四边形 圆 难题专练
中考数学总复习 圆内接四边形专项练习题
中考数学总复习圆内接四边形专项练习题例题1：如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°.求∠OCB及弧DC的度数.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥DC，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD=86°，则∠PCE= °，⌒ADC的度数为例题2，如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，弧AB=弧AD，∠BCD=120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=37 ,求DE的长.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=BD,BM⊥AC于点M，已知AC=11,CD=7,求CM的长.例3.如图，在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD，CD，CD与AP交于点E. 求证：∠1=∠2.练：如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°，则∠ACB= °.例题2，如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F.求证：EF=DE.练：如图，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于点G，EF⊥BD于点F.求证：FG∥BC6.如图，已知△ABC，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转x度（α为锐角），得到△ADE，连接BE，CD，延长CD交BE于点F.（1）用含有x的代数式表示∠ACD的度数为；（2）求证：点B，C，A，F四点共圆.（3）求证：点F为BE的中点.7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2.求AD的长度，课后习题：1.如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠A+∠BOD=150°，则∠DCE= °2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A与∠C的度数之比为2：3，且弧AD的度数为100°，则弧AB的度数°3,如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且DB=DC.AC是直径，若∠ACB=52°，则∠DAE= °4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠A=120°，CF⊥AB于F，连接DF交CB延长线于E，连接AE，则△AEF的面积为5.如图，已知P为长方形内一点，S△P AB=5, S△PBC=12, 则S△PBD=6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）7.已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.8.如图，已知△ABC中，AH是高线，AT是角平分线，且TD⊥AB于点D，TE⊥AC于点E.求证：∠AHD=∠AHE.。
圆内接四边形练习题初三
圆内接四边形练习题初三题目一：证明圆内接四边形的对角线互相垂直。
解析：我们已知圆内接四边形的定义是指四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四边形的边都是圆的切线。
在这个基础上，我们来证明该四边形的对角线互相垂直。
证明：设圆内接四边形的顶点为A、B、C、D，中点分别为M、N、P、Q，并连结AC和BD两条对角线。
首先，我们已知圆的切线与半径垂直，因此AM⊥AC，AN⊥AB，BM⊥BC，BN⊥BD。
同时，我们知道圆内接四边形的边都是圆的切线，所以AC和BD是垂直于半径的切线，即AM⊥CN，BN⊥PD。
而且根据切线定理，切线与半径的交点与切点连线互相垂直，所以AM⊥CN，BN⊥PD。
因此，四边形的对角线AC和BD互相垂直。
题目二：已知圆内接四边形ABCD，证明AD+BC=AB+CD。
解析：这是一个用勾股定理证明的题目。
我们已知圆内接四边形的定义是指四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四边形的边都是圆的切线。
在这个基础上，我们来证明该等式成立。
证明：设圆内接四边形的顶点为A、B、C、D，中点分别为M、N、P、Q。
根据圆的性质，由圆心到切点的距离等于切点到切线的距离，所以AM = MD，BN = NC，CP = PD。
根据平行四边形的性质，我们知道AM+BN=AB，CP+DM=CD。
将上述等式代入AD+BC的表达式中，得到：AD+BC = (AM+MD) + (BN+NC)= AM + BN + MD + NC= AB + CD因此，已证明AD+BC=AB+CD。
题目三：已知四边形ABCD是一个菱形，且AB=6cm，BC=10cm，求这个菱形的面积。
解析：我们已知菱形的定义是指四边形的四个边相等，并且对角线互相垂直。
在这个基础上，我们来求解这个菱形的面积。
解答：设菱形ABCD的对角线交点为O。
由菱形的性质可知，对角线互相垂直，所以AO⊥BO，CO⊥DO。
又因为菱形的两条对角线相等，所以AO=CO，BO=DO。
专题04 与圆有关的角和圆内接四边形(4个考点6大类型(题型训练)(原卷版)
专题04 与圆有关的角和圆内接四边形（4个考点6大类型）【题型1 直径所对圆周角为90°的运用】【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【题型3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】【题型4 利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】【题型5 圆内接四边形的综合运用】【题型6 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】【题型1 直径所对圆周角为90°的运用】1．（2023•美兰区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠C ＝70°，则∠BAD的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．（2023•安顺模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，则∠1+∠2等于（）A．100°B．90°C．80°D．60°3．（2023•二道区校级二模）如图，CD是圆O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCD的度数是（）A．44°B．56°C．38°D．52°4．（2023•鹿城区一模）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D＝80°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°5．（2023•东莞市一模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4B．5C．D．26.（2023•鄞州区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，则∠BAD的度数是（）A．48°B．56°C．62°D．68°7.（2023•昆明模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ACD＝46°24′，则∠DAB的度数为（）A．43°36′B．46°24′C．43°46′D．44°36′【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】8．（2023•乾安县四模）如图所示，A，B，C，D是圆上的点，∠1＝68°，∠A ＝40°．则∠D的度数为（）A．30°B．40°C．28°D．56°9.（2023•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，DC、AB的延长线相交于点P．若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（）A．37°B．32°C．21°D．16°10.（2023•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（）A．55°B．45°C．35°D．25°11.（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°13．（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是的中点，点B是的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（）A．3B．4C．6D．8 14．（2023•通榆县三模）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，C是劣弧AB的中点，P是优弧APB任意一点，连接AP，BP，则∠APC的度数是（）A．30°或60°B．60°C．40°D．30°15．（2023•鹿城区校级二模）如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠EDC＝25°，则∠ACD的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°16．（2023•石景山区一模）如图，在⊙O中，C是的中点，点D是⊙O上一点．若∠ADC＝20°，则∠BOC的度数为（）A．10°B．20°C．40°D．80°17．（2023春•仓山区校级期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【题型3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】18．（2023•迁安市模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝20°，∠B＝30°，则∠A等于（）A．5°B．10°C．15°D．20°19．（2023•阎良区模拟）如图，在⊙O中，AB、CD是互相平行的弦，连接BC、BO、DO，若∠BOD＝90°，则∠ABC的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．90°20．（2023•乾安县二模）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．45°B．55°C．45°或155°D．55°或155°21．（2023•临潼区三模）如图所示，点A，B，C，D在⊙O上，若四边形ABCO 为平行四边形，连接BD与CD，则∠BDC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．45°22．（2023•绥中县一模）如图⊙O的半径为3，AB是弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（）A．B．3C．D．23．（2023•新城区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（）A．105°B．110°C．115°D．120°24．（2023•潮南区二模）如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°25．（2023•平原县二模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（）A．28°B．56°C．58°D．62°26．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠BOD＝80°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．80°27．（2023•宜都市二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠BDC＝（）A．20°B．40°C．55°D．70°28．（2023•白山一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB 异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）【题型4 利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】29．（2023•郧西县一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB 另一侧半圆的中点，若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径长为（）A．2B．C．2D．2 30．（2023春•汉寿县期中）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠BAO＝20°，则∠ACB的大小是（）A．90°B．70°C．60°D．40°31．（2023•阜新模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°32．（2023•新城区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若OB ＝AB，∠BAC＝110°，则∠ABC的度数为（）33．（2023•靖边县二模）如图，⊙O中，，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（）A．130°B．115°C．100°D．150°34.（2023•淮阴区模拟）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC度数为（）A．58°B．32°C．60°D．68°35.（2023•永寿县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，则∠ABC的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°36.（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝°．【题型5 圆内接四边形的综合运用】37．（2022秋•斗门区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D ＝85°，则∠B的度数为（）A．95°B．105°C．115°D．125°38．（2023•荔湾区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD＝130°，则∠BAD的度数是（）A．120°B．130°C．115°D．125°39．（2022秋•嘉陵区校级期末）如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°40．（2023•三台县模拟）如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°41.（2023•碑林区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（）A．45°B．40°C．35°D．30°42.（2023•碑林区校级一模）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°43.（2023•道外区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度数为（）A．128°B．64°C．32°D．120°【题型6 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】44．（2023•雁塔区校级模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠D＝120°，AB＝AC＝6，则点O到BC的距离是（）A．3B．C．D．45．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，46．（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（）A．B．5C．D．10 47．（2023•安次区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC ＝4，则⊙O的半径为（）A．4B．2C．D．4 48．（2023•南沙区一模）如图，在⊙O中，点C是圆上的一点且∠ACB＝120°，弦AB＝12，则⊙O的直径长是（）A．B．C．24D．12 49．（2023•浚县三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD 经过⊙O的圆心O，过点A作AE⊥CD，与CD的延长线交于点E，且DA平分∠BDE．（1）求证：∠ABO＝∠EAD；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．。
