一次函数相关的中考压轴题(含分析和答案)

一．解答题（共30小题）
1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．
2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．
（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点，直线l经过点C，
（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数的图形上，求直线l所表达的函数关系式．
5．如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．
6．首先，我们看两个问题的解答：
问题1：已知x＞0，求的最小值．
问题2：已知t＞2，求的最小值．
问题1解答：对于x＞0，我们有：≥．当，即时，上述不等式取等号，所以的最小值．
问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2，于是．
由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．
弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：
在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△AOB面积的最小值．
7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有_________个（请直接写出结果）；
（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标_________；
（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N 的坐标．
8．如图，已知AOCE，两个动点B同时在D的边上按逆时针方向A运动，开始时点F在点FA位置、点Q在点O 位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求x两点之间的最小距离，并求此时点P，Q的坐标．
9．若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C
（1）填空：写出A、C两点的坐标，A_________，C_________；
（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；
（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连接P P'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时，求直线AB的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点P'的坐标是（﹣1，m），求m的值；
（3）若点P在第一像限，是否存在a，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，A（9，0），C（0，4），AB=5．点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分；
（3）当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面内是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（x，y），PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，C（a，0），点E 在y轴上，点D，F在x轴上，AD=OB=2FC，EO是△AEF的中线，AE交PB于点M，﹣x+y=1．
（1）求点D的坐标；
（2）用含有a的式子表示点P的坐标；
（3）图中面积相等的三角形有几对？
14．如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=，点
P在线段OC上，且PO、OC的长是方程x2﹣15x+36=0的两根．
（1）求P点坐标；
（2）求AP的长；
（3）在x轴上是否存在点Q，使四边形AQCP是梯形？若存在，请求出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．
15．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．
（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；
（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；
（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．
16．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC
边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求线段OA和OC的长；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA=OB，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y=﹣3x+30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．
（1）求点B坐标；
（2）点P沿折线BC﹣OC以每秒1个单位的速度运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α=90°﹣∠AOB时，求t值．（参考数据：在（3）中，取．）
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，﹣3），与x轴交于点B，且与直线平行．
（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；
（2）如直线l上有一点M（a，﹣6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．
19．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x 轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（0，1），以OA、OC为边在第一象限内作矩形OABC，点D（x，0）（x＞0），以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直线MA交y轴于点N，连接ND．
（1）求证：①A、B、M、D四点在同一圆周上；②ON=OA；
（2）若0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；
（3）再点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．
（1）若C（3，m），求m的值；
（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由．
22．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；
（2）求（1）中S的最大值；
（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．
23．直线l：y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰直角△CDM斜边落在x轴上，且CD=6，如图1所示．若
直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动，如图2所示，设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点，以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ．设运动时间为t秒．
（1）求运动后点M、点Q的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）若设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t相应的取值范围；（3）若直线l和△CDM运动后，直线l上存在点T使∠OTC=90°，则当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时，求t的取值范围．
24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．
（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．
25．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；
（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上
一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；
（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
28．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO 向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．
（1）求B点坐标；
（2）设运动时间为t秒；
①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；
③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．
29．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足
．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S 的坐标；
（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结
论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
30．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．
（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；
（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；
（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
答案与评分标准
一．解答题（共30小题）
1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．
考点：一次函数综合题。

分析：（1）先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式即可；
（2）根据AB中点为M，求出点M的坐标，再求出CM的解析式，过点P做PH⊥CO交CO于点H，用t表示出OQ和PH的长，根据S=OQ•PH即可求出S与T的函数关系式；
（3）此题需分四种情况分别求出T的值即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOC=90°
∵∠BOD=90°，
∠OBD+∠BOD=90°，
∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB∠AOC=∠BOD=90°，
∴△AOC≌△OBD，
∴AC=OD，CO=BD
∵A（﹣3，1），
∴AC=OC=1，OC=BD=3，
∴B（1，3），
∴y=x+；
（2）M（﹣1，2），C（﹣3，0），
∴直线MC的解析式为：y=x+3
∴∠MCO=45°，
过点P做PH⊥CO交CO于点H，
S=OQ•PH=（3﹣t）×t=-t2+t（0＜t＜3）
或S=（t﹣3）t=t2﹣t（3＜t≤4）；
（3）t1=，t2=，t3=2．
点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要注意分类讨论，关键是能用t表示出线段的长度求出解析式．2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在
一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。

