北师大版八年级上册数学[勾股定理(提高版)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
勾股定理（提高）
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222
a b c +=．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长
可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的
目的．
（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2
22c a b ab =+-．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以． 要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】 类型一、与勾股定理有关的证明 1、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 延长线上的点，求证：
【答案与解析】
证明：作等腰三角形底边上的高AE
∵AB=AC ，AE ⊥BC
∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°
∴222222
()()AD AB AE DE AE BE -=+-+
2222AE DE AE BE =+--
22DE BE =- ()()DE BE DE BE =+-
BD CD =
【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题．
类型二、与勾股定理有关的线段长
2、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE 丄DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．
【答案与解析】
解：连接BD ，
∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．
举一反三：
【变式】（2015春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA=2，PB=11，求OP的长．
【答案】
解：∵PA⊥OA，∠C=30°，
∴PC=2PA=4，
∴BC=BP+PC=11+4=15，
∵PB⊥OB，∠C=30°，
设OB=x，则OC=2x，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
x2+152=（2x）2，
解得，x=53，
即OB=53，
∴OP===14．
类型三、与勾股定理有关的面积计算
3、（2015•丰台区二模）问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你直接写出△ABC的面积；
思维拓展：
（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．
【思路点拨】（1）根据图形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．
【答案与解析】
解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：
S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC
=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3
=4.5，
故答案为：4.5；
（2）如图2的△MNP，
S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP
=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1
=7，
即△MNP的面积是7．
【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．
举一反三：
【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）
A．17B．36C．77D．94
【答案】C
类型四、利用勾股定理解决实际问题
4、（2016•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′
的长，进而得出答案．
【答案与解析】
解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB==24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA ′=20米，
BC ′==15（米），
则：CC ′=15﹣7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键． 举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
【答案】
解：如图②所示，由题意可得：
12AA '=，12392
A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22
222129225AB AA A B ''=+=+=
则AB ＝15cm ．
所以需要爬行的最短路程是15cm ．。