高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_4指数函数课件理新人教A版

a当n为奇数且n∈N*时，
±n a 当n为偶数且n∈N*时.
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
a，n为奇数，
②n
an＝

|a|

＝a，a≥0， －a，a＜0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：
＝ n am
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图 象越高(低)，其底数越大．
3．注意事项 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平 移、对称、翻折变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合 观察两曲线动与不动及动的范围求解．
(2)若不等式 1＋2x＋4x·a>0 在 x∈(－∞，1]时恒成立，则实数 a 的取值范围
是
．
解析：从已知不等式中分离出实数 a，得 a>－14x＋12x. 因为函数 y＝14x 和 y＝12x 在 R 上都是减函数，所以当 x∈(－∞，1]时，14x≥14，12 x≥12，
跟踪训练 (1)(2017·江西三校联考)化简4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
答案：D
答案：85
考点二|指数函数的图象及应用 (思维突破) 【例2】 (1)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
(2)(2017·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围
3．指数函数的图象及性质
[三基自测] 1．(必修1·2.1练习改编)下列各式化简正确的为( )
答案：C
2．(必修1·2.1例题改编)1.70.2、0.91.7、1由大到小的排列顺序为
．
答案：1.70.2＞1＞0.91.7 3．(必修1·2.1例题改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点A 2，13 ，则
12，13的指数函数的图象．
题，题型一般为选 择、填空题，中档
4．体会指数函数是一类重要的函数模型.
难度.
1．根式 (1)根式的概念
[基础梳理]
①若 xn＝a ，则x叫作a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子n a叫作根式，这里n叫 作根指数，a叫作被开方数．
②a的n次方根的表示：
n xn＝a⇒x＝
②负分数指数幂： ＝
1 ＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
n am
③0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 无意义 ．
(2)有理数指数幂的运算性质： ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
＝f
2－23
＝f
4 3
，又∵x≥1时，f(x)＝3x
－1为单调递增函数，且43＜32＜53，
∴f43＜f32＜f53，
即f23＜f32＜f13.选B.
(2)由
－x≤
1 4
x－1＝2－2x＋2，得x2－x≤－2x＋2，即x2＋x－2≤0解得－2≤x≤1.
所以14x＋12x≥14＋12＝34， 从而得－14x＋12x≤－34.故 a>－34. 答案：－34，＋∞
的取值范围是
．
解析：要使函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的函数值总小于 2，
只需 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值小于 2.
当 a>1 时，f(x)max＝a2<2，解得 1<a<
2；当
0<a<1
时，f(x)max＝a－2<2，解得
2 2 <a<1.
所以 a∈ 22，1∪(1， 2)． 答案： 22，1∪(1， 2)
是
．
[解析]
2x－1，x≥1， (1)f(x)＝12x－1，x＜1，
故选B.
(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y ＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
[答案] (1)B (2)[－1,1]
名师点拨 1.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1a.
令t＝2x，t∈14，2，则y＝t－1t ，易知y＝t－1t 在区间14，2上是增函数，
所以，函数y＝t－1t 的值域为－145，32，即函数y＝2x－2－x的值域为－145，32.
[答案] (1)B (2)－145，32
方法 2 利用指数函数的值域求含指数型函数值3＜f13
[解析] (1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，∴f
1 3
＝f
2－13
＝f
5 3
，f
2 3
第四节 指数函数
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景．
直接考查指数函数
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂 的图象与性质；以
的意义，掌握幂的运算．
指数函数为载体，
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数 考查函数与方程、
函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10， 不等式等交汇问
【例 4】 (1)函数 y＝
的值域是( )
A．(－∞，4)
B．(0，＋∞)
C．(0,4]
D．[4，＋∞)
(2)函数 y＝14x－12x＋1 在 x∈[－3,2]上的值域是
．
[解析] (1)设 t＝x2＋2x－1，则 y＝12t. 因为 t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝12t 为关于 t 的减函数， 所以 0＜y＝12t≤12－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．故选 C.
考点三|指数函数的性质及应用 (方法突破)
方法 1 利用指数函数的单调性比较大小或解不等式
【例3】 (1)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1
时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f13＜f32＜f23 C．f32＜f13＜f23
f(－1)＝
.
答案： 3
考点一|指数幂的化简与求值 (易错突破) 【例1】 求值与化简：
1 [解析] (1)原式＝1＋4×
12 1
1 1 16
＝1＋4×3－10＝1＋6－10＝15.
名师点拨 指数幂运算的一般原则： 1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计 算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． 3．底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先 化成假分数． 4．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练 (1)在本例(2)中，将曲线变为y＝|2x－1|，与直线y＝b有且只有一个公共
点，则b的范围是
．
解析：y＝|2x－1|其图象如图所示，
要使y＝b与曲线只有一个公共点必须b≥1或b＝0， 当b＝0或b≥1时，y＝b与曲线只有一个公共点． 答案：{0}∪[1，＋∞)
(2)在本例(1)中，把函数变为 ①y＝2|x＋1|，②y＝12|x－1|，③y＝12|x＋1|，其图象分别为答案中的哪一个． 解析：①y＝2|x＋1|可看作y＝2|x|向左移动一个单位，选A. ②y＝12|x－1|可看作y＝12|x|向右平移一个单位，选D. ③y＝12|x＋1|可看作y＝12|x|向左平移一个单位，选C.
(2)因为 x∈[－3,2]，若令 t＝12x， 则 t∈14，8. 则 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 所以所求函数值域为34，57.
[答案] (1)C (2)34，57
名师点拨 1.比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法． 利用单调性时要把自变量都化为属于同一个单调区间． 2．指数函数的综合问题．要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、 周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
跟踪训练 (1)若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的函数值总小于 2，则实数 a