初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形
例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADE︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可.证明 （1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥.∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BC BO AO EAABCD 内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB 为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A ．30°B ．60°C ．90° C ．120°2．四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数依次可以是（ ）A ．1：2：3：4B ．6：7：8：9C ．4：1：3：2D ．14：3：1：12 3.四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数比依次可以是（） A ．4:3:2:1 B ．1:3:2:4 C ．2:1:3:4 D ．2:3:1:44.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，︒=∠110BOD ，那么BCD ∠的度数为（）A ．︒125B ．︒110C ．︒55D ．︒705. 如图，⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心1O ，若︒=∠40M ，则N ∠等于（）A ．︒40B ．︒80C ．︒100D ．︒70 6. 圆内接平行四边形一定是（ ）（A ）矩形 （B ）正方形 （C ）菱形 （D ）梯形 7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形8、四边形ABCD 内接于圆，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比可以是 ( ) （A ）1﹕2﹕3﹕4 （B ）7﹕5﹕10﹕8 （C ）13﹕1﹕5﹕17 （D ）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD 为圆内接四边形，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=130°，则∠DAE 为（ ） （A ）50° （B ）40° （C ）30° （D ）20° 10、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于P ，对角线AC 和BD 相交于点Q ，则图中共有相似的三角形 ( )（A ）4对 （B ）3对 （C ）2对 （D ）1对11．如图，在ABC ∆，AD 是高，ABC ∆的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：（1）CD BD AD ⋅=2；（2）AE EG BE ⋅=2；（3）AC AB AD AE ⋅=⋅；（4）CG BG EG AG ⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知：如图，劣弧，那么D B ∠+∠的度数是（ ）A ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是 度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则_____=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则_____=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=AC BAD AD AB ,30,，则四边形ABCD 的面积为________.11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在的中点A '，若5=BC ，则折痕在ABC ∆内的部分DE 长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒1265. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120° 10．243a 11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（） 答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形，（1）若DB ∥CE ，求证：AD ﹕BC=CD ﹕BE ；（2）若AD ﹕BC=CD ﹕BE ，求证：DB ∥CE ．2、已知：⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于H ，E 是CD 延长线上一点，AE 交⊙O 于F ．求证：∠AFC=∠DFE ． 3．如图，已知四边形ABCD 内接于圆，DC 、AB 的延长线相交于E ，且D B A C B E ∠=∠，求证：BD EC BE AD ⋅=⋅4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。
(完整版)特殊的平行四边形与圆专题+答案
1．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对2．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，连接BE，则∠CBE等于45°.3．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠B E′C＝135°4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°<α<90°)．若∠1＝110°，则∠α＝20°.5.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( C )A.2对B.3对C.4对D.5对6.如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( C )A.100°B.80°C.50°D.40°7.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°,∠CBD 的度数是( C )A.40°B.50°C.70°D.110°8.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.连接BD,则∴AB 是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴PD CD PB AB.在Rt △PBD 中,cos ∠BPD=PD CD PB AB ==34, 设PD=3x,PB=4x,则,∴tan ∠BPD=BD PD ==.一、特殊的平行四边形动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 上一动点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于点E ，垂足为点F ，连接CD ，BE.(1)求证：CE ＝AD ；(2)当D 运动到AB 的中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D运动到AB的中点，则∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD(2)四边形BECD是菱形，理由：∵D为AB的中点，∴AD ＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形BECD 是平行四边形．∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB ＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∵四边形BECD是菱形，∴∠DBE＝2∠ABC＝90°，∴菱形BECD是正方形．故当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形2．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第3题)解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.∵EF垂直平分AC，垂足为点O，∴OA＝OC，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴▱AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5 cm(2)显然，当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q 四点不可能构成平行四边形；同理：P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝4 3.∴以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝4 33.△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点，连接AD，PD，PQ，DQ.(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形？请说明理由．4.. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s 的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．∵运动时间为t，∴AE＝CF＝2t，∴EF＝20－4t＝12，∴t＝2；当点E在OC上，点F在OA上时，EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，∴t＝8.因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF 为矩形．二、圆相关的证明与求值问题1.如图,AB是⊙O的直径,且AB=6,C是⊙O上一点,D是BCˆ的中点，过点D作⊙O的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E. F，连接AD.(1)求证：AF⊥EF；(2)填空：①当BE=___时，点C是AF的中点；①当BE=___时，四边形OBDC是菱形.2.如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC.(1)求证：GC是⊙F的切线；(2)填空：①若∠BAD=45∘,AB=22，则△CDG的面积为___.②当∠GCD的度数为___时，四边形EFCD是菱形.3.已知：如图,AB为O的直径,点P是O上不与A,B重合的一个动点,延长PA到C,使AC=AP,点D为O上一点,且满足AD∥PB ，射线CD 交PB 延长线于点E.(1)求证：△PAB ≌△ACD ；(2)填空：①若AB=6，则四边形ABED 的最大面积为___；②若射线CD 与O 的另一个交点为F ，则当∠PAB 的度数为___时，以O ，A ，D ，F 为顶点的四边形为菱形.4.如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作O e ，使圆心O 在AB 上，O e 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O e 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O e 的直径．5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证：⊙O与BC相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径.6.如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=8，AE=6，求BF的长.8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．解：（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，∵DE与⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH=BH=BF=1，则FH=1，∴HD==3，在Rt△ODH中，+=，即+=，∴OD=5，∴⊙O的半径是5．9.已知，如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与AB 的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PA，且∠EDB=∠EPA．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PA=6，DA=8，求⊙O的半径．（1）证明：∵∠EDB=∠EPA，DE⊥PO，∴∠EDO=∠APO，∠DEO=90°．又∵∠POA=∠DOE，∴△APO～△EDO，∴∠PAO=∠DEO=90°．又∵OA是半径，∴PA是⊙O的切线；（2）在Rt△PAD中，若PA=6，DA=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PA都为圆的切线，∴PC=PA=6，∴DC=PD-PC=10-6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8-r，根据勾股定理得：（8-r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．10.如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．（1）连接AC，∵点CD是半圆O的三等分点，∴==，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行），∴∠OCE=∠E，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵=，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形．11.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求弦AB的长。
九年级数学：圆内接四边形练习(含答案)
