2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学九年级(上)开学数学试卷(含解析)

2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若a>b，则下列式子正确的是
( )
A. a+2<b+2
B. −2a>−2b
C. a−2>b−2
D. a
2<b
2
3.多项式m2−4与多项式m2−4m+4的公因式是( )
A. m−2
B. m+2
C. m+4
D. m−4
4.一元二次方程x2−4x+5=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
5.将一次函数y=−2x的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为( )
A. y=−8x
B. y=4x
C. y=−2x−6
D. y=−2x+6
6.下列命题错误的是( )
A. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
7.如图，将等边△ABC沿直线BC平移到△DEF，使点E与点C重合，连接BD，若AB=2，则BD的长为
( )
A. 23
B. 3
C. 3
D. 25
8.如图，直线y1=kx和直线y2=ax+b相交于点(1,2).则不等式组ax+b>kx>0的解集为
( )
A. x<0
B. 0<x<1
C. x<1
D. x<0或x>1
二、填空题
9.因式分解：x2−9y2=．
10.若分式|x|−1
的值为0，则x的值为______ ；若x2−2x−2=0，则x=______ ．(x+2)(x+1)
11.如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么
CD等于______ cm．
12.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形ABCD中，
若AB=10，AC=12，则BD的长为______．
13.如图，在▱ABCD 中，按以下步骤作图：①以C 为圆心，以适当长为半
径画弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点；②分别以M ，N 为圆心，以大于12
MN 的长为半径画弧，两弧在∠BCD 的内部交于点P ；⑨连接CP 并延长交
AD 于点E.若AE =2，CE =6，∠B =60°，则ABCD 的周长等于 ．
三、解答题
14.解方程：
(1)3x(x−1)=2−2x ；
(2)4x x−3
−2=x 3−x ．15.(1)解不等式组：{
3−2(x−1)≤2x +9①5−3x >1−3x 2②．(2)化简求值：(1a−1−1)÷a 2−4a +4a−1，其中a =2− 2．
16.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt △ABC 的三个顶点分别为A(0,4)，B(−4,2)，C(0,2)．
(1)画△A 1B 1C 1，使它与△ABC 关于点C 成中心对称；
(2)平移△ABC ，使点A 的对应点A 2坐标为(−2,4)，画出平移后对应的△A 2B 2C 2；
(3)若将△A 1B 1C 1绕点P 旋转可得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心P 的坐标．
17.水果店小明先用1600元购进一批葡萄，供不应求，又用8000元购进第二批这种葡萄，第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍，但单价比第一批贵2元/斤．
(1)第一批葡萄的进货单价是多少元/斤？
(2)若两批购进的葡萄都按同一价格销售，两批葡萄全部售完后，获利不少于2400元，那么葡萄的销售单价至少为多少元/斤？
18.如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE=AF．
(1)求证：DE⊥DF；
(2)如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE=2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
(3)如图3，在(2)的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH=52，求AG的长．
19.若关于x的分式方程x−a
x−2+2a
2−x
=6有增根，则a的值为______ ．
20.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2−2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为______．
21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延
长BC至F，使CF=1
2
BC，若EF=13，则线段AB的长为______．
22.如图，在△ABC中，AC=BC=9，∠C=120°，D为AC边上一点，且AD=6，E是AB边上一动点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30°得到DF，若F恰好在BC边上，则AE的长为______．
23.如图，将菱形OABC放置于平面直角坐标系中，边OA与x轴正半轴重合，
D为边OC的中点，点E，F，G分别在边OA，AB与BC上，若∠COA=60°，
OA=45，则当四边形DEFG为菱形时，点G的坐标为______．
24.某地区2016年投入教育经费2900万元，2018年投入教育经费3509万元．
(1)求2016年至2018年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2020年需投入教育经费4250万元，如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2020年该地
区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．
(参考数据： 1.21=1.1， 1.44=1.2， 1.69=1.3， 1.96=1.4)
25.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG．
