2021年高中数学 课时作业3 余弦定理 新人教版必修5
人教版高中数学必修五课时作业28：习题课 正弦定理和余弦定理
习题课 正弦定理和余弦定理基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值；(2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255. 7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36.又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( ) A.922B.924C.928D.229解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3. ∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( ) A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32.又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34. 答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值； (2)设BA →·BC→＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ， 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC→＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.创新突破13.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积. 解(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0得tan A＝－3，又0<A<π，所以A＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos 2π3.即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD sin π612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为 3.。
人教A版高中数学必修5：余弦定理 课时练习
课时作业 2 余弦定理[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则cos B ＝( ) A ．－18 B.18C ．－916 D.916解析：由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋36－252×4×6＝916.答案：D2．在△ABC 中，c 2－a 2－b 2＝3ab ，则角C 为( ) A ．30° B．60°C ．150° D．45°或135°解析：由已知得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32.因为0°<C <180°，所以C ＝150°.答案：C3．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 解析：在△ABC 中，∵A ＝60°，a 2＝bc ，∴由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， ∴bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，∴b ＝c ，结合A ＝60°，得△ABC 一定是等边三角形．故选D. 答案：D4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．－5解析：cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17，∴cos〈AB →，BC →〉＝－17，∴AB →·BC →＝5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－5. 答案：D5．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：由余弦定理的推论，得b cos C ＋c cos B ＝b ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，因为A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，所以得49＝25＋AC 2＋5AC ， 即AC 2＋5AC －24＝0， 解得AC ＝3或－8(舍去)． 所以AC ＝3.所以sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：357．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ：B ：C ＝1：2：3，则a ：b ：c ＝1：2：3. 其中正确的序号为________．解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ：b ：c ＝1：3：2，错误． 答案：①8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由余弦定理易得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32，所以C ＝30°，B ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理得ADsin B ＝AB sin∠ADB ，所以AD 12＝222， 所以AD ＝ 2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解析：由余弦定理的推论及已知，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB ·cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.10．已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足sin 2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值．(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求△ABC 的周长． 解析：(1)△ABC 是锐角三角形，sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cosB ＋cos π3sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos B －cos π3sin B＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3(2)由AB →·AC →＝12，得bc cos A ＝12 ①， 由(1)知A ＝π3，所以bc ＝24 ②，由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将a ＝27及①代入可得c 2＋b 2＝52 ③， ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10，△ABC 的周长是10＋27.[能力提升](20分钟，40分)11．已知在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则这个三角形的最大角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C化简已知的等式得，A ：b ：c ＝3：5：7，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，k ＞0， 根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 230k 2＝－12. ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝120°. ∴这个三角形的最大角为120°.故选D. 答案：D12．在△ABC 中，已知(b ＋c )：(a ＋c )：(a ＋b )＝4：5：6，则△ABC 的最大内角为________． 解析：由题可设，b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k ，所以角A 最大，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又因为0°<A <180°，所以A ＝120°. 答案：120°13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．解析：已知a －b ＝4，则a >b 且a ＝b ＋4，又a ＋c ＝2b ，则b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝c ＋4，则b >c ，从而知a >b >c ，所以a 为最大边，故A ＝120°，b ＝a －4，c ＝2b －a ＝a －8.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(a －4)2＋(a －8)2＋(a －4)(a －8)，即a 2－18a ＋56＝0，解得a ＝4或a ＝14.又b ＝a －4>0，所以a ＝14，即此三角形的最大边长为14. 14．在△ABC 中，已知sin(A ＋B )＝sin B ＋sin(A －B )． (1)求角A ；(2)若|BC →|＝7，AB →·AC →＝20，求|AB →＋AC →|.解析：(1)原式可化为sin B ＝sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B . 因为B ∈(0，π)，所以sin B >0，所以cos A ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|·cos A . 因为|BC →|＝7，AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝20， 所以|AB →|2＋|AC →|2＝89.因为|AB →＋AC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →＝129，所以|AB →＋AC →|＝129.。
高中数学第一章解三角形课时作业2余弦定理新人教B版必修5
因为BD＝ ，AB＝1，
所以AD＝ ＝ .
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
解析：∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ ab，
∴cosC＝ ＝ ＝－ <0，
∴90°<C<180°，∴三角形为钝角三角形．
答案：A
6．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()
答案：3或6
8．在△ABC中，∠ABC＝ ，AB＝ ，BC＝3，则sin∠BAC＝________.