九年级数学：圆内接四边形练习（含答案）1．圆内接四边形的对角________．2．圆内接四边形的外角等于内对角．A组基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( )A．120° B．100° C．80° D．90°第1题图2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( )第2题图A．100° B．120° C．140° D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( ) A．120° B．90° C．60° D．30°第4题图5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________． 7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________．8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________．第8题图9．如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D. (1)求证：DB ＝DC ；(2)若过D 作DP⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP≌△BDQ.第9题图10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D. (1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．B 组 自主提高8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )第11题图A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD 的度数为________．第12题图13．如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE. (1)试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； (2)如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出∠FPA相等的角．(4)求证：AP＝AB.第14题图3．6 圆内接四边形【课堂笔记】 1．互补 【课时训练】 1－4.BCBA 5. 125 6. 矩形 7.110° 8.110°9．(1)∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC ＝∠DAE.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DCB ＝∠DAE，∵∠DAC ＝∠DBC，∴∠DCB ＝∠DBC，∴DB ＝DC ； (2)∵AD 平分∠EAC，DP ⊥AC ，DQ ⊥BA ，∴DP ＝DQ ，又∵DB＝DC ，∴△CDP ≌△BDQ(HL)．10．(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD ＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形等； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°. ②α>2β.证明如下：∵OD＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD ⊥BC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴∠CDO ＝∠ODB＝12∠CDB ，∴12∠CDB>∠ABC ，即α>2β.11．B 12．60°13．(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE ＝BD ； (2)∵AD⊥BC，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴ADAB 2－BD 2＝4，∵S △ABC ＝12×BC ·AD ＝12AC ×BE ，∴12×6×4＝12×5×BE ，∴BE ＝245.14．(1)BE ＝CF ，BE ⊥CF ，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE ＝CF ，∠CBE ＝∠DCF，∵∠DCF ＋∠BCF＝90°，∴∠CBE ＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF； (2)点P ，F ，A ，B 共圆．理由：∵BE⊥CF，∠A＝90°，∴点P，F，A，B共圆．(3)∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC.(4)证明：∵∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC，∴∠APB＝90°－∠FPA＝90°－∠EBC＝∠ABP，∴AP ＝AB.。
(完整)初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形
例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADABCD EAB C DEO︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可. 证明 （1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠Θ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BCBOAO EA ΘABCD Θ内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB Θ为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A．30°B．60°C．90°C．120°2．四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数依次可以是（）A．1：2：3：4 B．6：7：8：9 C．4：1：3：2 D．14：3：1：123.四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数比依次可以是（）A．4:3:2:1B．1:3:2:4C．2:1:3:4D．2:3:1:44.如图，四边形ABCD内接于⊙O，︒=∠110BOD，那么BCD∠的度数为（）A．︒125B．︒110C．︒55D．︒705. 如图，⊙1O与⊙2O交于A、B两点，且⊙2O过⊙1O的圆心1O，若︒=∠40M，则N∠等于（）A．︒40B．︒80C．︒100D．︒706. 圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是( )（A）1﹕2﹕3﹕4 （B）7﹕5﹕10﹕8（C）13﹕1﹕5﹕17 （D）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（）（A）50°（B）40°（C）30°（D）20°10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形( )（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对11．如图，在ABC∆，AD是高，ABC∆的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）CDBDAD⋅=2；（2）AEEGBE⋅=2；（3）ACABADAE⋅=⋅；（4）CGBGEGAG⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知：如图，劣弧，那么DB∠+∠的度数是（）ACDPQA ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是 度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=ACBADADAB,30,，则四边形ABCD的面积为________.11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A'，若5=BC，则折痕在ABC∆内的部分DE长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒126 5. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120°10．243a11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥CE，求证：AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕BE，求证：DB∥CE ．2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙O于F．求证：∠AFC=∠DFE．3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于E，且DBACBE∠=∠，求证：BDECBEAD⋅=⋅BCDO4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。
部编数学九年级上册专题24.5圆内接四边形【六大题型】(人教版)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题24.5 圆内接四边形【六大题型】【人教版】【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 (1)【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 (5)【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 (9)【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 (13)【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 (16)【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 (20)【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD 的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD 的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD 的度数．方法二：根据AB 是⊙O 的直径，可以得到∠ADB ＝90°，再根据∠ABD ＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（ ）A．65°B．60°C．55°D．50°【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA ＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD，∵四边形OBCD是菱形，∴∠BCD＝∠BOD，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，∴∠BCD＝2∠BAD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴3∠BAD＝180°，∴∠BAD＝60°，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°，故选：B．【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是 60° ．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE 即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，故答案为：60°．【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ 64 °．【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，故答案为64．【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝BD的长为（ ）A．B．C D．【分析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=故选：D．【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）A B．C．D．不能确定【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，∴∠A＝180°﹣145°＝45°，∵BH⊥AD，AB＝4，∴BH=故选：B．【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）A．1)B．1)C．(−1D．(−2，【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA=A（0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB=12AB＝2，∴OA=∴A（0），B（0，2），∴D点坐标为（1）．故选：B．【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 2x+1 ．（用含有x的代数式表示）【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM＝∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD＝∠EPD＝90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B＝∠E，PB＝EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA＝∠B，进而可得：∠E＝∠ECA，然后根据等角对等边可得AE＝AC，进而可得PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，然后将AC＝x，AP＝x+1，代入即可得到PB的长．【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，∵M是弧CAB的中点，∴∠BDM＝∠CDM，∵MP垂直于弦AB于P，∴∠BPD＝∠EPD＝90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD=∠EPD PD=PD∠BDP=∠EDP，∴△DPE≌△DPB（ASA），∴∠B＝∠E，PB＝EP，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ECA＝∠B，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC，∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，∵AC＝x，AP＝x+1，∴PB＝2x+1．故答案为：2x+1．【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD 的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，证明AB＝BE，进而求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC：∠ADC＝2：1，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵∠E＝60°，∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，∵点C为BD的中点，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AD为⊙O的直径，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AB＝BE，∴⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝4π，故选：D．【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ）A．3B．6C．9D．12【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC ＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积=12△BEC的面积．【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=CE，∴AD＝CE＝2，∵BC ＝6，∴△BEC 的面积为12BC •CE =12×6×2＝6，∵OB ＝OE ，∴△BOC 的面积=12△BEC 的面积=12×6＝3，故选：A ．【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，点E 在CD 的延长线上，且DE ＝BC ，连接AE ，若AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为 8 ．【分析】如图，连接AC ，BD ．由△ABC ≌△ADE （SAS ），推出∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，推出S 四边形ABCD ＝S △ACE ，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC ，BD ．∵∠BCD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ADE +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE ，∵AB ＝AD ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，∴∠CAE ＝∠BAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE =12×4×4＝8．