备战2021年九年级中考数学考点训练——函数专题:一次函数综合(五)

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备战2021年九年级中考数学考点训练——函数专题:
一次函数综合(五)
1.如图1,在平面直角坐标系中,点O为原点,直线AB交x轴于点A,交y轴于点B,tan∠BAO=,AB=15.
(1)求直线AB的解析式;
(2)点C在BO上,∠CAO=∠ABO,点P在OA的延长线上,设P点纵坐标为m,△PAC的面积为S,求出S与m的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,点D在x轴负半轴上,∠DPO=2∠CPO,CE⊥PD于E,CE 交PO于F,若PF=OD+4,求P点坐标.
2.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2).点D是线段BC上的一个动点(点D与点B,C不重合),直线l:y=+5过点D并与折线O﹣A﹣B交于点E,设△ODE的面积为S,回答下列问题:
探究:(1)当直线l过点A时,k的值是;
延伸:(2)如图2,当点E在线段OA上时,矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′,线段C′B′与线段OA交于点H,线段O′A′与线段CB交于点G,得到菱形DHEG.
直接写出菱形DHEG面积的最大值:,此时k=;
拓展:(3)在点D运动的过程中,直接写出S与k的函数关系式;当k=时,
(2)中菱形DHEG的面积与S相等.
3.如图1,一次函数y=﹣2x+2的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,过点B作线段BC⊥AB且BC=AB,直线AC交x轴于点D.
(1)点A的坐标为,点B的坐标为;
(2)直接写出点C的坐标,并求出直线AC的函数关系式;
(3)若点P是图1中直线AC上的一点,连接OP,得到图2.当点P在第二象限,且到x轴,y轴的距离相等时,求△AOP的面积.
4.如图,在平面直角坐标系中,直线l1的解析式为y=x,直线l2的解析式为y=x+3,与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线l1与l2交于点C.
(1)求出点A、点B的坐标;
(2)求△COB的面积;
(3)在y轴右侧有一动直线平行于y轴,分别于l1、l2交于点M、N,且点M在点N 的下方,y轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
5.用充电器给某手机充电时,其屏幕的起始画面如图①.
经测试,在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时,其电量E(单位:%)与充电时间t(单位:h)的函数图象分别为图②中的线段AB、AC.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在目前电量20%的情况下,用充电器给该手机充满电时,快速充电器比普通充电器少用多少小时?
(2)求线段AB、AC对应的函数表达式;
(3)已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%,在用快速充电器将其充满电后,正常使用ah,接着再用普通充电器将其充满电,其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h,
求a的值.
6.如图1,已知函数y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.
(1)求直线BC的函数解析式;
(2)设点M是x轴上的一个动点,过点M作y轴的平行线,交直线AB于点P,交直线BC于点Q.
①若△PQB的面积为,求点Q的坐标;
②点M在线段AC上,连接BM,如图2,若∠BMP=∠BAC,直接写出P的坐标.
7.如图,直线l1的表达式为y=ax+2,且l1与y轴交于点D,直线l2经过点A(4,0),B(0,﹣1),两直线交于点C(m,),
(1)求直线l1、l2的表达式.
(2)点D坐标为.
(3)求△BCD的面积.
(4)若有过点C的直线CE把△BCD的面积分为2:1两部分,请直接写出符合条件的
直线CE的表达式.
8.如图①,长方形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,OA=9,OC=8.(1)连接OB,则OB将长方形面积分成相等的两部分,则直线OB的函数关系式为.
(2)如图②,点D在边OA上,点E在边BC上,且OD=BE,连接DE,此时线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分,请说明等分的理由.
(3)如图③,点D在边OA上,且OD=1.将∠OAB沿DF折叠,折痕交长方形OABC 的边于点F,点A落在点A′处,若直线DA′将该长方形面积分成1:2两部分,求直线DF的函数关系式.
9.如图,正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上,点C落在正比例函数y=kx(k >0)上,点D落在直线y=2x上,且点D的横坐标为a.
(1)直接写出A、B、C、D各点的坐标(用含a的代数式表示);
(2)求出k的值;
(3)将直线OC绕点O旋转,旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1:3两个部分,求旋转后得到的新直线解析式.
10.在平面直角坐标系中,OA=AB=10,点A(6,8)在正比例函数上,点B的坐标为(12,0),联结AB.
(1)求该正比例函数的解析式
(2)若点Q在直线AO上运动,且△OBQ的面积为6,求点Q的坐标;
(3)若点Q在线段AO上由点A向点O运动,点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由B向O运动,点C是线段AB的中点,两点同时运动,同时停止,设运动时间为t 秒,联结PQ,在运动过程中,△OPQ与△BPC是否会全等?如果全等,请求点Q运动的速度,如果不全等,请说明理由?