解析：由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴AC＝ .
由正弦定理得 ＝ ，∴sin∠BAC＝ .
答案：
9．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝ ，c＝2 ，则b＝________.
解析：由余弦定理得cosC＝ ，
即 ＝ ，解得ab＝4.
答案：A
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosB的值为()
A. B.
C. D.
解析：cosB＝ ＝ ＝ .
答案：B
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()
答案：A
2．在△ABC中，a＝1，B＝60°，c＝2，则b等于()
A．1 B.
C. D．3
解析：b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋4－2×1×2× ＝3，故b＝ .
答案：C
3．在△ABC中，c2－a2－b2＝ ab，则角C为()
2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5
1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ， 则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5， 长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ， 即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。
(2021年整理)人教版高中数学必修五专题余弦定理习题(含答案)
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余弦定理一、选择题1．(2016·天津高考）在△ABC中,若AB＝错误!，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ）A．1 B．2C．3 D．42．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( ）A。
错误! B.错误!C.错误!D.错误!或错误!3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a,b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab 的值为( )A.错误!B．8－4错误!C．1 D。
错误!4．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b，c,若(a2＋c2－b2)tan B＝错误!ac,则角B为( )A。
错误! B.错误!C.错误!或错误!D。
错误!或错误!5．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c。
若a＝1，c＝4错误!,B＝45°，则sin C 等于（)A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若a＝1，b＝错误!，c＝错误!,则B ＝________.7．在△ABC中,已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝________.8．（2015·重庆高考)设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－错误!,3sin A＝2sin B，则c＝________。
人教版高中数学必修5余弦定理
余弦定理一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。
本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
四、教学目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。
通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
人教版高中数学必修五课时作业26：1.1.2 余弦定理
1.1.2 余弦定理1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C 等于( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．45°或135°3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－196．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________. 7．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________. 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3. (1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b .参考答案1．【解析】由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 【答案】B2．【解析】由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 【答案】A3．【解析】由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°. 【答案】D4．【解析】由b 2＝ac 及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 【答案】B5．【解析】由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】D6．【解析】由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， 得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 【答案】237．【解析】c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17.【答案】－178．【解析】由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.【答案】5π69．【解析】由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3.【答案】2π310．解：由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．解：(1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3. 12．解：(1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)，n ＝(cos C 2，－sin C2)，∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C .又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12，∴cos C ＝12.又0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.。
高中数学课时作业3余弦定理新人教版必修5