故答案为8．【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC ＝AC 为弦的⊙O 上有B 、D 两点，且∠BAC ＝∠DAC ，则四边形ABCD 的面积最大值为 4 ．【分析】如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．S 四边形ABCD ＝S △ACT ，因为AC ＝CT ＝以当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大．【解答】解：如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠B ＝∠CDT ，∴∠ADC +∠CDT ＝180°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACT ，∵AC ＝CT ＝∴当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大，最大值=12××=4．故答案为：4．【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）A ．∠1＝∠4B ．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C ．∠4＝∠7D ．∠ADC ＝∠2+∠5【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD ，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC ，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB ．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC ＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC ＝∠2+∠5，故A ，B ，D 都正确，∵BC 和DC 不一定相等，∴BC 与DC 不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C 错误，故选：C ．【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，故选：C．【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC【分析】只要证明∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．【解答】解：连接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．故选：C．【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP 交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）①∵P是AB的中点，∴PB=PA，∴PA＝PB，∵CA＝CB，∴PC垂直平分线段AB，∴PC是直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．②PC＝PA+PB成立；证明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°，AP=AH∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=．【分析】（1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC＝CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．【解答】解：（1）连接AC，∵∠D＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵∠BAC＝∠P＝30°，∴AC＝2BC＝6，所以圆O的半径为3；（2）∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∵AC为圆O直径，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形ABCD为矩形．∵AD=AB，∴AB＝AD，∴矩形ABCD为正方形，在BP上截取BE＝DP，∴△BCE≌△DPC，∴PC＝CE，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=，∴PB＝PD．【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．【解答】证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD=BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明△ADC≌△EBC即可．【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，∠ADC=∠EBC∠DAC=∠E，AC=EC∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G 为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．求证：∠EAF+∠G＝180°．【分析】连接AB，根据圆内接四边形的性质可知∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，再由∠ABC+∠ABD＝180°，可得出∠GEA+∠GFA＝180°，由四边形AEGF的内角和为360°即可得出结论．【解答】证明：连接AB∵四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，∴∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠GEA+∠GFA＝180°．∵四边形AEGF的内角和为360°，∴∠EAF+∠G＝180°．【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE＝DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠DEC＝∠B，然后利用等角对等边得到结论．（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠B+∠AED＝180°∵∠DEC+∠AED＝180°∴∠DEC＝∠B∵AB＝AC∴∠C＝∠B∴∠DEC＝∠C∴DE＝DC．（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠A+∠BDE＝180°∵∠EDC+∠BDE＝180°∴∠A＝∠EDC，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠OEA＝∠CEF∴∠A＝∠CEF∴∠EDC＝∠CEF，∵∠EDC+∠DEC+∠DCE＝180°∴∠CEF+∠DEC+∠DCE＝180°即∠DEF+∠DCE＝180°，又∵∠DCG+∠DCE＝180°∴∠DEF＝∠DCG，∵∠EDC旋转得到∠FDG∴∠EDC＝∠FDG∴∠EDC﹣∠FDC＝∠FDG﹣∠FDC即∠EDF＝∠CDG，∵DE＝DC∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF＝DG．【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC和∠DAC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ACB＝∠ABC＝70°，再根据圆内接四边形的性质可求解；（2）由可得直角三角形的性质∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，结合圆周角定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝110°；（2）∠BAC＝2∠DAC．证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，∵∠ABC＝∠ACB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC，∴90°﹣∠BAC+∠CBE＝90°﹣∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE，∴∠BAC＝2∠DAC．【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】先过点A、B、C作⊙O，分类讨论：当点P在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得∠BPC+∠A ＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，根据三角形外角性质易得∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则根据四边形的内角和得到∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【解答】解：过点A、B、C作⊙O，如图，当点P在⊙O上，则∠BPC+∠A＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，则∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得到答案．【解答】解：（1）∠DCE＝∠A，∵∠A+∠DCB＝180°，∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A；（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＝∠2，∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，∠ACB＝∠1，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．。
初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形
初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁． 例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ． △ABC 是等边三角形．∴AB=AC ． ∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ．ABCD BCD EO∵∠ADE=∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB＝60°，∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE．∵BE=DC，∴DB+DC=DA．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例如图，ABCD是⊙O的内接四边形，CDAH⊥，如果︒HAD，那么=∠30=∠B（）A．90° B．120° C．135° D．150°解：,=∠AHD︒HAD,∠9030︒=D，∠∴60=︒由圆内接四边形的对角和是180°，得︒B，故选B.∠120=说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，PA 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠. ∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可.证明 （1）连结DC. ∵AD 平分EAC ∠， ∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠.DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCM CN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠.∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD ∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BC BO AO EAABCD 内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠ 又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB 为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆ ∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决. 解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠ （2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A ．30°B ．60°C ．90° C ．120°2．四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数依次可以是（ ）A ．1：2：3：4B ．6：7：8：9C ．4：1：3：2D ．14：3：1：12 3.四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数比依次可以是（） A ．4:3:2:1 B ．1:3:2:4 C ．2:1:3:4 D ．2:3:1:44.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，︒=∠110BOD ，那么BCD ∠的度数为（）A ．︒125B ．︒110C ．︒55D ．︒705. 如图，⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心1O ，若︒=∠40M ，则N ∠等于（）A ．︒40B ．︒80C ．︒100D ．︒706. 圆内接平行四边形一定是（ ）（A ）矩形 （B ）正方形 （C ）菱形 （D ）梯形 7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形8、四边形ABCD 内接于圆，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比可以是 ( ) （A ）1﹕2﹕3﹕4 （B ）7﹕5﹕10﹕8 （C ）13﹕1﹕5﹕17 （D ）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD 为圆内接四边形，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=130°，则∠DAE 为（ ）（A ）50° （B ）40° （C ）30° （D ）20°10、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于P ，对角线AC 和BD 相交于点Q ，则图中共有相似的三角形 ( ) （A ）4对 （B ）3对 （C ）2对 （D ）1对11．如图，在ABC ∆，AD 是高，ABC ∆的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：（1）CD BD AD ⋅=2；（2）AE EG BE ⋅=2；（3）AC AB AD AE ⋅=⋅；（4）CG BG EG AG ⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知：如图，劣弧，那么D B ∠+∠的度数是（ ）A ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分AB CD PQC ．相等D ．相等且平分每组对角15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对 答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度.9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=AC BAD AD AB ,30,，则四边形ABCD 的面积为________.11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在的中点A '，若5=BC ，则折痕在ABC ∆内的部分DE 长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒1265. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120° 10．243a 11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形，（1）若DB ∥CE ，求证：AD ﹕BC=CD ﹕BE ；（2）若AD ﹕BC=CD ﹕BE ，求证：DB ∥CE ．2、已知：⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于H ，E 是CD 延长线上一点，AE 交⊙O 于F ．求证：∠AFC=∠DFE ．3．如图，已知四边形ABCD 内接于圆，DC 、AB 的延长线相交于E ，且DBA CBE ∠=∠，求证：BD EC BE AD ⋅=⋅4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=2BC D O5．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。