参考答案
1.解:(1)在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB=15,
∴tan∠BAO==,
∴可以假设OB=4k,OA=3k,则AB=5k,
∴5k=15,
∴k=3,
∴OA=9,OB=12,
∴A(0,9),B(12,0),
设直线AB的解析式为y=mx+n,
则有,
∴,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+9.
(2)如图2中,在x轴的负半轴上取一点T,使得OT=OC,连接AT.
∵AO⊥CT,OT=OC,
∴AT=AC,
∴∠ACT=∠ATC=∠CBA+∠BAC,∠CAO=∠TAO,
∵∠CAO=∠CBA,
∴∠CAT=∠CBA,
∵∠BAT=∠CAT+∠CAB,
∴∠BAT=∠ATB,
∴BA=BT=15,
∴OC=OT=15﹣12=3,
∴S=•PA•OC=•(m﹣9)×3=m﹣(m>3).
(3)如图3中,在AF上截取FJ,使得FJ=OD,作JT∥x轴交CE的延长线于T.
∵TJ∥x轴,
∴∠TLF=90°,
∵CE⊥PD,
∴∠PEF=90°,
∴∠PFE+∠FPE=90°,∠PFE+∠FTJ=90°,
∴∠OPD=∠JTF,
∵∠DOP=∠FJT=90°,OD=JF,
∴△DOP≌△FJT(ASA),
∴PJ=OP,∠OPD=∠ATF,
构造正方形PRSO,连接PS,则点T在线段SR时上,作∠SCT的角平分线交PS于I,过点I作IM⊥RS于M,IN⊥OS于N,IW⊥CT于W.
∵TJ∥CS,
∴∠JTF=∠TCS,
∴∠TCS=∠OPD,
∵∠OPD=2∠CPO,∠TCS=2∠NCI,
∴∠ICN=∠OPC,
∵四边形PRSO是正方形,
∴∠OPS=∠OSP=45°,
∵∠CPI=∠OPS+∠CPO=45°+∠CPO,∠CIP=∠CSP+∠ICS=45°+∠ICN,
∴∠CPI=∠CIP,
∴CP=CI,
∵∠JNC=∠COP=90°,
∴△INC≌△COP(AAS),
∴IN=OC=3,CN=OP=RS,
∵I是△TSC的内心,
∴IM=IW=IN=3,
∵∠IMT=∠IWT=90°,∠MTI=∠WTI,TI=TI,
∴△ITM≌△ITW(AAS),
∴TM=TW,设TM=TW=n,
同法可证CW=CN,
∵PF=OD+4=FJ+PJ,
∴PJ=RT=4,
∴OP=RS=OS=n+7,
∴CN=OS=n+7,SC=10+n,TC=2n+7,
在Rt△CST中,则有(n+3)2+(10+n)2=(2n+7)2,
解得n=5或﹣6(舍弃),
∴OP=12,
∴P(0,12).
2.解:(1)把A(6,0)代入:y=+5,得到0=+5,
∴k=﹣.
故答案为:﹣.
(2)如图2中,观察图象可知,当点H与原点O重合时,菱形DHEG的面积最大,此时G与O′重合.
由题意F(0,5),C(0,2),
∴OC=2,OF=5,CF=3,
∵EF垂直平分线段OO′,
∴FO=FO′=5,
∵∠FCO′=90°,
∴CO′==4,
设OD=DO′=x,
在Rt△CDO中,则有x2=22+(4﹣x)2,
解得x=,
∴CD=4﹣=,
∴D(,2),菱形DHEG的面积的最大值=2×=5,把D(,2)代入y=+5,得到2=+5,
∴k=﹣.
故答案为:5,﹣.
(3)如图3中,当﹣≤k<0时,连接OD.
对于直线y=+5,令y=0,得到x=﹣5k,
∴E(﹣5k,0),
∴S=×(﹣5k)×2=﹣5k.
如图4中,当﹣2<k<﹣时,E(6,+5),设直线EF交x轴于P.
S=S△DOP﹣S△EOP=﹣5k﹣×(﹣5k)×(+5)=k+15,
综上所述,S=.
如图5中,当(2)中菱形DHEG的面积与S相等时,OH=HE=DH,设CD=m.
∴∠ODE=90°,
∴DF2=32+m2,OD2=22+m2,
∵DF2+OD2=OF2,
∴32+m2+22+m2=52,
∴m2=6,
∵m>0,
∴m=,
∴D(,2),
把D(,2)代入y=+5,得到2=+5,
∴k=﹣.
故答案为:﹣.
