人教版 八年级下册数学 同步复习 第14讲 一次函数与方程(组)、不等式 讲义

课程标准
1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.
2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
知识点01 一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：
（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；
（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；
（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一
次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x m
y n =⎧⎨=⎩；
知识点02 一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：
（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.
反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数
学生/课程 年级 8年级 学科 数学 授课教师
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核心内容
一次函数与方程（组）、不等式 （第14讲）
24y x =-+与313
22y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组24
31322
y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.
（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数
的直线就平行.
反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组35
31x y x y -=⎧⎨-=-⎩
无解，
则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.
（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
知识点03 方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
知识点04 一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：
（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数
y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点
的横坐标的范围. （2）常见的解集：
0(0)y kx b >+>或
0(0)y kx b ≥+≥或
0(0)y kx b <+<或
0(0)
y kx b ≤+≤或
x m >
x m ≥
x m <
x m ≤
2x >
2x ≥ 2x < 2x ≤
2x <-
2x ≤- 2x >- 2x ≥-
4x <
4x ≤ 4x > 4x ≥
无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；
知识点05 一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：
（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；
例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；
（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点
(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；
知识点06 如何确定两个不等式的大小关系
ax b cx d +>+（a ≠c ，
且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．
两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。

导学一：一次函数与一次方程（组）
重点1 由一次函数求方程的解
例1.直线y ＝ax +b （a ≠0）过点A （0，2），B （1，0），则关于x 的方程ax +b ＝0的解为（ ） A ．x ＝0
B ．x ＝2
C ．x ＝1
D ．x ＝3
变式1-1一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象如图所示．根据图象信息可求得关于x 的方程3kx b +=-的解为 ________．
变式1-2在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，且k ≠0）的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于x 的方程kx +b ＝﹣1的解为_____．
（变式1-1图） （变式1-2图）
变式1-3已知直线y ＝（2m ＋4）x ＋m －3，求 （1）当m ________时，y 随x 的增大而增大；
12y y >或 ax b cx d +>+ 12y y ≥或 ax b cx d +≥+ 12y y <或 ax b cx d +<+ 12y y ≤或
ax b cx d +≤+
4x < 4x ≤ 4x > 4x ≥
2x > 2x ≥ 2x < 2x ≤
（2）当m ________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方； （3）当m ________时，函数图象经过原点；
（4）当m ________时，这条直线平行于直线y ＝－x ．
重点2 两直线的交点（由一次函数求解方程组）
例2.（1）若直线y=-x+a 和直线y=x+b 的交点坐标为(m ，8)，则a+b=_________．
（2）x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．
变式2-1已知一次函数y 2x 6=-与y x 3=-+的图象交于点P ，则点P 的坐标为______．
变式2-2如图，直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝cx ＋d 相交于点(2，1)，则关于x 的一元一次方程ax ＋b ＝cx ＋d 的解为__________．
变式2-3直线13y ax =+与2y x b =-+的图象如图所示，则方程组3
y ax y x b =+⎧⎨=-+⎩
的解是________．
（变式2-2图） （变式2-3图）
重点3 一次函数与坐标轴的交点
例3.如图，已知直线l 1：y ＝2x+1、直线l 2：y ＝﹣x+7，直线l 1、l 2分别交x 轴于B 、C 两点，l 1、l 2相交于点A ．（1）求A 、B 、C 三点坐标； （2）求△ABC 的面积．
变式3-1如图，直线AD:39
22
y x =
+与x 轴交于点A ，直线:2BC y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，并与直线AD 交于点D ．（1）求点D 的坐标； （2）求四边形AOCD 的面积．
重点4 函数图像法解方程
例4.根据一次函数y ＝kx ＋b 的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x 的方程kx ＋b ＝0的解； （2）当1x =时，代数式k ＋b 的值； （3）关于x 的方程kx ＋b ＝－3的解．
变式4-1某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数12y x =+-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 1 0
a
-2 -1 0 1 2 3 …
(1)表中a 的值为___；
(2)以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象；
(3)进一步探究函数图象，发现：函数图象与x 轴有___个交点，因此方程120x +-=的解是___． 变式4-2请根据学习“一次函数”时积累的经验和方研究函数2y x =-+的图象和性质，并解决问题． （1）填空：
①当x ＝0时，2y x =-+= ； ②当x ＞0时，2y x =-+= ； ③当x ＜0时，2y x =-+= ；
（2）在平面直角坐标系中作出函数2y x =-+的图象； （3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x 轴有 个交点，方程20x -+=有 个解； ②方程22x -+=有 个解；
