x2
初始条件：
0, t t0
边界条件：
x 0,
t 0 x
(对称性)
x ,
t x
h(t
t )
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第3章 非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解
H
G
t0
F
K
A B C DE I J
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
正规状况阶段 (正常情况阶段)
温度分布主要受初始温 度分布控制
温度分布主要取决于边 界条件及物性
x
导热过程的三个阶段： 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
当 Fo≧0.2 取级数的第一项，计算结果的偏差小于1%
无限大平板： (, ) 0
1
2 sin 1 sin 1 cos1
exp(12Fo) cos(1)
无限长圆柱： (, ) 0
2
1
J
2 0
(
J1
1 )
( 1 )
J
2 1
(
1
)
exp(
12
F
o)
J
0
(
1
)
球：
(, ) 0
2(sin 1 1 cos1) 1 sin 1
exp( 12 F o)
s in( 1 ) 1
统一表达式：
(, ) 0
t(, ) t
t0 t
Aexp( 12Fo) f (1)
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第3章 非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解
FoV (V A)2
2020/5/3 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
FoV )
物体中的温度呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，比如，毕 渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征数涉及到 的几何尺度称为特征长度，一般用符号 l 表示。
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
2020/5/3 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
它取决于热电偶的几何参数（V/A）、物理性质（ρ、cp），还同换热条件有关。
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 cV 时， hA 0
1.83%
工程上认为 = 4 cV / hA时
导热体已达到热平衡状态
2020/5/3 - 15 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
3、瞬态热流量：Φ( ) hA[t( ) t ] hA
c
cpV
hA
0
物体过余温度的变化曲线：
Biv Fov
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
如果导热体的热容量（ cV ）小、换热条件好（h大），那么单位时间所传递的 热量大、导热体的温度变化快，时间常数 ( cV / hA) 小。
热电偶的时间常数是说明热电偶对流体温度变动相应快慢的指标。时间常数越小、 说明热电偶对流体温度变化的响应越快。
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2020/5/3 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层 层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
§3-1 非稳态导热的基本概念
1、非稳态导热（unsteady heat transfer）的定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。
t f (x, ) f (r, )
2、非稳态导热的分类
● 周期性：物体中各点的温度及热流密度都随时间做周期性变化。 ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
cp
t
1 r
r
r
2t r
t(r,0) t0 ( 0)
rt|r0rt|r0R h(t t0 )
cp
1 r
r
r
2 r
(r,0) 0 ( 0)
r
|r0 r
|r
0
R
h
(, 0
)
n1
Cn
exp( n2 F o) J 0 ( n )
Cn
2 n
J1(n )
J
2 0
(n
)
hA
hA0e Vc W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0
Φ(
)d
hA
Vc0 (1 e Vc )
J
当物体被加热时(t < t)，计算式相同（为什么？）
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
4、 Biv Fov 物理意义
hl l
Bi ＝
x
t(, ) t f (Fo, Bi,)
0
t0 t
2020/5/3 - 20 -
第3章 非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解
μn为超越方程的根
tan n
Bi
n
h / n
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第3章 非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解
2. 圆柱
半径为R的实心圆柱，初始温度为t0，在初始瞬间将其置于温度为t∞的流体中
1. 定义：当固体内部的导热热阻远小于其表面的对流换热热阻时，任何时刻固体内部的
温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬间处于同一温度下。这时所要求解 的温度仅是时间的一元函数而与空间坐标无关，好像该固体原来连续分布的质量与热 熔量汇总到一点上，而只有一个温度值那样。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析 方法称为集中参数法。