(1)如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N．
①求证：MA=MC；
②求MN的长；
(2)如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求△BEG的面积
26.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C，且△ABC面积为10．
(1)求点C的坐标及直线BC的解析式；
(2)如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G
点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；
(3)如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB=S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C
【解析】解：若a>b，则a+2>b+2，故A选项错误；
若a>b，则−2a<−2b，故B选项错误；
若a>b，则a−2>b−2，故C选项正确；
若a>b，则a
2>b
2
，故D选项错误；
故选：C．
本题主要考查了不等式的基本性质，在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
本题依据不等式的基本性质进行判断，即可得出结论．
3.【答案】A
【解析】解：m2−4=(m+2)(m−2)，m2−4m+4=(m−2)2，
m2−4与多项式m2−4m+4的公因式是m−2，
故选：A．
根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；(2)字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“−1”．
4.【答案】D
【解析】解：∵a=1，b=−4，c=5，
∴△=b2−4ac=(−4)2−4×1×5=−4<0，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
把a=1，b=−4，c=5代入△=b2−4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
5.【答案】C
【解析】解：将一次函数y=−2x的图象向下平移6个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：
y=−2x−6，
故选：C．
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、首先由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等得出另一组对角相等，然后根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可知是个真命题，正确，不合题意；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意；
故选：B．
分别利用平行四边形的判定方法以及正方形和矩形、菱形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了命题与定理，正确掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解题关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出∠BDF=90°是解决问题的关键．
利用平移的性质得出BC，CF、DF的长，得∠BDF=90°，∠DBF=30°，可得结论．
【解答】
解：由平移得：△ABC≌△DEF，
∵△ABC是等边三角形，且AB=2，
∴BC=EF=DF=2，∠DEF=60°，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∵∠CDF=60°，
∴∠BDF=90°，
Rt△BDF中，∠DBF=30°，
∴BF=4，则BD=23，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式，两直线相交或平行问题等知识，解题的关键是学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，属于中考常考题型．直线y1=kx在x轴的上方部分，和直线y2=ax+b的图象在直线y1=kx的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax+b>kx>0的解集．
【解答】解：直线y1=kx在x轴的上方部分，和直线y2=ax+b的图象在直线y1=kx的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax+b>kx>0的解集，
观察图象可知：不等式的解集为：0<x<1，
故选B．
9.【答案】(x+3y)(x−3y)
【解析】解：原式=(x+3y)(x−3y)．
故答案为：(x+3y)(x−3y)．
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10.【答案】11+3或1−3
【解析】解：由分式值为0的条件可得|x|−1=0且(x+2)(x+1)≠0，
解得：x=1；
x2−2x−2=0，
移项得：x2−2x=2，
配方得：x2−2x+1=3，
即(x−1)2=3，
直接开平方得：x−1=±3，
解得：x=1+3或x=1−3；
故答案为：1；1+3或1−3．
根据分式值为0的条件及配方法解一元二次方程即可求得答案．
本题考查分式值为0的条件及配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11.【答案】6
【解析】解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴△ACD∽△CBD，
∴CD AD =BD
CD
，
∴CD
9=4
CD
，
∴CD=6．
利用△ACD∽△CBD，对应线段成比例就可以求出．
本题关键在于从相似三角形中找对应比例线段，由相似三角形对应线段成比例来解题．
12.【答案】16
【解析】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，设AC、BD交点为O．
