有限元分析及应用案例分析

量间的全部关系式：
x
u x
xy
v x
u y
y
v y
yz
wv y z
z
w z
zx
uw z x
称为几何方程
71
几何方程式的矩阵形式为
远离力的作用点区 域，应力分布仍然 均匀。而且均匀区 域更大。
64
几何方程：位移与应变的关系
B1 θ2
θ1 A1
65
设P点的位移分量为u和v，由于坐标x有一 增量dx，A点的位移较P点的位移也有一相
应的增量，从而A点的位移分量为：。
uA
uud x
x
vA
vvdx x
同理，B点的位移分量为：
uB
uudy y
化简得到
xyxzxX0
x y z
Y0
xyyzyY0
x y z
Z0
xzyzz Z0
x y z
平衡微分方程
51
平衡微分方程的矩阵形式为
σ b 0
其中， 是微分算子
x
0
0
y
0
z
0
y
0
x z
0
0
0
0
z
y x
式中，b是体积力向量，b[XYZ]T 52
由力矩平衡条件 Mx0 有：
j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中， 分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个 坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如：aijxj bi，
j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3
42
Einstein 求和约定：哑指标意味着求和
指标记法的应用：
对于方程组
（2-1）
36
第二章 有限元分析的力学基础
2.1 变形体的描述与变量定义
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体
38
(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
量
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
39
目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程
y
z yyzdydxd2 dy zyd z xd2 dy zzy zzydzdxdd 2zy
zd y xdd 2z y0
全式除以dxdydz，合并相同的项，得
yz 1 2 y yz d yzy 1 2 zzy d z0
略去微量项，得 yz zy
M Y0 zxxz
M Z0 xy yx
剪切力互等定律
效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离
这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。
60
61
62
均匀分布载荷作用 下的平板，应力分 布是均匀的。
材料力学中的拉伸 应力计算公式就是 圣维南原理应用的 结论。
63
一对集中力F/2作 用点区域仍然有比 较大的应力梯度变 化，但是比等效力 系F作用的变化小。
Baidu Nhomakorabea
将上式除以dA，并注意到体积力项
dV dA
1dh 3
当令dh→0取极限时，体积力一项趋于零。
由此得到
xlyym zn yY
考虑
X0 xlym x zn xX
考虑 Z0 xlzym zznZ
应力边界条件
58
二维问题：应力边界条件 xlyxmX xylymY
59
圣维南原理（局部影响原理）
物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等
有限元分析及应用
第一章 有限元法简介
2
有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用
有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，
单元之间通过有限个结点相互连接，然后
根据变形协调条件综合求解。由于单元的
数目是有限的，结点的数目也是有限的，
所以称为有限元法(FEM，Finite Element
Method)。
有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
20
技术路线：
21
发展过程： 如何处理
对象的离散化过程
22
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
..
轴对称实体)
. .
...
47
2.5 空间问题的基本方程
dz
dy
dx
48
将正应力和正应变简写成 3D情形下的力学基本变量
49
b
c
zx zx
b’
zy zy
yz
c’ yz
xz
xz
a a’
xy xy
d
yx yx
d’
a’
50
由力平衡条件 X0 有：
xxxdxdy dzxdy dzyx yyxdydx dyzxdxd
zx zzxdzdx dzyxdx dXydxd 0ydz
53
二维问题：平衡微分方程
x yxX0
x y
xyy Y0
x y
剪切力互等定律
xy yx
54
应力边界条件
四面微分体Mabc
55
斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法 线N与各坐标轴夹角的余弦为cos(N，x)=l， cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。
从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中 未标出），是四面微分体的高。
角 θ2 。在小变形情况下
vvdxv
v
1
t
g1
x dxuuxdxu
1xu x
69
上式分母中的
u x
x
1，可以略去。从而上
式可简写为：
1
v x
同样可得：
2
u y
线段PA与PB间的xy剪1应变2γ xyxv等于u yθ1与 θ2 之和：
yz
w y
v z
zx
uw z x
70
至此，我们得到了六个应变分量与三个位移分
vB
vv y
d
y
66
在小变形的前提下，∠A’P’A1很小，可以认为， 线段PA位移后的绝对伸长，可以用线段两端点
沿x轴的位移之差来表示，即：。
P A P A u A u P u u xd x u u xdx
从而线段PA的正应变
x为：。x
PAPAuxdxu PA dx x
56
设斜微分面的面积为dA，则其它三个微分
面的面积为 Mac=dA×l， Mab= dA×m， Mcb= dA×n。
四面微分体的体积为 dV 1dhdA
3
假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐 标轴上的投影分别为 X Y Z
体积力分量为X、Y、Z。 57
考虑 Y0
Y d A xd yl A y d m A zd yn A Y d 0V
-0 .0 0 3 0 .0 5 4
-0 .1 0
0 .0 2
0 .0 4
