离散型随机变量的期望值和方差

12.2 离散型随机变量的期望值和方差
一、知识梳理
1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.
2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差. D叫标准差，反映了ξ的离散程度.
3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b 为常数）.
（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，D ξ=npq（q=1－p）.
Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.
二、例题剖析
【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、Dξ.
拓展提高 既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，
进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=5
3，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.
解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有
E ξ=53x 1+52x 2=5
7， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=25
6. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,
723222121x x x x
【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个
被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?
【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子
的个数，求E ξ、D ξ.
特别提示
求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有
两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.
【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），
用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.
（1）求方差D ξ的最大值；
（2）求ξ
ξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1
个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.
【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位
考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。

如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
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三、同步练习 离散型随机变量的期望值和方差
1.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是
2.4与1.44，则二项分布的参数n 、p 的值为B
A.n =4，p =0.6
B.n =6，p =0.4
C.n =8，p =0.3
D.n =24，p =0.1
2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，
现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为C
A.2.44
B.3.376
C.2.376
D.2.4 3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则B
A.E ξ=3.5，D ξ=3.52
B.E ξ=3.5，D ξ=12
35 C.E ξ=3.5，D ξ=3.5 D.E ξ=3.5，D ξ=16
35 4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数
为ξ，则下列结论正确的是A
A.E ξ=0.1
B.D ξ=0.1
C.P （ξ=k ）=0.01k ·0.9910－k
D.P （ξ=k ）
=C k 10·0.99k ·0.0110－k 5.已知ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于A A.71 B.61 C.51 D.4
1 6.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该
病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则D ξ等于C
A.0.2
B.0.8
C.0.196
D.0.804
7.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，
已知E ξ1=E ξ2，D ξ1＞D ξ2，则自动包装机__乙______的质量较好.
8.设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当
p =__21
______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为__
5______.
9.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红
2，则甲回家途中遇红灯次数灯的事件是相互独立的，并且概率都是
5
的期望为__1.2______.
10.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.
11.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.
12.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.
13.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.
14.（辽宁卷）某工厂生产甲、乙
两种产品，每种产品都是经过第一和
第二工序加工而成，两道工序的加工
结果相互独立，每道工序的加工结果
均有A、B两个等级.对每种产品，两
道工序的加工结果都为A级时，产品
为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，η
ξyE
=最大？最大值
xE
z+
是多少？（解答时须给出图示）。