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC⋅AE=CD⋅AF．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴OB=OD，OA=OC=6，AC⊥BD．
∴OB=AB2−OA2=102−62=8．
∴BD=2OB=16．
故答案为：16．
过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，设AC、BD交点为O，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．然后依据勾股定理求得OB的长，从而可得到BD的长．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积，证得四边形ABCD 为菱形是解题的关键．
13.【答案】28
【解析】解：由作图可知∠ECD=∠ECB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠B=∠D=60°，
∴∠DEC=∠ECB=∠ECD，
∴DE=DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE=DC=EC=6，
∴AD=BC=8，AB=CD=6，
∴四边形ABCD的周长为28，
故答案为：28．
首先证明△DEC是等边三角形，求出AD，DC即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
14.【答案】解：(1)3x(x−1)=2−2x，
3x(x−1)+2(x−1)=0，
(x−1)(3x+2)=0，
x−1=0或3x+2=0，
；
所以x1=1，x2=−2
3
(2)去分母得4x−2(x−3)=−x，
解得x=−2，
检验：当x=−2时，x−3≠0，则x=−2为原方程的解，
所以原方程的解为x=−2．
【解析】(1)先移项得到3x(x−1)+2(x−1)=0，再利用因式分解法把方程转化为x−1=0或3x+2=0，然后解两个一次方程即可；
(2)先去分母把方程化为整式方程4x−2(x−3)=−x，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程．
15.【答案】解：(1)由①得到3−2x+2≤2x+9
−4x≤4，
∴x≥−1，
由②得到10−6x>1−3x，−3x>−9，
∴x<3，
∴−1≤x<3；
(2)原式=(1
a−1−a−1
a−1
)×a−1
(a−2)2
=2−a
a−1×a−1
(a−2)2
=1
2−a
，
当a=2−2时，原式=
1
2−(2−2)
=1
2
=2
2
．
【解析】(1)分别求出各个不等式的解集，可得结论；
(2)先计算括号再计算乘法，最后代入求解．
本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握分式的化简求值，掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)△A1B1C1即为所求．
(2)△A2B2C2即为所求．
(3)P(−1,2)．
【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)分别求出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
(3)对应点连线段的垂直平分线的交点即为所求的点P．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)设第一批葡萄的进货单价为x元/斤，则第二批进货单价为(x+2)元/斤，
依题意，得：8000
x+2=4×1600
x
，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列分式方程的解，且符合题意．
答：第一批葡萄的进货单价为8元/斤．
(2)第一批购进数量为1600÷8=200(斤)，
第二批购进数量为200×4=800(斤)．
设葡萄的销售单价为y元/斤，
依题意，得：(200+800)y−1600−8000≥2400，
解得：y≥12．
答：葡萄的销售单价至少为12元/斤．
【解析】(1)设第一批葡萄的进货单价为x元/斤，则第二批进货单价为(x+2)元/斤，根据数量=总价÷单价结合第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)利用数量=总价÷单价可求出第一批购进数量，结合第二批的数量是第一批的4倍可求出第二批购进数量，设销售单价为y元/斤，根据利润=销售收入−成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠DAF=∠DCE=90°，
在△ADF和△CDE中，
{AD=CD
∠DAF=∠DCE
FA=EC
，
∴△ADF≌△CDE(SAS)
∴∠ADF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠FDE=90°，
∴DE⊥DF；
(2)解：∵∠BGE=2∠BFE，∠BGE=∠BFE+∠GEF，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∵△BGE的周长为16，
∴BE+GB+GE=16，
∴BE+GB+GF=16，
∴BE+BA+AF=16，
∵CE=AF，
∴BA+CB=16，
∴BC=BA=8，
∵△ADF≌△CDE
∴S四边形DEBF=S正方形ABCD=AB2=64；
(3)过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，
∵GF=GE，DF=DE，
∴DG垂直平分EF，
∵∠FDE=90°，
∴DH=EH，∠DHE=∠PHC=90°，
∴∠DHE−∠EHC=∠PHC−∠EHC，即∠DHC=∠EHP，
∵在四边形DHEC中，∠HDC+∠HEC=180°，∠HEC+∠HEP=180°，∴∠HEP=∠HDC，
在△HDC和△HEP中，
{∠DHC=∠EHP
DH=EH
，
∠HDC=∠HEP
∴△HDC≌△HEP(ASA)
∴DC=PE=8，CH=HP=52，
∴在Rt△PHC中，PC=10，
∴EC=PC−PE=2，
∴AF=2，BE=6，
在Rt△BGE中，设EG=x，则BG=10−x，
由勾股定理得，(10−x)2+62=x2
，
解得：x=34
5