【高考调研】2015年高中数学 课时作业3 余弦定理新人教版必修51．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析 由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b 2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析 设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝32，于是A ＝30°，故选A. 6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3答案 D解析 本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析 由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)． 故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析 由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612. 14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值． 解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析 由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析 由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析 本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sinA 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14.2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (bc)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.。
新高中人教B版数学必修五课时作业：1.1.2余弦定理(2)(含答案)
余弦定理(二)课时目标 1.娴熟掌握正弦定理、余弦定理.2.会用正、余弦定理解三角形的相关问题．1．正弦定理及其变形a b c(1)sin A＝sin B＝sin C＝ ______.(2)a＝ ________， b＝ ________，c＝ ________.(3)sin A ＝ ______， sin B ＝ ______， sin C＝ ____________________________________.(4)sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ ________.2．余弦定理及其推论2(1)a ＝ ________________.(2)cos A ＝ ________________.(3)在△ ABC 中， c2＝ a2＋ b2? C 为 ________； c2>a2＋ b2? C 为 ________； c2<a2＋ b2? C 为 ________．3．在△ ABC 中，边 a、b、 c 所对的角分别为 A 、B 、 C，则有：(1)A ＋B ＋ C＝ ____，A＋B＝ __________. 2(2)sin(A ＋ B) ＝ ________，cos(A ＋ B) ＝________， tan(A ＋ B) ＝________.(3)sin A ＋ B＝ ________， cos A＋B＝ __________.22一、选择题1．已知 a、b、 c 为△ ABC 的三边长，若知足(a＋ b－ c)(a＋ b＋ c)＝ ab，则∠ C 的大小为()A． 60°B．90°C． 120 °D．150°2．在△ ABC 中，若 2cos Bsin A ＝ sin C，则△ ABC 的形状必定是 ()A．等腰直角三角形 B ．直角三角形C．等腰三角形 D ．等边三角形3.在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ 3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最小外角为() A． 30°B．60°C． 90°D． 120 °4．△ ABC 的三边分别为a， b，c 且知足 b2＝ ac,2b＝ a＋ c，则此三角形是 ()A．等腰三角形 B ．直角三角形C．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．在△ ABC中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a，b，c，若C＝ 120 °，c＝2a，则 () A． a>bB． a<bC． a＝ bD． a 与b 的大小关系不可以确立6．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．由增添的长度确立二、填空题7．在△ ABC 中，边 a，b 的长是方程x2－ 5x＋2＝ 0 的两个根， C＝ 60°，则边 c＝________. 8．设2a＋ 1， a,2a－ 1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是________．ABC的周长是________．9．已知△ABC的面积为23， BC ＝ 5，A ＝60°，则△10．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b＝ 1， S△ABC＝3，则△ ABC 外接圆的面积是 ________．三、解答题22－a－ b.11．在△ ABC 中，求证： 2 ＝sin Cc3→ →12.在△ ABC 中， a， b，c 分别是角 A ，B ， C 的对边的长， cos B=,且 AB ·BC＝－ 21.5(1)求△ ABC 的面积；(2)若 a＝ 7，求角 C.能力提高13．已知△ ABC 中， AB ＝ 1， BC＝ 2，则角 C 的取值范围是 ()πB ． 0<C<πA． 0<C≤2 6π ππ πC.6<C< 2D.6<C≤314．△ ABC 中，内角 A 、 B、 C 的对边分别为23a、 b、 c，已知 b ＝ ac 且 cos B＝ .4 11(1)求tan A＋tan C的值；→ →3(2)设 BA ·BC＝，求 a＋ c 的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(起码有一边 )才能求解，常有种类及其解法见下表：应用已知条件一般解法定理一边和两角( 如 a， B ，C)两边和夹角( 如 a， b， C)正弦由 A ＋B ＋ C＝ 180°，求角 A ；由正弦定理求出 b 与 c.在有解定理时只有一解 .余弦由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再定理由 A ＋B ＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解.正弦定理三边余弦由余弦定理求出角 A 、B ；再利用 A ＋ B＋ C＝180°，求出角(a，b， c)定理 C.在有解时只有一解 .正弦定理由正弦定理求出角 B；由 A ＋B ＋ C＝ 180°，求出角 C；再利两边和此中一边的对c.可有两解、一解或无解 .余弦用正弦定理或余弦定理求角如 (a， b， A)定理2.依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实行边、角变换．1．1.2 余弦定理 (二 )答案知识梳理ab c 1． (1)2R(2)2Rsin A 2Rsin B2Rsin C (3) 2R 2R2R2 2(2)b 2＋ c 2－ a 2 (4)a ∶ b ∶ c 2.(1)b ＋ c －2bccos A 2bc(3)直角钝角 锐角 π CC C3.(1) π－(2)sin C － cos C － tan C (3)cossin2 222作业设计1． C [ ∵ (a ＋ b －c)(a ＋ b ＋c)＝ab ，∴ a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ 1， 2ab 2∴ cos C ＝－ 1，∴∠ C ＝120°.] 22． C [ ∵ 2cos Bsin A ＝ sin C ＝sin(A ＋ B) ，∴ sin Acos B － cos Asin B ＝ 0，即 sin(A －B) ＝ 0，∴ A ＝B.]3.B [∵ a ∶ b ∶c ＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 3∶5∶ 7，不如设 a ＝ 3， b ＝ 5， c ＝ 7， C 为最大内角，2 2 － 72 1则 cos C ＝ 3 ＋ 5 ＝－ .2×3×5 2∴ C ＝ 120°.∴最小外角为60°.]4．D[ ∵ 2b ＝a ＋ c ，∴ 4b 2＝ (a ＋ c)2 ，即 (a － c)2＝0.∴ a ＝ c.∴ 2b ＝ a ＋c ＝ 2a.∴ b ＝a ，即 a ＝ b ＝ c.]5．A[ 在△ ABC 中，由余弦定理得，c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab.∵ c ＝ 2a ，∴ 2a 2＝ a 2＋ b 2＋ ab.∴ a 2－ b 2＝ ab>0，∴ a 2>b 2，∴ a>b.]6．