0 .0 6
0 .0 8
0 .1
0 .1 2
X
0 .0 5 6
0 .0 5 8
X
0 .0 6
28
Y Y
0
0
-0 .0 2
-0 .0 0 1
-0 .0 4
-0 .0 0 2
-0 .0 6
-0 .0 0 3
0 .0 5 4
0 .0 5 6
变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学
中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）
方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹
性力学的基本方程。
46
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、 几何、物理三方面条件，得出其基本微分方 程，再进行求解，最后利用边界（表面）条 件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问 题的基本方法。
5
有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
莱布尼茨(Leibniz G. W.) 6
大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者 进行有限划分，但积分运算为实现有限元技 术准备好了一个理论基础。
v
dy
同理线段PB的正应变
y
为：。y PBPBPBydy
v y
67
对于三维情况的微分体，可以得到：
z
w z
因此，可以总结为：
x
u x
y
v y
z
w z
68
下面，研究线段PA与PB间所夹直角的变化， 即剪应变 γ xy。这个剪应变由两部分组成，一 部分是与x轴相平行的PA向y轴方向的转角θ1； 另一部分是与y轴平行的线段PB向x轴方向的转
44
那么，矩阵
δ11 δ12 δ13
1 0 0
δ
21
δ22
δ
23
=
0
1
0
δ31 δ32 δ33
0 0 1
是单位矩阵。
根据上述定义，可以推出下列关系
δ ii δ 1 1δ 2 2δ 33 3
δ1jaj δ11a1δ12a2 δ13a3 a1 δ2jaj δ21a1δ22a2 δ23a3 a2
0 .0 5 8
0 .0 6
X
-0 .0 8
-0 .1 0
0 .0 2
0 .0 4
0 .0 6
0 .0 8
0 .1
0 .1 2
X
29
30
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 – 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
δ3jaj δ31a1δ32a2 δ33a3 a3
45
2.4 弹性力学的基本方法
弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体 ，称 为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可 写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但 未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹 性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的
3
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
4
随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及 宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、 海洋等工业，是机械产品动、静、热特性 分析的重要手段。早在70年代初期就有人 给出结论：有限元法在产品结构设计中的 应用，使机电产品设计产生革命性的变化， 理论设计代替了经验类比设计。
各个方向上具有相同特性；
(4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状；
(5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 ij ，i，
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变 形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
11
各（
力对
学象
学、
科变
分量
支、
的方
关程
系、
求
解
途
径
）
12
13
任意变形体力学分析的基本变量及方程 研究对象：任意形状的变形体 几种典型的对象 (1) 桥梁隧道问题
14
圆形隧道
三维模型 15
(2) 中华和钟 (3) 矿山机械
16
(4) 压力容器的成形 17
变形体及受力情况的描述 18
求解方法 19
7
高斯(Gauss)
在牛顿之后约一百年， 著名数学家高斯提出了 加权余值法及线性代数 方程组的解法。这两项 成果的前者被用来将微 分方程改写为积分表达 式，后者被用来求解有 限元法所得出的代数方 程组。
8
拉格朗日(Lagrange J.)
在18世纪，另 一位数学家拉 格朗日提出泛 函分析。泛函 分析是将偏微 分方程改写为 积分表达式的 另一途径。
9
瑞利(Rayleigh)
在19世纪末及 20世纪初，数 学家瑞利和里 兹（Rayleigh Ritz）首先提出 可对全定义域 运用展开函数 来表达其上的 未知函数。
10
1915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选 择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法 被广泛地用于有限元。1943年，数学家库 朗德第一次提出了可在定义域内分片地使 用展开函数来表达其上的未知函数。这实 际上就是有限元的做法。
. .
...
线性
二次
. . 线(弹簧，梁，杆，间隙)
.. .体..(三..维实.体..).............
线性
二次
23
一维波传导问题 点 单元
线 单元
24
线 单元
点 单元
25
面 单元
Y Y
0 -0 .0 2 -0 .0 4 -0 .0 6 -0 .0 8
0
-0 .0 0 1
-0 .0 0 2
按一般的写法，可写为 若用指标记法：
（2-2） （2-3）
(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和
43
克罗内克符号
在笛卡尔直角坐标系下，由 δ ij 表示的Kronecker (克罗内克)符号定义为
亦即
1, 如果 ij
δij
0,
如果 ij
δ11 δ22 δ33 1
δ 1 2 δ 2 1 δ 3 1 δ 1 3 δ 3 2 δ 2 3 0