3.解:(1)把x=0代入y=﹣2x+2中,得y=2,
∴点A的坐标为(0,2),
把y=0代入y=﹣2x+2,得﹣2x+2=0,解得x=1,∴点B的坐标为(1,0),
故答案为:(0,2),(1,0);
(2)如图1中,过点C作CM⊥x轴于M,
∴∠AOB=∠BMC=90°,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBM=90°,
∵∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠CBM,
在△AOB和△BMC中,

∴△AOB≌△BMC(AAS),
∴BM=OA=2,CM=OB=1,
∴OM=3,
∴点C的坐标为(3,1),
设直线AC的解析式为y=kx+b,由题意可得,
解得,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+2,故答案为:(3,1);
(3)如图2中,
∵点P在第二象限,且到x轴,y轴的距离相等,
∴点P在y=﹣x上,
∴,

∴点P(﹣3,3),
过点P作PN⊥y轴于点N,
∴PN=3,
∴S△OAP=•OA•PN=×2×3=3.
4.解:(1)对于直线l2的解析式为y=﹣x+3,令x=0,得到y=3,
∴B(0,3),
令y=0,得到x=6,
∴A(6,0).
∴点A是坐标为(6,0),点B的坐标为(0,3).
(2)联立式y=x,y=﹣x+3并解得:x=2,故点C(2,2),
△COB的面积=×OB×x C=×3×2=3.
(3)存在.设点M、N、Q的坐标分别为(m,m)、(m,3﹣m)、(0,n),①当∠MQN=90°时,
∵∠GNQ+∠GQN=90°,∠GQN+∠HQM=90°,
∴∠MQH=∠GNQ,
∠NGQ=∠QHM=90°,QM=QN,
∴△NGQ≌△QHM(AAS),
∴GN=QH,GQ=HM,
即:m=3﹣m﹣n,n﹣m=m,
解得:m=,n=.
②当∠QNM=90°时,
则MN=QN,即:3﹣m﹣m=m,解得:m=,
n=y N=3﹣×=;
③当∠NMQ=90°时,
同理可得:n=.
综上,点Q的坐标为(0,)或(0,)或(0,).
5.解:(1)由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时,普通充电器给该手机充满电需6小时,
∴用充电器给该手机充满电时,快速充电器比普通充电器少用4小时;
(2)设线段AB的函数表达式为E1=k1t+b1,将(0,20),(2,100)代入E1=k1t+b1,可得,
∴线段AB的函数表达式为:E1=40t+20;
设线段AC的函数表达式为E2=k2t+b2,将(0,20),(6,100)代入E2=k2t+b2,
可得,
∴线段AC的函数表达式为:E2=t+20;
(3)根据题意,得×(6﹣2﹣a)=10a,
解得a=.
答:a的值为.
6.解:(1)对于y=x+3,
由x=0得:y=3,
∴B(0,3).
由y=0得:x+3=0,解得x=﹣6,
∴A(﹣6,0),
∵点C与点A关于y轴对称.
∴C(6,0)
设直线BC的函数解析式为y=kx+b,
∴,解得,
∴直线BC的函数解析式为y=﹣x+3;
(2)①设点M(m,0),则点P(m,m+3),点Q(m,﹣m+3),过点B作BD⊥PQ与点D,
则PQ=|﹣m+3﹣(m+3)|=|m|,BD=|m|,
则△PQB的面积=PQ•BD=m2=,解得m=±,
故点Q的坐标为(,3﹣)或(﹣,3+);
②如图2,当点M在y轴的左侧时,
∵点C与点A关于y轴对称,
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BMP=∠BAC,
∴∠BMP=∠BCA,
∵∠BMP+∠BMC=90°,
∴∠BMC+∠BCA=90°
∴∠MBC=180°﹣(∠BMC+∠BCA)=90°,
∴BM2+BC2=MC2,
设M(x,0),则P(x,x+3),
∴BM2=OM2+OB2=x2+9,MC2=(6﹣x)2,BC2=OC2+OB2=62+32=45,∴x2+9+45=(6﹣x)2,解得x=﹣,
∴P(﹣,),
如图2,当点M在y轴的右侧时,
同理可得P(,),
综上,点P的坐标为(﹣,)或(,).