A [ 设直角三角形三边长为 222a ，b ，c ，且 a ＋b ＝ c ，则 (a ＋ x)2＋ (b ＋ x)2－ (c ＋ x)2＝a2＋ b2＋ 2x2＋ 2(a＋ b)x － c2－ 2cx －x2＝2(a＋ b－ c)x ＋ x2>0，∴ c＋x 所对的最大角变成锐角．]7. 19分析由题意： a＋ b＝ 5， ab＝ 2.由余弦定理得：c2＝ a2＋b2－ 2abcos C＝ a2＋ b2－ ab＝ (a＋ b)2－ 3ab＝ 52－ 3×2＝19，∴c＝ 19.8． 2<a<8分析∵ 2a－ 1>0，∴ a>1，最大边为2a＋ 1.2222∵三角形为钝角三角形，∴ a ＋ (2a－ 1) <(2a＋ 1) ，∴a>2，∴ 2<a<8.9． 12分析S△ABC＝1AB·AC·sin A ＝1A B·AC·sin 60 ＝°23，22∴AB·AC ＝8， BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB·AC·cos A＝AB 2＋ AC2－AB·AC ＝(AB ＋ AC) 2－3AB·AC ，∴ (AB ＋ AC) 2＝ BC 2＋ 3AB·AC ＝49，∴AB ＋AC ＝ 7，∴△ ABC 的周长为 12.13π10. 3分析S△ABC＝1bcsin A ＝3c＝3，24∴ c＝ 4，由余弦定理：a2＝ b2＋ c2－2bccos A＝ 12＋42－ 2×1×4cos 60 °＝ 13，∴ a＝13.a13239∴ 2R＝sin A＝3＝3，2∴ R＝39外接圆2＝13π3.∴ S＝πR 3.sin Acos B － cos Asin B ＝sin A sin B11．证明右侧＝sin C sin C·cos B－sin C·cos A a2＋ c2－ b2b2＋ c2－ a2a2＋ c2－ b2b2＋ c2－ a2a2－ b2＝a·2ac －b·2bc＝2c2－2c2＝c2 ＝左侧．c c因此a2－b2－.2＝sin Cc12.解→ → → →＝ 21.（ 1）∵ AB ·BC ＝－ 21， BA ·BC → → → → BA ·BC ＝ |BA | |BC ·| cos · B ＝ accos B ＝21.∴ ac ＝35，∵ cos B ＝ 3，∴ sin B ＝ 4.5 5 1 1 4∴ S △ ABC ＝ acsin B ＝ ×35× ＝ 14.2 2 5(2)ac ＝ 35， a ＝7，∴ c ＝ 5.由余弦定理得， b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ＝ 32，∴ b ＝4 2.由正弦定理：c ＝bsin C sin B.c sin B ＝ 54 ＝ 2∴ sin C ＝ 4 × 2.b 2 5 ∵ c<b 且 B 为锐角，∴ C 必定是锐角．∴ C ＝ 45°.13．A[方法一 (应用正弦定理 )∵ sin AB C ＝ sin BC A ，∴ sin 1 C ＝ sin 2 A1∴ sin C ＝ 2sin A ，∵ 0<sin A ≤1，1∴ 0<sin C ≤2.∵ AB<BC ，∴ C<A ，∴ C 为锐角，π∴0<C ≤6.方法二(应用数形联合 )如下图，以 B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点 C 向圆B 作切线，设切点为 A 1和 A 2，当 A 与 A 1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时： BC ＝ 2，AB ＝ 1，AC ⊥ AB ，∴π，C ＝ 6π∴ 0<C ≤ .]63，得 sin B ＝1－32＝ 714．解 (1)由 cos B ＝444.由 b 2＝ ac 及正弦定理得 sin 2 B ＝ sin Asin C.11 cos A cos C sin Ccos A ＋ cos Csin A 于是 tan A ＋ tan C ＝ sin A ＋ sin C ＝sin Asin C ＝ ＝ sin B ＝ 1 ＝ 4 7 2 7 .sin B sin B→ → 3 3(2)由 BA ·BC ＝ 得 ca ·cos B ＝ ，2 2由 cos B ＝ 34，可得 ca ＝ 2，即 b 2＝ 2.由余弦定理： b 2＝ a 2＋ c 2 －2ac ·cos B ，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac ·cos B ＝ 5，∴ (a ＋ c)2＝ a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 5＋ 4＝ 9，∴ a ＋ c ＝ 3.＋sin 2 B。
高中数学 课时作业2 余弦定理 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题
课时作业2余弦定理二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.解析：∵a ＝2，B ＝π6，c ＝23，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝2. 答案：27．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.解析：因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos60°＝12，所以c ＝2 3.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝12.因为a <c ，所以A ＝30°.答案：30°8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，C ＝60°，则b a＝________. 解析：由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即2a 2＝a 2＋b 2－ab ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2－b a－1＝0，解得b a ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝1－52舍去.答案：1＋52三、解答题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求各角度数． 解析：法一：由已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， 令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)． 由余弦定理，得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋3＋12k 2－4k 22×6k ×3＋1k ＝22，所以A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋3＋12k 2－6k 22×2k ×3＋1k ＝12，所以B ＝60°.所以C ＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由法一可得A ＝45°.由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝6k ×222k ＝32. 所以B ＝60°或120°.又因为b <c ，所以B ＝60°. 所以C ＝180°－45°－60°＝75°.10．在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 为三角形的三角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．解析：cos 2A 2＝12(1＋cos A )，由余弦定理及cos 2A 2＝b ＋c 2c 得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c 2c，整理得c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 是以C 为直角的直角三角形．。
高二人教A数学必修五40分钟课时作业：1-1-3余弦定理1
那课时作业第一章解三角形一、选择题：每小题5分，共30分.1.在厶ABC中，已知a = 4, b = 6, C=120。
，则边c的值是()A・8 B・2^/17 C・6边D・2佰解析:根据余弦定理,c2 = a2 -b2— labcosC = 16+ 36 —2X4X6cosl20° = 76, c=2\/l9.答案：D2_ 2.2.在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若一>0,贝IJAABC( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形2 I T 2_ 2cosC<0. 解析：由题意知"2ab I。
