上海市浦东新区南汇第四中学2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试卷(word版 含答案)

2020-2021学年上海市浦东新区南汇四中八年级（上）期末
数学试卷（附答案与解析）
一、选择题.（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
2．（2分）下列方程中，没有实数根的是（）
A．x2﹣3x＝0B．x2﹣6x+10＝0C．x2﹣6x+9＝0D．x2＝1
3．（2分）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）都在反比例函数y＝的图象上，若a ＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是（）
A．t＜n＜m B．t＜m＜n C．m＜t＜n D．m＜n＜t
4．（2分）下列命题中，是真命题的是（）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
5．（2分）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D 到AB的距离是（）
A．4.8B．4C．3D．
6．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）
A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝5：12：13
二、填空题.（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）﹣＝．
8．（3分）函数y＝的定义域是．
9．（3分）已知函数f（x）＝2x﹣，则f）＝．
10．（3分）在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3＝．
11．（3分）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是．
12．（3分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．
13．（3分）关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围．14．（3分）直角坐标平面内的两点P（4，﹣5）、Q（2，3）的距离为．
15．（3分）边长为6cm的等边三角形的面积是．
16．（3分）小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是米．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为．
三、简答题.（本大题共5小题，19-20每题5分，21～23每题6分。

满分28分）
19．（5分）计算：（+2）﹣．
20．（5分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
21．（6分）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；
当x＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式．
22．（6分）作图：已知△ABC和线段r，请在△ABC内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹）
23．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
四、解答题（本大题共3小题，每题8分，满分24分）
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面积和∠C的度数．
25．（8分）如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．26．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P是AB上的动点，
联结CP．并以CP为边作等边△CPE（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．
（1）请猜想：线段EM与PB的数量关系？线段EM与CB的位置关系？
（2）请证明上题中你的猜想；
（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．
2020-2021学年上海市浦东新区南汇四中八年级（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝2，故A不是最简二次根式．
B、原式＝，故B不是最简二次根式．
C、原式＝2，故C不是最简二次根式．
D、是最简二次根式，故D是最简二次根式．
故选：D．
2．（2分）下列方程中，没有实数根的是（）
A．x2﹣3x＝0B．x2﹣6x+10＝0C．x2﹣6x+9＝0D．x2＝1
【分析】分别计算每个方程根的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：A．此方程根的判别式Δ＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B．此方程根的判别式Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，没有实数根，符合题意；
C．此方程根的判别式Δ＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，有两个相等的实数根，不符合题意；
D．此方程根的判别式Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
3．（2分）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）都在反比例函数y＝的图象上，若a ＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是（）
A．t＜n＜m B．t＜m＜n C．m＜t＜n D．m＜n＜t
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：反比例函数y＝中，k＝2021＞0，图象位于一、三象限，
∵a＜0，
∴点（a，m）在第三象限，
∴m＜0；
∵0＜b＜c，
∴点（b，n）和点（c，t）在第一象限，
∴0＜t＜n，
∴m＜t＜n，
故选：C．
4．（2分）下列命题中，是真命题的是（）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
【分析】分别利用三角形的外角的性质、等腰三角形的判定、三角形的性质及全等三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的外角大于三角形的任何一个不相邻内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、线段的垂直平分线上的任一点（垂足除外）与该线段两个端点能构成等腰三角形，故
原命题错误，不符合题意；
C、三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，正确，是真命题，符
合题意；
D、面积都相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
5．（2分）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D 到AB的距离是（）
A．4.8B．4C．3D．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和
Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故DE的长为3．
故选：C．
6．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）
A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝5：12：13
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC
为直角三角形，不符合题意；
B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是
直角三角形，符合题意；
D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．
故选：C．
二、填空题.（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）﹣＝．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝3﹣2＝，
故答案为：．
8．（3分）函数y＝的定义域是x＞2021．
【分析】根据二次根式的性质和分母不能等于0解答即可．
【解答】解：依题意有x﹣2021＞0，
解得：x＞2021．
故答案为：x＞2021．
9．（3分）已知函数f（x）＝2x﹣，则f）＝．
【分析】根据函数的定义，将x＝代入f（x）＝2x﹣，即可求得y的值．
【解答】解：将x＝代入f（x）＝2x﹣
得：f（）＝2×﹣＝．
10．（3分）在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3＝2（x﹣）（x﹣）．【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x2+4x﹣3不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．
【解答】解：2x2+4x﹣3＝0的解是x1＝，x2＝﹣，
所以可分解为2x2+4x﹣3＝2（x﹣）（x﹣）．
11．（3分）平面上经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相
等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
12．（3分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．13．（3分）关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围k ＞﹣1且k≠0．
【分析】关于x的一元二次方程有实根，只需Δ＞0即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k≠0，即22﹣4k×（﹣1）＞0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
14．（3分）直角坐标平面内的两点P（4，﹣5）、Q（2，3）的距离为2．【分析】根据两点间的距离公式得到PQ即可．
【解答】解：根据题意得PQ＝＝2，
故答案为：2．
15．（3分）边长为6cm的等边三角形的面积是9cm2．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：如图，等边三角形高线即中线，故D为BC中点，
∵AB＝6cm，
∴BD＝3cm，
∴AD＝＝3，
∴等边△ABC的面积＝BC•AD＝×6×3＝9（cm2）．
故答案为：9cm2．
16．（3分）小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是12米．
【分析】根据矩形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和即可．
【解答】解：设矩形的长是a，宽是b，
根据题意，得：
，
②+①×2，得（a+b）2＝180，即a+b＝6，
∴2（a+b）＝6×2＝12（米）．
答：矩形的周长是12米．
故答案为：12．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝9．
【分析】根据勾股定理求出CD，再根据勾股定理用BD表示出BC，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：在Rt△ACD中，CD＝＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝，
在Rt△ABC中，BC＝＝，
∴＝，
解得，BD＝9，
故答案为：9．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为7．
【分析】由正方形的性质及“一线三等角“得出条件，判定△BCG≌△GJF（AAS），则BC＝GJ，根据正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，以及勾股定理可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
三、简答题.（本大题共5小题，19-20每题5分，21～23每题6分。