7.解:(1)设直线l2的解析式为y=kx+b,
∵直线l2经过点A(4,0),B(0,﹣1),
∴,解得,
∴直线l2的解析式为y=x﹣1,
∵两直线交于点C(m,),
∴﹣=m﹣1,解得m=,
∴C(,﹣),
把C的坐标代入y=ax+2得,﹣=a+2,
解得a=﹣2,
∴直线l1的表达式为y=﹣2x+2;
(2)把x=0代入y=﹣2x+2,可得:y=2,
所以点D的坐标为(0,2),
故答案为:(0,2);
(3)∵B(0,﹣1),D(0,2),C(,﹣),
∴BD=3,
∴S△BCD==2;
(4)当过点C的直线CE把△BCD的面积分为2:1两部分时,则DE:EB=2:1或DE:EB=1:2,
∵B(0,﹣1),D(0,2),
∴当DE:EB=2:1时,则点E的坐标为(0,0)
当DE:EB=1:2时,则E的坐标为(0,1),
设直线CE的解析式为y=cx或y=cx+1,
把(,﹣)代入y=cx得﹣=c,解得c=﹣
把(,﹣)代入y=cx+1得﹣=c+1,解得c=﹣
∴直线CE的表达式为:y=﹣x或y=﹣x+1.
8.解:(1)∵OA=9,OC=8,
故点B的坐标为(9,8),
设直线OB的表达式为y=kx,
将点B的坐标代入上式得:8=9k,解得k=,
故直线OB的表达式为y=x,
故答案为y=x;
(2)∵四边形OABC为矩形,则OA=BC,
∵OD=BE,故CE=AD,
S梯形ODEC=(CE+OD)×OC=(BE+AD)×OC=S梯形ABED,
故线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分;
(3)∵直线DA′将该长方形面积分成1:2两部分,
则较小部分的面积为×OA•OC==24.
①当直线DA′与BC边相交时,如图1,
过点D作DN⊥BC于点N,延长DA′交BC于点H,
设AF=a=A′F,则BF=8﹣a,
由题意得:S梯形ODHC=×OC×(OD+HN)=×8×(1+HC)=24,解得HC=5,则HN=HC﹣CN=HC﹣OD=5﹣1=4,则BH=BC﹣CH=9﹣5=4,
在Rt△HND中,DH===4,则A′H=DH﹣OA′=DH﹣OA =4﹣8,
在Rt△HFB和Rt△HFA′中,HF2=BF2+BH2=A′F2+A′H2,
即42+(8﹣a)2=a2+(4﹣8)2,解得a=4﹣4,
故点F的坐标为(9,4﹣4),
由点F、D的坐标得,直线FD的表达式为y=x﹣;
②当直线DA′与AB边相交时,如图2,
同理可得,点F的坐标为(9,),
由点D、F的坐标得,直线FD的表达式为y=x﹣,
综上,直线FD的表达式为y=x﹣或y=x﹣.
9.解:(1)点D的横坐标为a,则点D(a,2a),
则AB=AD=2a,则点A、B、C的坐标分别为(a,0)、(3a,0)、(3a,2a),故点A、B、C、D的坐标分别为(a,0)、(3a,0)、(3a,2a)、(a,2a);
(2)将点C的坐标代入y=kx得,2a=3ak,
解得k=;
(3)设AF=m,则点F(a,m),设直线OC旋转后交AD于点F,交CD于点E,
则直线OF的表达式为y=x,
当y=2a时,y=x=2a,解得x=,故点E(,2a),
由题意得:S△DEF=S正方形ABCD=×(2a)2=a2,
即×DE•EF=×(2a﹣m)×(﹣a)=a2,解得m 1=3a﹣a,m2=3a+ a,
第二种情况,旋转后直线OC和线段BC相交,同理可得k=.
则函数的表达式为y=x=(3﹣)x或y=x=x.
10.解:(1)设正比例函数的解析式y=kx,
把A(6,8)代入得:8=6k.
解得:k=,
∴该正比例函数的解析式为y=x;
(2)设点Q(a,a),
∵△OBQ的面积为6,
∴×12×|a|=6,
∴a=或﹣,
∴点Q(,1)或(﹣,﹣1);
(3)∵AO=AB=10,点C是线段AB的中点,
∴BC=5.
∴∠QOP=∠CBP.
若△OPQ与△BPC全等,
则有OP=BC=5,OQ=BP或OQ=BC=5,OP=PB.
①当OP=BC=5,OQ=BP时,
∵OP=5,
∴12﹣2t=5.
解得:t=.
∵OP=5,
∴OQ=BP=7.
∴AQ=3.
∴v=3.
解得;v=.
∴点Q运动的速度为个单位/秒.
②当OQ=BC=5,OP=PB=6时,
由OP=PB=OB=6可知:2t=6,
解得:t=3.
∵OQ=5,
∴AQ=OA﹣OQ=10﹣5=5.
∴3v=5.
解得:v=.
∴点Q运动的速度为个单位/秒.
综上所述:当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时,△OPQ与△BPC全等.。

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