圆内接四边形练习题
圆内接四边形练习题一、选择题1. 圆内接四边形的对角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 270度D. 360度2. 以下哪个条件不能保证四边形是圆内接四边形？A. 对角互补B. 两组对边分别相等C. 两组对边分别平行D. 两组对角相等3. 如果圆内接四边形的一组对边相等，那么另一组对边也相等吗？A. 是B. 不一定C. 不是4. 圆内接四边形的对角线有什么特点？A. 互相垂直B. 互相平分C. 互相平行D. 互相垂直且平分5. 圆内接四边形中，内角和是多少度？A. 180度B. 360度C. 540度D. 720度二、填空题6. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A+∠C=∠B+∠D，那么四边形ABCD 是________。
7. 圆内接四边形ABCD中，如果AB=CD且AD=BC，那么四边形ABCD是________。
8. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，那么四边形ABCD 是________。
9. 圆内接四边形ABCD中，如果AC平分BD，那么AC是________。
10. 圆内接四边形ABCD中，如果AC垂直于BD，那么四边形ABCD是________。
三、简答题11. 描述圆内接四边形的性质，并给出证明。
12. 如果圆内接四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，那么它们是否一定互相平分？为什么？13. 圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是圆的直径，那么∠A和∠C 有什么关系？14. 给定一个圆内接四边形ABCD，如果∠A=90度，那么四边形ABCD 是什么特殊类型的四边形？15. 圆内接四边形ABCD中，如果AB=CD，那么∠A和∠C之间有什么数量关系？四、计算题16. 在圆内接四边形ABCD中，已知AB=6cm，CD=8cm，且AB和CD是圆的直径，求四边形ABCD的面积。
17. 圆内接四边形ABCD中，已知∠A=60度，∠B=120度，且AC=10cm，求BD的长度。
初中数学圆形专题训练50题-含参考答案
初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若:5:7A C ∠∠=，则C ∠=（ ）A ．210︒B ．150︒C ．105︒D ．75︒2．如图，P 是∠O 外一点，P A 是∠O 的切线，A 为切点，PO 与∠O 相交于B 点，已知∠BCA ＝34°，C 为∠O 上一点，连接CA ，CB ，则∠P 的度数为（ ）A ．34°B ．56°C ．22°D ．28° 【答案】C 【分析】根据切线的性质可得：90,OAP ∠=︒ 利用圆周角定理可得：2,O ACB ∠=∠ 从而可求出结果．【详解】解：∠P A 是∠O 的切线，A 为切点，∠∠OAP ＝90°，又∠∠BCA ＝34°，∠∠O ＝2∠ACB ＝68°，∠∠P ＝90°﹣∠AOB ＝90°﹣68°＝22°．故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理，掌握利用圆周角定理与切线的性质定理求解角的大小是解题的关键．3．如图，AB为∠O直径，CD为弦，AB∠CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（）∠CE＝OE；∠∠C＝40°；∠ACD＝ADC；∠AD＝2OEA．∠∠B．∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠【答案】B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．【详解】解：∠AB为∠O直径，CD为弦，AB∠CD于E，∠CE=DE，BC BD=，ACB ADB=，∠∠BOC=2∠A=40°，ACB BC ADB BC+=+，即ADC ADC=，故∠正确；∠∠OEC=90°，∠BOC=40°，∠∠C=50°，故∠正确；∠∠C≠∠BOC，∠CE≠OE，故∠错误；作OP∠CD，交AD于P，∠AB∠CD，∠AE＜AD，∠AOP=90°，∠OA＜PA，OE＜PD，∠PA+PD＞OA+OE∠OE＜OA，∠AD＞2OE，故∠错误；故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．下列命题正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧是等弧B．等圆周角对等弧C．任何一个三角形只有一个外接圆D．过任意三点可以确定一个圆【答案】C【分析】根据圆周角与弧的关系可判断出各选项，注意在等圆中这个条件．【详解】A、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故本选项错误；B、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等；故本选项错误；C、任何一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确；D、缺少条件，过任意不共线的三点才可以确定一个圆，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查命题与定理的知识，属于基础题，掌握相关的性质定理是解题的关键．5．如图，四边形ABCD为∠O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．125°∠四边形ABCD为∠O的内接四边形，∠∠BCD=180°−∠A=125°，故选D【点睛】此题考查圆周角定理及其推论，解题关键在于掌握圆内接四边形的性质. 6．如图，点A，B，C均在圆O上，当∠BOC=120°时，∠BAC的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°7．如图，在O中，AB所对的圆周角∠ACB＝50°，D为AB上的点．若∠AOD＝35°，则∠BOD的大小为（）A．35°B．50°C．55°D．65°【答案】D【分析】在同圆中，由同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解答．【详解】解：∠ACB＝50°，AOB∴∠=⨯︒=︒250100BOD AOB AOD∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1003565故选：D．【点睛】本题考查圆周角与圆心角的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．8．如图，四边形ABCD内接于∠O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为()A．40°B．60°C．80°D．90°【答案】D【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．【详解】连接OD、OB，∠四边形ABCD内接于∠O，∠∠DCB＝180°﹣∠DAB＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°，∠40°≤∠BPD≤80°，∠∠BPD不可能为90°，故选D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．如图，已知四边形ABCD 内接于∠O，AB是∠O的直径，EC与∠O 相切于点C，∠ECB=35°，则∠D 的度数是（）A．145°B．125°C．90°D．80°【答案】BOC【详解】解：连接.∠EC 与O 相切,35ECB ∠=，55OCB ∴∠=，,OB OC =55OBC OCB ∴∠=∠=，180********.D OBC ∴∠=-∠=-=故选：B.10．如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果65AO cm =，15CO cm =，当刮雨刷AC 绕点O 旋转90时，则刮雨刷AC 扫过的面积为（ ）A ．225cm πB ．21000cm πC ．225cmD ．21000cm11．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）A．0.5B．1C．2D．412．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）A．πB．πC．D．【答案】B【详解】试题分析：根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长．解：设底面圆的半径为r，则：2πr==π．∠r=， ∠圆锥的底面周长为， 故选B ．考点：圆锥的计算．13．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且弧AC 为半圆的，设扇形AOC ，∠COB ，弓形BmC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 1＜S 2＜S 3【答案】B 【详解】试题分析：首先根据∠AOC 的面积=∠BOC 的面积，得S 2＜S 1．再根据题意，知S 1占半圆面积的．所以S 3大于半圆面积的．解：根据∠AOC 的面积=∠BOC 的面积，得S 2＜S 1，再根据题意，知S 1占半圆面积的，所以S 3大于半圆面积的．因此S 2＜S 1＜S 3．故选B ．考点：扇形面积的计算．14．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =B 为圆心，BA 长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，则扇形BAE 的面积为（ ）A ．3πB ．35πC ．23πD ．34π 【答案】C【分析】解直角三角形求出30CBE ∠=︒，推出60ABE ∠=︒，再利用扇形的面积公式【详解】解：四边形=BA BE∴∠cos CBE∴∠=CBE∴∠ABE∴S15．下列事件中，是随机事件的是（）A．∠O的半径为5，OP＝3，点P在∠O外B．相似三角形的对应角相等C．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似D．直径所对的圆周角为直角【答案】C【分析】根据随机事件的定义进行分析解答即可.【详解】解：（1）点P一定在∠O内，A是不可能事件，故错误.(2) 相似三角形的对应角一定相等，是必然事件，B错误.(3) 任意画两个直角三角形，这两个三角形不一定相似，C正确.(4) 直径所对的圆周角一定为直角，D为为为为为为为错误.综上选C.【点睛】本题考查随机事件的定义，熟悉掌握是解题关键.16．如图，AC是∠O的直径，弦BD∠AO于E，连接BC，过点O作OF∠BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B cm C．2.5cm D cm17．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：∠勒洛三角形是中心对称图形；∠在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；∠在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；∠使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，BE，CE，若∠CBD＝33°，则∠BEC＝（）A．66°B．114°C．123°D．132°【答案】C【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=33°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．【详解】在∠O中，∠∠CBD＝33°，∠∠CAD＝33°，∠点E是△ABC的内心，∠∠BAC＝66°，∠∠EBC+∠ECB＝（180°﹣66°）÷2＝57°，∠∠BEC＝180°﹣57°＝123°．故选C．【点睛】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．19．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，∠DCE为Rt∠，∠CED=90°，OE=CE DE=5，则正方形的面积为()A．5B．6C．7D．8∠CE DE=5故选：B【点睛】本题考查了四点共圆的判定及圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，正方形的判定及性质定理，全等三角形的判定及性质．20．如图，AB 是∠O 的直径，弦CD∠AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足13CF FD ，连接AF 并延长交∠O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF ＝2，AF ＝3．给出下列结论：∠∠ADF∠∠AED ；∠FG ＝2；∠tan∠E ；∠S △DEF ＝结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4AFD ADE S S ＝ADE S ＝△DEF ＝AFD ，∠所以正确的结论是∠∠∠.二、填空题21．如图，有4个圆|A ，B ，C ，D ，且圆A 与圆B 的半径之和等于圆C 的半径，圆B 与圆C 的半径之和等于圆D 的半径，现将圆A ，B ，C 摆放如图甲，圆B ，C ，D 摆放如图乙.若图甲和图乙的阴影部分面积分别为4π和12π.则圆D 面积为__________．【答案】28π【分析】根据题意得到圆A 的半径为2，设圆B 的半径为b ，则圆C 的半径为b+2，故圆D 的半径为2b+2，根据乙图得到方程求出b 的关系，再根据圆D 的面积与b 的关系即可求解.【详解】∠图甲阴影部分面积分别为4π，即圆A 的面积为4π，∠圆A 的半径为2，设圆B 的半径为b ，则圆C 的半径为b+2，故圆D 的半径为2b+2，根据乙图可得222(22)12(2)b b b ππππ+=+++化简得226b b +=，∠圆D 的面积为2(22)b π+=4π()22b b ++4π=28π，故填：28π.【点睛】此题主要考查圆的面积求解，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列方程求解.22．圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：（a ）在一个平面内线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做__．线段OA 叫做__．（b ）圆是所有点到定点O 的距离__定长r 的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的__叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； （3）弧：圆上任意两点间的部分叫__（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够__的弧叫等弧．（5）等圆：能够__的两个圆叫等圆，半径__的两个圆也叫等圆．【答案】 圆心 半径 等于 线段 弧 完全重合 完全重合 相等【分析】根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答．【详解】（1）圆两种定义方式：（a ）在一个平面内线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心．线段OA 叫做半径．（b ）圆是所有点到定点O 的距离等于定长r 的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．