【解析版】2019-2020学年衡阳市衡阳县八年级下期中数学试卷

【解析版】2019-2020学年衡阳市衡阳县八年级下期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在下面的表格内）
1．下列各式中，①，②，③，④，其中分式有（）个．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．点（﹣2，3）在（）
A． x轴上 B．第四象限内 C．第三象限内 D．第二象限内
3．若点A（﹣3，a）与点B（b，4）关于原点成中心对称，则a﹣b的值是（）
A．﹣4 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣3
4．如果把中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）
A．不变 B．扩大10倍 C．缩小10倍 D．扩大20倍
5．下面哪个点在函数y=﹣2x+3的图象上（）
A．（﹣5，﹣7） B．（0.5，2） C．（3，0） D．（1，﹣5）
6．如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，则有（）
A． k＞0，b＞0 B． k＞0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＜0，b＜0
7．若反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），那么这个函数的表达式为（）
A． y=﹣6x B． y=﹣ C． y=6x D． y=
8．若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（）
A． m=2 B． m=﹣1 C． m=1 D． m=0
9．设m+n=mn，则的值是（）
A． B． 0 C． 1 D．﹣1
10．函数y1=kx+k，y2=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）
A． B． C． D．
11．下列函数中，y随x的增大而减小的有（）
①y=﹣2x+1；②y=﹣x；③x=；④y=．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
12．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）
A． 12分钟 B． 15分钟 C． 25分钟 D． 27分钟
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．当x=时，分式的值等于0．
14．约分：=．
15．函数y=中自变量x的取值范围是．
16．用科学记数法表示：﹣0.000000038=．
17．若方程=+2有增根，则m=．
18．函数y=﹣2x﹣4的图象与x轴的交点A坐标为，与y轴的交点B坐标为，直线与坐标轴围成的△AOB的面积为．
19．已知点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函数y=（m为常数，m ＜0）上，则a，b，c的大小关系为．
20．反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x 轴于点P，如果△MOP的面积为3，那么k的值是．
三、计算题（共7题，共60分）
21．（12分）（春•期中）计算：
（1）（）0+（﹣）﹣1+（﹣2）2
（2）+
（3）﹣x．
22．解方程：
（1）
（2）．
23．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；
（3）当x取何值时，y=．
24．列方程解应用题：从A地到B地的路程是450千米，C地到B地的路程为400千米，甲、乙两汽车分别从A，C两地沿同一条高速公路到达B地，乙车的速度比甲车慢10千米/小时，结果两车同时到达B地，求两车的速度．
25．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．
26．（10分）（•安顺）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣4，2）、B（2，n）两点，且与x轴交于点C．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围．
27．（10分）（春•期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，已知一盏A 型台灯进价为30元，售价为45元，一盏B型台灯进价为50元，售价为70元，则：（1）若商场预计进货款为3500元，问：这两种台灯各购进了多少盏？
（2）若商场规定B型台灯进货数量不超过A型台灯的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完了这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
-学年八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在下面的表格内）
1．下列各式中，①，②，③，④，其中分式有（）个．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点：分式的定义．
分析：根据分式的定义对各小题进行逐一分析即可．
解答：解：①的分母中含有未知数，是分式；
②的分母中不含有未知数，是整式；
③的分母中含有未知数，是分式；
④的分母中含有未知数，是分式．
故选C．
点评：本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式是解答此题的关键．
2．点（﹣2，3）在（）
A． x轴上 B．第四象限内 C．第三象限内 D．第二象限内
考点：点的坐标．
分析：根据四个象限内点的坐标符号可判定已知点所在象限．
解答：解：点P（﹣2，3）在第二象限．
故选：D．
点评：此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．若点A（﹣3，a）与点B（b，4）关于原点成中心对称，则a﹣b的值是（）
A．﹣4 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣3
考点：关于原点对称的点的坐标．
分析：直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
解答：解：∵点A（﹣3，a）与点B（b，4）关于原点成中心对称，
∴b=3，a=﹣4，
∴a﹣b=﹣4﹣3=﹣7．
故选：C．
点评：此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．4．如果把中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）
A．不变 B．扩大10倍 C．缩小10倍 D．扩大20倍
考点：分式的基本性质．
分析：根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，可得答案．
解答：解：=，
故选：A．
点评：本题考查了分式的性质，熟记分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．
5．下面哪个点在函数y=﹣2x+3的图象上（）
A．（﹣5，﹣7） B．（0.5，2） C．（3，0） D．（1，﹣5）
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
分析：分别将各个点的值代入函数中满足的即在图象上．
解答：解：当x=﹣5时，y=13，（﹣5，﹣7）不在函数y=﹣2x+3的图象上；
当x=0.5时，y=2，（0.5，2）在函数y=﹣2x+3的图象上；
当x=3时，y=﹣3，（3，0）不在函数y=﹣2x+3的图象上；
当x=1时，y=﹣7，（1，﹣5）不在函数y=﹣2x+3的图象上；
故选B
点评：本题考查一次函数问题，关键是根据在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
6．如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，则有（）
A． k＞0，b＞0 B． k＞0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＜0，b＜0
考点：一次函数图象与系数的关系．