③若关于x 的方程2x a -+=无解，则a 的取值范围是 ．
导学二：一次函数与一元一次不等式
重点1 y ＞0或y ＞m 类型
例1.一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，当kx ＋b ＜0时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ＞2 D ．x ＜2
变式1-1已知一次函数y=kx+b 的图象如图，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是______．
（例1图） （变式1-1图）
例2.如图，直线y=kx+b （k≠0）经过点A （﹣2，4），则不等式kx+b ＞4的解集为（ ）
A ．x ＞﹣2
B ．x ＜﹣2
C ．x ＞4
D ．x ＜4
变式2-1若一次函数y kx b =+(k b 、为常数，且0k ≠)的图象经过点()01A -，，()11B ，，则不等式1kx b +>的解为( ) A ．0x <
B ．0x >
C ．1x <
D ．1x >
变式2-2如果一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与x 轴交点坐标为(2,0)-，如图所示．则下列说法：①y 随x 的增大而减小；②关于x 的方程0kx b +=的解为2x =-；③0kx b +>的解是2x >-；④0b <．其中正确的说法
有_____．（只填你认为正确说法的序号）
重点2 两一次函数比较大小
例3.如图，函数=2y x 和=+4y ax 的图象相交于A (m ，3),则不等式2+4x ax <的解集为（ ） A ．3x 2
>
B ．x 3>
C ．3x 2
<
D ．x 3<
变式3-1如图，直线y =x +b 与直线y =kx +6交于点P （3，5），则关于x 的不等式x +b ＞kx +6的解集是_____．
（例3图） （变式3-1图）
变式3-2一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．
变式3-3如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （）．当2x <时，1y _____2y （填
“＞”或“＜”）
（变式3-2图） （变式3-3图）
重点3 根据x 和y 的取值范围确定解析式
例4.已知一次函数y =kx +b ，当自变量取值范围是−4<x <4时，相应的函数值的范围是−2<y <6，则这个函数的解析式为_________．
变式4-1对于一次函数 y ＝kx +b ，当 1≤x ≤4 时，3≤y ≤6，则一次函数的解析式为_____．
重点4 综合应用
例5.如图，直线y ＝－2x 与直线y ＝kx ＋b 相交于点A(a,2)，并且直线y ＝kx ＋b 经过x 轴上点B(2,0)．
(1)求直线y ＝kx ＋b 的解析式；
(2)求两条直线与y 轴围成的三角形面积； (3)直接写出不等式(k ＋2)x ＋b≥0的解集．
变式5-1如图，直线y =kx +b 经过点A （-5，0），B （-1，4） （1）求直线AB 的表达式；
（2）求直线CE ：y =-2x -4与直线AB 及y 轴围成图形的面积； （3）根据图象，直接写出关于x 的不等式kx +b ＞-2x -4的解集．
变式5-2如图：已知直线y kx b =+经过点()5,0A ，()1,4B ．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）若直线24y x =-与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x 的不等式240x kx b ->+>的解集．
1．如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的解析式是（ ） A ．y=2x+3
B ．y=x ﹣3
C ．y=2x ﹣3
D ．y=﹣x+3
2．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A ．20{3210x y x y +-=--=，
B ．210{3210x y x y --=--=，
C ．210{3250x y x y --=+-=，
D ．20{210
x y x y +-=--=，
（题1图） （题2图）
3．若以二元一次方程x +2y ﹣b =0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线y =﹣1
2x +b ﹣1上，则常数b =（ ）
A ．1
2
B ．2
C ．﹣1
D ．1
4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y ＝x +3分别与x 轴、直线y ＝﹣2x 交于点A 、B ，则△AOB 的面积为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
5．已知方程()00kx b k +=≠的解是3x =，则函数()0y kx b k =+≠的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．直线y=－2x+m与直线y=2x－1的交点在第四象限，则m的取值范围是（）
A．m＞－1 B．m＜1 C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1
7．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是【】A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
8．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx ＋4的解集是（）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
9．如图，函数y1＝﹣2x 与y2＝ax+3 的图象相交于点A（m，2），则关于x 的不等式﹣2x＞ax+3 的解集是（）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
（题7图）（题8图）（题9图）
10．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝1
3
x的图象交于点A（m，﹣
3），若kx﹣1
3
x＞﹣b，则（）
A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
11．如图是一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，kx+b＜x+a中，正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
（题10图）（题11图）
12．若方程x y c +=和x y p -=的公共解是21x y =⎧⎨=-⎩
，则直线y c x =-与直线y x p =-的交点坐标是________. 13．如图，直线y ＝kx ＋b 上有一点P (－1，3)，回答下列问题：
(1)关于x 的方程kx ＋b ＝3的解是_______．
(2)关于x 的不等式kx ＋b >3的解是________．
(3)关于x 的不等式kx ＋b －3<0的解是______．
(4)求不等式－3x ≥kx ＋b 的解．
(5)求不等式(k+3)x ＋b >0的解．
14．一次函数 y 1＝kx +b 与 y 2＝x +a 的图象如图所示，则下列结论：①k ＜0；②a ＜0，b ＜0；③当 x ＝3 时，y 1＝y 2；④不等式 kx +b ＞x +a 的解集是 x ＜3，其中正确的结论有_______．（只填序号）
15．如图，直线1l 的函数解析式为24y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求直线2l 的函数解析式； （2）求ADC ∆的面积；
（3）在直线2l 上是否存在点P ，使得ADP ∆面积是ADC ∆面积的1.5倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．
16．如图，已知直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=2x﹣4交x轴于点D，与直线AB相交于点C（3，2）．
（1）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集；
（2）若点A的坐标为（5，0），求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，求四边形BODC的面积．
17．已知：如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数y1与y2的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围．。