（5）等圆：能够完全重合 的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆．故答案为：圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等．【点睛】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键． 23．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，则r 的取值范围是 _____．90，Rt ABD 中，由勾股定理得：2AD AB +A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，且CD BD <<10r <<，24．如图ABC 内接于O ，半径为6，2sin 3A =∠，则BC 的长为___________．【详解】解：作O的直径，∠90D=sin D CD．25．如图，PA、PB分别切∠O于A、B，并与∠O的另一条切线分别相交于D、C两点，已知PA＝6，则∠PCD的周长=_______．【答案】12【详解】试题分析：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角.设DC与∠O的切点为E∠PA、PB分别是∠O的切线，且切点为A、B∠PA=PB=6同理可得DE=DA，CE=CB则∠PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=12.考点：切线长定理26．如图，若BC是∠O的弦，OD∠BC于D，且∠BOD=50 o，点A在∠O上（不与B、C重合），则∠BAC=________．27．若圆锥的底面积为16π cm2，母线长为12 cm，则它的侧面展开图的圆心角为__________．【答案】120°【分析】根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径,求出圆锥底面圆的周长,也即是展开图扇形的弧长,然后根据弧长公式可求出圆心角的度数.【详解】由题意得,圆锥的底面积为16πcm²,28．如图，在等腰直角三角形ABC 中，4AB BC ==，点M 是AB 的中点，将ABC 绕点M 旋转至A B C '''的位置，使AB A C ''⊥，其中点C 的运动路径为弧CC '，连接CM ，则图中阴影部分的面积为_______．29．如图，ABC内接于O，若OAB30∠=，则C∠=______．【详解】OA OB=30OAB=∠=，1803030120=--=，由圆周角定理得，1602C AOB∠=∠=，故答案为60．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．30．如图，BC为∠O的直径，弦AD∠BC于点E，直线l切∠O于点C，延长OD交l 于点F，若AE=2，为ABC=22.5°，则CF的长度为31．用一张圆形的纸剪一个边长为4 cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为_______cm．【答案】4【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出.【详解】∠正六边形的边长是4cm，∠正六边形的半径是4cm，∠这个圆形纸片的最小半径是4cm，故答案为4cm.【点睛】此题主要考查了正多边形与圆的知识，注意正六边形的外接圆半径与边长相等，这是一个需要谨记的内容.32．如图，AB与∠O相切于点A，BO与∠O相交于点C，点D是∠O上一点，∠B＝38°．则∠D的度数是_____．33．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD ＝12cm，则球的半径为______cm．【答案】7.5【分析】首先找到EF的中点M，作MN∠AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM是(12﹣x) cm，MF＝6 cm，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】解：EF 的中点M ，作MN∠AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，∠四边形ABCD 是矩形，∠∠C ＝∠D ＝90°，∠四边形CDMN 是矩形，∠MN ＝CD ＝12 cm设OF ＝x cm ，则ON ＝OF ，∠OM ＝MN ﹣ON ＝ (12﹣x) cm ，MF ＝6 cm ，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2＝OF 2，即：（12﹣x ）2+62＝x 2，解得：x ＝7.5，故答案为：7.5．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．34．已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =，以C 为圆心，4.8cm 长度为半径画圆，则直线AB 与O 的位置关系是__________．与O 的位置关系是相切．2268=+与O 的位置关系是相切．故答案为：相切．【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形面积，圆的切判定，掌握勾股定理，直角三角形面积，圆的切判定是解题关键．35．如图,一次函数y=x轴、y轴交于A、B两点,P为一次函数=的图像上一点,以P为圆心能够画出圆与直线AB和y轴同时相切,则y x∠BPO=_________.∠∠OBP=15°又∠BOP=45°∠∠BPO=180°-45°-15°=120°相交时，点P即为圆心．（2）当∠ABO的外角平分线与y x如图，同理可求∠OBP=30°+75°=105°∠∠BPO=180°-45°-105°=30°故答案为：30°或120°【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质及三角形的内角和的应用，正确的对点P的位置进行分类是解题的关键．36．如图，四边形ABCD内接于∠O，点E在AB的延长线上，BF∠AC，AB＝BC，∠ADC=130°，则∠FBE=_______°.【答案】65【详解】连接BD，如图所示：∠∠ADB和∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠BDC和∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，又∠∠BDC+∠ADB＝∠ADC，∠ADC=130°，∠∠BAC+∠ACB＝130°，又∠AB＝BC，∠∠BAC＝∠ACB＝65°，又∠BF∠AC，∠∠FBE=∠BAC＝65°；故答案是：65．37．如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧AB，使点B在O右下方，且4tan3AOB∠=．在优弧AB上任取一点P，且能过P作直线l OB∥交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧AB上一段AP的长为13π，则AOP∠的度数为__________，x的值为__________；（2）x的最小值为__________，此时直线l与弧AB所在圆的位置关系为__________26nπ⨯38．如图，在Rt ABC △中，903cm 4cm C AC BC ∠=︒==，，， 以BC 边所在的直线为轴，将ABC 旋转一周得到的圆锥侧面积是___；此圆锥展开的侧面扇形的圆心角为____．边所在的直线为轴，将ABC 旋转一周得到的圆锥侧面积是此圆锥展开的侧面扇形的扇形弧长是底面圆周长，此圆锥展开的侧面扇形的圆心角度数为【点睛】本题考查了勾股定理，圆锥的计算；得到几何体的组成是解决本题的突破39．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＋4的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 点，点C 在线段OA 上，点D 在直线AB 上，且CD ＝2，∠DEC 是直角三角形（∠EDC ＝90°），DE ，连接AE ，则AE 的最大值为_________．∠+∠=______度，阴影四边形的面积为______．【答案】 105︒##105度 1##1-+∠90ABD ，AB BD =90ABC BAC ∠+∠=︒=BAC DBE ∠=∠，(AAS BAC DBE ≌△△AC BE =，BC DE =三、解答题41．如图，在∠O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC 、BD ．(1)求证：AEC DEB △∽△；(2)连接AD ，若3AD =，30C ∠=︒，求∠O 的半径．【答案】(1)证明见解析(2)∠O 的半径为3Rt ADB 中，26AD ==，132AB ==的半径为【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含42．如图，在O 中，AB 为直径，AC 为弦．过BC 延长线上一点G ，作GD AO ⊥于点D ，交AC 于点E ，交O 于点F ，M 是GE 的中点，连接CF ，CM ．（1）判断CM 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ECF 2A ∠∠=，CM 6=，CF 4=，求MF 的长．与O 相切；理由见解析；3343．已知：如图，线段BC 与经过点C 的直线l ．求作：在直线l 上求作点D ，使150CDB ∠=︒．作法：∠分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于BC 上方的点A ，连接AB ，AC ；∠以点A 为圆心，以AB 长为半径画圆交直线l 于点D （不同于点C ），连接BD ．则点D 即为所求．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∠分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半烃画弧，两弧交于BC 上方的点A ． ∠AB BC CA ==∠ABC 为等边三角形．∠60BAC ∠=︒．在A 中，在优弧BC 上任取点E ，连接BE ，CE ．∠30CEB ∠=︒．（_________________________）（填推理依据）∠点B ，D ，C ，E 在A 上．∠180CDB CEB ∠+∠=︒．（_________________________）（填推理依据）即150CDB ∠=︒． 【答案】(1)见解析(2)圆周角定理；圆内接四边形对角互补【分析】（1）根据题意作出图形即可求解；（2）根据圆周角定理，以及圆内接四边形对角互补，即可求解．【详解】（1）解；如图所示，（2）证明：∠分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半烃画弧，两弧交于BC 上方的点A ． ∠AB BC CA ==∠ABC 为等边三角形．∠=60?BAC ∠．在A 中，在优弧BC 上任取点E ，连接BE ，CE ．∠=30?CEB ∠（圆周角定理）∠点B ，D ，C ，E 在A 上．∠+=180CDB CEB ∠∠︒．（圆内接四边形对角互补）即150CDB ∠=︒．故答案为：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．44．某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A 、B 、C 的距离相等． （1）若三所公寓A 、B 、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠BAC =56°，则∠BPC =【答案】（1）见解析；（2）112°【分析】（1）连接AB 、BC 、AC ，作线段AB 和AC 的垂直平分线，交点P 即为所求； （2）利用三角形外心的性质结合圆周角定理得出答案．【详解】解：（1）如图所示：P 点即为所求；（2）连接PB 、PC ，∠点P 是三角形ABC 的外心，∠∠BPC ＝2∠BAC ＝112°．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，掌握线段垂直平分线的性质，得出P 点是三角形ABC 的外心是解题关键．45．如图ABC 内接于O ，60B ∠=，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP AC =．()1求证：P A 是O 的切线；()2若PD =O 的直径．）O 的直径为30，继而根据等腰三角形的性质可得出30，继而由P ，可得出30的直角三角形的性质求出PD OD =，可得出O 的直径．连接OA ，如图，B 60∠=，AOC 2B 120∠∠∴=，又OA OC =，OAC 30∠∠∴=，又AP AC =P ACP 30∠∠=，90，是O的切线．Rt OAP中，P30∠=，=+，2OA OD PD=，又OA OD=，PD OA=，PD5∴=2OA2PD∴的直径为O【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含掌握切线的判定定理、圆周角定理及含46．如图，已知等边∠ABC，AB＝2，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF∠AC，垂足为F，过点F作FG∠AB，垂足为G，连结GD．(1)求证：DF是∠O的切线；(2)求FG的长．22447．九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是∠O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求∠O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．【答案】（1）见解析；（2）∠O的半径R为7．【分析】（1）连结AC，BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△APC∠∠DPB，利用相似三角形的性质得AP：DP=CP：BP，变形有AP•BP=CP•DP；由此得到相交弦定理；（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．【详解】（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如图1，∠O的两弦AB、CD相交于E，求证：AP•BP=CP•DP．证明如下：连结AC，BD，如图1，∠∠C=∠B，∠A=∠D，∠∠APC∠∠DPB，∠AP：DP=CP：BP，∠AP•BP=CP•DP；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2）过P作直径CD，如图2，∠AB=10，PA=4，OP=5，∠PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，由（1）中结论得，PA•PB=PC•PD，∠4×6=（R﹣5）×（R+5），解得R=7（R=﹣7舍去）．所以∠O的半径R=7．【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握相交弦定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键.48．如图，点C在以AB为直径的∠O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD 交∠O于点E，过B作BF∠AE交∠O于点F，连接CF．（1）求证：∠B＝2∠F；（2）已知AE＝8，DE＝2，过B作BF∠AE交∠O于F，连接CF，求CF的长．49．如图，已知∠O的直径AB=8，过A、B两点作∠O的切线AD、BC．（1）当AD=2，BC=8时，连接OC、OD、CD．∠求∠COD的面积．∠试判断直线CD与∠O的位置关系，并说明理由．（2）若直线CD与∠O相切于点E，设AD=x（x＞0），试用含x的式子表示四边形ABCD的面积S，并探索S是否存在最小值，写出探索过程．50．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN 及点P 、Q ，若60MPN ∠=︒且线段MN 关于点P 的中心对称线段M N ''恰好经过点Q ，则称点Q 是点P 的线段60MN -︒对经点．(1)设点()0,2A ．∠()1Q ，()24,0Q ，312Q ⎫-⎪⎪⎝⎭，其中为某点P 的线段60OA -︒对经点的是______．∠已知()0,1B ，设∠B 的半径为r ，若∠B 上存在某点P 的线段60OA -︒对经点，求r 的取值范围．(2)若点()4,0Q 同时是相异两点1P 、2P 的线段60OD -︒对经点，直接写出线段OD 长的取值范围． 为边的等边三角形的外接圆C 上优弧上的横纵坐标的最值，根据定义以及中点坐标公的方法作出图形，作M 的切线关于P 中心对N 为圆心，矩形对角线长度为半径两圆组成的图两直线之间的部分，除公共部分以外的图形，即图中阴影部分，包括边轴上的部分，根据图形求得）作辅助线，设,M N 在OD 同时是相异两点1P 、2P 的线段33DM x =，OM 长，解一元一次不等式组求解即可．Q 为边的等边三角形的外接圆C 上优弧上的一点，()0,2A2OA ∴=C 为AOP 的外心，则过点C 分别作CG 2OC33GC =3GC ∴=33C x ∴=∴P 的横坐标最大值为Qx交M于点S作M的是C的直径)AA交M于点F1根据对称性，同理可得过N的r的最值也为M N在OD）作辅助线，设,T 为,M N 的交点，2MT NT OM ∴===11=22TH MN OD ∴==在Rt NTH 中， NH OH ON NH =+OR ON NR =+()4,0D236+∴解得433即433≤。