分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；
（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；
（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．
解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，
∴C（﹣3，1），
由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；
（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；
（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，
∴P（﹣，），
由y=x+2知M（﹣6，0），
∴BM=5，则S△BCM=．
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，
则BN•=×，
∴BN=，ON=，
∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上，
∴N（﹣，0）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．
（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．
考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。

专题：动点型。

分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；
（2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；
（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．
解答：解：（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=；
（2）由（1）得y=x+6，又OA=6，
∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x＜0）；
（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4，
此时y=x+6=3，
∴P（﹣4，3）或P（﹣12,﹣3）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．
4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点，直线l经过点C，
（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数的图形上，求直线l所表达的函数关系式．
考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质。

专题：存在型。

分析：（1）若△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质可求E点坐标，用“两点法”求直线l解析式；
（2）分别过A、B两点作x轴的垂线，与直线l相交，可得两个直角三角形，若直线l上有一点F（2，1），可得△ABF 为等腰直角三角形，用“两点法”求直线l解析式；
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数的图形有一个交点，②当直线l与x轴不平行时，设直线l解析式为
y=kx+，与函数联立解方程组，得出唯一解时k的值即可．
解答：解：（1）当直线l上存在一点E，使△ABE为等边三角形时，E（2，），
设直线l解析式为y=kx+，
将E（2，），代入2k+=，
解得k=﹣，
∴直线l解析式为（4分）
（2）当在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形时，
设直线l上的点为F，则A、B、F都可能作为直角顶点，
当F为直角顶点时，△ABF为等腰直角三角形，此时F（2，1），
将F（2，1）代入直线l解析式为y=kx+中，
得k=﹣+，
∴y=（﹣+）x+；（8分）
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数的图形有一个交点，
此时，直线l解析式为，
②当直线l与x轴不平行时，
设直线l解析式为y=kx+，
联立，
得kx2+x﹣2=0，
当△=0时，两函数图象只有一个交点，即（）2+8k=0，
解得k=﹣，
此时，直线l解析式为等（写出一个正确答案即可）（12分）
点评：本题考查了一次函数的综合运用，反比例函数与一次函数的交点问题，特殊三角形的性质．关键是采用形数结合的方法，确定直线l上点的坐标，求一次函数解析式．
5．如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．
考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。

分析：（1）根据x=0时，y=6k，y=0时，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S△AOB=24，求出即可；
（2）根据当点P在OA上运动时，0＜t≤3，以及当点P在AB上运动时，利用三角形相似的性质求出即可；（3）利用当点P在OA上时，点M在点F左侧，以及当点P在AB上时，分别得出t的值即可．
解答：解：（1）令x=0时，y=6k（k＞0）；
令y=0时，x=6，
∴OB=6k，OA=6．S△AOB=24，
∴，
解得，
∴AB的解析式为；
（2）根据题意，OE=t，EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴，
∴，
①当点P在OA上运动时，0＜t≤3，过P作PH⊥EF，垂足是H，
则PH=OE=t，∴，∴；
②当点P在AB上运动时，过P作PG⊥OA，垂足是G，直线PG与EF相交于点R，则GR=OE=t．
在△APG中，PG∥OB∴△APG∽△ABO，
∴，
∴，∴，
当P与F重合时，有PG=OE，此时，解得t=8．PR=GR﹣PG，
∴，
∴，
当3＜t＜8时，，
综上所述，求得的解析式是；
（3）①当点P在OA上时，点M在点F左侧．过点M作MD⊥AB，垂足是D，过点F作FS⊥OA，垂足是S，∴FS=OE=t，EM=OP=2t．
在△MFD中，，
∴．
在△MAD中，，
∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，
∴AF=5k=MF．在△AFS中，，∴，MF=EF﹣EM，
∴，
解得，
当点P在OA上时，点M在点F右侧．可计算得出；
②当点P在AB上时，过点M作MD'⊥AB，垂足是D'，
在△PMD′中，=，
令MD′=3m，则PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′﹣PD′，
∴AP=2m，，
∴，
解得，
综上所述，满足要求的t值是或或．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质应用，根据已知得出M以及P点位置不同得出答案是解题关键．
6．首先，我们看两个问题的解答：
问题1：已知x＞0，求的最小值．
问题2：已知t＞2，求的最小值．
问题1解答：对于x＞0，我们有：≥．当，即时，上述不等式取等
号，所以的最小值．
问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2，于是．
由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．
弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：
在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△AOB面积的最小值．
考点：一次函数综合题。