满分28分）
19．（5分）计算：（+2）﹣．
【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+2﹣2﹣2
＝3﹣2．
20．（5分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0，
方程有两个不等的实数根，x＝＝，
即x1＝+3，x2＝﹣3．
21．（6分）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；
当x＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式．
【分析】设y1＝，y2＝b（x+2），由y＝y1+y2，可得y＝+b（x+2），把x＝1，y ＝3和x＝3，y＝13代入得出方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：设y1＝，y2＝b（x+2），
∵y＝y1+y2，
∴y＝+b（x+2），
把x＝1，y＝3和x＝3，y＝13代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式是：y＝+2x+4．
22．（6分）作图：已知△ABC和线段r，请在△ABC内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹）
【分析】作CM平分∠ACB，以A为圆心，r为半径作弧在△ABC内部交CM于点P，连接AP，线段AP即为所求作．
【解答】解：如图，线段AP即为所求作．
23．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
【解答】证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线（已知），
∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），
∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），
∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），
∴DF＝BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），
∴AC＝AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴AC＝DF（等量代换）．
四、解答题（本大题共3小题，每题8分，满分24分）
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面积和∠C的度数．
【分析】利用勾股定理构建方程求出x，解直角三角形即可求出AD，进而解答即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
由勾股定理可得：，
解得：x＝2.5，
即CD＝2.5，
又因为AC＝5，
∴∠CAD＝30°，AD/AC＝cos30°＝，
∴．
25．（8分）如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．（1）过点A作AE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求OE＝OA＝2，AE＝OE
【分析】
＝2，即可求解；
（2）利用待定系数法可求解；
（3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于E，
∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，
∴点A（2，2）；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴m＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（3）如图，
当点P1在y轴上时，且∠AP1O＝90°，
又∵∠AOP1＝30°，
∴AP1＝2，OP1＝AP1＝2，
∴点P1（0，2）；
当点P2在x轴上，且∠AP2O＝90°，
又∵∠OAP2＝30°，
∴OP2＝2，
∴点P2（2，0）；
当点P3在y轴上，且∠P3AO＝90°，
又∵∠AOP3＝30°，
∴OP3＝2AP3，AO＝AP3＝4，
∴OP3＝，
∴点P3（0，）；
当点P4在x轴上，且∠P4AO＝90°，
∵∠AOP4＝60°，
∴∠AP4O＝30°，
∴OP4＝2OA＝8，
∴点P4（8，0）；
综上所述：点P的坐标为（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）．
26．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P是AB上的动点，联结CP．并以CP为边作等边△CPE（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．
（1）请猜想：线段EM与PB的数量关系？线段EM与CB的位置关系？
（2）请证明上题中你的猜想；
（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．
【分析】（1）根据题意得出猜想解得即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）根据面积公式解答即可．
【解答】解：（1）猜想：EM＝PB，EM∥CB，
（2）连接CM，
∵△ECP是等边三角形，
∴EC＝CP，
在Rt△ACB中，M是斜边上的中点，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，△MCB是等边三角形，
∴CM＝CB，
∵∠ECM+∠MCP＝60°，∠MCP+∠PCB＝60°，
∴∠ECM＝∠PCB，
在△CEM与△CPB中，
，
∴△CEM≌△CPB（SAS），
∴EM＝PB，
∴∠EMC＝∠B＝60°，
∵∠MCP+∠PCB＝60°，
∴∠EMC＝∠MCP+∠PCB，
∴EM∥CB；
（3）不发生变化，
∵△CEM≌△CPB，
∴．。