中考数学四边形与圆综合题专项训练
中考数学四边形与圆综合题专项训练知识点：1. 梯形中常见的辅助线我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.常见的辅助线添加方式如下： 梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．题型一：四边形有关计算【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AB 的长．【例2】已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD AB CDA BCD =︒=∠︒=∠∥∥6090，4,2AB DF ==，求BF 的长．【例3】如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B '为CD 边上的点，C B '=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B 落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与A D ，BC 边交于点M ，N ．⑴求BN 的长；⑵求四边形ABNM 的面积.FEDCB AABCDB'A'MN【例4】已知：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2=AD ，6=BC ，将线段DC 绕点D 逆时针旋转︒90，得到线段C D '.⑴求△C AD '的面积；⑵若52tan ='∠C DA ，求AB 的长.【例5】如图，梯形ABCD 中，AD BC ，5BC =，3AD =，对角线AC BD ⊥，且30DBC ∠=︒，求梯形ABCD 的高。
四边形圆的考试题及答案
四边形圆的考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 四边形圆的定义是什么？A. 四边形的四个顶点都在同一个圆上B. 四边形的对角线互相垂直C. 四边形的对边相等D. 四边形的对角线相等答案：A2. 以下哪个条件可以判定一个四边形是圆的？A. 对边平行B. 对角线相等C. 对角互补D. 对角线互相垂直答案：C3. 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形一定是圆的吗？A. 是的B. 不一定C. 不是的D. 无法确定答案：B4. 圆的四边形的对角线有什么性质？A. 相等B. 互相垂直C. 互相平分D. 互相垂直5. 圆的四边形的对角线交点有什么特点？A. 在四边形内部B. 在四边形外部C. 在四边形的边上D. 在四边形的对角线上答案：A6. 以下哪个四边形一定是圆的？A. 矩形B. 平行四边形C. 梯形D. 菱形答案：A7. 圆的四边形的内角和是多少？A. 360°B. 180°C. 720°D. 540°答案：C8. 圆的四边形的外角和是多少？A. 360°B. 180°C. 720°D. 540°答案：A9. 如果一个四边形的对角线互相垂直且平分，那么这个四边形一定是A. 是的B. 不一定C. 不是的D. 无法确定答案：A10. 圆的四边形的对边有什么性质？A. 平行B. 相等C. 互相垂直D. 互相平分答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 圆的四边形的对角线互相________。
答案：平分2. 如果一个四边形的对角线互相垂直平分，那么这个四边形是________。
答案：圆的3. 圆的四边形的内角和为________度。
答案：3604. 圆的四边形的外角和为________度。
答案：3605. 圆的四边形的对角线交点位于四边形的________。
答案：内部6. 圆的四边形的对边互相________。
初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含详细答案
初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含详细答案一、圆的综合1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠A ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中，OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC （SAS ），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，∴△CDO 为直角三角形，∵S △CDO =12CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，∴S△CDO=12×6×4=12，∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．2．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．3．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=B P′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．4．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA是⊙O的切线；（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，∴∠ACF=∠D，∴∠ACF=∠B，而∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC，∴AC：AB=AG：AC，∴AC2=AG•AB=12，∴AC=23．5．如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）若半圆O的半径为6，求¶AC的长．【答案】（1）直线CE与半圆O相切（2）4【解析】试题分析：（1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题．试题解析：（1）直线CE与半圆O相切，理由如下：∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC.∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC⊥DE，∴直线CE与半圆O相切．（2）由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，∴△OCF 是等边三角形，∴∠AOC=120°∴¶AC 的长为1206180π⨯⨯=4π.6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧»().AB ()1用直尺和圆规作出»AB 所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法)()2若»AB 的中点C 到弦AB 的距离为2080m AB m =，，求»AB 所在圆的半径．【答案】(1)见解析；（2）50m【解析】分析：()1连结AC 、BC ，分别作AC 和BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O ，如图1；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，根据垂径定理的推论，由C 为»AB的中点得到1OC AB AD BD AB 402⊥===，，则CD 20=，设O e 的半径为r ，在Rt OAD V 中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+，然后解方程即可．详解：()1如图1，点O 为所求；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，C Q 为»AB 的中点，OC AB ∴⊥， 1402AD BD AB ∴===， 设O e 的半径为r ，则20OA r OD OD CD r ==-=-，，在Rt OAD V 中，222OA OD AD =+Q ，222(20)40r r ∴=-+，解得50r =，即»AB 所在圆的半径是50m ． 点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．7．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．【答案】(1) B （，2）．(2)证明见解析.【解析】 试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题；（2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．8．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）3π【解析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，∵∠A=90°，∴BP=2APRt△ABP中,AB=3，由勾股定理可得：AP=3，∴S⊙P=3π9．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为﹣2．【解析】【分析】（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A ＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α＝∠AOA'＝60°,∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,∴B'C＝OB’＝,∴OC＝3,∴B'（3,）,（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,∵∠APB＝90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO 交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，（1）求证：OD＝OP；（2）求证：FE是⊙O的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AE，BE，证出△APE≌△AFE即可得出结论．试题解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BODOE=OB∴△OPE≌△ODB∴OD="OP"（2）连接EA，EB∴∠1=∠EBC∵AB是直径∴∠AEB=∠C=90°∴∠2+∠3=90°∵∠3=∠DEB∵∠BDE=90°∴∠EBC+∠DEB=90°∴∠2=∠EBC=∠1∵∠C=90°∠BDE=90°∴CF∥OE∴∠ODP=∠AFP∵OD=OP∴∠ODP=∠OPD∵∠OPD=∠APF∴∠AFP=∠APF∴AF=AP 又AE=AE∴△APE≌△AFE∴∠AFE=∠APE=90°∴∠FED=90°∴FE是⊙O的切线考点：切线的判定．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，AC＝12，求»BD的长．(3)若tan C＝2，AE＝8，求BF的长．【答案】(1)见解析;(2) 2π；(3)10 3.【解析】分析：（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C ，∠ABC=∠ODB ，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD ∥AC ，从而得证OD ⊥EF ，即 EF 是⊙O 的切线；（2） 根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=12AB =6，进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可；（3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt △DEC 中, tan 2DEC CE== 设CE=x,则DE=2x ，然后由Rt △ADE 中, tan 2AEADE DE∠== ，求得DE 、CE 的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB ∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ，即OD ⊥EF ∴EF 是⊙O 的切线 （2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由（1）得：∠C=∠ODB=600 ∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴»BD=6062180ππ⨯= 即»BD的长2π （3）连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DEC CE== 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900 ∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AEADE DE∠== ∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5 ∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF∴OF OD AF AE = 即：55108BF BF +=+ 解得：BF=103 即BF 的长为103. 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ． （1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8． 【解析】 【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求； （2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2，2，即可求解；（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可． 【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4， ∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0， ∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时， 如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0, 2236+35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF THBE BC =, 即2635,∴TH=5, ∵HO ∥CE, ∴△BHO ∽△BEC, ∴HO=2， 此时T(-5-2，0); 当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）； ∵0<d <2，∴25252t --<<--； 当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8. ∵0<d <2， ∴6<r <8；综上，25252t -<<或6<r <8． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】（1）OE的长为32；（2）阴影部分的面积为3 2π【解析】（1）OE=32（2）S=32π14．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）3．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.15．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上.(1)如图1，若AC＝3，∠CAB＝30°，求半圆O 的半径；(2)如图2，M 是»BC的中点，E 是直径AB 上一点，AM 分别交CE，BC 于点F，D. 过点F 作FG∥AB 交边BC 于点G，若△ACE 与△CEB 相似，请探究以点D 为圆心，GB 长为半径的⊙D 与直线AC 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）半圆O的半径为3；（2）⊙D与直线AC相切，理由见解析【解析】试题分析：(1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据△ACE与△CEB相似证出∠AEC＝∠CEB＝90°, 再依据M是»BC的中点,证明CF＝CD, 过点F作FP∥GB交于AB于点P, 证出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FP＝GB从而CD＝GB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.试题解析：（1）∵ AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°．在Rt△ACB中，AB＝cos AC CAB ∠＝3 cos30︒＝3．∴ OA3（2）⊙D与直线AC相切.理由如下：由（1）得∠ACB＝90°．∵∠AEC＝∠ECB＋∠6，∴∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6．∵△ACE与△CEB相似，∴∠AEC＝∠CEB＝90°．在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．∵ M是»BC的中点，∴∠COM＝∠BOM．∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5．∴ CF＝CD．过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE＝∠6．在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有∠CAE＋∠ACE＝90°，∠CAE＋∠6＝90°．∴∠ACE＝∠6＝∠FPE．又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△ACF≌△APF．∴ CF＝FP．∵ FP∥GB，FG∥AB，∴四边形FPBG是平行四边形．∴ FP＝GB．∴ CD＝GB．∵ CD⊥AC，∴点D到直线AC的距离为线段CD的长∴⊙D与直线AC相切.。