分析：（1）用k和b表示出三角形的直角边的长，从而表示出面积，和△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3列成方程，用b表示k．
（2）设x=b﹣2，则b=x+2，根据题干中第二问所给的解答过程得到提示，配方后求得x成立时的最小值．
解答：解：（1）当x=0时，y=b；当y=0时，x=﹣．
所以|OA|=，|OB|=b．
∴S△OAB=|OA|•|OB|=．
∴=+b+3，
∴=b+3，k=．
（2）S△OAB===．
设x=b﹣2，则b=x+2．
S△OAB=
=
=x++7
=+7+2≥7+2．
上述不等式等号在x=时成立．
故△OAB面积最小值是7+2．
点评：本题考查一次函数的综合运用，以及活学活用的能力，和配方法求最值的情况．
7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；
（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；
（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N 的坐标．
考点：一次函数综合题。

分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；
（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（1，5），（4，2）代入得，
kx+b=5，4k+b=2，
解得k=﹣1，b=6，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
当x=2，y=4；
当x=3，y=3；
当x=4，y=2；
当x=5，y=1．
∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），
（4，1）．
一共10个；
（2）∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），
∴OA=OB=6，∠OAB=45°．
∵点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），
∴AD=AC=2，AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠DAC=90°，
∴点D的坐标为（6，2）；
（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（﹣4，0）．又∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CM=DM，
∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短．
设直线DE的解析式为y=mx+n．
把D（6，2），E（﹣4，0）代入，得
6m+n=2，﹣4m+n=0，
解得m=，n=，
∴直线DE的解析式为y=x+．
令x=0，得y=，
∴点N的坐标为（0，）．
故答案为10；（6，2）．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．
8．如图，已知AOCE，两个动点B同时在D的边上按逆时针方向A运动，开始时点F在点FA位置、点Q在点O 位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求x两点之间的最小距离，并求此时点P，Q的坐标．
考点：一次函数综合题；三角形的面积。

专题：动点型。

分析：（1）由于A（8，0），B（0，6），得出OB=6，OA=8，AB=10．根据在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，利用△OPQ的面积A=OP•OQ求出即可；
（2）根据在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．设在某一位置重合，最小距离为0．设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），得出在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标．
解答：解：（1）A（8，0），B（0，6），
∴OB=6，OA=8，AB=10．
在前3秒内，点P在OB 上，点Q 在OA 上，
设经过t秒，点P，Q位置如图．
则OP=6﹣2t，OQ=t．
△OPQ的面积A=OP•OQ=t（3﹣t），
当t=时，S max=．
（2）在前10秒内，点P 从B 开始，经过点O，点A，最后到达AB 上，经过的总路程为20；
点Q 从O 开始，经点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10，
其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．
设在某一位置重合，最小距离为0．
设经过t秒，点Q被P点“追及”（两点重合），
则2t=t+6，
∴t=6，在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标都为（6，0）．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用，把动点问题与实际相结合有一定的难度，解答此题的关键是分别画出t在不同阶段Q的位置图，结合相应的图形解答．
9．若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C
（1）填空：写出A、C两点的坐标，A（0，8），C（0，3）；
（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；
（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．。