【成才之路】2020高中数学 3-5-2第2课时 简单的线性规划的概念同步检测 新人教B版必修5

3.5 第2课时基础巩固

一、选择题

1．设G 是平面上以A (2,1)、B (－1，－4)、C (－2,2)三点为顶点的三角形区域(包括边界点)，点(x ，y )在G 上变动，f (x ，y )＝4x －3y 的最大值为a ，最小值为b ，则a ＋b 的值为( )

A ．－1

B ．－9

C ．13

D ．－6

[答案] D

[解析] 设4x －3y ＝c ，则3y ＝4x －c ， ∴y ＝43x －c 3

，

－c

3

表示直线l ：4x －3y ＝c 在y 轴上的截距，

∵k AB ＝53，而k l ＝4

3

，

∴l 过C (－2,2)时，－c

3

有最大值；

－c 3＝2－43×(－2)＝143

， ∴c min ＝b ＝－14，

l 过B (－1，－4)时，－c

3

有最小值；

－c 3＝－4－43×(－1)＝－83

， ∴c max ＝a ＝8，∴a ＋b ＝－6.

2．若不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0x ＋3y ≥4

3x ＋y ≤4

所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4

3

分为面积相等的两部

分，则k 的值是( )

A.7

3 B.37 C.43 D.34

[答案] A

[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋4

3能平分平

面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M (12，5

2

)．

当y ＝kx ＋43过点(12，52)时，52＝k 2＋4

3，

∴k ＝7

3

.

3．(2020·天津文)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥1，x ＋y －4≤0，

x －3y ＋4≤0，

则目标函数z ＝3x

－y 的最大值为( )

A ．－4

B ．0 C.4

3

D ．4

[答案] D

[解析] ⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥1，x ＋y －4≤0

x －3y ＋4≤0

，表示的平面区域如图所示．

z ＝3x －y 在(2,2)取得最大值． z max ＝3×2－2＝4.

4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，

x ≤3，

则z ＝2x ＋4y 的最小值为( )

A ．5

B ．－6

C ．10

D ．－10 [答案] B

[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线y ＝－x 2＋z

4经过点B (3，－

3)时，z 最小，z min ＝－6.

5．(2020·安徽文)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤1x －y ≤1

x ≥0

，则x ＋2y 的最大值和最小值分别

为( )

A ．1，－1

B ．2，－2

C ．1，－2

D ．2，－1

[答案] B [解析]

画出可行域为图中阴影部分．

作直线l ：x ＋2y ＝0，在可行域内平移l 当移至经过点A (0,1)时取最大值z max ＝x ＋2y ＝2 当移至经过点B (0，－1)时取最大值z min ＝x ＋2y ＝－2.

6．(2020·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≥2，2x －y ≤4，

x －y ≥0.

则2x ＋3y 的最小值是

( )

A ．13

B ．15

C ．15

D ．28 [答案] A [解析]

作出可行域如图所示， 令z ＝3x ＋4y ∴y ＝－34x ＋z

4

求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z

4

截距的最小值．

经讨论知点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M (3,1)． ∴z min ＝9＋4＝13. 二、填空题

7．设a ＞0.点集S 内的点(x ，y )满足下列所有条件：

①a 2≤x ≤2a ，②a

2≤y ≤2a ，③x ＋y ≥a ，④x ＋a ≥y ，⑤y ＋a ≥x .那么S 的边界是一个________边形(填边数)．

[答案] 6

[解析] 首先由⎩⎪⎨⎪⎧

a

2≤x ≤2a a

2≤y ≤2a

围成正方形ABCD ，又结合⎩⎪⎨

⎪⎧

x －y ≥－a

x －y ≤a

位于二平行

直线l 1x －y ＝－a 和l 2x －y ＝a 之间．

再结合，x ＋y ≥a 可知．围成的区域是多边形APQCRS .它是一个六边形．

8．已知变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，

x ≥1，

设z ＝2x ＋y ，取点(3,2)可求得z ＝8，

取点(5,2)可求得z max ＝12，取点(1,1)可求得z min ＝3，取点(0,0)可求得z ＝0，点(3,2)叫做________，点(0,0)叫做________，点(5,2)和点(1,1)均叫做________．

[答案] 可行解，非可行解，最优解． 三、解答题

9．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张．如果小明带有10元钱，问有多少种买法？

[解析] 设购买8角和2元邮票分别为x 张、y 张，则

⎩⎪⎨⎪

⎧

0.8x ＋2y ≤10.x ，y ∈N x ≥2，y ≥2

，即⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋5y ≤25

x ≥2y ≥2

x ，y ∈N

∴2≤x ≤12,2≤y ≤5，

当y ＝2时，2x ≤15，∴2≤x ≤7，有6种； 当y ＝3时，2x ≤10，∴2≤x ≤5有4种； 当y ＝4时，2x ≤5，∴2≤x ≤2，∴x ＝2有一种； 当y ＝5时，由2x ≤0及x ≥0知x ＝0，故有一种． 综上可知，不同买法有：6＋4＋1＋1＝12种．

[点评] 本题采用的解法是穷举法．也可以画出可行域．数出其中的整点数求解．