初中数学专题训练：圆内接四边形性质在解题中的具体应用(后附解析))
初中数学“圆内接四边形性质”在解题中的应用圆的内接四边形具有如下性质：性质1：圆内接四边形对角互补.性质2：圆内接四边形的外角等于内对角.当遇到圆内接四边形时，能为问题的解决从角的层面提供最有效的帮助，下面就具体展示一下性质的灵活应用，供学习借鉴。
1.直接应用性质，求对角的大小例1 ：如图1，四边形ABCD 内接于⊙0，若∠A =40°，则∠C =（ ）A .110°B .120°C .135°D .140°解析：因为四边形ABCD 内接于⊙0，且∠A 与∠C 是对角，所以∠A +∠C =180°，因为∠A =40°， 所以∠C =140°，所以选D .点评：这是性质的直接性应用，应用时，抓住四点：一是确定四边形是圆的内接四边形；二 是确定对角是哪一对；三是准确布列对角和为180°的等式；四是代入求值计算即可2.用性质，联手菱形，求角的大小例2：如图2，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°解法1：因为四边形ABCD 是菱形，∠D =80°所以∠ACB =21∠DCB =21（180°﹣∠D ）=50°， 因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEB =∠D =80°，所以∠EAC =∠AEB ﹣∠ACE =30°，所以选C ．解法2：因为四边形ABCD 是菱形，∠D =80°所以∠ACB =21∠DCB =21（180°﹣∠D ）=50°， 因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEC =180°-∠D =100°，所以∠EAC =180°-∠AEC ﹣∠ACE =30°，所以选C ．点评：解答时，有如下几点体会：一是熟练掌握菱形的性质，这是解题的基础；二是熟练掌握圆内接四边形的性质，这是解题的关键；三是灵活运用性质，性质选择不同，就会得到不同的解法，这是解题的灵魂和创新点所在.3、创造条件用性质，求两角的和例3、如图3，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A +∠C ＝ ．解析：如图3，连接AB ，因为四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠BAD +∠C =180°. 因为P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，所以P A =PB ，因为∠P ＝102°，∠P AB =21（180°﹣∠P ）=39°，所以∠P AD +∠C =∠BAD +∠C +∠P AB =180°+39°=219°. 点评：构造圆内接四边形为性质应用创造条件是解题的关键，其次，熟练运用切线长的性质，等腰三角形的性质也是解题的有效支撑.4、创造条件用性质，求线段的长例4：如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD =5，CE =13，则AE = （ ）A ．3B ．32C ．43D ．23解析：如图4，连接AC ，因为BA 平分∠DBE ，所以∠1=∠2，因为∠1=∠CDA ，∠2=∠3， 所以∠3=∠CDA ，所以AC =AD =5，因为AE ⊥CB ，所以∠AEC =90°，所以AE =2222)13(5-=-CE AC =23,所以选D ．点评：解答时，把握好五条脉络：一是角平分线得到的两个等角；二是圆内教师必须外角等于内对角得到的两个等角；三是同弧上的圆周角相等得到的两个等角；四是逻辑推理得到的两个等角；五是等腰三角形的判定和勾股定理的应用.5、用性质，探求三角之间的关系例5 ：如图5矩形ABCD 中，AD =8,DC =6，在对角线AC 上取点O ，以OC 为半径的圆切AD 于E ,交BC 于F ，交CD 于G .（1）求⊙O 的半径R ；（2）设∠BFE =α，∠GED =β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．解析：（1）如图5，连接OE ，则OE ⊥AD .因为四边形ABCD 是矩形，所以∠D =90°，根据勾股定理，得AC =10.因为OE ⊥AD ，CD ⊥AD ，所以OE ∥CD ，所以△AOE ∽△ACD ， 所以CD OE AC AO =，所以61010R R =-,解得R =415； （2）因为四边形EFCG 是圆的内接四边形，所以∠BFE =∠EGC ，因为∠GED =90°-∠EGD , ∠EGD =180°-∠EGC ,所以∠GED =∠EGC -90°即∠GED =∠BFE -90°，所以α，β，90°三者之间的关系式为α=β+90°．点评：本题是矩形与圆及圆内接四边形相结合的开放型的综合题[2]，解答时，注意如下几点：一是熟练应用切线的性质，为平行线的生成创造条件；二是熟练驾驭平行线与相似三角形的关系，用相似渗透方程的思想确定线段的长度；三是活动圆内接四边形的性质，互余的性质，邻补角的定义综合推理确定三角之间的关系，这是解题的关键.6、用性质，探求三线段之间的关系或线段比值例6：已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图6，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图7，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图8，若BC＝5，BD＝4，求的值．解析：（1）解法1：如图9，在AD上截取AE=AB，连接BE，因为∠BAC=120°，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△ABE和△BCD 都是等边三角形，所以∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，所以△BED≌△BAC，所以DE=AC，所以AD=AE+DE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：此法的灵魂是在较长的线段上截取一段等于其中一条线段，证明余长等于另一条线段，简称截长法，要熟练掌握.解法2：如图10，延长AB到E，使BE=AC，连接DE，因为∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△BCD是等边三角形，所以BD=CD，因为四边形ABDC是圆内接四边形，所以∠DBE=∠DCA，所以△BED≌△CAD，所以DE=DA，因为∠BAD=60°，所以△DAE都是等边三角形，所以AD=AE=AB+BE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：这种证明的方法叫做等量延长法，实质是构造两线段的和，证明和线段等于所求线段.解答时，有三个关键要把握好：一是用好圆内接四边形的外角等于内对角，为三角形的全等提供条件；二是熟练用好等边三角形的判断，为等线段的构造奠定基础；三是灵活运用三角形全等，为问题的解决提供等线段支撑.（3）AB+AC=2AD．理由如下：解法1：如图11，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠MBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，所以△MBD≌△ACD，所以MD=AD，∠M=∠CAD=45°，所以MD⊥AD．所以AM=2AD，即AB+BM=2AD，所以AB+AC=2AD.点评：此法是顺延第一问中的解法2，关键是构造直角三角形，基础是三角形全等.解法2：如图12，过点D作ED⊥AD，垂足为D，交AC的延长线于点E,因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，∠AED=45°,所以AD=DE，所以AE=2AD.因为四边形ABDC内接于⊙O，ED⊥AD，CD⊥BD，所以∠ECD=∠ABD，∠BDA=∠CDE，所以△ABD≌△CED，所以AB=CE，所以AE=AC+CE=AC+AB=2AD，所以AB+AC=2AD. 点评：此法的最大特点是直角构造出了一个等腰直角三角形，让结论直接生成，利用圆内接四边形性质，互余性质得到全等三角形，从而实现解题目标.（3）如图13，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠NBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD，所以BD=CD，所以△NBD≌△ACD，所以ND=AD，∠N=∠CAD，所以∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，所以△NAD∽△CBD，所以，所以，因为AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，所以=．点评：用性质，特别是渗透了三角形相似，使得问题求解非常有情趣，有数学味道，从而体会数学解题的乐趣.解后反思：通过对圆内接四边形性质解题应用的探究，深深体会到如下几点：1.学习时，要重视对教材上的每一条性质的掌握，务必从准确记忆，科学把握，灵活应用三个维度去掌握和学习，确实夯实数学基础；2.通过学习，努力更多地去掌握数学的基本解题思路和基本的解题方法，掌握常见题型解题时需要构造的辅助线，使得解题方法更加灵活多样，有生命力，充满解题生机；3.通过学习，要锻炼自己的发散思维能力，通过解题的变式思考，一题多解的思维训练等方式，启迪自己的思维，在解题过程中碰撞数学智慧，探索发现数学解题智慧，切实提高自身数学素养和数学能力；4.通过学习，要牢牢树立数学知识一盘棋的思想，构建起适合自己的数学知识网，让数学知识，数学方法，数学思思，数学智慧都融入这个大棋盘，做到知识选择灵活自如，方法选择灵活自如，思想选择灵活自如，为数学创新思维点燃创新的火花.。
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第十三讲 四边形、圆、二次函数专题
一．重点题型掌握：
1.如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，AD=3，AE 平分∠DAB 交BC 的延长线于F 点，则CF=
2.如图，在周长为20的平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，AC 与BD 交于点O ，OE⊥BD，交AD 于点E ，则△ABE 的周长为 .
3.已知平行四边形ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E 、F ，PE=PF ．（1）如图，若PE=3,EO=1，则∠EPF 的度数 ；（2）若点P 是AD 的中点，点F 是DO 的中点，BF=BC+4-23,则BC= 。
1题 2题 3题 4题
4. 如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，∠ABE=15°，且AB=AE ，则DE= cm ．
5.（2013凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，
0），（0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角
形时，点P 的坐标为 ．
6. 如图，四边形ABCD 为平行四边形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，折痕为AF ．且AB=10cm 、AD=8cm 、DE=6cm ．（1）求证：平行四边形ABCD 是矩形；（2）求BF 的长；（3）求折痕AF 长．
7.如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，作BE ∥AC ，CE ∥BD ，BE 、CE 交于点E ．
（1）四边形OBEC 是菱形吗？说说你的理由；
（2）若BC=8，AB=6，求四边形OBEC 的周长和面积．
聚焦中考2013：
（关于圆）1.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在上，点D 在AB 的延长线上于，且AC=CD ，已知∠D=30°．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，请说明理由．（2）若弦CF ⊥AB ，垂足为E ，且CF=32，求图中阴影部分的面积．
1.(2013山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间
为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.
2.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，求∠DPE的度数．
3.（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
（关于二次函数应用）
1.( 2013年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
2.某汽车租赁公司拥有2O辆汽车。
据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为_______元(用含x的代数式表示);
(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元?0.
(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
4.如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．
（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线解析式；
（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC，分别交BC 和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM=S△BPM？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
5.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB=1，OC=3，将△OBC 绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F．
（1）若抛物线过点A、B、C，求此抛物线的解析式；
（2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积；
（3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M 的坐标．。