一类新的q元量子MDS码

一类新的q元量子MDS码
牛刚;亓延峰
【摘要】量子纠错码在量子信息处理和量子计算中有着重要的应用.q元量子MDS 码是一类重要的最优量子纠错码,此类量子码的参数满足相应的量子Singleton界.构造q元量子MDS码具有重要的理论和应用意义.但构造码长q+1的q元量子MDS码是比较困难的,许多码长(q+1)(q-1)/m的q元量子MDS码,其中m整除q+1或q-1,已经被构造出来.在HE Xiangming等构造出的q元量子MDS码的基础上,给出了几类q元量子MDS码的具体实例,这些量子MDS码具有码长
(q+1)(q-1)/m,其中m整除(q+1)(q-1),但m不整除q-1,也不整除q+1.
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》
【年(卷),期】2016(036)005
【总页数】5页(P95-98,102)
【关键词】量子纠错编码;量子MDS码;Hermitian内积
【作者】牛刚;亓延峰
【作者单位】杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018;杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.22
量子码已经发展成为计算科学、通信、物理和数学的前沿领域.同经典的码一样，一个q元量子码具有3个参数：码长、码字数和最小距离.一个具有码长为n，码
字数为K的q元量子码Q是qn维Hilbert空间(Cq)⊗n的一个K维子空间.令
k=logqK，则码长为n，最小距离为d的量子码被记为[[n,k,d]]q.参数为[[n,k,d]]q 的q元量子码可检查出d-1位错误，纠正(d-1)/2位错误.量子码的一个重要问题是：如何构造尽可能大的最小距离的量子码.很多量子码可以通过CSS结构或者CSS变形结构被构造出来[1-12].达到量子Singleton界k=n-2d+2的量子码称为
q元量子极大距离可分码(简称量子MDS码).构造好的量子纠错码在理论和应用中有着非常重要意义[5,7,13-16].很多q元量子MDS码可以使用不同的方法构造出
来[5,7,13,14]，其中一个重要方法是Hermitian自正交码方法，即使用一个定义
在有限域Fq2上关于Hermitian内积自正交的线性MDS码构造出一个q元量子MDS码.已知的一些关于MDS线性码结果可以使用，从而利用Hermitian正交码方法使用Reed Solomon码[9,14,17]、循环码[7,9]、negacyclic码[16]、constacyclic码[18-19]构造出相应的q元量子MDS码.
当q为奇素数的方幂时，构造具有较大最小距离而且码长q+1<n<q2-1的量子MDS码是困难的.一些码长n=(q2-1)/m的q元量子MDS码已经被构造出来[18-19]，其中m满足m|q-1或者m|q+1，这些q元量子MDS码大都利用Hermitian正交码方法由线性MDS码构造得到.文献[20]构造出更为一般情况下的量子MDS码，即码长n=(q2-1)/m的量子MDS码，其中m满足，mq-1,mq+1，此文直接给出具有Hermitian内积自正交向量组成的生成矩阵，得到具有Hermitian内积下自正交的线性MDS码，由此构造出来几类q元量子MDS码.
本文主要从参考文献[20]的最后一类q元量子MDS码出发，考虑此类q元量子MDS码的相关参数，给出了一些新的量子MDS码.
本节将给出一些基本定义和性质，以及现有的q元量子MDS码的结果.令q为一
个奇素数的方幂，Fq表示具有q个元素的有限域.
1.1 线性码
设Fq2为具有q2个元素的有限域，为Fq2的n维向量空间.一个具有参数为[n,k,d]q2的线性码C是指有限域Fq2上n维向量空间中最小距离为d的k维子空间，其中最小距离d为不同码字之间的Hamming距离的最小值.线性码C满足Singleton界：k≤n-d+1.如果C达到Singleton界，即k=n-d+1，则称此线性码C为极大距离可分码，简称MDS码.
给定向量空间中的任意两个向量X=(x1,x2,…,xn)，Y=(y1,y2,…,yn)，定义Hermitian内积为.如果〈X,Y〉=0，则称这两个向量Hermitian正交.定
义,∀Y∈C}为线性码C的对偶码，如果C⊆C⊥H，则称C为一个Hermitian自正交码.
1.2 量子MDS码
如何构造q元量子MDS码最近成为研究热点.比较常用的构造q元量子MDS码方法是Hermitian方法，见如下定理.
定理1.1[2] 如果存在一个有限域Fq2上参数为[n,k,d]q2的MDS码C，而且
C⊆C⊥H,则可构造出一个q元量子MDS码[[n,2k-n,≥d]]q.
通过这个定理，可由Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic 码这些经典的MDS码构造出很多q元量子MDS码，此外选择具有较大最小距离d的Hermitian自正交MDS码，便可以得到具有较大最小距离的q元量子MDS 码.文献[20]直接给出具有Hermitian正交线性MDS码的生成矩阵，再给出了几类q元量子MDS码.如下引理给出了如何使用相互Hermitian正交的行向量组成的生成矩阵产生Hermitian自正交码.
引理1.1[20] 令v1,…,vn为交换群中n个非零元素，假设
gl=(g1l,…,gnl)(1≤l≤k),g1,…,gk为中k个线性无关的向量且，则可通过以
g1,…,gk行向量组成的生成矩阵产生一个Hermitian自正交码[n,k]q2.