∴AG=GF−AF=24
．
5
【解析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
(1)证明△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到∠ADF=∠CDE，根据垂直的定义证明；
(2)根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理得到GE=GF，根据三角形的周长公式求出BA，根据正方形的面积公式计算；
(3)作HP⊥HC交CB的延长线于点P，证明△HDC≌△HEP，得到DC=PE=8，CH=HP=52，根据勾股定理列方程求出EG，计算即可．
19.【答案】2
3
【解析】解：分式方程去分母得：x−a−2a=6(x−2)，
，
解得：x=12−3a
5
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
=2，
∴12−3a
5
．
解得：a=2
3
．
故答案为：2
3
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出a 的值．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程
为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20.【答案】1
【解析】解：设方程x2+(2k+1)x+k2−2=0两根为x1，x2
得x1+x2=−(2k+1)，x1⋅x2=k2−2，
△=(2k+1)2−4×(k2−2)=4k+9≥0，
∴k≥−9
，
4
∵x21+x22=11，
∴(x1+x2)2−2x1x2=11，
∴(2k+1)2−2(k2−2)=11，
解得k=1或−3；
∵k≥−9
，
4
故答案为：1．
由题意设方程x2+(2k+1)x+k2−2=0两根为x1，x2，得x1+x2=−(2k+1)，x1⋅x2=k2−2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．
此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
21.【答案】26
【解析】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
BC，DE//BC，
∴DE=1
2
∵CF=1
BC，
2
∴DE=CF，又DE//CF，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴CD=EF=13，
∵∠ACB=90°，点D是边AB的中点，
∴AB=2CD=26，
故答案为：26．
BC，DE//BC，根据平行四边形的性质求出CD，根据直角三角形的性质根据三角形中位线定理得到DE=1
2
计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
22.【答案】3+43
【解析】解：如图，延长DC到G，使DG=AE，连接FG，
∵AC=BC，∠C=120°，
∴∠A=30°，∠FCG=60°，
∵∠A+∠1=∠EDF+∠2，
又∵∠EDF=30°，
∴∠1=∠2，
在△EDA和△DFG中，
{AE=GD
∠1=∠2
，
ED=DF
∴△EDA≌△DFG(SAS)
∴AD=GF=6，∠A=∠G=30°，
∵∠G+∠FCG=90°，
∴∠CFG=90°，
设CF=x，则CG=2x，由CF2+FG2=CG2得：
x2+62=(2x)2，
解得x1=23，x2=−23(不合题意舍去)，
∴CG=43，
∴AE=DG=3+43，
故答案为：3+43．
由∠C=120°，AC=BC可知∠A=30°，又有∠EDF=30°，联想一线三等角模型，延长DC到G，使
DG=AE，得△DFG≌△EDA，进而可得GF=6，∠G=30°，由于∠FCG=60°，即可得△CFG是直角三角形，易求CG，由DG=AE即可解题．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．本题解题关键是通过一线三等角模型构造全等三角形，从而得到Rt△CFG．
23.【答案】(35,215)
【解析】解：过D作MN⊥OA于N，交BC的延长线于M，连接DF、EG，交于点H，
∵四边形ABCO是菱形，
∴BM//OA，
∴∠M=∠OND=90°，
∵OD=DC，∠ODN=∠MDC，
∴△ODN≌△CDM(AAS)，
∴DN=DM，
∵OA=OC=45，
∴OD=25，
Rt△DON中，∠DON=60°，
∴∠ODN=30°，
∴ON=5，DN=15，
∴MN=2DN=215，
∵四边形DEFG是菱形，
∴DF⊥EG，DH=1
DF，DG=DE，
2
∴Rt△DMG≌Rt△DNE(HL)，
∴MG=EN，
∵MG//EN，∠M=90°，
∴四边形MNEG为矩形，
∴EG⊥BM，EG=MN=215，
∵BC//OA，DF⊥EG，EG⊥BC，
∴DF//OA//BC，
∵OD//AF，
∴四边形DOAF是平行四边形，
∴DF=OA=45，
∴DH=EN=1
DF=25，
2
∴OE=ON+EN=35，
∴G(35,215)，
故答案为：(35,215).
作辅助线，构建全等三角形，证明△ODN≌△CDM(AAS)，得DN=DM，由中点得OD=25，根据直角
三角形30度角的性质和勾股定理得：ON=5，DN=15，所以MN=EG=215，证明DF=OA=45，根据菱形的对角线互相垂直平分得：DH的长，从而得EN的长，可得结论．
本题考查坐标与图形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常
考题型．
24.【答案】解：(1)设增长率为x，根据题意2017年为2900(1+x)万元，2018年为2900(1+x)2万元．
则2900(1+x)2=3509，
解得x=0.1=10%，或x=−2.1(不合题意舍去)．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
(2)2020年该地区投入的教育经费是3509×(1+10%)2=4245.89(万元)．
4245.89<4250，
答：按(1)中教育经费投入的增长率，到2020年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．