分析：根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，从而求解．
解答：解：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k＜0．
再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以b＞0．
故选C．
点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
7．若反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），那么这个函数的表达式为（）
A． y=﹣6x B． y=﹣ C． y=6x D． y=
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
分析：直接把点（3，﹣2）代入y=计算出m的值即可．
解答：解：把点（3，﹣2）代入y=，得m=3×（﹣2）=﹣6，
所以反比例函数解析式为y=﹣．
故选B．
点评：本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析
式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
8．若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（）
A． m=2 B． m=﹣1 C． m=1 D． m=0
考点：反比例函数的定义．
分析：根据反比例函数的定义得到：|m|﹣2=﹣1且m﹣1≠0，由此求出m的值．
解答：解：依题意得：|m|﹣2=﹣1且m﹣1≠0，
解得m=﹣1．
故选：B．
点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．
9．设m+n=mn，则的值是（）
A． B． 0 C． 1 D．﹣1
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．
解答：解：∵m+n=mn，
∴原式==1，
故选C
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．函数y1=kx+k，y2=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）
A． B． C． D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
专题：数形结合．
分析：根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
解答：解：若k＞0时，反比例函数图象经过一、三象限；一次函数图象经过一、二、三象限，所给各选项没有此种图形；
若k＜0时，反比例函数经过二、四象限；一次函数经过二、三、四象限，
故选：C．
点评：考查反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．
11．下列函数中，y随x的增大而减小的有（）
①y=﹣2x+1；②y=﹣x；③x=；④y=．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点：反比例函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．
分析：根据一次函数的性质可得①y随x的增大而减小，根据正比例函数的性质可得②y 随x的增大而减小；根据反比例函数的性质可得③y随x的增大而增大，④1y随x的增大而减小．
解答：解：①y=﹣2x+1y随x的增大而减小；
②y=﹣xy随x的增大而减小；
③x=y随x的增大而增大；
④y=y随x的增大而减小．
故选：C．
点评：此题主要考查了正比例函数、一次函数和反比例函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随
x的增大而减小，函数从左到右下降．反比例函数y=，当k＞0，双曲线的两支分别位于
第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
12．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）
A． 12分钟 B． 15分钟 C． 25分钟 D． 27分钟
考点：一次函数的应用．
专题：压轴题；数形结合．
分析：依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程，求出时间即可．解答：解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和（千米/分），
所以他从单位到家门口需要的时间是（分钟）．
故选：B．
点评：本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．当x=﹣3时，分式的值等于0．
考点：分式的值为零的条件．
分析：根据分式的值为零的条件，分子等于0，分母不等于0，列式计算即可得解．
解答：解：根据题意得，x+3=0且x﹣1≠0，
解得x=﹣3且x≠1，
所以，当x=﹣3时，分式的值等于0．
故答案为：﹣3．
点评：本题考查了分式的值为零的条件，（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．约分：=．
考点：约分．
分析：将分式的分子与分母的公因式约去，即可求解．
解答：解：=．
故答案为．
点评：本题考查了约分的定义及方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
15．函数y=中自变量x的取值范围是x＞2．
考点：函数自变量的取值范围．
分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答：解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
16．用科学记数法表示：﹣0.000000038=﹣3.8×10﹣8．
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：解：﹣0.000000038=﹣3.8×10﹣8，
故答案是﹣3.8×10﹣8．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
17．若方程=+2有增根，则m=﹣2．
考点：分式方程的增根．
专题：计算题．
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
解答：解：方程两边都乘（x﹣1），得
x﹣3=m+2（x﹣1），
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=﹣2．
点评：解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．函数y=﹣2x﹣4的图象与x轴的交点A坐标为（﹣2，0），与y轴的交点B坐标为（0，﹣4），直线与坐标轴围成的△AOB的面积为4．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
分析：先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B两点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．
解答：解：令y=0，则x=﹣2；令x=0，则y=﹣4，
∴A（﹣2，0）、B（0，﹣4），
∴OA=2，OB=4，
∴S△AOB=OA•OB=×2×4=4．
故答案为：（﹣2，0）、（0，﹣4），4
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
19．已知点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函数y=（m为常数，m ＜0）上，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：先根据反比例函数中m＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
解答：解：∵反比例函数y=中m＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴A（﹣3，a），B（﹣1，b）位于第二象限，且0＜a＜b．
∵3＞0，
∴点C（3，c）位于第四象限，
∴c＜0，
∴c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，利用了反比例函数图象的增减性，减少了繁琐的计算过程．