，艮V0°<C<180°, A90°<C<180°•••△ABC为钝角三角形.答案：C3•在△ ABC中，若a = 2,b A. 30°B・ 45。
C・ 60°D・ 75°解析:b2-\~c2—a 2bc答案：A=2^2,C=A/6+V2,则A 等于（4・在厶ABC中，a=b1 + c1+bc.则A等于（）A. 60°B・ 45。
C・ 120。
D・ 30°b? 1（2 a' ] ] 解析:V cr = b2-\-c2-\-bcj •:=~29即cosA=—㊁.V0°<A<180°, :.A =120° ・答案：C5.在ZXABC中，角A, B, C所对的边分别为a =L c=4辺，3=45。
，则sinC 等于（c —°・25 ，b, c.若解析：由余弦定理得 b 2=a 2-\~c 2— 2accosB= 1+32 — 8^/2X 工 = 25， .\b = 5.答案：B 6-（2°12•黄山高一检测）在A4BC 中，角儿8, C 所对的边分2 I 7 2 2 • — a ~vb —c • • cosC = ~~； lab 3 . I --------------- -- 4 sinC=f 1 cos 5’别为G, b, C,且/ =戾_。
人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习
正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。
新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
2021学年高中数学课时分层作业3余弦定理新人教A版必修5
课时分层作业(三) 余弦定理(建议用时：60分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° B [∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A ．43B ．8－4 3C ．1D ．23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C ．3<a < 5D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝ ． 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ ．1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1，或a ＝－2(舍去).∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是 ． π3[由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ， ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3.]三、解答题9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．[解] (1)由正弦定理得a sin A ＝bsin B ＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径．又b sin A ＝3a cos B ，所以2R sin B sin A ＝3·2R sin A cos B . 又sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝ 3. 又因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋4a 2－2a 2＝9， 解得a ＝3，故c ＝2 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sinA ＋a sin C ．一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sinC sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin (A ＋C )＝cos C sin A ＋cos C sin A ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πA [cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac2ac＝（a －c ）22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.]3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为 ．4 [5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0， ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)，。
高中数学 课后课化作业 余弦定理课件 新人教A必修5
•12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
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人教新课标版数学高二B版必修5课时作业 余弦定理
一、选择题1．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3【解析】 由a 2＝b 2＋bc ＋c 2，得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理的推论得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴∠A ＝2π3.【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19 【解析】 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.【答案】 D3．(2013·朝阳高二检测)在△ABC 中，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 【解析】 法一 由正弦定理有sin A cos B ＝sin B cos A ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.∴∠A ＝∠B ，∴△ABC 为等腰三角形．法二 由余弦定理有a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴a 2＋c 2－b 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a 2－b 2＝0，即a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．【答案】 D4．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)【解析】 因为a 是最大的边，所以∠A >π3，又∵a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∴∠A <π2.故π3<∠A <π2.【答案】 C5．(2013·东营高二检测)如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定【解析】 设直角△ABC 三边为a ，b ，c 且满足a 2＋b 2＝c 2，三边增加同样的长度m (m >0)，则c ＋m 为最长边，则(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2，(c＋m)2＝c2＋2mc＋m2.∵a＋b>c，∴(a＋m)2＋(b＋m)2>(c＋m)2，由余弦定理：cos C＝(a＋m)2＋(b＋m)2－(c＋m)22(a＋m)(b＋m)>0，∴最大角C为锐角．【答案】 A二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，∠B＝π6，c＝23，则b＝________.【解析】∵a＝2，∠B＝π6，c＝23，∴b＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋12－2×2×23×32＝2.【答案】 27．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．