【解析】(1)一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，2017年要投入教育经费是2900(1+x)万元，在2017年的基础上再增长x，就是2018年的教育经费数额，即可列出方程求解．
(2)利用(1)中求得的增长率来求2020年该地区将投入教育经费．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量．
25.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠DCA=∠BAC，
由旋转的性质得：∠FAE=∠BAC，
∴∠DCA=∠FAE，
∴MA=MC；
②解：设MA=MC=x，则DM=8−x，
在Rt△ADM中，62+(8−x)2=x2，
解得：x =254
，在Rt △AEF 中，AF = AE 2+EF 2= 82+62=10，
∴MF =AF−AM =154
，∵∠AEF =∠CEN =90°，
∴∠MCA +∠CNE =∠MAC +∠AEF =90°，
又∵∠MCA =∠MAC ，
∴∠AFE =∠CNE =∠MNF ，
∴MN =MF =154
；
(2)解：分情况讨论：
①如图2所示：过点B 作BH ⊥AE 于H ，则∠GAP =∠BHP =90°，
在△HBP 和△AGP 中，{∠GAP =∠BHP
∠APG =∠HPA GP =BP
，∴△HBP≌△AGP(AAS)，
∴AP =HP ，BH =AG =6，
在Rt △ABH 中，AH = AB 2−BH 2= 82−62=2 7，
∴AP =12AH = 7，
∴PE =AE−AP =8− 7，
∴△BEG 的面积=2△GPE 的面积=2×12×6×(8− 7)=48−6 7；
②如图3所示：同①得：AH =2 7，AP = 7，
∴PE =8+ 7，
∴△BEG 的面积=2△GPE 的面积=2×12×6×(8+ 7)=48+6 7；
综上所述，△BEG 的面积为48−6 7或48+6 7．
【解析】(1)①由矩形的性质得出AB//CD ，得出∠DCA =∠BAC ，由旋转的性质得：∠FAE =∠BAC ，证出∠DCA =∠FAE ，即可得出MA =MC ；
②设MA =MC =x ，则DM =8−x ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得出方程62+(8−x )2=x 2，解得：x =254，在Rt △AEF 中，由勾股定理得出AF = AE 2+EF 2=10，得出MF =AF−AM =154
，证出∠AFE =∠CNE =∠MNF ，得出MN =MF =
154即可；
(2)分情况讨论：①过点B作BH⊥AE于H，证明△HBP≌△AGP，得出AP=HP，BH=AG=6，在
Rt△ABH中，由勾股定理得出AH=AB2−BH2=27，得出AP=1
AH=7，得出PE=AE−AP=8−7，
2
得出△BEG的面积=2△GPE的面积=48−67；
②同①得：AH=27，AP=7，得出PE=8+7，得出△BEG的面积=2△GPE的面积=48+67
即可．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的
判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的
关键．
26.【答案】解：(1)∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(−2,0)，B(0,4)，
∴OA=2，OB=4，
⋅AC⋅OB=10，
∵S△ABC=1
2
∴AC=5，
∴OC=3，
∴C(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有{3k+b=0
b=4,
∴{k=−43
．
b=4
∴直线BC的解析式为y=−4
x+4．
3
(2)∵FA=FB，A(−2,0)，B(0,4)，
∴F(−1,2)，
设G(0,n)，
①当n>2时，如图2−1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分
别为M，N．
∵四边形FGQP是正方形，易证△FMG≌△GNQ，∴MG=NQ=1，FM=GN=n−2，
∴Q(n−2,n−1)，
∵点Q在直线y=−4
3
x+4上，
∴n−1=−4
3
(n−2)+4，
∴n=23
7
，
∴G(0,23 7).
②当n<2时，如图2−2中，同法可得Q(2−n,n+1)，
∵点Q在直线y=−4
3
x+4上，
∴n+1=−4
3
(2−n)+4，
∴n=−1，
∴G(0,−1)．
综上所述，满足条件的点G坐标为(0,23
7
)或(0,−1)．
(3)存在点D ，点D 的坐标为(193,0)或(−13,0)或(−313
,0)． 【解析】(1)见答案．(2)见答案．
(3)如图3中，设M(m,−43
m +4)，
∵S △AMB =S △AOB ，∴S △ABC −S △AMC =S △AOB ，
∴12
×5×4−12
×5×(−43
m +4)=12
×2×4，∴m =65，∴M(65,125)，
∴直线AM 的解析式为y =34
x +32
，作BE//OC 交直线AM 于E ，此时E(103
,4)，
当CD =BE 时，可得四边形BCDE ，四边形BECD 1是平行四边形，可得D(193
,0)，D 1(−13
,0)，根据对称性可得点D 关于点A 的对称点D 2(−313
,0)也符合条件，综上所述，满足条件的点D 的坐标为(193
,0)或(−13
,0)或(−313
,0)．
本题考查坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，平行四边形的判定，面积法，
(1)利用三角形的面积公式求出点C 坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
(2)分两种情形：①当n >2时，如图2−1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线
的垂线，垂足分别为M ，N.求出Q(n−2,n−1).②当n <2时，如图2−2中，同法可得Q(2−n,n +1)，利用待定系数法即可解决问题．
(3)利用三角形的面积公式求出点M 的坐标，求出直线AM 的解析式，作BE//OC 交直线AM 于E ，此时E(
103
,4)，当CD =BE 时，可得四边形BCDE ，四边形BECD 1是平行四边形，可得D(193
,0)，D 1(−13
,0)，再根据对称性可得D 2解决问题．。