20．反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x 轴于点P，如果△MOP的面积为3，那么k的值是6．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
解答：解：由题意得：S△MOP=|k|=3，k=±6，
又∵函数图象在一象限，
∴k=6．
故答案是：6．
点评：主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴
垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
三、计算题（共7题，共60分）
21．（12分）（春•期中）计算：
（1）（）0+（﹣）﹣1+（﹣2）2
（2）+
（3）﹣x．
考点：分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题：计算题．
分析：（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（3）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解答：解：（1）原式=1﹣2+4=3；
（2）原式=﹣==；
（3）原式=•﹣x=x﹣x=0．
点评：此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．解方程：
（1）
（2）．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：解：（1）去分母得：3x﹣9=2x﹣4，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解；
（2）去分母得：4x﹣4﹣2x+x2=x2﹣x，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；
（3）当x取何值时，y=．
考点：待定系数法求正比例函数解析式．
分析：（1）设正比例函数解析式为y=kx，把点的坐标代入计算即可得解；
（2）把x=﹣6代入解析式解答即可；
（3）把y=代入解析式解答即可．
解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，
∵图象经过点（﹣3，6），
∴﹣3k=6，
解得k=﹣2，
所以，此函数的关系式是y=﹣2x；
（2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12；
（3）把y=代入解析式可得：x=﹣．
点评：本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．
24．列方程解应用题：从A地到B地的路程是450千米，C地到B地的路程为400千米，甲、乙两汽车分别从A，C两地沿同一条高速公路到达B地，乙车的速度比甲车慢10千米/小时，结果两车同时到达B地，求两车的速度．
考点：分式方程的应用．
分析：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为（x﹣10）千米/小时，根据题意可得，甲行驶450千米所用的时间等于乙行驶400千米所用的时间，据此列方程求解．
解答：解：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为（x﹣10）千米/小时，
由题意得，=，
解得：x=90，
经检验：x=90是原分式方程的解，且符合题意，
则x﹣10=80．
答：甲车的速度为90千米/小时，乙车的速度为80千米/小时．
点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．
考点：分式的化简求值．
专题：开放型．
分析：先算小括号里的，小括号里面的先对第二项的分母分解因式，然后找出两项分母的最简公因式（x﹣1）（x+1），对小括号里的第一项的分子分母都乘以x﹣1，第二项不变，然后根据同分母相加减的法则，分母不变．只把分子相加减，再把除法统一成乘法，约分化为最简．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0．
解答：解：
=（2分）
=（4分）
=x2+1；（15分）
当x=0时，原式的值为1．（6分）
说明：只要x≠±1，且代入求值正确，均可记满分（6分）．
点评：分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0．
26．（10分）（•安顺）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣4，2）、B（2，n）两点，且与x轴交于点C．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：压轴题；数形结合；待定系数法．
分析：（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y=，再求出B的坐标是（2，﹣4），利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）把△AOB的面积分成两个部分求解S△AOB=×2×4+×2×2=6；
（3）当一次函数的值＜反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞2．
解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=，因为经过A（﹣4，2），
∴k=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=．
因为B（2，n）在y=上，
∴n==﹣4，
∴B的坐标是（2，﹣4）
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y=ax+b，得，
解得：，
∴y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，当y=0时，x=﹣2；
∴直线y=﹣x﹣2和x轴交点是C（﹣2，0），
∴OC=2
∴S△AOB=×2×4+×2×2=6；
（3）﹣4＜x＜0或x＞2．
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．27．（10分）（春•期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，已知一盏A
型台灯进价为30元，售价为45元，一盏B型台灯进价为50元，售价为70元，则：（1）若商场预计进货款为3500元，问：这两种台灯各购进了多少盏？
（2）若商场规定B型台灯进货数量不超过A型台灯的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完了这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
分析：（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为y盏，然后根据“A，B两种新型节能台灯共100盏”、“进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款”列出方程组求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值
解答：解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为y盏，
根据题意得，，
解得，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
则y=（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x），
=15x+2000﹣20x，
=﹣5x+2000，
即y=﹣5x+2000，
∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴100﹣x≤3x，
∴x≥25，
∵k=﹣5＜0，y随x的增大而减小，
∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）
答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．
点评：本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键．。