【解析】由余弦定理得：cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．【答案】等边三角形8．若三边分别为a，a＋1，a＋2的三角形是钝角三角形，则a的取值范围是________．【解析】由题意知a＋2是三角形的最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0a ＋(a ＋1)>a ＋2a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)<0，∴1<a <3.【答案】 (1,3)三、解答题9．在△ABC 中，(1)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角．(2)b ＝6，c ＝2，∠B ＝60°，求a .【解】 (1)显然角C 最大，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝32＋42－372×3×4＝－12，∴∠C ＝120°.(2)法一 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝c sin B b ＝2sin 60°6＝36＝22， ∴∠C ＝45°或∠C ＝135°.∵b >c ，∴∠B >∠C ，又∵∠B ＝60°，∴∠C ＝45°.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－24＝4＋23，∴a ＝4＋23＝3＋1.法二 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴6＝a 2＋4－4a cos 60°＝a 2＋4－2a .∴a 2－2a －2＝0. 解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)，∴a ＝1＋ 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.求：(1)角C 的度数；(2)AB 的长度．【解】 (1)cos C ＝cos ＝－cos(A ＋B )＝－12，又∠C ∈(0°，180°)，∴∠C ＝120°.(2)由题知：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.11．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值；(2)求边a ，b ，c ；(3)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B ·sin C ，结合正弦定理得(b＋c＋a)(b＋c－a)＝185bc，整理得b2＋c2－a2＝85bc.由余弦定理得：cos A＝b2＋c2－a22bc＝45，∴sin A＝35.(2)由(1)知方程x2－9x＋25cos A＝0，可化为x2－9x＋20＝0，解之得x＝5或x＝4.∵b>c，∴b＝5，c＝4.由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a＝3.(3)由(1)(2)知，a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形.。
高中数学第二章解三角形课时作业13余弦定理课件必修5高一必修5数学课件
5．在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，设向量
m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若 m⊥n，则角 A 的大小为( B )
π
π
A.6
B.3
π
2π
C.2
D. 3
解析：∵m⊥n，∴m·n＝b(b－c)＋(c－a)(c＋a)＝b2－bc＋c2
－a2＝0， ∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12，
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8．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 b2
＋c2－a2＝ 3bc，且 b＝ 3a，则下列关系一定不成立的是( B )
A．a＝c
B．b＝c
C．2a＝c
D．a2＋b2＝c2
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解析：因为 b2＋c2－a2＝ 3bc，
所以
cosA＝b2＋2cb2c－a2＝
b＝4、c＝6，则 bccosA＋cacosB＋abcosC 的值为 2 .
解析：bccosA＋cacosB＋abcosC ＝bcb2＋2cb2c－a2＋caa2＋2cc2a－b2＋ab·a2＋2ba2b－c2 ＝b2＋c2－a2＋a2＋c22－b2＋a2＋b2－c2 ＝a2＋b22＋c2＝621.
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4．在△ABC 中，已知 b＝4 3，c＝2 3，A＝120°，则 a 等于
(A )
A．2 21
B．6
C．2 21或 6 D．2 15＋6 3
解析：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝48＋12－2×4 3 ×2 3×(－12)＝84，∴a＝2 21.
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三、解答题
12．在△ABC 中，已知 b＝5，c＝5 3，A＝30°，求 a，B，
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2021年高中数学 课时作业3 余弦定理 新人教版必修51．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案 C解析 由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc2bc＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析 设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝32，于是A ＝30°，故选A. 6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3答案 D解析 本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4. ∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)． 故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(xx·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析 由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612. 14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值． 解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析 由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析 由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.②由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析 本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sinA 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14.2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (bc)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2.∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.27248 6A70 橰~22783 58FF 壿22868 5954 奔zW28141 6DED 淭34839 8817 蠗37964 944C 鑌29843 7493 璓 ,35647 8B3F 謿285886FAC 澬。