单因素方差分析

, k , j 1, 2,
, ni （6.2）
单因素方差分析问题即为检验假设
H0 : 1 2
是否成立的问题。
k 0 H1 : 至少有一个i 0
二、平方和分解与显著性检验
1 Yi ni
k ni
Y ,
j 1 ij
ni
i 1, 2,
k
1 k ni Y Yij ,k ， n i 1 j 1 ，
例1 某种型号化油器的原喉管结构油耗较大，为节约能源， 设想了两种改进方案以降低油耗指标 ——比油耗。现对用各 种结构的喉管制造的化油器分别测得如表5.1的数据。 表5.1
水 指 平 标 231.0 232.8 227.6
原始数据表
比 油 耗 228.3 224.7 225.5 229.3 230.3
k H1 : 1 , 2 ,
, k
k 1 k ni i , 这里 n ni , i i A 第i 记 表示因素 n i 1 i 1
水平效应 (i 1, 2, ) ，则试验数据的数学模型可写为：
Yij i eij , i 1, 2,
Yij i eij , i 1, 2, 2 eij N (0, )
, k , j 1, 2,
, ni
， （6.1）
其中诸 eij 相互独立。我们的任务是检验上述同方差的
k 个正态总体的均值是否相等，即检验假设：
H0 : 1 2
中至少有两个不相等。
0.05
解：检验假设 H 0 : 1 2 3 4 5 H1 : 1 , 2 ,..., 5不全相等。 n
k
j
拒绝H 0，认为疗效 有显著差异。
k 5, n1 n2 n3 n4 n5 6, n 30, yij 2 1047,
j 1 i 1
nj
2 ST (Yij Y )2 [(Yij Y i ) (Y i Y )]2 i 1 j 1
ni
i 1 j 1
ni
(Yij Y i ) 2 (Yij Y i )(Y i Y ) (Y i Y )2
2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
i 1
n2 n3
3
T1 y1 j 69.5, T2 y2 j 6, T3 y3 j 15.4
j 1 j 1 j 1
2 G T1 T2 T3 91, T yij 757.41
k
ni
Ti G 2 S 154.51, ST T G 2 / n 239.85 n i 1 ni
方差分析表 : 方差来源 平方和 自由度 均方
Ｆ比
因素 误差 总和
SA SE ST
k- 1 n-k n-1
SA SA k 1
F
SA SE
SE SE nk
为方便起见，计算F值时常常采用下面的公式：
(1)计算分组和 Ti yij ,
j 1
k
ni
i 1, 2,
k
,k
2 T yij i 1 j 1 k ni
Yi (i 1, 2, , k ) 的一个样本（见表 6.3） 。由于 Yij 服从正态分
2 eij 服 布 N (i , ) ， 故 Yij 与 i 的差可以看成一个随机误差 eij ，
从正态分布 (i 1, 2, , k , j 1, 2, , ni ) 。于是单因素方差分析 的数学模型可以表示为
药物x 1 2 治愈所需天数y 5，8，7，7，10，8 4，6，6，3，5，6
3
4 5
6，4，4，5，4，3
7，4，6，6，3，5 9，3，5，7，7，6
这里药物是因子，共有5个水平，这是一个单因 素方差分析问题，要检验的假设是“所有药物 的效果都没有差别”。 F (4, 25) 2.76。
一、数学模型
设在一项试验中，因素 A 有 k 个不同水平 A1 , A2 , , Ak ，在 水平 Ai 下的试验结果 Yi 服从正态分布 N (i , 2 )(i 1, 2, 且 Y1 ,
, r) ，
, Yk 相互独立。现在水平 Ai 下做了 ni 次试验，获得
了 ni 个试验结果 Yij ( j 1, 2, , ni ) ，它可以看成是取自总体
2 A
k
2
2
i 1 j 1
S S S 85.34
2 E 2 T 2 A
(n k ) S F 11.77 (k 1)S
2 A 2 E
方差分析表 : 方差来源 平方和 自由度 因素 误差 154.51 85.34 2 13 均方
77.26
Ｆ比
11.77
6.56
总和
239.85
15
对 0.01 ，查 F 分布表得 F0.01 (2,13) 6.70 ，由于
F 11.77 6.70 F0.01 (2,13) ，
故可认为不同的喉管结构的比油耗有显著差异。
例2 设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗 效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组 病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到 痊愈所需时间，得到下面的记录：(=0.05)
(2)
G yij Ti ,
i 1 j 1 i 1
ni
2 2 T G 2 (3) S A i , n i 1 ni k 2 ST T G2 / n
S S S
2 E 2 T
2 A
例
对上面例 1 中提供的试验数据，在显著性水平
0.01 条件下进行方差分析。 判断喉管的结构对比油
k
k
k
ni
(Yij Y i ) ni (Y i Y )
2 i 1 j 1 i 1
k
ni

k
2
: S S
2 E
2 A
2 SE : 误差平方和 2 SA : 效应平方和
2 2 定理： (1)S E 与S A 相互独立; 2 (2) S E / 2
2 (n k );
§9.1 单因素方差分析
在方差分析中，通常试验的结果，如产品的性能，产 量等要测量和研究的量称为响应变量，试验中可能影响响 应变量取值的因素称为因素，各因素用 A, B, C, 平用 A1 , A2 , 表示。 ，表示。
因素在试验中所取的不同状态称为水平，因素 A 的不同水
只考虑一个因素的试验叫做单因素试验。处理单因 素试验的统计推断问题称为单因素方差分析。类似地可 定义多因素方差分析。本节只介绍单因素方差分析。
2 A 2
(3) 当H 0成立时， S /
2 SA 2
(k 1).
2
故由 F 分布的定义知，在 H 0 成立的条件下，
F 2 SE
(k 1) (n k )

2 (n k ) S A 2 (k 1) S E
F (k 1, n k ).
2
于是当F F (k 1, n k )时拒绝H0 .
T1 45, T2 30, T3 26, T4 31, T5 37, T 169
方 差 分 析 表 方差来源 平方和 自由度 均方 F比
因素A
误差
36.4667
58.5000
4
25
9.1167
2.3334
3.90
总和
94.9667
29
A1 ：原结构
A2 ：改进方案
Ⅰ
222.8
224.5
218.5
220.2
A3 ：改进方案
Ⅱ
224.3
226.1
221.4
223.6
试问：喉管的结构对比油耗的影响是否显著?
从例 1 可以看出，在因素 A 的不同水平下，试验数 据之间存在有差异，即使在因素 A 的同一个水平下，试 验数据之间同样存在差异。那么，试验数据之间的差异 到底是由于因素水平变化所引起的呢？还是由于随机 误差的干扰所引起的呢？这就是方差分析要解决的问 题。下面给出这个问题的数学模型及统计推断方法。
耗的影响是否有显著差异？
解
将所有原始数据减去 220 后进行计算，见表 5.2 的
表5.2
水平
数据。
变换后的数据表
yij
11.0 2.8 4.3 12.8 4.5 6.1 7.6 －1.5 1.4 8.3 0.2 3.6 4.7 5.5 9.3 10.3
A1
A2
A3
本例中，
n1
k 3, n1 8, n2 4, n3 4, n ni 16