由引理1.1，只要给出一些相互Hermitian正交的行向量，便可以由这些行向量组
成的生成矩阵给出Hermitian自正交码.要使用此方法构造q元量子MDS码，还
需要Hermitian自正交码达到Singleton界，即需要Hermitian自正交的MDS 码.文献[20]采用了类似多项式码的构造方法，考虑Fq2上所有次数小于某个数值
的多项式，然后使用这些多项式在Fq2的生成元幂次上的赋值来给出Hermitian
自正交的MDS码，通过此方法使用Hermtian自正交码可以得到q元量子MDS 码，文献[20]的一些结果放在如下两个定理中.
定理1.2[14-15] 设q为一个奇素数幂，偶数m为q-1的一个因子，则存在参数为[[n,n-2d+2,d]]q的量子MDS码q，其中n=(q2-1)/m，最小距离d满足
2≤d≤(q+1)/2+(q-1).
定理1.3[20] 设q为一个素数幂，偶数m1为q-1的因子，奇数m2为q+1的
因子，则存在[[n,n-2d+2,d]]q的量子MDS码，其中n=(q2-
1)(1/m1+1/m2+1/m1m2)，d满足2≤d≤(q-1)/2+min{(q-
1)/m1+1,(q+1)/2m2}.
本节在文献[20]的q元量子MDS码结果上给出了一些新的量子MDS码.文献[20]给出了一类q元量子MDS码，此类q元量子MDS码具有参数[[n,n-2d+2,d]]q，其中码长n=(q2-1)/m，m满足，mq-1，mq+1.首先给出此类q元量子MDS码，研究这些q元量子MDS码的参数条件，并给出了几类满足此类q元量子MDS码的参数组，从而可以进一步给出这类新的q元量子MDS码.
下面两个引理是文献[20]给出一类q元量子MDS码参数满足的条件和性质.
引理2.1[20] 偶数m1与奇数m2互素，则存在无限个素数q使得m1整除q-1，m2整除q+1.
引理2.2[20] 存在无限个正整数数对(m1,m2)满足以下条件：
1)m1是一个偶数，m2为一个奇数，gcd(m1,m2)=1；
2)(m1+m2-1)整除m1m2，令m=m1m2/(m1+m2-1)，且gcd(m,m1)>1，
gcd(m,m2)>1.
由引理2.1和引理2.2知，满足这两个定理的条件的参数m和q具有无限多个，这两个定理并没有给出这些参数的具体实例.如下定理给出了由这些参数所决定的一类q元量子MDS码.
定理2.1[20] 设q为一个素数幂，(m1,m2)为满足引理2.1和引理2.2的数对，则存在q元量子MDS码[[n,n-2d+2,d]]q，其中码长n=(q2-1)/m，最小距离d 满足不整除q-1，也不整除q+1.
满足引理2.1和引理2.2的参数对m和q可以给出相应的q元量子MDS码，由引理2.2满足条件的参数m有无限个，由引理2.1给定参数m，有无限多个q满足条件，从而m和q的选取的无限性，可以得到无限个此类q元量子MDS码.通过研究引理2.1和引理2.2中参数对m和q满足的条件，给出如下5类满足引理2.1和引理2.2的数对(m,q)：
1)m1=k,m2=a(k-1),m=ak/(a+1),q=bk2-(b+2)k+1，其中q为奇数幂，k为偶数，a为奇数；
2)m1=ak,m2=k+1,m=a(k+1)/(a+1),q=bk2+(b+2)k+1，其中q为奇数幂，k 为偶数，且(a+1)|(k+1),a|(bk+b+2)；
3)m1=2k,m2=ak+1,m=2(ak+1)/(a+2),q=2(ab-a2)k2+2bk+1，其中q为奇数幂，a,k为正整数；
4)m1=4k,m2=8k2-6k+1,m=4k-2,q=32ak3+8(2-3a)k2+4(a-3)k+1，其中q为奇数幂，a,k为正整数；
5)m1=akt,m2=(akt-1)(ak-1),m=kt-1(ak-1),q=2at+1k2t-2(a+at)kt+1，其中q 为奇数幂，t≥2,a,k,t均为正整数，且akt,ak均为偶数.
这5类参数对(m,q)可以由相关的整数变量给出.给出相关变量的值，就可以确定数对(m,q)，每一类都可以给出无限个参数对(m,q).一般情况下，通过多项式变换
f:k→f(k)求得更多的数对(m1,m2)，其中多项式f(k)∈Z[X]，从而得到更多的参数
对(m,q).由定理1.2和定理2.1，可得到相应的q元量子MDS码[[n,n-2d+2,d]]q，其中码长为n=(q2-1)/m.在上面给出的5类参数中，取定变量的值，得到相应的
5类具体的参数组：
1)k=8,a=3,b=1,m1=8,m2=21,m=6,q=41,n=280；
2)k=8,a=2,b=6,m1=16,m2=9,m=6,q=449,n=33 600；
3)k=8,a=1,b=1,m1=16,m2=9,m=6,q=17,n=48；
4)k=2,a=5,m1=8,m2=21,m=6,q=881,n=129 360；
5)k=2,a=3,t=2,m1=12,m2=55,m=10,q=769,n=59 136.
将这些参数组应用到定理1.2和定理2.1，得到相应的q元量子MDS码，具体见表1和表2.
量子MDS码有很强的纠错能力，可以相对容易地编码和译码，具有很强的实用性.构造较大最小距离的q元量子MDS码是量子码中一个重要的问题.本文在文献[20]的基础上，研究了一类q元量子MDS码的构造方法和相关参数，可以给出5类
这种量子MDS码的参数组，从而得到具体的最小距离大于q/2的q元量子MDS 码.这些具体参数的量子MDS码可以方便地应用于量子通信中.如何构造更多量子MDS是量子码理论和实际应用研究的热点.
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